Теорема Фейера — различия между версиями
м |
м (rollbackEdits.php mass rollback) |
||
(не показаны 2 промежуточные версии 2 участников) | |||
Строка 1: | Строка 1: | ||
[[Наилучшее приближение в линейных нормированных пространствах|<<]][[Лемма Римана-Лебега|>>]] | [[Наилучшее приближение в линейных нормированных пространствах|<<]][[Лемма Римана-Лебега|>>]] | ||
− | Пусть <tex>f \in L_1</tex>, <tex>\ | + | Пусть <tex>f \in L_1</tex>, <tex>\sigma_n (f, x) = \int\limits_Q f(x + t) \Phi_n(t)dt</tex> |
<tex>(\sigma_n(f, x) = \frac{1}{n+1} \sum\limits_{k = 0}^n S_k(f))</tex> | <tex>(\sigma_n(f, x) = \frac{1}{n+1} \sum\limits_{k = 0}^n S_k(f))</tex> |
Текущая версия на 19:21, 4 сентября 2022
Пусть
,
Поставим вопрос о сходимости сумм Фейера к
либо в индивидуальной точке, либо в пространстве (по норме этих пространств).Любая сумма Фейера — тригонометрический полином:
.Теорема Фейера в L_1
Теорема (Фейер): | ||||||||||
Пусть , , ,
. Тогда | ||||||||||
Доказательство: | ||||||||||
Используя результаты, полученные здесь, Надо доказать, что этот интеграл при стремится к .Воспользуемся положительностью : .Нужно доказать, что этот интеграл стремится к нулю. Разобьем его на два интеграла: , , и рассмотрим по отдельности.
| ||||||||||
Определение: |
Точку | принято называть регулярной, если в этой точке существуют односторонние пределы.
Например, любая точка непрерывности — регулярная.
Утверждение (следствие Фейера о двух пределах): |
Пусть точка — регулярная, тогда в ней |
Пусть .Так как , по определению предела .Для таких : ,и интересующий нас интеграл .Значит, условие теоремы Фейера для данного интеграла выполняется, и в регулярной точке, В частности, в точке непрерывности функции суммы Фейера всегда сходятся к значению функции в данной точке. . |
Заметим, что если в теореме Фейера (непрерывные -периодические функции), то теорема выполнена в каждой точке , и, самое важное, равномерно по , то есть,
В этом случае,
на .Это связано с тем, что условия Фейера выполнены равномерно по
(из теоремы Кантора: — непрерывно на — равномерно непрерывна на нём)Теорема Фейера в L_p
Установим теперь теорему Фейера в
.Утверждение: |
Так как , то .. (возьмем ) (здесь мы воспользовались неравенством Гельдера). Несложно заметить, что второй множитель равен . Подставим это неравенство под знак интеграла в предыдущем равенстве: теореме Фубини меняем порядок интегрирования) (поВозводя неравенство в степень . , получаем требуемое. |
Теорема (Фейер): |
. |
Доказательство: |
, Используем тот факт, что в теорема Фейера выполнена, то есть, для непрерывной функции суммы Фейера сходятся равномерно на :. Рассмотрим произвольную функцию .Ранее нами уже было доказано, что пространство всюду плотно в : . записи интеграла Фейера очевидно ) (по. По доказанному только что утверждению, .Значит, .
, ,
Так как в Значит, верна теорема Фейера, то , и теорема верна по определению предела. |
Теорема (Теорема Вейерштрасса в | ):
. |
Доказательство: |
Эту теорему принято также называть обобщенной теоремой Вейерштрасса. Любая сумма Фейера . Исходя из определения наилучшего приближения . Значит . |