Лемма об эквивалентности свойства потока быть минимальной стоимости и отсутствии отрицательных циклов в остаточной сети — различия между версиями
м (rollbackEdits.php mass rollback) |
|||
| (не показано 11 промежуточных версий 4 участников) | |||
| Строка 3: | Строка 3: | ||
о разности потоков | о разности потоков | ||
|statement= | |statement= | ||
| − | Пусть <tex> f </tex> и <tex> g </tex> - потоки равной величины в сети <tex> G </tex>. Тогда <tex> g </tex> можно представить как сумму <tex> f </tex> и нескольких циклов в остаточной сети <tex> G_f </tex>, т.е. <tex>g = f + \sum_{i} C_i </tex>. | + | Пусть <tex> f </tex> и <tex> g </tex> {{---}} потоки равной величины в сети <tex> G </tex>. Тогда <tex> g </tex> можно представить как сумму <tex> f </tex> и нескольких циклов в остаточной сети <tex> G_f </tex>, т.е. <tex>g = f + \sum_{i} C_i </tex>. |
|proof= | |proof= | ||
| − | Рассмотрим разность потоков <tex> g - f </tex> | + | Рассмотрим разность потоков <tex> g - f </tex>, <tex> |g - f| = 0 </tex>. Построим ее [[теорема о декомпозиции|декомпозицию]]. В декомпозиции могут быть только циклы, т.к. наличие путей <tex> s \leadsto t</tex> противоречило бы нулевой величине потока. Таким образом, получили разбиение разности потоков на циклы. Заметим, что <tex> g(u,v) - f(u,v) \leqslant c(u, v) - f(u, v) = c_f(u, v)</tex>, т.е. все циклы принадлежат <tex>G_f</tex>. |
}} | }} | ||
| Строка 12: | Строка 12: | ||
об эквивалентности свойства потока быть минимальной стоимости и отсутствии отрицательных циклов в остаточной сети | об эквивалентности свойства потока быть минимальной стоимости и отсутствии отрицательных циклов в остаточной сети | ||
|statement= | |statement= | ||
| − | Поток <tex> f </tex> {{---}} минимальной стоимости <tex> \iff </tex> в остаточной сети <tex> G_f </tex> нет циклов | + | Поток <tex> f </tex> {{---}} минимальной стоимости среди потоков своей величины <tex> \iff </tex> в остаточной сети <tex> G_f </tex> нет циклов отрицательной стоимости. |
|proof= | |proof= | ||
*<tex>\Rightarrow </tex> | *<tex>\Rightarrow </tex> | ||
| − | От противного. Пусть существует <tex> C </tex> {{---}} цикл | + | От противного. Пусть существует <tex> C </tex> {{---}} цикл отрицательной стоимости в <tex> G_f </tex>, |
<tex> c_m </tex> {{---}} наименьшая остаточная пропускная способность среди рёбер <tex> C </tex>. | <tex> c_m </tex> {{---}} наименьшая остаточная пропускная способность среди рёбер <tex> C </tex>. | ||
Пустим по <tex> C </tex> поток <tex> f_+ = c_m </tex>. | Пустим по <tex> C </tex> поток <tex> f_+ = c_m </tex>. | ||
| − | Так как сумма | + | Так как сумма стоимостей по циклу отрицательна и поток по каждому ребру одинаков, то <tex> \sum_{(u,v) \in E} p(u,v) \cdot f_+(u,v) < 0</tex> |
| − | <tex>\Rightarrow </tex> <tex>\sum_{(u,v) \in E} p(u,v) \cdot (f + f_+)(u,v) < \sum_{(u,v) \in E} p(u,v) \cdot f</tex> <tex>\Rightarrow f </tex> {{---}} не минимальный. Противоречие. | + | <tex>\Rightarrow </tex> <tex>\sum_{(u,v) \in E} p(u,v) \cdot (f + f_+)(u,v) < \sum_{(u,v) \in E} p(u,v) \cdot f(u, v)</tex> <tex>\Rightarrow f </tex> {{---}} не минимальный. Противоречие. |
*<tex>\Leftarrow </tex> | *<tex>\Leftarrow </tex> | ||
| − | Рассмотрим поток <tex> f </tex> | + | Рассмотрим поток <tex> f </tex>, такой что в <tex> G_f </tex> нет циклов отрицательной стоимости. Рассмотрим <tex> f' </tex> {{---}} поток величины <tex> |f| </tex> и минимальной стоимости, т. е. <tex> p(f') \leqslant p(f) </tex>. По лемме представим <tex>f' = f + \sum_{i} C_i </tex>. По условию стоимости всех циклов неотрицательны. Получаем <tex> p(f') \geqslant p(f) \Rightarrow p(f') = p(f)</tex>. |
}} | }} | ||
| − | == | + | == Источники информации == |
* Ravindra Ahuja, Thomas Magnanti, James Orlin. Network flows (1993) | * Ravindra Ahuja, Thomas Magnanti, James Orlin. Network flows (1993) | ||
| + | [[Категория:Алгоритмы и структуры данных]] | ||
[[Категория: Задача о потоке минимальной стоимости]] | [[Категория: Задача о потоке минимальной стоимости]] | ||
Текущая версия на 19:21, 4 сентября 2022
| Лемма (о разности потоков): |
Пусть и — потоки равной величины в сети . Тогда можно представить как сумму и нескольких циклов в остаточной сети , т.е. . |
| Доказательство: |
| Рассмотрим разность потоков , . Построим ее декомпозицию. В декомпозиции могут быть только циклы, т.к. наличие путей противоречило бы нулевой величине потока. Таким образом, получили разбиение разности потоков на циклы. Заметим, что , т.е. все циклы принадлежат . |
| Лемма (об эквивалентности свойства потока быть минимальной стоимости и отсутствии отрицательных циклов в остаточной сети): |
Поток — минимальной стоимости среди потоков своей величины в остаточной сети нет циклов отрицательной стоимости. |
| Доказательство: |
|
От противного. Пусть существует — цикл отрицательной стоимости в , — наименьшая остаточная пропускная способность среди рёбер . Пустим по поток . Так как сумма стоимостей по циклу отрицательна и поток по каждому ребру одинаков, то — не минимальный. Противоречие. |
Источники информации
- Ravindra Ahuja, Thomas Magnanti, James Orlin. Network flows (1993)
