Поток минимальной стоимости — различия между версиями
Proshev (обсуждение | вклад) (→Определение задачи) |
м (rollbackEdits.php mass rollback) |
||
(не показаны 54 промежуточные версии 11 участников) | |||
Строка 1: | Строка 1: | ||
− | == | + | ==Задача о потоке минимальной стоимости== |
− | Задача о потоке минимальной стоимости | + | |
{{Определение | {{Определение | ||
− | |definition= | + | |definition=Пусть дана сеть <tex>G(V,E)</tex>. <tex>S, T \in V</tex> {{---}} источник и сток. Ребра <tex>(u,v) \in E</tex> имееют пропускную способность <tex> c(u, v), </tex> поток <tex> f(u,v) </tex> и цену за единицу потока <tex>a(u, v) </tex>. Тогда '''общая стоимость потока''' из <tex>S</tex> в <tex>T</tex>: |
− | + | :<tex>p(u,v) = \sum\limits_{u,v \in V, f(u,v)>0} a(u,v) \cdot f(u,v)</tex> | |
− | + | }} | |
+ | ===Свойства сети=== | ||
+ | * Поток не может превысить пропускную способность. | ||
+ | :<tex>f(u,v) \leqslant c(u,v)</tex> | ||
+ | * Поток из <tex>u</tex> в <tex>v</tex> должен быть противоположным потоку из <tex>v</tex> в <tex>u</tex>. | ||
+ | :<tex>f(u, v)=-f(v, u)</tex> | ||
+ | * Сохранение потока. Для каждой вершины, сумма входящего и исходящего потоков равно <tex>0</tex>. | ||
+ | :<tex> \sum\limits_{w \in V} f(u,w) = 0</tex> | ||
− | + | {{Задача | |
− | + | |definition = Дана сеть <tex>G(V,E)</tex>. <tex>S, T \in V</tex> {{---}} источник и сток. Ребра <tex>(u,v) \in E</tex> имееют пропускную способность <tex> c(u, v), </tex> поток <tex> f(u,v) </tex> {{---}} | |
+ | и цену за единицу потока <tex> a(u, v) </tex>. Требуется найти максимальный поток, суммарная стоимость которого минимальна. | ||
}} | }} | ||
== Алгоритмы решения == | == Алгоритмы решения == | ||
− | * | + | ===Метод устранения отрицательных циклов в остаточной сети=== |
− | * | + | Воспользуемся [[Лемма об эквивалентности свойства потока быть минимальной стоимости и отсутствии отрицательных циклов в остаточной сети|леммой об эквивалентности свойства потока быть минимальной стоимости и отсутствии отрицательных циклов в остаточной сети]]. Получим следующий алгоритм: |
− | + | ====Алгоритм==== | |
+ | * '''Начало.''' | ||
+ | * '''Шаг 1'''. Определим для каждого прямого ребра <tex>(u,v)</tex> обратное ребро <tex>(v,u)</tex>. Определим его характеристики: <tex>c(v,u)=0</tex>, <tex>f(v,u)=-f(u,v)</tex>, <tex>a(v,u)=-a(u,v)</tex>. | ||
+ | * '''Шаг 2'''. Для каждого ребра зададим поток равный <tex>0</tex>. | ||
+ | * '''Шаг 3'''. Найдем произвольный максимальный поток(любым алгоритмом нахождения максимального потока), построим для него остаточную сеть, где каждому ребру будет соответствовать величина <tex>a(u,v) \cdot (c(u,v) - f(u,v))</tex>. | ||
+ | * '''Шаг 4'''. При помощи [[Алгоритм Форда-Беллмана| алгоритма Форда-Беллмана]] найдем отрицательный цикл в построенной сети (отрицательный цикл ищется по стоимости ребра, т.е. ребра имеют вес <tex>a(u,v)</tex>). Если отрицательный цикл не нашелся {{---}} перейдем к '''шагу 6'''. | ||
+ | * '''Шаг 5'''. Избавимся от отрицательного цикла, для этого пустим по нему максимально возможный поток. Величина потока равна минимальной остаточной пропускной способности в цикле. Перейдем к '''шагу 4'''. | ||
+ | * '''Шаг 6'''. Отрицательных циклов в остаточной сети нет, значит, максимальный поток минимальной стоимости найден. | ||
+ | * '''Конец.''' | ||
+ | |||
+ | ====Асимптотика==== | ||
+ | Алгоритм Форда-Беллмана работает за <tex>O(VE)</tex>, улучшение цикла за <tex>O(E)</tex>. Если обозначить максимальную стоимость потока как <tex>C</tex>, а максимальную пропускную способность как <tex>U</tex>, то алгоритм совершит <tex>O(ECU)</tex> итераций поиска цикла, если каждое улучшение цикла будет улучшать его на 1. В итоге имеем <tex>O(V E^2 C U + maxFlow)</tex>, где <tex>maxFlow</tex> - асимптотика поиска максимального потока. | ||
+ | |||
+ | ===Метод дополнения потока вдоль путей минимальной стоимости=== | ||
+ | {{main|Поиск потока минимальной стоимости методом дополнения вдоль путей минимальной стоимости}} | ||
+ | |||
+ | ===Использование потенциалов Джонсона=== | ||
+ | {{main|Использование потенциалов Джонсона при поиске потока минимальной стоимости}} | ||
+ | |||
+ | == См. также == | ||
+ | * [[Сведение задачи о назначениях к задаче о потоке минимальной стоимости|Сведение задачи о назначениях к задаче о потоке минимальной стоимости]] | ||
+ | * [[Венгерский алгоритм решения задачи о назначениях|Венгерский алгоритм решения задачи о назначениях]] | ||
− | == | + | == Источники информации == |
− | *[http://ru.wikipedia.org/wiki/Поток_минимальной_стоимости Википедия - Поток минимальной стоимости] | + | *[http://ru.wikipedia.org/wiki/Поток_минимальной_стоимости Википедия {{---}} Поток минимальной стоимости] |
*[http://rain.ifmo.ru/cat/view.php/vis/graph-flow-match/min-cost-max-flow-2009 Визуализатор алгоритма нахождения максимального потока минимальной стоимости] | *[http://rain.ifmo.ru/cat/view.php/vis/graph-flow-match/min-cost-max-flow-2009 Визуализатор алгоритма нахождения максимального потока минимальной стоимости] | ||
− | *[http://habrahabr.ru/blogs/algorithm/61884/ Хабрахабр - Максимальный поток минимальной стоимости] | + | *[http://habrahabr.ru/blogs/algorithm/61884/ Хабрахабр {{---}} Максимальный поток минимальной стоимости] |
+ | * ''Кормен, Томас Х., Лейзерсон, Чарльз И., Ривест, Рональд Л., Штайн Клиффорд'' '''Алгоритмы: построение и анализ''', 2-е издание. Пер. с англ. {{---}} М.:Издательский дом "Вильямс", 2010. {{---}} 1296 с.: ил. {{---}} Парал. тит. англ. {{---}} ISBN 978-5-8459-0857-5 (рус.) | ||
− | |||
− | |||
+ | [[Категория:Алгоритмы и структуры данных]] | ||
[[Категория: Задача о потоке минимальной стоимости]] | [[Категория: Задача о потоке минимальной стоимости]] |
Текущая версия на 19:41, 4 сентября 2022
Задача о потоке минимальной стоимости
Определение: |
Пусть дана сеть | . — источник и сток. Ребра имееют пропускную способность поток и цену за единицу потока . Тогда общая стоимость потока из в :
Свойства сети
- Поток не может превысить пропускную способность.
- Поток из в должен быть противоположным потоку из в .
- Сохранение потока. Для каждой вершины, сумма входящего и исходящего потоков равно .
Задача: |
Дана сеть | . — источник и сток. Ребра имееют пропускную способность поток — и цену за единицу потока . Требуется найти максимальный поток, суммарная стоимость которого минимальна.
Алгоритмы решения
Метод устранения отрицательных циклов в остаточной сети
Воспользуемся леммой об эквивалентности свойства потока быть минимальной стоимости и отсутствии отрицательных циклов в остаточной сети. Получим следующий алгоритм:
Алгоритм
- Начало.
- Шаг 1. Определим для каждого прямого ребра обратное ребро . Определим его характеристики: , , .
- Шаг 2. Для каждого ребра зададим поток равный .
- Шаг 3. Найдем произвольный максимальный поток(любым алгоритмом нахождения максимального потока), построим для него остаточную сеть, где каждому ребру будет соответствовать величина .
- Шаг 4. При помощи алгоритма Форда-Беллмана найдем отрицательный цикл в построенной сети (отрицательный цикл ищется по стоимости ребра, т.е. ребра имеют вес ). Если отрицательный цикл не нашелся — перейдем к шагу 6.
- Шаг 5. Избавимся от отрицательного цикла, для этого пустим по нему максимально возможный поток. Величина потока равна минимальной остаточной пропускной способности в цикле. Перейдем к шагу 4.
- Шаг 6. Отрицательных циклов в остаточной сети нет, значит, максимальный поток минимальной стоимости найден.
- Конец.
Асимптотика
Алгоритм Форда-Беллмана работает за
, улучшение цикла за . Если обозначить максимальную стоимость потока как , а максимальную пропускную способность как , то алгоритм совершит итераций поиска цикла, если каждое улучшение цикла будет улучшать его на 1. В итоге имеем , где - асимптотика поиска максимального потока.Метод дополнения потока вдоль путей минимальной стоимости
Использование потенциалов Джонсона
См. также
Источники информации
- Википедия — Поток минимальной стоимости
- Визуализатор алгоритма нахождения максимального потока минимальной стоимости
- Хабрахабр — Максимальный поток минимальной стоимости
- Кормен, Томас Х., Лейзерсон, Чарльз И., Ривест, Рональд Л., Штайн Клиффорд Алгоритмы: построение и анализ, 2-е издание. Пер. с англ. — М.:Издательский дом "Вильямс", 2010. — 1296 с.: ил. — Парал. тит. англ. — ISBN 978-5-8459-0857-5 (рус.)