Теоретический минимум по математическому анализу за 2 семестр — различия между версиями
(→№1. Суммирование расходящихся рядов методом средних арифметических) |
(→№39. Формула Тейлора для функции многих переменных) |
||
Строка 441: | Строка 441: | ||
=== №39. Формула Тейлора для функции многих переменных=== | === №39. Формула Тейлора для функции многих переменных=== | ||
− | <tex>f(\overline a+ | + | <tex>f(\overline a+\Delta \overline a)-f(\overline a)=\sum \limits_{k=1}^n \frac {d^{k}f(\overline a)}{k!}+\frac {d^{n+1}f(\overline a+\theta\Delta \overline a)}{(n+1)!}</tex> |
=== №40. Безусловный экстремум: необходимое и достаточное условия=== | === №40. Безусловный экстремум: необходимое и достаточное условия=== |
Версия 08:49, 14 июня 2011
Содержание
- 1 №1. Суммирование расходящихся рядов методом средних арифметических
- 2 №2. Суммирование расходящихся рядов методом Абеля
- 3 №3. Теорема Фробениуса
- 4 №4. Тауберова теорема Харди
- 5 №5. Равномерная сходимость функционального ряда. Критерий Коши
- 6 №6. Признак Вейерштрасса
- 7 №7. Признак типа Абеля-Дирихле
- 8 №8. Предельный переход под знаком функционального ряда
- 9 №9. Условия почленного интегрирования функционального ряда
- 10 №10. Условия почленного дифференцирования функционального ряда
- 11 №11. Лемма Абеля
- 12 №12. Теорема о радиусе сходимости
- 13 №13. Вычисление радиуса сходимости
- 14 №14. Дифференцирование и интегрирование степенных рядов
- 15 №15. Степенной ряд, как ряд Тейлора своей суммы
- 16 №16. Достаточное условие разложимости функции в ряд Тейлора
- 17 №17. Разложение в степенной ряд показательной и логарифмической функций
- 18 №18. Разложение в степенной ряд тригонометрических функций
- 19 №19. Биномиальный ряд Ньютона
- 20 №20. Формула Стирлинга
- 21 №21. Нормированное пространство: арифметика предела
- 22 №22. Ряды в банаховых пространствах
- 23 №23. Унитарные пространства, неравенство Шварца
- 24 №24. Гильбертовы пространства, экстремальное свойство ортонормированных систем
- 25 №25. Ортогональные ряды в гильбертовых пространствах.
- 26 №26. Принцип сжатия Банаха
- 27 №27. Линейные операторы в НП: непрерывность и ограниченность
- 28 №28. Норма линейного оператора
- 29 №29. Линейные функционалы в унитарном пространстве, разделение точек
- 30 №30. Пространство R^n : покоординатная сходимость
- 31 №31. Полнота R^n
- 32 №32. Критерий компактности в R^n
- 33 №33. Непрерывные отображения в R^n: координатные функции, непрерывность линейных операторов
- 34 №34. Дифференциал отображения и частные производные, дифференцируемость суперпозиции
- 35 №35. Формула конечных приращений для функции многих переменных
- 36 №36. Неравенство Лагранжа
- 37 №37. Достаточное условие дифференцируемости функции многих переменных
- 38 №38. Дифференциалы высших порядков, теорема о смешанных производных
- 39 №39. Формула Тейлора для функции многих переменных
- 40 №40. Безусловный экстремум: необходимое и достаточное условия
- 41 №41. Локальная теорема о неявном отображении
- 42 №42. Исследование функции многих переменных на условный экстремум
- 43 №43. Определенный интеграл, зависящий от параметра: непрерывность, интегрирование и дифференцирование
- 44 №44. Равномерная сходимость несобственного интеграла, зависящего от параметра, признак Вейерштрасса
- 45 №45. Несобственный интеграл, зависящий от параметра: непрерывность
- 46 №46. Несобственный интеграл, зависящий от параметра: интегрирование
- 47 №47. Несобственный интеграл, зависящий от параметра: дифференцирование
- 48 №48. Понятие о Гамма и Бета функциях Эйлера
- 49 №49. Интеграл Римана по прямоугольнику: критерий существования
- 50 №50. Аддитивность интеграла по прямоугольнику
- 51 №51. Формула повторного интегрирования для прямоугольника
- 52 №52. Критерий квадрируемости фигуры по Жордану
- 53 №53. Условие существования интеграла по квадрируемому компакту
- 54 №54. Формула повторного интегрирования в общем случае
- 55 №55. Вычисление площади фигуры в криволинейных координатах
- 56 №56. Замена переменных интегрирования в двойном интеграле
- 57 №57. Обзор формул для многократных интегралов
№1. Суммирование расходящихся рядов методом средних арифметических
Определение: |
Ряд | имеет сумму по методу средних арифметических (обозначают аббревиатурой с.а.), если .
№2. Суммирование расходящихся рядов методом Абеля
Определение: |
Пусть дан ряд | и (в классическом смысле). Тогда этот ряд имеет сумму по методу Абеля, если .
№3. Теорема Фробениуса
Теорема (Фробениус): |
(с.а) (А). |
№4. Тауберова теорема Харди
Теорема (Харди): |
(с.а.)
Тогда, если существует такое , что , то . |
№5. Равномерная сходимость функционального ряда. Критерий Коши
Определение: |
Пишут, что . | равномерно сходится к , если
Определение: |
Пусть на , если | задан функциональный ряд . Тогда он равномерно сходится к
Теорема (Критерий Коши равномерной сходимости): |
Ряд равномерно сходится на |
№6. Признак Вейерштрасса
Теорема (Вейерштрасс): |
, , , — сходится.
Тогда равномерно сходится на . |
№7. Признак типа Абеля-Дирихле
Теорема: |
Пусть:
|
№8. Предельный переход под знаком функционального ряда
Теорема: |
Пусть на множестве заданы функции , — предельная точка этого множества и
. Тогда если - равномерно сходится на , то выполняется равенство : |
№9. Условия почленного интегрирования функционального ряда
Теорема: |
Пусть интегрируема и равномерно сходится к на . Тогда тоже интегрируема, и
. |
Утверждение: |
Пусть функциональный ряд состоит из и равномерно сходится на этом отрезке.
Тогда сумма ряда будет интегрируемой функцией, и будет выполняться: |
№10. Условия почленного дифференцирования функционального ряда
Теорема: |
Пусть на задан функциональный ряд , - сходится.
Пусть также - непрерывна на и - равномерно сходится на , тогда на выполняется : . |
№11. Лемма Абеля
Лемма (Абель): |
Пусть для некоторого — сходится.
Тогда ряд сходится. |
№12. Теорема о радиусе сходимости
Определение: |
— сходится . Заметим, что возможны случаи и . |
Теорема: |
Пусть есть ряд и — его радиус сходимости. Тогда
1) ряд абсолютно сходится.2) ряд сходится абсолютно и равномерно.3) 4) ряд расходится. — неопределённость. |
№13. Вычисление радиуса сходимости
Теорема: |
Пусть есть , — его радиус сходимости. Тогда:
1) Если , то .2) Если Замечание: на самом деле, есть формула Коши-Адамара, применимая в любом случае: , то . |
№14. Дифференцирование и интегрирование степенных рядов
Вопрос: "Каковы будут радиусы сходимости почленно проинтегрированных или продифференцированных рядов?"
Ответ: "Почленное интегрирование или дифференцирование не меняет радиуса сходимости ряда".
Утверждение: |
Промежуток сходимости степенного ряда совпадает с промежутком сходимости продифференцированного степенного ряда |
№15. Степенной ряд, как ряд Тейлора своей суммы
<wikitex> Пусть $ f(x) = \sum\limits_{n = 0}^{\infty} a_n (x - x_0)^n, \qquad R > 0 \qquad (x_0 - R; x_0 + R) $.
Определение: |
$ \sum\limits_{n = 0}^{\infty} \frac{f^{(n)}(x_0)}{n!} (x - x_0)^n $ - ряд Тейлора функции по степеням $ (x - x_0) $. |
Сопоставим ряд с формулой Тейлора функции, которую можно писать для любого $ n $.
$ f(x) = \sum\limits_{k = 0}^{n} \frac{f^{(k)}(x_0)}{k!} (x - x_0)^k + r_n(x) \Rightarrow $ ряд получается из формулы при $ n \to \infty $. Если $ r_n(x) \rightarrow 0 $ при $ n \rightarrow \infty $, то можно перейти к пределу.
$ f(x) = \sum\limits_{k = 0}^{\infty} \frac{f^{(k)}(x_0)}{k!} (x - x_0)^k $, что является разложением функции в степенной ряд в точке $ x $.
Если при всех x из некоторой окрестности точки $ x_0 $ функция разлагается в степенной ряд, то это будет обязательно ряд Тейлора.
Если разложение возможно, то единственно. Изучается с помощью поведения остатка $ r_n(x) $. </wikitex>
№16. Достаточное условие разложимости функции в ряд Тейлора
Для того, чтобы функция была разложима в ряд Тейлора, достаточно чтобы
№17. Разложение в степенной ряд показательной и логарифмической функций
<wikitex> $e^x \stackrel{def}{=} \sum\limits_{k = 0}^{\infty} \frac{x^k}{k!} $
$ \ln(1 + x) = \sum\limits_{k = 1}^n (-1)^{k - 1} \frac{x^k}k + r_n(x) $, причем $ r_n(x) = \frac{\ln^{(n + 1)} (1 + \theta_n x)}{(n + 1)!} x^{n + 1}, \theta_n \in (0; 1) $ </wikitex>
№18. Разложение в степенной ряд тригонометрических функций
<wikitex> $\sin(x) = \sum\limits_{n = 0}^{\infty} {(-1)}^n \frac{x^{2n + 1}}{(2n + 1)!}$
$\cos(x) = \sum\limits_{n = 0}^{\infty} {(-1)}^n \frac{x^{2n}}{(2n)!}$ </wikitex>
№19. Биномиальный ряд Ньютона
<wikitex> $ (1 + x)^{\alpha} = \sum\limits_{k = 1}^{\infty} \left[ \frac{\alpha (\alpha - 1) \dots (\alpha - k + 1)}{k!} x^k \right] + 1, \alpha \in \mathbb{R} $
$ r_n(x) = \frac{a (a - 1) \dots (a - n + 1) (a - n) (1 + \theta x)^{a - n - 1}}{n!} (1 - \theta)^n x^{n + 1} $ (в форме Коши) </wikitex>
№20. Формула Стирлинга
<wikitex> $ n! = \sqrt{2 \pi n} {\left ( \frac ne \right )}^n e^{\frac{\theta_n}{12n}} $ </wikitex>
№21. Нормированное пространство: арифметика предела
Утверждение: |
Пусть , — последовательности точек нормированного пространства , а — вещественная последовательность. Известно, что , , .
Тогда: |
№22. Ряды в банаховых пространствах
Определение: |
Нормированное пространство | называется B-пространством, если для любой последовательности элементов , для которых из при вытекает существование предела последовательности.
№23. Унитарные пространства, неравенство Шварца
Определение: |
Линейное множество со скалярным произведением называется унитарным пространством. |
Утверждение: |
№24. Гильбертовы пространства, экстремальное свойство ортонормированных систем
Среди нормированных пространств выделяется подкласс так называемых гильбертовых пространств.
Пусть
— линейное пространство. Величина называется скалярным произведением точек множества , если она удовлетворяет следующим трём аксиомам:- ,
Базируясь на этом неравенстве, определим норму
.Доказанное неравенство треугольника превращает
в нормированное пространство. Если оно является B-пространством, то его называют гильбертовым пространством.
Теорема (Бессель): |
Пусть - ОНС в и , тогда
|
Экстремальное свойства ряда Фурье заключается в следующем:
располагается ближе всего к , если — ряд Фурье .№25. Ортогональные ряды в гильбертовых пространствах.
Определение: |
Ряд | является ортогональным, если .
В частности, так как - ОНС в (гильбертово), то — ортогональный ряд.
Теорема: |
- сходящийся ортогональный ряд .
При этом, если x - сумма ряда, то выполняется теорема Пифагора: |
№26. Принцип сжатия Банаха
Определение: |
Пусть — сжатие на шаре , если . | — B-пространство. Пусть — замкнутый шар в .
Теорема (Банах): |
У любого сжимающего отображения существует ровно одна неподвижная точка . |
№27. Линейные операторы в НП: непрерывность и ограниченность
Определение: |
Пусть | , — нормированные пространства, . называется линейным оператором, если
Определение: |
Л.о. называется ограниченным, если |
Определение: |
Л.о. непрерывен в X, если |
Теорема: |
Линейный оператор непрерывен тогда и только тогда, когда он ограничен. |
№28. Норма линейного оператора
Определение: |
Нормой ограниченного оператора | является .
№29. Линейные функционалы в унитарном пространстве, разделение точек
Определение: |
Линейный функционал - линейный оператор вида | , где - гильбертово пространство.
Теорема: |
Для любого существует ограниченный линейный функционал , обладающий такими свойствами:
|
Утверждение (Разделение точек): |
линейный функционал |
Рассмотрим По линейности, . . . Значит, . |
№30. Пространство R^n : покоординатная сходимость
Утверждение (покоординатная сходимость в | ):
Пусть дана последовательность . Тогда в тогда и только тогда, когда для любого последовательность |
№31. Полнота R^n
Теорема: |
Пространство с евклидовой нормой является B-пространством. |
Доказательство: |
Надо установить, что из сходимости в себе следует существование предела по норме .Если Но по доказанному ранее утверждению из покоординатной сходимости следует сходимость по норме, что и требовалось доказать. , то для любого выполняется . По критерию Коши для числовых последовательностей из этого следует, что каждая из последовательностей имеет предел, то есть, последовательность точек сходится покоординатно. |
№32. Критерий компактности в R^n
Теорема (критерий компактности в | ):
Множество в компактно тогда и только тогда, когда оно замкнуто и ограничено. |
№33. Непрерывные отображения в R^n: координатные функции, непрерывность линейных операторов
Определение: |
Л.о. непрерывен в X, если |
Также, непрерывность л.о. совпадает с его непрерывностью в нуле.
В
сходимость покоординатная. (по неравенству Коши для сумм), таким образом, из неизбежно следуетУтверждение: |
— здесь отчётливо видно правило умножения матриц. Отсюда понятно, почему часто устанавливают связь между линейными операторами и матрицами: , где и пробегают от до и соответственно, а — результат действия л.о. на точку можно представить в виде произведения матрицы и столбца . В Итак, линейный оператор, действующий из одного конечномерного пространства в другое, всегда непрерывен. сходимость покоординатная. (по неравенству Коши для сумм), таким образом, из неизбежно следует |
№34. Дифференциал отображения и частные производные, дифференцируемость суперпозиции
Определение: |
Пусть Тогда , причем при — производная Фреше отображения в точке . | —шар в . — дифференцируема в точке , если существует зависящий от ограниченный линейный оператор , такой, что если , то:
Теорема: |
Композиция дифференцируемых отображений дифференцируема. Производная Фреше равна композиции производных Фреше отображений.
Пусть , тогда |
Определение: |
Данный предел называется частной производной первого порядка функции | по переменной .
№35. Формула конечных приращений для функции многих переменных
№36. Неравенство Лагранжа
Теорема (Неравенство Лагранжа): |
Пусть — шар в —дифференцируема в каждой точке шара, тогда:, где |
№37. Достаточное условие дифференцируемости функции многих переменных
Теорема: |
Пусть ,
Тогда существует дифференциал этой функции в точке , каждая из которых, как функция переменных, непрерывна в . . |
№38. Дифференциалы высших порядков, теорема о смешанных производных
Определим частные производные и дифференциалы высших порядков.
— оператор, дифференцирующий функцию по . Последовательное применение такого рода оператора даёт нам частные производные высших порядков. Пусть . Тогда — частная производная второго порядка функции . Дифференцирование осуществляется по переменной в знаменателе, слева направо.
Теорема (О смешанных производных): |
Пусть в двумерном шаре у функции существуют смешанные производные второго порядка и каждая из них непрерывна в некоторой точке этого шара. Тогда в : |
№39. Формула Тейлора для функции многих переменных
№40. Безусловный экстремум: необходимое и достаточное условия
Определение: |
Пусть задан линейный функционал | на . Если при , , то — точка локального максимума. Аналогично определяется точка локального минимума.
Теорема (Аналог теоремы Ферма(необходимое условие)): |
Пусть дифференцируема в точке локального экстремума . Тогда |
Достаточное условие:
Если
, а как квадратичная форма строго положительно определенная, то — точка локального минимума.№41. Локальная теорема о неявном отображении
Пусть
, тогда рассмотрим ., . Существуют ли такие , что для любого существует единственный ?
Если это так, то, в силу единственности y, определяем
на так, чтобы . — неявное отображение, определяется какТеорема (О неявном отображении): |
Пусть для поставлена задача о неявном отображении, с начальными данными . Известно, что в окрестности начальных данных непрерывно зависит от и непрерывно обратима в . Тогда в некоторой окрестности начальных данных неявное отображение существует. |
№42. Исследование функции многих переменных на условный экстремум
. Пусть заданы «уравнения связи» в количестве m:
— условный максимум функции , если для всех и , удовлетворяющих уравнениям связи, выполняется неравенство . Если же — условный минимум.
Метод множителей Лагранжа:
Далее составляем систему соотношений так, будто для мы стали искать безусловный экстремум:
Если всё это раскрыть, получим то, о чём мы говорили выше, но эта запись более компактна.
№43. Определенный интеграл, зависящий от параметра: непрерывность, интегрирование и дифференцирование
<wikitex> Рассматриваем $ z = f(x, y) $, заданную на прямоугольнике $ a \le x \le b; \quad c \le y \le d $.
$ f $ непрерывна.
$ F(y) = \int\limits_a^b f(x, y) dx $ - интеграл, зависящий от параметра.
- $ F(y) $ - непрерывна на $ [c; d] $.
- Если существует непрерывная $ \frac{\partial f}{\partial y} $, то cуществует $ F'(y) = \int\limits_a^b \frac{\partial f}{\partial y} (x, y) dx $ - формула Лейбница.
- $ \int\limits_c^d F(y) dy = \int\limits_a^b dx \int\limits_c^d f(x, y) dy $ - формула читается справа налево, является повторным интегралом и по сути означает смену местами интегралов по двум переменным.
</wikitex>
№44. Равномерная сходимость несобственного интеграла, зависящего от параметра, признак Вейерштрасса
<wikitex> Если выполняется следующее условие: $ f $ непрерывна, $ \forall \varepsilon > 0 : \exists A_0 : \forall A > A_0 , \forall y_0 \in [c; d] \Rightarrow | \int\limits_A^{\infty} f(x, y_0) dx | < \varepsilon $, то $ F(y) = \int\limits_a^{\infty} f(x, y) dx $ равномерно сходится на $ [c; d] $.
Теорема (Вейерштрасс, Признак равномерной сходимости несобственных интегралов): |
Пусть $ |
</wikitex>
№45. Несобственный интеграл, зависящий от параметра: непрерывность
<wikitex> Считаем, что f непрерывна в полосе, а интеграл равномерно сходится на [c; d]
$ F(y) = \int\limits_a^{\infty} f(x, y) dx \stackrel{?}{\Rightarrow} \Delta F(y) \xrightarrow[\Delta y \to 0]{} 0 $ </wikitex>
№46. Несобственный интеграл, зависящий от параметра: интегрирование
<wikitex> $ \int\limits_c^d dy \int\limits_a^{\infty} f(x, y) dx = \int\limits_a^{\infty} dx \int\limits_c^d f(x,y) dy $ </wikitex>
№47. Несобственный интеграл, зависящий от параметра: дифференцирование
<wikitex> Предположим непрерывность $ \frac{\partial f}{\partial y} $.
$ \int\limits_a^{\infty} \frac{\partial f}{\partial y} (x, y) dx $ - равномерно сходится.
$ \int\limits_a^{\infty} \frac{\partial f}{\partial y} (x, y) dx = \left( \int\limits_a^{\infty} f(x, y) dx \right)' $ </wikitex>
№48. Понятие о Гамма и Бета функциях Эйлера
<wikitex> $ B (a, b) = \int\limits_0^1 x^{a - 1} (1 - x)^{b - 1} dx $
$ \Gamma (a) = \int\limits_0^{\infty} x^{a - 1} e^{-x} dx $
$ B(a, b) = \frac{\Gamma(a) \Gamma(b)}{\Gamma(a + b)} $
В обоих случаях: интегралы, зависящие от параметра.
Легко понять, что $ B (a, b) $ Сходится при $ a, b > 0 $; $ \Gamma(a) $ сходится при $ a > 0 $. </wikitex>
№49. Интеграл Римана по прямоугольнику: критерий существования
Определение: |
Двойной интеграл |
,
Существование интеграла равносильно совпедению пределов нижней и верхней интегральных сумм
и№50. Аддитивность интеграла по прямоугольнику
Если
разбито на конечное число прямоугольников , и они не имеют общих внутренних точек, то:№51. Формула повторного интегрирования для прямоугольника
А ВАС ЭТО НЕ СПРОСЯТ
№52. Критерий квадрируемости фигуры по Жордану
Определение: |
квадрируема по Жордану, если существует . Значение этого интеграла называется 'площадью фигуры'. |
(Признак!) Пусть — спрямляемая замкнутая жорданова дуга. Тогда её внутренняя часть — квадрируемая фигура.
Вообще в Фихтенгольце есть критерий:
Для того чтобы фигура была квадрируема, необходимо и достаточно, чтобы ее контур имел площадь 0. Но он нам этого не давал, возможно, перед экзаменом стоит ему об этом сказать.
№53. Условие существования интеграла по квадрируемому компакту
Теорема: |
Пусть — квадрируемый компакт на плоскости, непрерывна на . Тогда существует . |
№54. Формула повторного интегрирования в общем случае
А ВАС ЭТО НЕ СПРОСЯТ
№55. Вычисление площади фигуры в криволинейных координатах
№56. Замена переменных интегрирования в двойном интеграле
<wikitex> $P(u, v) = \begin{pmatrix} x_u' & y_u' \\ x_v' & y_v' \\ \end{pmatrix} $
$J(u, v) = det(P(u, v))$;
Теорема (Замена переменных интегрирования в двойном интеграле): |
Пусть дан закон преобразования переменных,
$\begin{cases} x & = x(u, v)\\ y & = y(u, v)\\ \end{cases}$; $E$ - квадрируемая фигура в $Oxy$, якобиан преобразования определен так же, как и ранее. Пусть $f: E \rightarrow \mathbb R$. Тогда выполняется $ |