Неотрицательные суммируемые функции — различия между версиями
Sementry (обсуждение | вклад) м (вроде, разобрался с путаницей) |
м (rollbackEdits.php mass rollback) |
||
(не показаны 3 промежуточные версии 2 участников) | |||
Строка 16: | Строка 16: | ||
Класс <tex>\mathcal E</tex> непуст, так как всегда <tex>\varnothing \in \mathcal E</tex>. | Класс <tex>\mathcal E</tex> непуст, так как всегда <tex>\varnothing \in \mathcal E</tex>. | ||
− | Более того, можно рассмотреть объединение <tex>X = \bigcup \limits_{n} X_n</tex>, <tex>\mu X_n < +\infty</tex>: | + | Более того, по сигма-конечности меры, можно рассмотреть объединение <tex>X = \bigcup \limits_{n} X_n</tex>, <tex>\mu X_n < +\infty</tex>: |
Пусть <tex>E_m = E(f(x) \le m)</tex>, <tex>E = \bigcup \limits_{m = 1}^{\infty}E_m</tex>, но | Пусть <tex>E_m = E(f(x) \le m)</tex>, <tex>E = \bigcup \limits_{m = 1}^{\infty}E_m</tex>, но | ||
Строка 56: | Строка 56: | ||
<tex>f</tex> {{---}} суммируема на всех <tex>E_n</tex>, <tex>\forall \varepsilon > 0</tex>: | <tex>f</tex> {{---}} суммируема на всех <tex>E_n</tex>, <tex>\forall \varepsilon > 0</tex>: | ||
− | <tex>\int \limits_{E_n} | + | <tex>\int \limits_{E_n} f - \frac{\varepsilon}{2^n} < \int \limits_{e_n} f</tex>. |
Просуммируем по <tex> n </tex>: | Просуммируем по <tex> n </tex>: |
Текущая версия на 19:41, 4 сентября 2022
Будем рассматривать пространство с
-конечной, полной мерой.Пусть
- произвольное измеримое множество, - измеримая функция.Рассмотрим набор измеримых множеств
, такой, что , , - ограничена на . В такой ситуации существует интеграл Лебега .
Определение: |
Интеграл |
Определение: |
суммируема на , если |
Класс непуст, так как всегда .
Более того, по сигма-конечности меры, можно рассмотреть объединение
, :Пусть
, , но
, поэтому (на множестве — ограничена), следовательно, .
Все
будем условно называть "хорошими множествами".
Теорема: |
Пусть — измеримо, разбито на дизъюнктные измеримые части: . — измеримо, . Тогда . |
Доказательство: |
Заметим, что мы не предполагаем суммируемость .если — хорошее относительно , то — также хорошее относительно . По свойствам граней .Если хотя бы на одном из не суммируема, то , тогда неравенство тривиально.Cледовательно, , то есть, — суммируемма на всех .Если — хорошее относительно , то - дизъюнктны.- также дизъюнктное объединение. Так как ограничена на , то ограничена и на всех . Мера конечна, отсюда, по -аддитивности интеграла Лебега, .для любого , следовательно, . Переходим к точной верхней грани: .Докажем теперь неравенство в обратную сторону: — суммируема на всех , : . Просуммируем по :. Устремим , что можно сделать, так как это числа:Устремив . , приходим к противоположному неравенству, таким образом, равенство доказано. |
-аддитивность позволяет переносить на любые стандартные свойства интеграла Лебега, например, линейность. Действительно, для :
Чтобы свести ситуацию к ограниченным функциям, мы разбиваем
на измеримые, дизъюнктные множества. . Аналогично, .После этого,
. За счет -конечности меры, можно считать, что .За счет
-аддитивности интеграла от неотрицательной функции:. Получили линейность.