Смежные классы, теорема Лагранжа, нормальные подгруппы, факторгруппы — различия между версиями
(→Теорема Лагранжа) |
м (rollbackEdits.php mass rollback) |
||
(не показано 9 промежуточных версий 5 участников) | |||
Строка 1: | Строка 1: | ||
== Смежные классы == | == Смежные классы == | ||
− | Левым смежным классом группы < | + | Левым смежным классом группы <tex>G</tex> по множеству <tex>H</tex> назовем множество вида <tex>aH=\lbrace a\cdot x\vert x\in H\rbrace\subseteq G</tex> |
− | Аналогично определяется и правый смежный класс < | + | Аналогично определяется и правый смежный класс <tex>Ha</tex>. Для определенности далее рассматриваем только левые смежные классы, все результаты непосредственно переносятся и на правые. |
− | '''Теорема''': Левые смежные классы < | + | '''Теорема''': Левые смежные классы <tex>G</tex> по подгруппе <tex>H</tex> либо не пересекаются, либо совпадают. |
− | '''Доказательство''': Достаточно доказать, что если классы пересекаются, то они совпадают. Рассмотрим два класса < | + | '''Доказательство''': Достаточно доказать, что если классы пересекаются, то они совпадают. Рассмотрим два класса <tex>aH</tex> и <tex>bH</tex> с общим элементом <tex>c</tex>. Докажем, что <tex>aH\subseteq bH</tex>. Пусть <tex>g=a\cdot h,\,h\in H</tex> принадлежит <tex>aH</tex>. Известно: <tex>c=a\cdot h_a=b\cdot h_b,\,h_a,h_b\in H\, \Rightarrow a=b\cdot h_b\cdot h_a^{-1}</tex>. |
− | Тогда < | + | Тогда <tex>g=a\cdot h=b\cdot h_b\cdot h_a^{-1}\cdot h \in bH</tex>, поскольку <tex>h_b\cdot h_a^{-1}\cdot h\in H</tex>. Значит, <tex>aH\subseteq bH</tex>. Аналогично <tex>bH\subseteq aH</tex>. |
== Теорема Лагранжа == | == Теорема Лагранжа == | ||
− | + | {{Теорема | |
− | + | |id=th3 | |
− | + | |author=Лагранж | |
+ | |statement= | ||
+ | В конечных группах порядок любой подгруппы делит порядок группы | ||
+ | |proof= | ||
+ | Пусть <tex>G</tex> - конечная группа, а <tex>H</tex> - ее подгруппа. Любой элемент <tex>G</tex> входит в некоторый смежный класс по <tex>H</tex> (<tex>a</tex> входит в <tex>aH</tex>). Мощность каждого класса равна <tex>\vert H\vert</tex>, т.к. отображение <tex>x\rightarrow a\cdot x </tex> биективно. Таким образом, вся G распадается на непересекающиеся смежные классы одинаковой мощности. Отсюда очевидно, что <tex>\vert G\vert</tex> делится на <tex>\vert H\vert</tex>. | ||
+ | }} | ||
'''Следствие:''' <tex>a^{\vert G\vert}=e</tex>. Достаточно рассмотреть циклическую подгруппу <tex>H=\langle a\rangle</tex>: ее порядок равен порядку элемента <tex>a</tex>, но <tex>a^{\vert G\vert}=a^{\frac{\vert G\vert}{\vert H\vert}\vert H\vert}=(a^{\vert H\vert})^{\frac{\vert G\vert}{\vert H\vert}}=e</tex>. | '''Следствие:''' <tex>a^{\vert G\vert}=e</tex>. Достаточно рассмотреть циклическую подгруппу <tex>H=\langle a\rangle</tex>: ее порядок равен порядку элемента <tex>a</tex>, но <tex>a^{\vert G\vert}=a^{\frac{\vert G\vert}{\vert H\vert}\vert H\vert}=(a^{\vert H\vert})^{\frac{\vert G\vert}{\vert H\vert}}=e</tex>. | ||
Строка 35: | Строка 40: | ||
[[Категория: Теория групп]] | [[Категория: Теория групп]] | ||
+ | |||
+ | [[Категория: В разработке]] |
Текущая версия на 19:05, 4 сентября 2022
Смежные классы
Левым смежным классом группы
по множеству назовем множество вида Аналогично определяется и правый смежный класс . Для определенности далее рассматриваем только левые смежные классы, все результаты непосредственно переносятся и на правые.Теорема: Левые смежные классы
по подгруппе либо не пересекаются, либо совпадают.Доказательство: Достаточно доказать, что если классы пересекаются, то они совпадают. Рассмотрим два класса
и с общим элементом . Докажем, что . Пусть принадлежит . Известно: . Тогда , поскольку . Значит, . Аналогично .Теорема Лагранжа
Теорема (Лагранж): |
В конечных группах порядок любой подгруппы делит порядок группы |
Доказательство: |
Пусть | - конечная группа, а - ее подгруппа. Любой элемент входит в некоторый смежный класс по ( входит в ). Мощность каждого класса равна , т.к. отображение биективно. Таким образом, вся G распадается на непересекающиеся смежные классы одинаковой мощности. Отсюда очевидно, что делится на .
Следствие:
. Достаточно рассмотреть циклическую подгруппу : ее порядок равен порядку элемента , но .Следствие:(теорема Ферма) Рассматривая в качестве
группу , получаем при :
Нормальные подгруппы
Подгруппа
группы называется нормальной подгруппой, если для любых выполнено . Т.е.:
Факторгруппа
Рассмотрим группу
и ее нормальную подгруппу . Пусть - множество смежных классов по . Определим в групповую операцию по следующему правилу: произведением двух классов является класс, в который входит произведение представителей этих классов. Проверим корректность этого определения. Пусть . Докажем, что . Достаточно показать, что .
Таким образом, фактормножество
образует подгруппу, которая называется факторгруппой по . Нейтральным элементом является , обратным к - .