Вещественное евклидово и псевдоевклидово пространство — различия между версиями

Материал из Викиконспекты
Перейти к: навигация, поиск
м (rollbackEdits.php mass rollback)
 
(не показано 6 промежуточных версий 4 участников)
Строка 1: Строка 1:
 +
В этой статье затрагиваются [[Метрические, нормированные и евклидовы пространства#Вещественное псевдоевклидово пространство | вещественные псевдоевклидовы пространства]] и [[Метрические, нормированные и евклидовы пространства#Вещественное евклидово пространство | вещественные евклидовы пространства]].
  
\\статья находится в разработке\\
 
==[http://neerc.ifmo.ru/wiki/index.php?title=%D0%9C%D0%B5%D1%82%D1%80%D0%B8%D1%87%D0%B5%D1%81%D0%BA%D0%B8%D0%B5,_%D0%BD%D0%BE%D1%80%D0%BC%D0%B8%D1%80%D0%BE%D0%B2%D0%B0%D0%BD%D0%BD%D1%8B%D0%B5_%D0%B8_%D0%B5%D0%B2%D0%BA%D0%BB%D0%B8%D0%B4%D0%BE%D0%B2%D1%8B_%D0%BF%D1%80%D0%BE%D1%81%D1%82%D1%80%D0%B0%D0%BD%D1%81%D1%82%D0%B2%D0%B0#.D0.92.D0.B5.D1.89.D0.B5.D1.81.D1.82.D0.B2.D0.B5.D0.BD.D0.BD.D0.BE.D0.B5_.D0.BF.D1.81.D0.B5.D0.B2.D0.B4.D0.BE.D0.B5.D0.B2.D0.BA.D0.BB.D0.B8.D0.B4.D0.BE.D0.B2.D0.BE_.D0.BF.D1.80.D0.BE.D1.81.D1.82.D1.80.D0.B0.D0.BD.D1.81.D1.82.D0.B2.D0.BE Вещественное псевдоевклидово пространство]==
 
==[http://neerc.ifmo.ru/wiki/index.php?title=%D0%9C%D0%B5%D1%82%D1%80%D0%B8%D1%87%D0%B5%D1%81%D0%BA%D0%B8%D0%B5,_%D0%BD%D0%BE%D1%80%D0%BC%D0%B8%D1%80%D0%BE%D0%B2%D0%B0%D0%BD%D0%BD%D1%8B%D0%B5_%D0%B8_%D0%B5%D0%B2%D0%BA%D0%BB%D0%B8%D0%B4%D0%BE%D0%B2%D1%8B_%D0%BF%D1%80%D0%BE%D1%81%D1%82%D1%80%D0%B0%D0%BD%D1%81%D1%82%D0%B2%D0%B0#.D0.92.D0.B5.D1.89.D0.B5.D1.81.D1.82.D0.B2.D0.B5.D0.BD.D0.BD.D0.BE.D0.B5_.D0.B5.D0.B2.D0.BA.D0.BB.D0.B8.D0.B4.D0.BE.D0.B2.D0.BE_.D0.BF.D1.80.D0.BE.D1.81.D1.82.D1.80.D0.B0.D0.BD.D1.81.D1.82.D0.B2.D0.BE Вещественное евклидово пространство]==
 
NB: Вопреки всякой логике, слово "евклидово" пишется с буквы "е", но читается с "э". [http://lurkmore.to/Nuff_Said nuff said]
 
 
==Неравенство Коши-Буняковского(Шварца)==
 
==Неравенство Коши-Буняковского(Шварца)==
 
{{Теорема
 
{{Теорема
 
|statement= <tex>\forall\: x,y\in E:\;|\left\langle x,y\right\rangle _{G}|\leq\Vert x\Vert_{G}\cdot\Vert y\Vert_{G}</tex>
 
|statement= <tex>\forall\: x,y\in E:\;|\left\langle x,y\right\rangle _{G}|\leq\Vert x\Vert_{G}\cdot\Vert y\Vert_{G}</tex>
|proof=
+
|proof= Рассмотрим <tex>\left\langle \lambda x+y;\lambda x+y\right\rangle =\Vert\lambda x+y\Vert^{2}\geq0</tex>
Рассмотрим <tex>\left\langle \lambda x+y;\lambda x+y\right\rangle =\Vert\lambda x+y\Vert^{2}\geq0</tex>
 
 
, где <tex>\lambda</tex> - число
 
, где <tex>\lambda</tex> - число
<tex>\left\langle \lambda x;\lambda x\right\rangle +\left\langle \lambda x;y\right\rangle +\left\langle y;\lambda x\right\rangle +\left\langle y;y\right\rangle =\lambda^{2}\left\langle x,x\right\rangle +\lambda\cdot(\left\langle x;y\right\rangle +\left\langle y;x\right\rangle )+\left\langle y,y\right\rangle =\Vert x\Vert^{2}\cdot\lambda^{2}+2\lambda\left\langle x;y\right\rangle + \Vert y\Vert^{2}\geq0</tex>
+
 
 +
<tex>\left\langle \lambda x+y;\lambda x+y\right\rangle = \left\langle \lambda x;\lambda x\right\rangle +\left\langle \lambda x;y\right\rangle +\left\langle y;\lambda x\right\rangle +\left\langle y;y\right\rangle =</tex>
 +
 
 +
<tex>\lambda^{2}\left\langle x,x\right\rangle +\lambda\cdot(\left\langle x;y\right\rangle +\left\langle y;x\right\rangle )+\left\langle y,y\right\rangle =\Vert x\Vert^{2}\cdot\lambda^{2}+2\lambda\left\langle x;y\right\rangle + \Vert y\Vert^{2}\geq0</tex>
  
 
<tex>D \le 0</tex>
 
<tex>D \le 0</tex>
Строка 31: Строка 30:
 
возьмём корень из обоих частей уравнения и получим искомое неравенство
 
возьмём корень из обоих частей уравнения и получим искомое неравенство
 
}}
 
}}
 +
==Угол между векторами==
 
{{Определение
 
{{Определение
 
|definition=<tex>\varphi=\angle(x,y)=arccos\frac{\left\langle x;y\right\rangle }{\Vert x\Vert\cdot\Vert y\Vert}</tex>
 
|definition=<tex>\varphi=\angle(x,y)=arccos\frac{\left\langle x;y\right\rangle }{\Vert x\Vert\cdot\Vert y\Vert}</tex>
 
}}
 
}}
 +
NB: корректность следует напрямую из неравенства Коши-Буняковского:
 +
<tex>|\left\langle x,y\right\rangle |\leq\Vert x\Vert\cdot\Vert y\Vert</tex>
 +
==Расстояние от вектора до подпространства==
 +
{{Определение
 +
|definition=
 +
Пусть <tex>L</tex> - подпространство <tex>E\:(x \in E)</tex>
 +
 +
Тогда <tex>dist\{x,L\}=inf_{y\in L}(dist\{x,y\})</tex>
 +
}}
 +
[[Категория: Алгебра и геометрия 1 курс]]

Текущая версия на 19:26, 4 сентября 2022

В этой статье затрагиваются вещественные псевдоевклидовы пространства и вещественные евклидовы пространства.

Неравенство Коши-Буняковского(Шварца)

Теорема:
[math]\forall\: x,y\in E:\;|\left\langle x,y\right\rangle _{G}|\leq\Vert x\Vert_{G}\cdot\Vert y\Vert_{G}[/math]
Доказательство:
[math]\triangleright[/math]

Рассмотрим [math]\left\langle \lambda x+y;\lambda x+y\right\rangle =\Vert\lambda x+y\Vert^{2}\geq0[/math] , где [math]\lambda[/math] - число

[math]\left\langle \lambda x+y;\lambda x+y\right\rangle = \left\langle \lambda x;\lambda x\right\rangle +\left\langle \lambda x;y\right\rangle +\left\langle y;\lambda x\right\rangle +\left\langle y;y\right\rangle =[/math]

[math]\lambda^{2}\left\langle x,x\right\rangle +\lambda\cdot(\left\langle x;y\right\rangle +\left\langle y;x\right\rangle )+\left\langle y,y\right\rangle =\Vert x\Vert^{2}\cdot\lambda^{2}+2\lambda\left\langle x;y\right\rangle + \Vert y\Vert^{2}\geq0[/math]

[math]D \le 0[/math]

[math] D/4=(\left\langle x,y\right\rangle )^{2}-\Vert x\Vert^{2}\cdot\Vert y\Vert^{2}\Rightarrow|\left\langle x,y\right\rangle |\leq\Vert x\Vert\cdot\Vert y\Vert [/math]
[math]\triangleleft[/math]

NB: равенство будет только в случае [math]x=\lambda y[/math]

Теорема (следствие из Коши, неравенство треугольника):
[math]\Vert x+y \Vert \leq \Vert x \Vert+\Vert y \Vert[/math]
Доказательство:
[math]\triangleright[/math]

[math]{\Vert x+y \Vert}^{2} = \left\langle x+y; x+y\right\rangle = \Vert x\Vert^{2}+2\left\langle x;y\right\rangle + \Vert y\Vert^{2} [/math]

[math]\left\langle x;y\right\rangle \leq \Vert x\Vert\cdot\Vert y\Vert [/math] (по Коши-Буняковскому)

значит, [math]{\Vert x+y \Vert}^{2} \le \Vert x\Vert^{2}+2{\Vert x\Vert \cdot \Vert y\Vert} + \Vert y\Vert^{2} \le (\Vert x\Vert+\Vert y\Vert)^{2}[/math]

возьмём корень из обоих частей уравнения и получим искомое неравенство
[math]\triangleleft[/math]

Угол между векторами

Определение:
[math]\varphi=\angle(x,y)=arccos\frac{\left\langle x;y\right\rangle }{\Vert x\Vert\cdot\Vert y\Vert}[/math]

NB: корректность следует напрямую из неравенства Коши-Буняковского: [math]|\left\langle x,y\right\rangle |\leq\Vert x\Vert\cdot\Vert y\Vert[/math]

Расстояние от вектора до подпространства

Определение:
Пусть [math]L[/math] - подпространство [math]E\:(x \in E)[/math] Тогда [math]dist\{x,L\}=inf_{y\in L}(dist\{x,y\})[/math]