Теорема Лузина-Данжуа — различия между версиями
м (rollbackEdits.php mass rollback) |
|||
(не показаны 2 промежуточные версии 2 участников) | |||
Строка 55: | Строка 55: | ||
<tex> \left( \sum\limits_{k=n}^{\infty}(a_k^2 + b_k^2) \right)^{\frac12} </tex> равно <tex> E_{n-1}(f)_2 </tex> | <tex> \left( \sum\limits_{k=n}^{\infty}(a_k^2 + b_k^2) \right)^{\frac12} </tex> равно <tex> E_{n-1}(f)_2 </tex> | ||
− | <tex> \sum\limits_{k=n}^{\infty} | + | <tex> \left( \sum\limits_{k=n}^{\infty} \frac1{k^2} \right)^{\frac12} \le \left( \sum\limits_{k=n}^{\infty} \frac1{k}\frac1{k-1} \right)^{\frac12} \le \left( \sum\limits_{k=n}^{\infty} \frac1{k-1} - \frac1k \right)^{\frac12} \le \frac{1}{\sqrt{n-1}} </tex> |
Таким образом, получили, что <tex>\sum\limits_{k=1}^{\infty} \sqrt{a_k^2 + b_k^2} \le \sqrt{a_1^2 + b_1^2} + \sum\limits_{n=2}^{\infty} \frac{cE_{n-1}(f)_{L_2}}{\sqrt{n-1}} < + \infty </tex>, таким образом, ряд из <tex> r_n </tex> сходится. | Таким образом, получили, что <tex>\sum\limits_{k=1}^{\infty} \sqrt{a_k^2 + b_k^2} \le \sqrt{a_1^2 + b_1^2} + \sum\limits_{n=2}^{\infty} \frac{cE_{n-1}(f)_{L_2}}{\sqrt{n-1}} < + \infty </tex>, таким образом, ряд из <tex> r_n </tex> сходится. |
Текущая версия на 19:25, 4 сентября 2022
Рассмотрим произвольный тригонометрический ряд:
Если
сходится, то тригонометрический ряд будет абсолютно сходящимся.Обратное в общем случае неверно, тригонометрический ряд может абсолютно сходиться в бесконечном числе точек, но при этом числовой будет расходиться.
Рассмотрим, например,
, тогда при , то есть, ряд абсолютно сходится. Однако, , и ряд из коэффициентов расходится.Однако, есть важная теорема:
, следовательно, ряды и равносходятся.
Теорема (Лузин, Данжуа): |
Пусть тригонометрический ряд абсолютно сходится на множестве положительной меры. Тогда ряд из сходится, следовательно, исходный тригонометрический ряд будет абсолютно сходящимся на всей числовой оси. |
Доказательство: |
— сходится для любого в по условию теоремы, где . Пусть . измерима и конечна на , так как .Тогда — ограничена на . , обозначим такой за .На теореме Б. Леви, ряд можно почленно интегрировать. — суммируема, по. Оба интеграла стремятся к нулю по лемме Римана-Лебега, следовательно, разность этих интегралов с некоторого номера больше , а значит, -е слагаемое ряда больше . Значит, из сходимости исходного ряда по признаку сравнения следует сходимость . |
Таким образом, отождествили сходимость рядов
и .Запишем условие абсолютной сходимости на языке наилучших приближений.
Теорема: |
Тогда ряд Фурье абсолютно сходится. |
Доказательство: |
. Для абсолютной сходимости достаточно доказать, что в условиях теоремы. (используем равно Таким образом, получили, что , таким образом, ряд из сходится. |