Об интеграле Фурье — различия между версиями
(→Интегральная формула Фурье: да) |
м (rollbackEdits.php mass rollback) |
(не показана 1 промежуточная версия 1 участника) | |
(нет различий)
|
Текущая версия на 19:27, 4 сентября 2022
Голова человеческая устроена линейно, поэтому, если оператор — нелинейный, то это — мрак полный. Живите линейно!
Ряд Фурье имеет дело с
-периодической суммируемой на функцией.Пусть
задана на всём и . Можно ли писать аналог ряда Фурье?С формальной точки зрения, аналог выписывается просто.
— существует для любого , не только натурального.
Определение: |
— синусное преобразование . | — косинусное преобразование .
Выпишем ряд , где . Если мы будем рассматривать все вещественные значения , а не только натуральные, то ряд перейдет в интеграл.
Предложение: рассмотрим интеграл
. Интеграл понимают не в смысле Лебега, а в смысле Римана — как предел частичных интегралов. Получившийся интеграл называют интегралом Фурье.Ему можно придать более удобную форму:
.
— интеграл Фурье.
Интегральная формула Фурье
Утверждение (интегральная формула Фурье): | |||||
Применим теорему Фубини: — частный случай интеграла Фурье. . Заменим:
Сделаем замену переменной: — аналог интеграла Дирихле для рядов Фурье. Проделаем то же самое, что и с рядами Фурье: сведём к полуоси:
— интеграл Дирихле.
— основное соотношение для исследования сходимости интеграла Фурье в индивидуальной точке. Это соотношение позволяет сформировать и доказать аналог теоремы Дини сходимости интеграла Фурье.
| |||||