Участник:Yulya3102/Матан3сем — различия между версиями
(→Обобщенная формула Ньютона--Лебница) |
(→Полиномиальная формула) |
||
(не показано 97 промежуточных версий 13 участников) | |||
Строка 1: | Строка 1: | ||
== Основные вопросы == | == Основные вопросы == | ||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
=== Признак Вейерштрасса === | === Признак Вейерштрасса === | ||
Строка 34: | Строка 23: | ||
из 1) и 2) <tex> \Rightarrow S(x) </tex> непрерывна в <tex> (\cdot) x_0 </tex> | из 1) и 2) <tex> \Rightarrow S(x) </tex> непрерывна в <tex> (\cdot) x_0 </tex> | ||
+ | |||
+ | Где вы вообще такое доказательство нашли? Тут фигня какая-та. Нормальное доказательство есть в Фихтенгольце. | ||
}} | }} | ||
Строка 66: | Строка 57: | ||
|proof= | |proof= | ||
Следует из т. о предельном переходе под знаком производной (прошлый семестр). | Следует из т. о предельном переходе под знаком производной (прошлый семестр). | ||
+ | * <tex> (\lim_{n \to +\infty} f_n) = \lim_{n \to +\infty}(f{'}_n); \ f_n \in C^1[a, b] </tex> | ||
+ | |||
+ | * <tex> f_n \to f </tex> — поточечно на <tex> [a, b]. \ f{'}_n \rightrightarrows \varphi </tex> при <tex> n \to +\infty, x \in [a, b] </tex> | ||
+ | |||
+ | * Тогда <tex> f </tex> — дифф. на <tex> [a, b] \ \forall x \in [a, b] : f{'}(x) = \varphi(x) </tex>. | ||
<tex> \begin{matrix} S_n \rightarrow S \\ S_{n}' \rightrightarrows \Phi \end{matrix} </tex> Тогда <tex> S' = \Phi </tex> | <tex> \begin{matrix} S_n \rightarrow S \\ S_{n}' \rightrightarrows \Phi \end{matrix} </tex> Тогда <tex> S' = \Phi </tex> | ||
Строка 86: | Строка 82: | ||
2) <tex> \sum a_n = \lim_{x \to x_0} (\sum_{n=1}^{+\infty} u_n(x) ) </tex> | 2) <tex> \sum a_n = \lim_{x \to x_0} (\sum_{n=1}^{+\infty} u_n(x) ) </tex> | ||
|proof= | |proof= | ||
− | 1) <tex> | + | 1) <tex> S_N = \sum_{n = 1}^{N} u_n(x); S_N^{(a)} = \sum_{n = 1}^{N} a_n ? S_N^{(a)} </tex> — имеет предел |
* Критерий Больцано-Коши <tex> \lim S_n^{(a)} = S^{(a)} </tex> | * Критерий Больцано-Коши <tex> \lim S_n^{(a)} = S^{(a)} </tex> | ||
Строка 109: | Строка 105: | ||
<tex> \sum \hat{u}_n(x) </tex> — р. сх. на <tex> \langle a, b \rangle </tex> | <tex> \sum \hat{u}_n(x) </tex> — р. сх. на <tex> \langle a, b \rangle </tex> | ||
− | Утв. 2 следует из т. 1. Стокса-Зайдля для рядов | + | Утв. 2 следует из [[Участник:Yulya3102/Матан3сем#Теорема Стокса--Зайдля для рядов|т. 1. Стокса-Зайдля для рядов]] |
<tex> M_n = \sup |\sum_{n = N + 1}^{+ \infty} \hat{u}_n(x)| \le \sup |\sum_{n = n + 1}^{+ \infty} u_n(x)| + |\sum_{n = N + 1}^{+ \infty} a_n| \xrightarrow[N \rightarrow +\infty]{} 0 </tex> | <tex> M_n = \sup |\sum_{n = N + 1}^{+ \infty} \hat{u}_n(x)| \le \sup |\sum_{n = n + 1}^{+ \infty} u_n(x)| + |\sum_{n = N + 1}^{+ \infty} a_n| \xrightarrow[N \rightarrow +\infty]{} 0 </tex> | ||
Строка 164: | Строка 160: | ||
Пусть есть ряд <tex> \sum a_n(x) b_n(x) </tex>, <tex> x \in X </tex> | Пусть есть ряд <tex> \sum a_n(x) b_n(x) </tex>, <tex> x \in X </tex> | ||
− | 1) частичные суммы ряда равномерно ограничены, т.е. <tex> \exists c_a \ \forall x | \sum_{k = 1}^{n} a_k(x) | \leqslant c_a </tex> | + | 1) частичные суммы ряда <tex>a_n(x)</tex> равномерно ограничены, т.е. <tex> \exists c_a \ \forall x | \sum_{k = 1}^{n} a_k(x) | \leqslant c_a </tex> |
2) <tex> b_n(x) </tex> монотонна по <tex> n </tex> и равномерно сходится к <tex> 0 </tex> | 2) <tex> b_n(x) </tex> монотонна по <tex> n </tex> и равномерно сходится к <tex> 0 </tex> | ||
Тогда <tex> \sum a_n(x) b_n(x) </tex> равномерно сходится на <tex> X </tex>. | Тогда <tex> \sum a_n(x) b_n(x) </tex> равномерно сходится на <tex> X </tex>. | ||
+ | |||
+ | |proof= | ||
+ | Применяя преобразование Абеля | ||
+ | |||
+ | <tex>\sum_{k=n+1}^{n+p}b_k(x)a_k(x) = b_{n+p}(x)\sum_{k = 1}^{n + p}a_k(x)-\sum_{k=n+1}^{n+p-1}(b_{k+1}(x)-b_k(x))\sum_{j=1}^{k}a_j(x)</tex> | ||
+ | |||
+ | В силу равномерной ограниченности частичных сумм ряда <tex>\sum a_k(x)</tex> при некотором <tex>M</tex> | ||
+ | |||
+ | <tex>|\sum_{k = 1}^{n}a_k(x)| \le M \ \forall n \in N, \forall x \in X</tex> | ||
+ | |||
+ | Тогда, используя монотонность <tex>b_k(x)</tex> (по <tex>k</tex>), имеем | ||
+ | |||
+ | <tex>|\sum_{k=n+1}^{n+p}b_k(x)a_k(x)| \le M|b_{n+p}(x)|+M \sum_{k = n + 1}^{n+p-1}|b_{k+1}(x)-b_k(x)|= 2M|b_{n+p}(x)|+M|b_{n+1}(x)|</tex> | ||
+ | |||
+ | Из этого неравенства в силу <tex>b_k \rightrightarrows 0</tex> получаем, что | ||
+ | |||
+ | <tex>\forall \varepsilon > 0 \ \exists n(\varepsilon ) : | ||
+ | |\sum_{k=n+1}^{n+p}b_k(x)a_k(x)| < \varepsilon \ \forall n \ge n(\varepsilon), \forall p \in N, \forall x \in X</tex> | ||
+ | |||
+ | Применяя критерий Коши, получаем, что ряд сходится равномерно на <tex>X</tex>. | ||
}} | }} | ||
Строка 178: | Строка 194: | ||
<tex>a_n, b_n = x^n; \ X = [0, 1]</tex> | <tex>a_n, b_n = x^n; \ X = [0, 1]</tex> | ||
− | <tex> \sum a_n b_n </tex> — по | + | <tex> \sum a_n b_n </tex> — [[Участник:Yulya3102/Матан3сем#Признак Абеля равномерной сходимости|по признаку Абеля]] равномерно сх-ся <tex>[0, 1]</tex> |
<tex>lim \ a_n x^n \xrightarrow[x \rightarrow 1 - 0]{} a_n </tex> | <tex>lim \ a_n x^n \xrightarrow[x \rightarrow 1 - 0]{} a_n </tex> | ||
Строка 206: | Строка 222: | ||
<tex> \sum |a_k| \cdot |z - z_0|^k </tex> | <tex> \sum |a_k| \cdot |z - z_0|^k </tex> | ||
− | Признак Коши: | + | * Признак Коши: <tex> \overline{lim}_{n \to + \infty} \sqrt[n]{|a_n| \cdot |z - z_0|^n} = \overline{lim}_{n \to + \infty} \sqrt[n]{|a_n|} \cdot |z - z_0| = |z - z_0| \cdot\overline{lim}_{n \to + \infty} \sqrt[n]{|a_n|} </tex> |
− | <tex> \overline{lim}_{n \to + \infty} \sqrt[n]{|a_n| \cdot |z - z_0|^n} = \overline{lim}_{n \to + \infty} \sqrt[n]{|a_n|} \cdot |z - z_0| = |z - z_0| \cdot\overline{lim}_{n \to + \infty} \sqrt[n]{|a_n|} </tex> | ||
1) <tex> \overline{lim} = 0 </tex> при всех <tex> z </tex> ряд <tex> (A) </tex> сходится абсолютно | 1) <tex> \overline{lim} = 0 </tex> при всех <tex> z </tex> ряд <tex> (A) </tex> сходится абсолютно | ||
Строка 231: | Строка 246: | ||
2) В круге <tex> B(z_0, R) </tex> сумма ряда <tex> (A) </tex> — непрерывна. | 2) В круге <tex> B(z_0, R) </tex> сумма ряда <tex> (A) </tex> — непрерывна. | ||
|proof= | |proof= | ||
− | (1) Признак Вейерштрасса | + | (1) [[Участник:Yulya3102/Матан3сем#Признак Вейерштрасса|Признак Вейерштрасса]] |
<tex> z \in \overline{B(z_0, r)} </tex> | <tex> z \in \overline{B(z_0, r)} </tex> | ||
Строка 272: | Строка 287: | ||
[Тогда <tex>f</tex> — дифф. при <tex> |z - z_0| < r </tex> и <tex> f'(z) = \sum n a_n (z - z_0)^{n - 1} </tex> ] | [Тогда <tex>f</tex> — дифф. при <tex> |z - z_0| < r </tex> и <tex> f'(z) = \sum n a_n (z - z_0)^{n - 1} </tex> ] | ||
|proof= | |proof= | ||
− | <tex>R = \frac{1}{\overline{lim}\sqrt[n]{|a_n|}}; R_A = \frac{1}{\overline{lim}\sqrt[n]{(n + 1)|a_{n + 1}|}} = R</tex> | + | <tex>R = \frac{1}{\overline{\lim}\sqrt[n]{|a_n|}}; R_A = \frac{1}{\overline{\lim}\sqrt[n]{(n + 1)|a_{n + 1}|}} = R</tex> |
<tex> \frac{f(z + h) - f(z)}{h} = \sum \frac{a_n (z + h - z_0)^n - a_n (z - z0)^n }{h} = \sum a_n \frac{(z + h - z_0) - (z - z_0)^n}{h} </tex> | <tex> \frac{f(z + h) - f(z)}{h} = \sum \frac{a_n (z + h - z_0)^n - a_n (z - z0)^n }{h} = \sum a_n \frac{(z + h - z_0) - (z - z_0)^n}{h} </tex> | ||
Строка 282: | Строка 297: | ||
<tex> |a_n \frac{(z + h - z_0)^n - (z - z_0)^n}{h}| \le \frac{|a_n|}{|h|} n r^{n - 1} |h| = |a_n| n r^{n - 1} </tex> | <tex> |a_n \frac{(z + h - z_0)^n - (z - z_0)^n}{h}| \le \frac{|a_n|}{|h|} n r^{n - 1} |h| = |a_n| n r^{n - 1} </tex> | ||
− | <tex> \sum h|a_n|r^{n - 1} </tex> — сх. <tex>\Rightarrow</tex> по | + | <tex> \sum h|a_n|r^{n - 1} </tex> — сх. <tex>\Rightarrow</tex> по [[Участник:Yulya3102/Матан3сем#Признак Вейерштрасса|признаку Вейерштрасса]] р. сх. при <tex> |h| < r - |z - z_0| </tex> |
− | <tex> f(z) = lim_{h \rightarrow 0} \frac{f(z + h) - f(z)}{h} = \sum lim a_n \frac{(z + h - z_0)^n - (z - z_0)^n}{h} = \sum n(z - z_0)^{n - 1} a_n </tex> | + | <tex> f(z) = \lim_{h \rightarrow 0} \frac{f(z + h) - f(z)}{h} = \sum \lim a_n \frac{(z + h - z_0)^n - (z - z_0)^n}{h} = \sum n(z - z_0)^{n - 1} a_n </tex> |
}} | }} | ||
Строка 338: | Строка 353: | ||
<tex> |x| < 1 \begin{cases} (1 + x)^\alpha = 1 + \alpha x + \frac{\alpha (\alpha - 1)}{2} x^2 + \ldots \\ \frac{1}{1-x} = 1 + x + x^2 + \ldots \\ \ln(1 + x) = x - \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} - \ldots \end{cases}</tex> | <tex> |x| < 1 \begin{cases} (1 + x)^\alpha = 1 + \alpha x + \frac{\alpha (\alpha - 1)}{2} x^2 + \ldots \\ \frac{1}{1-x} = 1 + x + x^2 + \ldots \\ \ln(1 + x) = x - \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} - \ldots \end{cases}</tex> | ||
− | <tex> \sum a_k \to </tex> Абель <tex> \to \sum a_k \cdot x^k = f(x); \lim_{x \to 1- 0}f(x) = S </tex> | + | <tex> \sum a_k \to </tex> [[Участник:Yulya3102/Матан3сем#Признак Абеля равномерной сходимости|Абель]] <tex> \to \sum a_k \cdot x^k = f(x); \lim_{x \to 1- 0}f(x) = S </tex> |
=== Единственность производной === | === Единственность производной === | ||
Строка 378: | Строка 393: | ||
Замечание: Для <tex> F : E \rightarrow \mathbb{R}^l </tex> — дифференцируемо в точке <tex> a </tex>; <tex>F'(a) = ({\partial f_i\over\partial x_j})_{i = 1 \ldots l; j = 1 \ldots m} </tex> | Замечание: Для <tex> F : E \rightarrow \mathbb{R}^l </tex> — дифференцируемо в точке <tex> a </tex>; <tex>F'(a) = ({\partial f_i\over\partial x_j})_{i = 1 \ldots l; j = 1 \ldots m} </tex> | ||
|proof= | |proof= | ||
− | <tex>f(a + h) = f(a) | + | <tex>f(a + h) = f(a) + f'(a) \cdot h + o(h)</tex> |
<tex> h := (0, \ldots, 0, t, 0, \ldots, 0) </tex> | <tex> h := (0, \ldots, 0, t, 0, \ldots, 0) </tex> | ||
− | <tex> f(a_1, \ldots, a_k + t, \ldots, a_m) = f(a_1 \ldots a_m) + (f'(a))_k \cdot t + o(t) </tex> — это св-во дифф-ти <tex> \varphi_k </tex> в <tex> \cdot (a) </tex> из опр. частн. производных | + | <tex> f(a_1, \ldots, a_k + t, \ldots, a_m) = f(a_1 \ldots a_m) + (f'(a))_k \cdot t + o(t) </tex> — это св-во дифф-ти <tex> \varphi_k </tex> в <tex> \cdot (a) </tex> из [[Участник:Yulya3102/Матан3сем#Частные производные|опр. частн. производных]]. |
<tex> {o(h)\over ||L||} \rightarrow 0 </tex> | <tex> {o(h)\over ||L||} \rightarrow 0 </tex> | ||
Строка 408: | Строка 423: | ||
{{Лемма | {{Лемма | ||
|statement= | |statement= | ||
− | Пусть <tex> A: \mathbb{R}^m \to \mathbb{R}^l </tex> — линейный оператор. Тогда <tex> | + | Пусть <tex> A: \mathbb{R}^m \to \mathbb{R}^l </tex> — линейный оператор. Тогда <tex> ||Ax|| \le C_A||x|| </tex>, где <tex> C_A = \sqrt{\sum_{i, j} a_{i, j}^2} </tex> (<tex> a_{i, j} </tex> — элементы его матрицы) |
|proof= | |proof= | ||
<tex> ||x|| = 0 </tex>, т.е. если <tex> x = 0 </tex>, то тривиально | <tex> ||x|| = 0 </tex>, т.е. если <tex> x = 0 </tex>, то тривиально | ||
Строка 428: | Строка 443: | ||
<tex> F : E \subset \mathbb{R}^m \to \mathbb{R}^l; \ a \in IntE, F(E) \subset I </tex> | <tex> F : E \subset \mathbb{R}^m \to \mathbb{R}^l; \ a \in IntE, F(E) \subset I </tex> | ||
− | <tex> G : I \subset \mathbb{R}^l \to \mathbb{R}^n; \ b = | + | <tex> G : I \subset \mathbb{R}^l \to \mathbb{R}^n; \ b = F(a) \in IntI </tex> |
<tex> F </tex> — дифф. в <tex> (\cdot) a, G </tex> — дифф. в <tex> (\cdot) b </tex>; | <tex> F </tex> — дифф. в <tex> (\cdot) a, G </tex> — дифф. в <tex> (\cdot) b </tex>; | ||
Строка 465: | Строка 480: | ||
Пусть <tex> F, G: \ E \subset \mathbb{R}^m \to \mathbb{R}^l </tex>, <tex> \lambda: E \to \mathbb{R} </tex>, <tex> a \in \operatorname{Int} E </tex>; <tex> F, G, \lambda </tex> — дифференцируемые в <tex> a </tex>. тогда: | Пусть <tex> F, G: \ E \subset \mathbb{R}^m \to \mathbb{R}^l </tex>, <tex> \lambda: E \to \mathbb{R} </tex>, <tex> a \in \operatorname{Int} E </tex>; <tex> F, G, \lambda </tex> — дифференцируемые в <tex> a </tex>. тогда: | ||
− | 1) <tex> (\lambda F)' (a) h = ( \lambda'(a) | + | 1) <tex> (\lambda F)' (a) h = ( \lambda'(a) h ) F(a) + \lambda(a) (F'(a) h) </tex> |
2) <tex> \left \langle F, G \right \rangle ' (a) h = \left \langle F'(a) h, G(a) \right \rangle + \left \langle F(a), G'(a) h \right \rangle </tex> | 2) <tex> \left \langle F, G \right \rangle ' (a) h = \left \langle F'(a) h, G(a) \right \rangle + \left \langle F(a), G'(a) h \right \rangle </tex> | ||
Строка 475: | Строка 490: | ||
<tex> (\lambda f_i)'(a)h = (\lambda'(a)(h))f_i(a) + \lambda(a)(f'_i(a)h) </tex> — <tex>i</tex>-ая коорд. док. ф-лы; <tex> ]f_i \leftrightarrow f </tex> | <tex> (\lambda f_i)'(a)h = (\lambda'(a)(h))f_i(a) + \lambda(a)(f'_i(a)h) </tex> — <tex>i</tex>-ая коорд. док. ф-лы; <tex> ]f_i \leftrightarrow f </tex> | ||
− | <tex> \lambda(a + h)f(a + h) - \lambda(a)f(a) = (\lambda(a + h) - \lambda(a))f(a + h) + \lambda(a)f(a + | + | <tex> \lambda(a + h)f(a + h) - \lambda(a)f(a) = (\lambda(a + h) - \lambda(a))f(a + h) + \lambda(a)(f(a + h) - f(a)) = |
(\lambda'(a)h + o(h))f(a + h) + \lambda(a)(f'(a)h + o(h)) = </tex> | (\lambda'(a)h + o(h))f(a + h) + \lambda(a)(f'(a)h + o(h)) = </tex> | ||
Строка 580: | Строка 595: | ||
{{Лемма | {{Лемма | ||
|statement= | |statement= | ||
− | Если <tex> r \in \mathbb{Z}_+ </tex>, <tex> | + | Если <tex> r \in \mathbb{Z}_+ </tex>, <tex> k </tex> — мультииндекс, <tex> a </tex> - вектор, то <tex> (a_1 + ... + a_m)^r = \sum_{k: (k) = r} \frac{r!}{k!} a^{k} </tex> |
|proof= | |proof= | ||
Индукция по <tex>r</tex> | Индукция по <tex>r</tex> | ||
Строка 586: | Строка 601: | ||
<tex> r = 1 </tex> | <tex> r = 1 </tex> | ||
− | <tex> | + | <tex> k = (0, 0, \ldots, \overbrace{1}^{k}, 0, \ldots); a_k \cdot \frac{1!}{0!0! \ldots 1!0! ...} = 1 </tex> |
<tex> r = r + 1 </tex> | <tex> r = r + 1 </tex> | ||
− | <tex> (a_1 + ... + a_m)^{r + 1} = (a_1 + ... + a_m) \cdot \sum \frac{r!}{ | + | <tex> (a_1 + ... + a_m)^{r + 1} = (a_1 + ... + a_m) \cdot \sum \frac{r!}{k_1! ... k_m!} \cdot a_1^{k_{1}} ... a_m^{k_{m}} = </tex> |
− | <tex> = \sum \frac{r!}{ | + | <tex> = \sum \frac{r!}{k_1! ... k_m!} \cdot a_1^{k_{1}+1} ... a_m^{k_{m}} + \sum \frac{r!}{k_1! ... k_m!} \cdot a_1^{k_{1}} a_2^{k_2 + 1} ... a_m^{k_{m}} + </tex><tex> \sum \frac{r!}{k_1! ... k_m!} \cdot a_1^{k_{1}} ... a_{m-1}^{k_{m - 1}} a_m^{k_{m} + 1} = </tex> |
− | <tex> = \sum_{\beta : |\beta| = r + 1; \beta_1 \ge 1} \frac{r! \beta_1}{\beta_1!\beta_2!...\beta_m!} \cdot a_1^{\beta_1}...a_m^{\beta_m} + \sum_{\beta : |\beta| = r + 1; \beta_2 \ge 1} \frac{r! \beta_2}{\beta_1!\beta_2!...\beta_m!} \cdot a_1^{\beta_1}...a_m^{\beta_m} + </tex> <ещё <tex> m - | + | <tex> = \sum_{\beta : |\beta| = r + 1; \beta_1 \ge 1} \frac{r! \beta_1}{\beta_1!\beta_2!...\beta_m!} \cdot a_1^{\beta_1}...a_m^{\beta_m} + \sum_{\beta : |\beta| = r + 1; \beta_2 \ge 1} \frac{r! \beta_2}{\beta_1!\beta_2!...\beta_m!} \cdot a_1^{\beta_1}...a_m^{\beta_m} + </tex> <ещё <tex> m - k </tex> суммы> = <tex> \sum_{|b| = r + 1} \frac{r! (b_1 + ... + b_m)}{b_1! ... b_m!} \cdot a_1^{\beta_1}...a_m^{\beta_m} </tex>; |
<tex> \beta_1 \ge 1 .. </tex> — это ограничение можно убрать, т.к. все слагаемые с <tex> \beta_1 = 0 </tex> имеют нулевой индекс | <tex> \beta_1 \ge 1 .. </tex> — это ограничение можно убрать, т.к. все слагаемые с <tex> \beta_1 = 0 </tex> имеют нулевой индекс | ||
− | <tex> ( | + | <tex> (k_1 + 1, k_2 ... k_m) \to (\beta_1 ... \beta_m) </tex> |
}} | }} | ||
* Замечание 1 | * Замечание 1 | ||
− | <tex> \sum_{( | + | <tex> \sum_{(k_1...k_m); k_i \ge 0; k_1 + ... + k_m = r} \frac{r!}{k_1! ... k_m!} \cdot a_1^{k_{1}} ... a_m^{k_{m}} = </tex><tex> \sum_{i_1 = 1}^m \sum_{i_2 = 1}^m ... \sum_{i_r = 1}^m a_{i_1} a_{i_2} ... a_{i_r} </tex> |
* Замечание 2 | * Замечание 2 | ||
− | <tex> m = 2; | + | <tex> m = 2; k_1, k_2 = r - k_1 </tex> |
− | <tex> \sum_{ | + | <tex> \sum_{k_1 = 0}^{r} \frac{r!}{k_1!(r - k_1)!} \cdot a_1^{k_1} a_2^{r - k_1} = (a_1 + a_2)^r </tex> |
=== Лемма о дифференцировании «сдвига» === | === Лемма о дифференцировании «сдвига» === | ||
Строка 615: | Строка 630: | ||
Пусть <tex> f: E \subset \mathbb{R}^m \to \mathbb{R} </tex>, <tex> E </tex> открыто в <tex> \mathbb{R}^m </tex>, <tex> \ a \in E, \ h \in \mathbb{R}^m </tex>, так, что <tex> \forall t \in [-1; 1] \ a + th \in E </tex>. Также <tex> f \in C^r(E) </tex>. Пусть <tex> \varphi (t) = f(a + th) </tex>. Тогда <tex> \forall t_0 \in (-1; 1) </tex> верно <tex> \varphi^{r} (t_0) = \sum_{\alpha: (\alpha) = r} \frac{r!}{\alpha!} f^{(\alpha)} (a + t_0 h) h^{\alpha} </tex>. | Пусть <tex> f: E \subset \mathbb{R}^m \to \mathbb{R} </tex>, <tex> E </tex> открыто в <tex> \mathbb{R}^m </tex>, <tex> \ a \in E, \ h \in \mathbb{R}^m </tex>, так, что <tex> \forall t \in [-1; 1] \ a + th \in E </tex>. Также <tex> f \in C^r(E) </tex>. Пусть <tex> \varphi (t) = f(a + th) </tex>. Тогда <tex> \forall t_0 \in (-1; 1) </tex> верно <tex> \varphi^{r} (t_0) = \sum_{\alpha: (\alpha) = r} \frac{r!}{\alpha!} f^{(\alpha)} (a + t_0 h) h^{\alpha} </tex>. | ||
|proof= | |proof= | ||
− | Доказательства нет | + | Доказательства нет, есть пример, из которого можно придумать доказательство по индукции, наверное. |
}} | }} | ||
Строка 623: | Строка 638: | ||
|statement= | |statement= | ||
Пусть <tex> r \in \mathbb{R}_+ </tex>, <tex> D </tex> открыто в <tex> \mathbb{R}^n </tex>, <tex> f \in C^{(r + 1)} (D), \ a, x \in \mathbb{R}^n, \ \overline{a, x} \subset D </tex>. Тогда существует такое <tex> \theta \in (0, 1) </tex>, что <tex dpi="150"> f(x) = \sum_{(k) \leqslant r} \frac{f^{(k)} (a) }{k!} (x - a)^k + \sum_{(k) = r + 1} \frac{f^{(k)} (a + \theta(x - a))}{k!} (x - a)^k </tex>. | Пусть <tex> r \in \mathbb{R}_+ </tex>, <tex> D </tex> открыто в <tex> \mathbb{R}^n </tex>, <tex> f \in C^{(r + 1)} (D), \ a, x \in \mathbb{R}^n, \ \overline{a, x} \subset D </tex>. Тогда существует такое <tex> \theta \in (0, 1) </tex>, что <tex dpi="150"> f(x) = \sum_{(k) \leqslant r} \frac{f^{(k)} (a) }{k!} (x - a)^k + \sum_{(k) = r + 1} \frac{f^{(k)} (a + \theta(x - a))}{k!} (x - a)^k </tex>. | ||
+ | |proof= | ||
+ | |||
+ | <tex>\phi(t)=f(a+th), t\in{[-1;1]}</tex> | ||
+ | |||
+ | <tex>f(a+h) = \phi(1)</tex> | ||
+ | |||
+ | Разложили <tex>\phi(1)</tex> по одномерной формуле Тейлора в точке 0, используя лемму о дифференцировании сдвига, — получили то, что нужно. | ||
+ | |||
}} | }} | ||
Строка 630: | Строка 653: | ||
{{Теорема | {{Теорема | ||
|statement= | |statement= | ||
− | Пусть <tex> r \in \mathbb{N} </tex>, <tex> D </tex> открыто в <tex> \mathbb{R}^n </tex>, <tex> f \in C^{(r)} (D), \ x \in D </tex>. Тогда <tex dpi="150"> f(x + h) = \sum_{(k) \leqslant r} \frac{f^{(k)} (x)}{k!} h^k + o(|h|^r), \ h \to \mathbb{O}_n </tex>. | + | Пусть <tex> r \in \mathbb{N} </tex>, <tex> D </tex> открыто в <tex> \mathbb{R}^n </tex>, <tex> f \in C^{(r + 1)} (D), \ x \in D </tex>. Тогда <tex dpi="150"> f(x + h) = \sum_{(k) \leqslant r} \frac{f^{(k)} (x)}{k!} h^k + o(|h|^r), \ h \to \mathbb{O}_n </tex>. |
}} | }} | ||
Строка 650: | Строка 673: | ||
1. очевидно <tex>||A|| = 0; sup_{|x| \le 1}|Ax| = 0 \Rightarrow Ax \equiv 0 \Rightarrow A = \mathbb{O} </tex> // для <tex> x \in B(0, 1) </tex> | 1. очевидно <tex>||A|| = 0; sup_{|x| \le 1}|Ax| = 0 \Rightarrow Ax \equiv 0 \Rightarrow A = \mathbb{O} </tex> // для <tex> x \in B(0, 1) </tex> | ||
− | 2. очевидно, св-ва <tex> sup </tex> | + | 2. очевидно, св-ва <tex> sup </tex>. Википедия[http://ru.wikipedia.org/wiki/%D2%EE%F7%ED%E0%FF_%E2%E5%F0%F5%ED%FF%FF_%E8_%ED%E8%E6%ED%FF%FF_%E3%F0%E0%ED%E8%F6%FB_%EC%ED%EE%E6%E5%F1%F2%E2] |
3. <tex> \forall x : |(A + B)x| = |Ax + Bx| \le |Ax| + |Bx| \le ||A||\cdot|x| + ||B||\cdot|x| </tex><tex> = (||A|| + ||B||)|x| \Rightarrow ||A + B|| \le C </tex> \\ <tex> ||A|| + ||B|| = C </tex> | 3. <tex> \forall x : |(A + B)x| = |Ax + Bx| \le |Ax| + |Bx| \le ||A||\cdot|x| + ||B||\cdot|x| </tex><tex> = (||A|| + ||B||)|x| \Rightarrow ||A + B|| \le C </tex> \\ <tex> ||A|| + ||B|| = C </tex> | ||
Строка 670: | Строка 693: | ||
<tex> g(t) = F(a + t(b - a)), t \in [0, 1] \\ g'(t) = F'(a + t(b - a))\cdot(b - a) </tex> // <tex> |g(b) - g(a)| \le |g'(c)|\cdot|b - a| </tex> | <tex> g(t) = F(a + t(b - a)), t \in [0, 1] \\ g'(t) = F'(a + t(b - a))\cdot(b - a) </tex> // <tex> |g(b) - g(a)| \le |g'(c)|\cdot|b - a| </tex> | ||
− | <tex> |F(b) - F(a)| = |g(1) - g(0)| \le |F'(c)(b - a)| \le ||F'(c)||\cdot|b - a| | + | <tex> ||F(b) - F(a)|| = |g(1) - g(0)| \le |F'(c)(b - a)| \le ||F'(c)||\cdot|b - a| </tex> |
− | |||
− | |||
}} | }} | ||
Строка 686: | Строка 707: | ||
3) <tex> ||B^{-1} - A^{-1}|| \leqslant \frac{||A^{-1}||}{||A^{-1}||^{-1} - ||B - A||} ||B - A|| </tex>. | 3) <tex> ||B^{-1} - A^{-1}|| \leqslant \frac{||A^{-1}||}{||A^{-1}||^{-1} - ||B - A||} ||B - A|| </tex>. | ||
|proof= | |proof= | ||
− | + | ||
+ | Лемма: пусть <tex>\exists{c > 0} : \forall{x} |Bx| \ge c|x|</tex> | ||
+ | |||
+ | Тогда <tex>B</tex> — обратим, <tex>||B^{-1}|| \le \frac{1}{c}</tex> | ||
+ | |||
+ | Это правда, потому что <tex>\operatorname{Ker}{B} = \{0\}</tex>, значит, <tex>B</tex> — биекция(пусть <tex>B(x_1)=B(x_2): B(x_1)-B(x_2)=0 \Leftrightarrow B(x_1 - x_2) = 0 \Rightarrow x_1 = x_2</tex>) | ||
+ | |||
+ | Неравенство получается из <tex>|Bx| \ge c|x|</tex> заменой <tex>Bx=y, x = B^{-1}y</tex> | ||
+ | |||
+ | Само доказательство: | ||
+ | |||
+ | <tex>|Bx| = |Ax + (B-A)x| \ge |Ax| - |(B-A)x| \ge \frac{1}{||A^{-1}||}|x| - ||B-A|| \cdot |x| = (\frac{1}{||A^{-1}||} - ||B-A||) \cdot |x|</tex> | ||
+ | |||
+ | По условию теоремы множитель в последней части больше нуля, поэтому по лемме <tex>B</tex> обратим, по этой же лемме выполнено 2). | ||
+ | |||
+ | |||
+ | <tex>||B^{-1} - A^{-1}|| = ||B^{-1}\cdot (A-B) \cdot A^{-1}|| \le ||B^{-1}||\cdot ||A-B|| \cdot ||A^{-1}|| \le \frac{||A^{-1}||}{||A^{-1}||^{-1} - ||B - A||} ||B - A||</tex> | ||
}} | }} | ||
Строка 710: | Строка 747: | ||
<tex> ||F'(x) - F'(\overline{x})|| \le \sqrt{\sum(\frac{\partial f_i}{\partial x_j}(x) - \frac{\partial f_i}{\partial x_j}(\overline{x}))^2} </tex> | <tex> ||F'(x) - F'(\overline{x})|| \le \sqrt{\sum(\frac{\partial f_i}{\partial x_j}(x) - \frac{\partial f_i}{\partial x_j}(\overline{x}))^2} </tex> | ||
− | <tex> \forall \epsilon > 0 </tex> выберем <tex> \delta : |\frac{\partial f_i}{\partial x_j}(x) - \frac{\partial f_i}{\partial x_j}(\overline{x})| < \frac{\epsilon}{\sqrt{ | + | <tex> \forall \epsilon > 0 </tex> выберем <tex> \delta : |\frac{\partial f_i}{\partial x_j}(x) - \frac{\partial f_i}{\partial x_j}(\overline{x})| < \frac{\epsilon}{\sqrt{mn}}</tex>; при <tex> |x - \overline{x}| < \delta; i = 1 \ldots n; j = 1 \ldots m </tex> |
<tex> II \Rightarrow I </tex> | <tex> II \Rightarrow I </tex> | ||
− | <tex> F' </tex> — непрерывна. <tex> e_1 \ldots e_m </tex> | + | <tex> F' </tex> — непрерывна. <tex> e_1 \ldots e_m </tex> — нормированный базис <tex>\mathbb{R}^m</tex> |
− | <tex> F'(x)e_i = | + | <tex> F'(x)e_i = \begin{pmatrix} \frac{\partial f_i}{\partial x_1}(x) \\ \ldots \\ \frac{\partial f_i}{\partial x_n}(x) \end{pmatrix}; </tex> |
+ | |||
+ | <tex> \begin{matrix} |F'(x)e_i| \le ||F'(x)|| \cdot 1 \\ |\frac{\partial f_i}{\partial x_j}(x)| \le |F'(x)e_i| \le ||F'(x)|| \end{matrix} </tex> | ||
Точно также: <tex> |\frac{\partial f_i}{\partial x_j}(x) - \frac{\partial f_i}{\partial x_j}(\overline{x})| \le ||F'(x) - F'(\overline{x})|| </tex> | Точно также: <tex> |\frac{\partial f_i}{\partial x_j}(x) - \frac{\partial f_i}{\partial x_j}(\overline{x})| \le ||F'(x) - F'(\overline{x})|| </tex> | ||
Строка 722: | Строка 761: | ||
=== Необходимое условие экстремума. Теорема Ролля === | === Необходимое условие экстремума. Теорема Ролля === | ||
+ | '''Необходимое условие экстремума:''' | ||
{{Теорема | {{Теорема | ||
|statement= | |statement= | ||
Строка 727: | Строка 767: | ||
Тогда <tex> \nabla_a f = 0 </tex> (т.е. <tex> f'_{x_1}(a) = 0, \ldots, f'_{x_m}(a) = 0 </tex>) | Тогда <tex> \nabla_a f = 0 </tex> (т.е. <tex> f'_{x_1}(a) = 0, \ldots, f'_{x_m}(a) = 0 </tex>) | ||
+ | |||
+ | |proof= | ||
+ | Меняем <tex>f(a+l)</tex> на <tex>g(t)=f(a+tl)</tex>, по теореме Ферма из первого семестра <tex>g'(0)=0</tex>. Из этого следует, что все частные производные в точке a равны нулю, что нам и было нужно. | ||
}} | }} | ||
− | Теорема Ролля: | + | '''Теорема Ролля:''' |
{{Теорема | {{Теорема | ||
|statement= | |statement= | ||
Строка 735: | Строка 778: | ||
Тогда существует <tex> a \in \operatorname{Int} K: \ \nabla f(a) = 0 </tex>. | Тогда существует <tex> a \in \operatorname{Int} K: \ \nabla f(a) = 0 </tex>. | ||
|proof= | |proof= | ||
− | + | Если <tex>f</tex> постоянна на <tex>K</tex>, то утверждение очевидно. | |
+ | Если нет, то по [[Участник:Katyatitkova/Матан#Теорема Вейерштрасса о непрерывном образе компакта. Следствия|теореме Вейерштрасса]] <tex>f</tex> на компакте достигает наибольшего или наименьшего значения в какой-то точке, а по необходимому условию экстремума в этой точке градиент равен нулю. | ||
}} | }} | ||
Строка 746: | Строка 790: | ||
1) <tex> \gamma_h = min_{|x| = 1}h(x) </tex> | 1) <tex> \gamma_h = min_{|x| = 1}h(x) </tex> | ||
− | (Сфера <tex> \{ x : |x| = 1 \} </tex> — компакт по | + | (Сфера <tex> \{ x : |x| = 1 \} </tex> — компакт по [[Участник:Katyatitkova/Матан#Теорема Вейерштрасса о непрерывном образе компакта. Следствия|теореме Вейерштрасса]] <tex> \exists min </tex>) |
<tex> x = 0 : \text{ok} </tex> | <tex> x = 0 : \text{ok} </tex> | ||
Строка 759: | Строка 803: | ||
<tex> x \ne 0 : p(x) = p(|x| \cdot \frac{x}{|x|}) = |x| \cdot p(\frac{x}{|x|}) \begin{matrix} \le c_2|x| \\ \ge c_1|x| \end{matrix} </tex> | <tex> x \ne 0 : p(x) = p(|x| \cdot \frac{x}{|x|}) = |x| \cdot p(\frac{x}{|x|}) \begin{matrix} \le c_2|x| \\ \ge c_1|x| \end{matrix} </tex> | ||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
}} | }} | ||
Строка 802: | Строка 838: | ||
<tex> = t^2 Q(h) + t^2 \sum(f''_{x_i x_j}(a + \theta th) - f''_{x_i x_j}(a))h_i h_j </tex> | <tex> = t^2 Q(h) + t^2 \sum(f''_{x_i x_j}(a + \theta th) - f''_{x_i x_j}(a))h_i h_j </tex> | ||
− | <tex>Q(h) > 0; t^2 \sum(f''_{x_i x_j}(a + \theta th) - f''_{x_i x_j}(a))h_i h_j </tex> — при <tex> t \to 0 </tex> эта сумма из ? б.м по модулю <tex> \le Q(h) </tex> при малых <tex> t </tex> | + | <tex>Q(h) > 0; t^2 \sum(f''_{x_i x_j}(a + \theta th) - f''_{x_i x_j}(a))h_i h_j </tex> — при <tex> t \to 0 </tex> эта сумма из '?' б.м по модулю <tex> \le Q(h) </tex> при малых <tex> t </tex> |
}} | }} | ||
Строка 823: | Строка 859: | ||
// <tex> \ge^*: \exists \delta > 0: </tex> при <tex> |h| < \delta: |\alpha(h)| < \frac{c}{2} </tex> | // <tex> \ge^*: \exists \delta > 0: </tex> при <tex> |h| < \delta: |\alpha(h)| < \frac{c}{2} </tex> | ||
− | |||
− | |||
}} | }} | ||
Строка 844: | Строка 878: | ||
при <tex> |h| = \delta \ F(x_0 + h) \ne F(x_0) = y_0 </tex> | при <tex> |h| = \delta \ F(x_0 + h) \ne F(x_0) = y_0 </tex> | ||
− | <tex> dist(y_0, A) = inf_{a \in A} \rho (y_0, c) | + | <tex> dist(y_0, A) = inf_{a \in A} \rho (y_0, c)</tex> |
+ | |||
+ | Возьмем <tex> r = \frac{1}{2} dist(y_0, F(S(x_0, \delta))) </tex>(S — сфера, т. е. граница шара) | ||
Утверждение: <tex> B(y_0, r) \subset F(O) </tex> | Утверждение: <tex> B(y_0, r) \subset F(O) </tex> | ||
Строка 850: | Строка 886: | ||
Т.е.: <tex> \forall y \in B(y_0, r) \ \exists x \in B(x_0, \delta) \ F(x) = y </tex> | Т.е.: <tex> \forall y \in B(y_0, r) \ \exists x \in B(x_0, \delta) \ F(x) = y </tex> | ||
− | <tex> \varphi(x) = |F(x) - y|^2 = (F_1(x_1...x_m) - y_1) + (F_2 - y_2)^2 + \ldots + (F_m - y_m)^2; </tex> <tex> x \in B(x_0, \delta | + | <tex> \varphi(x) = |F(x) - y|^2 = (F_1(x_1...x_m) - y_1)^2 + (F_2 - y_2)^2 + \ldots + (F_m - y_m)^2; </tex> <tex> x \in B(x_0, \delta</tex> |
<tex> min \varphi </tex> — внутри <tex> B(x_0, \delta) </tex> | <tex> min \varphi </tex> — внутри <tex> B(x_0, \delta) </tex> | ||
− | <tex> \varphi(x_0) = |y_0 - y|^2 < r^2 </tex> | + | В точке <tex>x_0: \varphi(x_0) = |y_0 - y|^2 < r^2 </tex>. |
− | <tex> \varphi(x) = |F(x) - y|^2 \ge (\overbrace{|F(x) - y_0|}^{ \ge 2r} - \overbrace{|y - y_0|}^{ < r })^2 \ge r^2 </tex> | + | На сфере <tex> S(x_0, \delta) </tex>: <tex> \varphi(x) = |F(x) - y|^2 \ge (\overbrace{|F(x) - y_0|}^{ \ge 2r} - \overbrace{|y - y_0|}^{ < r })^2 \ge r^2 </tex> |
− | <tex> \varphi </tex> — имеет <tex> (\cdot) min </tex> внутри шара <tex> B(x_0, \delta) </tex> по | + | <tex> \varphi </tex> — имеет <tex> (\cdot) min </tex> внутри шара <tex> B(x_0, \delta) </tex> по [[Участник:Katyatitkova/Матан#Теорема Вейерштрасса о непрерывном образе компакта. Следствия|теореме Вейерштрасса]] |
<tex> \begin{cases} 2(F_1(x_1...x_m) - y_1)\frac{\partial F_1}{\partial x_1} + 2(F_2(x_1...x_m) - y_2)\frac{\partial F_2}{\partial x_1} + \ldots + 2(F_m() - y_m)\frac{\partial F_m}{\partial x_1} = 0 \\ \ldots \\ 2(F_1(x_1...x_m) - y_1)\frac{\partial F_1}{\partial x_m} + \ldots + 2(F_m() - y_m)\frac{\partial F_m}{\partial x_m} = 0 \end{cases} </tex> | <tex> \begin{cases} 2(F_1(x_1...x_m) - y_1)\frac{\partial F_1}{\partial x_1} + 2(F_2(x_1...x_m) - y_2)\frac{\partial F_2}{\partial x_1} + \ldots + 2(F_m() - y_m)\frac{\partial F_m}{\partial x_1} = 0 \\ \ldots \\ 2(F_1(x_1...x_m) - y_1)\frac{\partial F_1}{\partial x_m} + \ldots + 2(F_m() - y_m)\frac{\partial F_m}{\partial x_m} = 0 \end{cases} </tex> | ||
− | <tex> det(\frac{\partial F_i}{\partial x_j}) \ne 0 \Rightarrow </tex> в точке | + | <tex> det(\frac{\partial F_i}{\partial x_j}) \ne 0 \Rightarrow </tex> в точке минимума <tex> \begin{matrix} F_1(x_1...x_m) = y_1 \\ \ldots \\F_m(x_1..x_m) = y_m \end{matrix} </tex>(у системы есть только тривиальное решение) |
}} | }} | ||
Строка 868: | Строка 904: | ||
{{Теорема | {{Теорема | ||
|statement= | |statement= | ||
− | Пусть <tex> F: O \subset \mathbb{R}^m \to \mathbb{R}^m, \ F \in C^r(O) </tex>, <tex> F </tex> — обратима и невырождена, <tex> \forall x \in O \det(F'(x)) \neq 0 </tex>. Тогда: | + | Пусть <tex> F: O \subset \mathbb{R}^m \to \mathbb{R}^m, \ F \in C^r(O) </tex>, <tex> F </tex> — обратима и её производная невырождена, <tex> (\forall x \in O \ \det(F'(x))) \neq 0 </tex>. |
+ | |||
+ | Тогда: | ||
1) <tex> F^{-1} \in C^r </tex> | 1) <tex> F^{-1} \in C^r </tex> | ||
Строка 874: | Строка 912: | ||
2) <tex> y_0 = F(x_0), \ (F^{-1})' (y_0) = (F'(x_0))^{-1} </tex> | 2) <tex> y_0 = F(x_0), \ (F^{-1})' (y_0) = (F'(x_0))^{-1} </tex> | ||
|proof= | |proof= | ||
+ | |||
1) <tex> r = 1 </tex> | 1) <tex> r = 1 </tex> | ||
− | <tex> | + | <tex>F(O) = O' </tex> — открытое |
+ | |||
+ | Пусть <tex> S = F^{-1}, S : O' \to O</tex> | ||
+ | |||
+ | Пусть <tex> U \subset O</tex> — открытое, тогда <tex> S^{-1}(U) </tex> — открытое. | ||
− | * <tex> T : X \to Y | + | * <tex> T : X \to Y</tex> — непрерывное отображение <tex> \Leftrightarrow \forall U \subset Y : T^{-1}(U) </tex> — открыто. // Мне кажется, из определения диффеоморфизма и предыдущей теоремы следует, что обратное отображение тоже диффеоморфизм и предыдущие строчки и так очевидны. |
<tex> y_0 = F(x_0); x_0 = S(y_0) </tex> | <tex> y_0 = F(x_0); x_0 = S(y_0) </tex> | ||
− | <tex> y - y_0 = F(x) - F(x_0) = A(x - x_0) + o( | + | <tex> y - y_0 = F(x) - F(x_0) = A(x - x_0) + o(x - x_0) </tex> |
<tex> S(y) - S(y_0) = x - x_0 = A^{-1}(y - y_0) - A^{-1} o(x - x_0) </tex> | <tex> S(y) - S(y_0) = x - x_0 = A^{-1}(y - y_0) - A^{-1} o(x - x_0) </tex> | ||
− | + | * <tex> T </tex> — диффеоморфизм, матрица <tex>T'(x_0)</tex> невырождена <tex>\Rightarrow</tex> <tex> \exists c, \delta \ \forall x \in B(x_0, \delta) \ |T(x) - T(x_0)| > c|x - x_0| </tex> // По лемме о почти локальной инъективности | |
+ | |||
+ | Возьмём <tex> c, \delta </tex> из леммы. | ||
− | + | Пусть <tex> T = F'(x_0) </tex> | |
<tex> y - y_0 = T(x - x_0) + \alpha(x)|x - x_0| </tex> | <tex> y - y_0 = T(x - x_0) + \alpha(x)|x - x_0| </tex> | ||
− | <tex> S(y) - S(y_0) = T^{-1}(y - y_0) - \ | + | <tex> S(y) - S(y_0) = T^{-1}(y - y_0) - \overbrace{T^{-1} \alpha(x) |S(y) - S(y_0)|}^{? o(y - y_0)} </tex> |
Можно считать, что <tex> y </tex> близко к <tex> y_0 </tex>, так что <tex> |x - x_0| = |S(y) - S(y_0)| < \delta </tex> | Можно считать, что <tex> y </tex> близко к <tex> y_0 </tex>, так что <tex> |x - x_0| = |S(y) - S(y_0)| < \delta </tex> | ||
− | <tex> | \ | + | <tex> | \ T^{-1} \alpha(x) \cdot |x - x_0| \ | = |T^{-1}(\alpha(x))|\cdot|x - x_0| \le </tex><tex> \| T^{-1} \| \cdot |\alpha(x)| \cdot \frac{1}{c} |F(x) - F(x_0)| \le \frac{\| T^{-1} \|}{c}|y - y_0|\cdot|\alpha(x)| </tex> |
<tex>// y \to y_0; x \to x_0; \alpha(x) \to 0 </tex> | <tex>// y \to y_0; x \to x_0; \alpha(x) \to 0 </tex> | ||
Строка 908: | Строка 953: | ||
{{Теорема | {{Теорема | ||
|statement= | |statement= | ||
− | Пусть <tex> F: O \subset \mathbb{R}^m \to \mathbb{R}^m </tex>, где <tex> O </tex> открыто; <tex> F \in C^1(O, \mathbb{R}^m); x_0 \in O; \det F | + | Пусть <tex> F: O \subset \mathbb{R}^m \to \mathbb{R}^m </tex>, где <tex> O </tex> открыто; <tex> F \in C^1(O, \mathbb{R}^m); x_0 \in O; \det F'(x_0) \ne 0 </tex> |
Тогда <tex> \exists U(x_0): \ F |_U </tex> — диффеоморфизм (<tex> F |_U </tex> или <tex> F|U </tex> — сужение отображения <tex> F </tex> на множество <tex> U </tex>). | Тогда <tex> \exists U(x_0): \ F |_U </tex> — диффеоморфизм (<tex> F |_U </tex> или <tex> F|U </tex> — сужение отображения <tex> F </tex> на множество <tex> U </tex>). | ||
Строка 914: | Строка 959: | ||
Нужно проверить лишь: <tex> \exists U(x_0) : F|_U </tex> — обратима | Нужно проверить лишь: <tex> \exists U(x_0) : F|_U </tex> — обратима | ||
− | [так | + | [так как можно считать что <tex> \det F'(x) \ne 0 </tex> на <tex> U(x_0) \Rightarrow F(U(x_0)) </tex> открыто и <tex> F^{-1} </tex> определено на открытом множестве и дифференцируемо по предыдущим теоремам] |
− | <tex> |F(x) - F(y)| \ge^{?} |x - y| </tex> | + | <tex> |F(x) - F(y)| \ge^{?} |x - y| </tex> // Это какая-то хрень, к тому же она в конце не доказана. Надо проверить, что <tex>\forall{x \neq y} |F(x) - F(y)| > 0</tex>, тогда отображение будет биекцией. |
− | <tex> \exists c \ \forall h \in \mathbb{R}^m : |F'(x_0)h| \ge c|h|; \ U | + | <tex> \exists c \ \forall h \in \mathbb{R}^m : |F'(x_0)h| \ge c|h|; \ U = B(x_0, r) \subset O </tex> |
<tex> \begin{matrix} 1: \forall x \in U & \det F'(x) \ne 0 \\ 2: \forall x \in U & \| F'(x) - F'(x_0) \| < \frac{c}{4} \end{matrix} </tex> | <tex> \begin{matrix} 1: \forall x \in U & \det F'(x) \ne 0 \\ 2: \forall x \in U & \| F'(x) - F'(x_0) \| < \frac{c}{4} \end{matrix} </tex> | ||
Строка 928: | Строка 973: | ||
<tex> |F(y) - F(x)| \ge |F'(x_0)h| - |F(x + h) - F(x) - F'(x)h| - |(F'(x) - F'(x_0))h| \ge </tex> | <tex> |F(y) - F(x)| \ge |F'(x_0)h| - |F(x + h) - F(x) - F'(x)h| - |(F'(x) - F'(x_0))h| \ge </tex> | ||
− | <tex> \ge c|h| - sup_{t \in [x, x + h]} \| F'(t) - F'(x) \| \cdot |h| - \| F'(x) - F'(x_0) \| \cdot |h| \ge c|h| = \frac{c}{ | + | <tex> \ge c|h| - sup_{t \in [x, x + h]} \| F'(t) - F'(x) \| \cdot |h| - \| F'(x) - F'(x_0) \| \cdot |h| \ge c|h| - \frac{c}{4}|h| - \frac{c}{4}|h| = \frac{c}{2}|h| > 0</tex> |
}} | }} | ||
* Замечание | * Замечание | ||
− | <tex> \det F' \ne 0 </tex> — нужно для | + | <tex> \det F' \ne 0 </tex> — нужно для дифференцируемости. |
− | <tex> F : \mathbb{R} \to \mathbb{R}; x \mapsto x^3; F^{-1} </tex> — не | + | <tex> F : \mathbb{R} \to \mathbb{R}; x \mapsto x^3; F^{-1} </tex> — не дифференцируемо в нуле |
=== Теорема о неявном отображении === | === Теорема о неявном отображении === | ||
Строка 943: | Строка 988: | ||
1) существуют открытые <tex> P \subset \mathbb{R}^m, \ Q \subset \mathbb{R}^n, \ a \in P, \ b \in Q </tex>, и существует единственное <tex> \varphi: P \to Q, \varphi \in C^r </tex>, что <tex> \forall x \in P \ F(x, \varphi(x) ) = 0 </tex> | 1) существуют открытые <tex> P \subset \mathbb{R}^m, \ Q \subset \mathbb{R}^n, \ a \in P, \ b \in Q </tex>, и существует единственное <tex> \varphi: P \to Q, \varphi \in C^r </tex>, что <tex> \forall x \in P \ F(x, \varphi(x) ) = 0 </tex> | ||
− | 2) <tex> \varphi'(x) = [F'_y (x, \varphi(x) ) ]^{-1} \cdot F'_x(x, \varphi(x)) </tex> | + | '''Раньше тут был забыт минус!''' |
+ | 2) <tex> \varphi'(x) = -[F'_y (x, \varphi(x) ) ]^{-1} \cdot F'_x(x, \varphi(x)) </tex> | ||
+ | |||
+ | |proof= | ||
+ | |||
+ | Пусть <tex>\Phi(x, y) = (x, F(x,y))</tex>. | ||
+ | |||
+ | <tex>\Phi(a, b) = (a, 0)</tex> | ||
+ | |||
+ | <tex>\Phi{'} = \begin{pmatrix} E_n & O \\ F'_x & F'_y \end{pmatrix}</tex>. | ||
+ | |||
+ | <tex>\det{\Phi'} = \det{F'_y} \neq 0</tex> | ||
+ | |||
+ | По теореме о локальной обратимости <tex>\exists{U(a,b)}</tex> — такая, что <tex>\Phi</tex> — диффеоморфизм в данной окрестности. | ||
+ | |||
+ | Тогда существует обратное отображение <tex>\Psi(u, v) = (u, H(u, v))</tex>. | ||
+ | |||
+ | Почти очевидно, что <tex>\varphi(x) = H(x, 0)</tex>. | ||
+ | |||
+ | Берем производную — получаем 2): <tex>F'(x, \varphi(x)) = F'_x + F'_{y}\varphi{'} = 0</tex> | ||
}} | }} | ||
Строка 1033: | Строка 1097: | ||
1) Линейность по векторному полю: <tex> I(\alpha V_1 + \beta V_2, \gamma) = \alpha I(V_1, \gamma) + \beta I(V_2, \gamma) </tex>. | 1) Линейность по векторному полю: <tex> I(\alpha V_1 + \beta V_2, \gamma) = \alpha I(V_1, \gamma) + \beta I(V_2, \gamma) </tex>. | ||
− | <tex> \int_{a}^{b} \langle (\alpha V_1 + \beta V_2), \gamma' \rangle dt </tex> — по линейному скалярному произведению | + | <tex> \int_{a}^{b} \langle (\alpha V_1 + \beta V_2), \gamma{'} \rangle dt </tex> — по линейному скалярному произведению |
2) Аддитивность при дроблении пути: | 2) Аддитивность при дроблении пути: | ||
Строка 1049: | Строка 1113: | ||
Тогда <tex> I(V, \gamma) = I(V, \tilde{\gamma}) </tex>. | Тогда <tex> I(V, \gamma) = I(V, \tilde{\gamma}) </tex>. | ||
− | <tex> I(V, \gamma) = \int_a^b \langle V(\gamma(t)), \gamma'(t) \rangle dt =_{t = \varphi(s)} </tex><tex> \int_a^b \langle V (\gamma(\varphi (s))), \gamma'(\varphi (s)) \varphi'(s) \rangle ds = \int_p^q \langle V(\tilde{\gamma}(s)), \tilde{\gamma}'(s) \rangle ds </tex> | + | <tex> I(V, \gamma) = \int_a^b \langle V(\gamma(t)), \gamma{'}(t) \rangle dt =_{t = \varphi(s)} </tex><tex> \int_a^b \langle V (\gamma(\varphi (s))), \gamma{'}(\varphi (s)) \varphi'(s) \rangle ds = \int_p^q \langle V(\tilde{\gamma}(s)), \tilde{\gamma}'(s) \rangle ds </tex> |
4) Пусть <tex> \gamma_1: [a; b] \to \mathbb{R}^m, \ \gamma_2: [c; d] \to \mathbb{R}^m, \ \gamma_1(b) = \gamma_2(c), \ \gamma = \gamma_2 \gamma_1 </tex> — произведение путей: | 4) Пусть <tex> \gamma_1: [a; b] \to \mathbb{R}^m, \ \gamma_2: [c; d] \to \mathbb{R}^m, \ \gamma_1(b) = \gamma_2(c), \ \gamma = \gamma_2 \gamma_1 </tex> — произведение путей: | ||
Строка 1060: | Строка 1124: | ||
то <tex> I(V, \gamma_2 \gamma_1) = I(V, \gamma_1) + I(V, \gamma_2) </tex>. | то <tex> I(V, \gamma_2 \gamma_1) = I(V, \gamma_1) + I(V, \gamma_2) </tex>. | ||
− | <tex> \int_a^{b + d - c} \langle V(\gamma(t)), \gamma't \rangle dt = \int_a^b + \int_b^{b + d - c} </tex> \\ заменить параметр <tex> s = t - b + c; s \in [c, d] </tex> | + | <tex> \int_a^{b + d - c} \langle V(\gamma(t)), \gamma{'}t \rangle dt = \int_a^b + \int_b^{b + d - c} </tex> \\ заменить параметр <tex> s = t - b + c; s \in [c, d] </tex> |
<tex> \gamma : [a, b] \to \mathbb{R}^m; \ \gamma_- </tex> — противоположный путь (в обратную сторону) | <tex> \gamma : [a, b] \to \mathbb{R}^m; \ \gamma_- </tex> — противоположный путь (в обратную сторону) | ||
Строка 1068: | Строка 1132: | ||
<tex> I(V, \gamma_-) = -I(V, \gamma) </tex> | <tex> I(V, \gamma_-) = -I(V, \gamma) </tex> | ||
− | <tex> \int_a^b \langle V(\gamma(b - a - t)), \gamma_-(t) \rangle dt = \int \langle V (\gamma(s)), \gamma'(s) \rangle ds </tex> | + | <tex> \int_a^b \langle V(\gamma(b - a - t)), \gamma_-(t) \rangle dt = \int \langle V (\gamma(s)), \gamma{'}(s) \rangle ds </tex> |
5) Оценка интеграла: | 5) Оценка интеграла: | ||
Строка 1078: | Строка 1142: | ||
<tex> \gamma : [a, b] \to \mathbb{R}^m; L_{\gamma} = \gamma [a, b] \subset \mathbb{R}^m </tex> | <tex> \gamma : [a, b] \to \mathbb{R}^m; L_{\gamma} = \gamma [a, b] \subset \mathbb{R}^m </tex> | ||
|proof= | |proof= | ||
− | <tex> | \int_a^b \sum V_i (\gamma(t)) \cdot \gamma'_i(t) dt | \le \int_a^b |...| dt \le | + | <tex> | \int_a^b \sum V_i (\gamma(t)) \cdot \gamma{'}_i(t) dt | \le \int_a^b |...| dt \le \int_a^b \sqrt{\sum V_i^2(\gamma(t))} \sqrt{\sum \gamma_i^{'2}(t)} dt = \int_a^b |V(\gamma(t))| \cdot |\gamma{'}(t)| \le max_{x \in L_{\gamma}} (V(x)) \cdot \int_a^b |\gamma{'}(t) dt| </tex> |
}} | }} | ||
Строка 1111: | Строка 1175: | ||
2) Интеграл <tex> V </tex> не зависит от пути (в обл. <tex> O </tex>) | 2) Интеграл <tex> V </tex> не зависит от пути (в обл. <tex> O </tex>) | ||
− | 3) <tex> \forall \gamma : [a, b] \to | + | 3) <tex> \forall \gamma : [a, b] \to O, \ \gamma(a) = \gamma(b); \ \int_{\gamma} \sum V_i dx_i = 0 </tex> |
|proof= | |proof= | ||
− | <tex> 1 \Rightarrow 2 </tex> — формула Ньютона-Лейбница | + | <tex> 1 \Rightarrow 2 </tex> — формула [[Участник:Yulya3102/Матан#Формула Ньютона-Лейбница для кусочно-непрерывных функций|Ньютона-Лейбница]] |
<tex> 2 \Rightarrow 3 </tex> — очевидно | <tex> 2 \Rightarrow 3 </tex> — очевидно | ||
Строка 1133: | Строка 1197: | ||
<tex> f(x) := \int_{\gamma_x} \sum V_i dx_i; f </tex> — потенциал? | <tex> f(x) := \int_{\gamma_x} \sum V_i dx_i; f </tex> — потенциал? | ||
− | <tex> \frac{\partial f}{\partial x_1} = V_1 </tex> (аналогично <tex> \frac{\partial f}{\partial x_i} = V_i; \ i = 2...m </tex>) | + | Докажем, что <tex> \frac{\partial f}{\partial x_1} = V_1 </tex> (аналогично <tex> \frac{\partial f}{\partial x_i} = V_i; \ i = 2...m </tex>) |
Выберем <tex> B(x, r) \subset O </tex> | Выберем <tex> B(x, r) \subset O </tex> | ||
Строка 1141: | Строка 1205: | ||
<tex> f(x_1 + h, x_2 ... x_m) - f(x) = \int_{\gamma_h \gamma_x} \sum V_i dx_i - \int_{\gamma_x} \sum V_i dx_i = </tex> | <tex> f(x_1 + h, x_2 ... x_m) - f(x) = \int_{\gamma_h \gamma_x} \sum V_i dx_i - \int_{\gamma_x} \sum V_i dx_i = </tex> | ||
− | <tex>= \int_{\gamma_h} \sum V_i dx_i = \int_0^1 V_1(x_1 + th, x_2 ... x_m)h dt = </tex> теорема о среднем <tex> = V_1(x_1 + \Theta h, x_2 ... x_m)h; \ \Theta \in [0, 1] </tex> | + | <tex>= \int_{\gamma_h} \sum V_i dx_i = \int_0^1 V_1(x_1 + th, x_2 ... x_m)h dt = </tex> [[Участник:Yulya3102/Матан#Теорема о среднем. Следствия|теорема о среднем]] <tex> = V_1(x_1 + \Theta h, x_2 ... x_m)h; \ \Theta \in [0, 1] </tex> |
<tex> \frac{f(x_1 + h, ... x_m) - f(x)}{h} = V_1(x_1 + \Theta h, ...) \to V_1(x) </tex> | <tex> \frac{f(x_1 + h, ... x_m) - f(x)}{h} = V_1(x_1 + \Theta h, ...) \to V_1(x) </tex> | ||
Строка 1153: | Строка 1217: | ||
<tex> \frac{\Phi(y + h) - \Phi(y)}{h} = \int_a^b \frac{f(x, y + h) - f(x, y)}{h} dx = \int_a^b f'_y (x, y + \Theta h) dx; \ \Theta \in [0, 1] </tex> зависит от <tex> x, y </tex> | <tex> \frac{\Phi(y + h) - \Phi(y)}{h} = \int_a^b \frac{f(x, y + h) - f(x, y)}{h} dx = \int_a^b f'_y (x, y + \Theta h) dx; \ \Theta \in [0, 1] </tex> зависит от <tex> x, y </tex> | ||
− | <tex> f'_y </tex> — | + | <tex> f'_y </tex> — непрерывна на <tex> [a, b] \times [c, d] </tex> |
− | <tex> \forall \epsilon > 0 \ \exists \delta > 0 \ \forall x, y : |x - y| < \delta; \ | | + | <tex> \forall \epsilon > 0 \ \exists \delta > 0 \ \forall x, y : |x - y| < \delta; \ |f'_y(x) - f'_y(y)| < \epsilon </tex> — равномерная непрерывность |
− | <tex> | \frac{\Phi(y + h) - \Phi(y)}{h} - \int_a^b f'_y(x, y)dx | | + | <tex> | \frac{\Phi(y + h) - \Phi(y)}{h} - \int_a^b f'_y(x, y)dx | = | \int_a^b f'_y(x, y + \Theta h) - f'_y(x, y)dx | \le </tex> |
<tex> \le \int_a^b | f'_y(x, y + \Theta h) - f'_y(x, y) |dx \le^* \int_a^b \epsilon dx = \epsilon(b - a) </tex> | <tex> \le \int_a^b | f'_y(x, y + \Theta h) - f'_y(x, y) |dx \le^* \int_a^b \epsilon dx = \epsilon(b - a) </tex> | ||
Строка 1176: | Строка 1240: | ||
{{Лемма | {{Лемма | ||
|statement= | |statement= | ||
− | Пусть <tex> O \subset \mathbb{R}^m </tex> — | + | Пусть <tex> O \subset \mathbb{R}^m </tex> — выпуклое, <tex> V </tex> — векторное поле в <tex> O </tex>, гладкое и <tex> \forall x \forall i, j \ \frac{\partial V_i}{\partial x_j} = \frac{\partial V_j}{\partial x_i} </tex>. Тогда <tex> V </tex> — потенциальное. |
|proof= | |proof= | ||
− | фиксируем <tex> A \in O; \ \gamma [0, 1] \to O; \ t \mapsto A + ( | + | фиксируем <tex> A \in O; \ \gamma [0, 1] \to O; \ t \mapsto A + t * (x - A); \ \gamma' = x - A </tex> |
<tex> f(x) := \int_{\gamma} \sum V_i dx_i = </tex><tex> \int_0^1 V_1(A + t(x - A))\cdot(x_1 - A_1) + ... + V_m(A + t(x - A)) \cdot (x_m - A_m)dt </tex> | <tex> f(x) := \int_{\gamma} \sum V_i dx_i = </tex><tex> \int_0^1 V_1(A + t(x - A))\cdot(x_1 - A_1) + ... + V_m(A + t(x - A)) \cdot (x_m - A_m)dt </tex> | ||
− | <tex> \frac{\partial f}{\partial x_i} = \int_0^1 V_i(A + t(x - A)) + \sum_{ | + | <tex> \frac{\partial f}{\partial x_i} = \int_0^1 V_i(A + t(x - A)) + \sum_{j = 1}^{m} \overbrace{\frac{\partial V_j}{\partial x_i}}^{\frac{\partial V_i}{\partial x_j}} (A + t(x - A))t(x_j - A_j)dt = </tex> |
− | <tex> = \int_0^1 (t V_i (A + t(x - A)))'_t dt = t V_i (A + t(x - | + | <tex> = \int_0^1 (t V_i (A + t(x - A)))'_t dt = t V_i (A + t(x - A))|_{t = 0}^{t = 1} = V_i (x) </tex> |
}} | }} | ||
Строка 1194: | Строка 1258: | ||
<tex> \forall c \in [a, b] </tex> — выберем шар <tex> B(\gamma(c), V_c) \subset O </tex> | <tex> \forall c \in [a, b] </tex> — выберем шар <tex> B(\gamma(c), V_c) \subset O </tex> | ||
− | <tex> \tilde \alpha_c := \inf \{ \alpha \in [a, b]; \ \gamma([\alpha, c]) \subset B | + | <tex> \tilde \alpha_c := \inf \{ \alpha \in [a, b]; \ \gamma([\alpha, c]) \subset B (\gamma(c), V_c) \} </tex> |
− | <tex> \tilde \beta_c := \sup \{ \beta \in [a, b]; \ \gamma([c, \beta]) \subset B | + | <tex> \tilde \beta_c := \sup \{ \beta \in [a, b]; \ \gamma([c, \beta]) \subset B (\gamma(c), V_c) \} </tex> |
Пусть <tex> \tilde \alpha_c < \alpha_c < c < \beta_c < \tilde \beta_c </tex> | Пусть <tex> \tilde \alpha_c < \alpha_c < c < \beta_c < \tilde \beta_c </tex> | ||
Строка 1202: | Строка 1266: | ||
<tex> \forall c </tex> мы имеем <tex> (\alpha_c, \beta_c) </tex> — открытое покрытие <tex> [a, b] </tex> и <tex> \exists </tex> конечное подпокрытие | <tex> \forall c </tex> мы имеем <tex> (\alpha_c, \beta_c) </tex> — открытое покрытие <tex> [a, b] </tex> и <tex> \exists </tex> конечное подпокрытие | ||
− | Можно считать <tex> \forall i \ \exists | + | Можно считать <tex> \forall i \ \exists s_i </tex> — которое лежит в <tex> (\alpha_{c_i}, \beta_{c_i}) </tex>, но не лежит в <tex> (\alpha_{c_j}, \beta_{c_j}); \ i \ne j </tex> |
− | <tex> | + | <tex> s_1 < s_2 ... < s_n </tex> |
}} | }} | ||
Строка 1253: | Строка 1317: | ||
Пусть <tex> V </tex> — локально-потенциальное векторное поле в <tex> O </tex>, <tex> \gamma_0, \gamma_1: [a; b] \to O </tex> — связанно гомотопны. Тогда <tex> \int\limits_{\gamma_0} \sum V_i dx_i = \int\limits_{\gamma_1} \sum V_i dx_i </tex>. Тоже верно для петельной гомотопии. | Пусть <tex> V </tex> — локально-потенциальное векторное поле в <tex> O </tex>, <tex> \gamma_0, \gamma_1: [a; b] \to O </tex> — связанно гомотопны. Тогда <tex> \int\limits_{\gamma_0} \sum V_i dx_i = \int\limits_{\gamma_1} \sum V_i dx_i </tex>. Тоже верно для петельной гомотопии. | ||
|proof= | |proof= | ||
− | <tex> \Gamma </tex> — | + | <tex> \Gamma </tex> — гомотопия. <tex> \gamma_u(t) = \Gamma(t, u), \ u \in [0, 1] </tex> |
<tex> \Phi(u) = \int_{\gamma_u} \sum V_i dx_i </tex>. Проверим, что <tex> \Phi </tex> — локальная постоянная | <tex> \Phi(u) = \int_{\gamma_u} \sum V_i dx_i </tex>. Проверим, что <tex> \Phi </tex> — локальная постоянная | ||
Строка 1259: | Строка 1323: | ||
<tex> (\forall u_0 \ \exists W(u_0) </tex> при <tex> u \in W(u_0) : \Phi </tex> — постоянна) | <tex> (\forall u_0 \ \exists W(u_0) </tex> при <tex> u \in W(u_0) : \Phi </tex> — постоянна) | ||
− | <tex> \Gamma : \overbrace{[a, b] \times [0, 1]}^{copmact} \to | + | <tex> \Gamma : \overbrace{[a, b] \times [0, 1]}^{copmact} \to O </tex> — равномерно непрерывна. |
<tex> \forall \delta > 0 \ \exists \zeta > 0 \ \forall (t_1, u_1), (t_2, u_2) \in [a, b] \times [0, 1] \ \ </tex><tex>\ \ \begin{matrix} |t_1 - t_2| < \zeta \\ |u_1 - u_2| < \zeta \end{matrix} </tex> верно <tex> |\Gamma(t_1, u_1) - \Gamma(t_2, u_2)| < \frac{\delta}{2} </tex> | <tex> \forall \delta > 0 \ \exists \zeta > 0 \ \forall (t_1, u_1), (t_2, u_2) \in [a, b] \times [0, 1] \ \ </tex><tex>\ \ \begin{matrix} |t_1 - t_2| < \zeta \\ |u_1 - u_2| < \zeta \end{matrix} </tex> верно <tex> |\Gamma(t_1, u_1) - \Gamma(t_2, u_2)| < \frac{\delta}{2} </tex> | ||
Строка 1279: | Строка 1343: | ||
{{Теорема | {{Теорема | ||
|statement= | |statement= | ||
− | <tex> \int\limits_0^{\pi/2} \cos^n x dx \underset{n \to + \infty}{\sim} \int\limits_0^{1/\ | + | <tex> \int\limits_0^{\pi/2} \cos^n x dx \underset{n \to + \infty}{\sim} \sqrt{\frac{2}{n}} \int\limits_0^{+\inf} e^{-t^2} dt </tex> |
+ | |proof= | ||
+ | |||
+ | Доказательство в три шага, полностью выписывать много, поэтому здесь только идеи: | ||
+ | |||
+ | 1) <tex>\int\limits_0^{\pi/2} \cos^n x dx \underset{n \to + \infty}{\sim} \int\limits_0^{n^{-\frac{1}{3}}} \cos^{n}x dx</tex> | ||
+ | |||
+ | Доказывается заменой <tex>\cos^n{x} = e^{n\ln{\cos{x}}}</tex> и каким-то подбором нового предела интегрирования, зависящего от n (конспект, стр.143) | ||
+ | |||
+ | 2) Доказываем, что x — точка максимума для <tex>\ln{\cos{x}}</tex>, вместе с этим заменяем по формуле Тейлора <tex>n\ln{\cos{x}}</tex> на <tex>-\frac{nx^2}{2}+o(x^2)</tex> и показываем, что это <tex>o(x^2)</tex> не мешает подставить замену в интеграл. | ||
+ | |||
+ | 3) Делаем замену <tex>t=\sqrt{\frac{n}{2}}x, dx = \sqrt{\frac{2}{n}}dt</tex>, получаем интеграл из условия. | ||
+ | |||
}} | }} | ||
Строка 1293: | Строка 1369: | ||
=== Метод Лапласа вычисления асимптотики интегралов === | === Метод Лапласа вычисления асимптотики интегралов === | ||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
{{Теорема | {{Теорема | ||
|statement= | |statement= | ||
− | Пусть <tex> f </tex> | + | Пусть <tex> f > 0 </tex> на <tex> (a; b) </tex>, непрерывна, <tex> \int\limits_a^b f = M, \ f(t) \sim L(t - a)^q, \ t \to a, \ q > -1, \ L > 0, \ \varphi </tex> непрерывна, строго убывает, <tex> \varphi(a) - \varphi(t) \sim c(t - a)^p, \ p > 0 </tex>. Тогда <tex> \int\limits_a^b f(t) e^{A \varphi(t)} dt \underset{A \to + \infty}{\sim} e^{A \varphi(a)} \cdot \frac{1}{p} \cdot \frac{1}{(cA)^{\frac{q + 1}{p}}} \cdot \Gamma(\frac{q + 1}{p}) </tex>. |
− | |||
− | <tex> | ||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
|proof= | |proof= | ||
− | |||
− | / | + | * В доказательстве используется прием: при <tex>q > 1, p > 0, A > 0, s > 0</tex> в интеграле <tex>\int\limits_0^s t^q e^{-At^p} dt</tex> |
− | + | * вводим замену <tex>u = At^p, t = (\frac{u}{A})^{1/p}, dt = \frac{u^{1/p-1}}{pA^{1/p}}</tex>. | |
− | // <tex> \ | + | * Тогда он превращается в <tex>\frac{1}{pA^{\frac{q+1}{p}}} \int\limits_0^{As^p} u^{\frac{q+1}{p} - 1}e^{-u}du</tex>, который при <tex>A\to{+\infty}</tex> стремится к <tex>\frac{1}{pA^{\frac{q+1}{p}}}\Gamma({\frac{q+1}{p}})</tex> |
− | + | '''Утверждения:''' | |
− | |||
− | + | 1) <tex>\forall{c\in(a, b)}\ \forall{\varepsilon > 0}\ \exists{A_0}\ \forall{A > A_0}\ \int\limits_a^c{fe^{A\varphi}} \le \int\limits_a^b{fe^{A\varphi}} \le (1 + \varepsilon)\int\limits_a^c{fe^{A\varphi}}</tex> (следствие из теоремы о локализации) | |
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | + | 2) <tex>\forall{\varepsilon > 0}\ \exists{A_0}\ \forall{A > A_0}</tex> | |
− | |||
− | + | <tex>(1-\varepsilon)\frac{1}{pA^{\frac{q+1}{p}}}\Gamma(\frac{q+1}{p}) \le \int\limits_0^s t^q e^{-At^p} dt \le \frac{1}{pA^{\frac{q+1}{p}}}\Gamma(\frac{q+1}{p})</tex> (следствие из приема выше. Да, читается ужасно) | |
− | |||
− | |||
− | |||
− | + | '''Доказательство''' | |
− | + | Выбираем окрестность точки <tex>a: [a; a+s]</tex> и <tex>\varepsilon</tex> такое, что | |
− | + | <tex>1-\varepsilon < \frac{f(t)}{L(t-a)^q} < 1+\varepsilon</tex> | |
− | |||
− | + | <tex>1-\varepsilon < \frac{\varphi(a) - \varphi(t)}{c(t-a)^p} < 1+\varepsilon</tex> | |
− | |||
− | + | Для <tex>A > A_0</tex>, удовлетворяющих двум утверждениям выше, выполняется: | |
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | + | <tex>\int\limits_a^b f(t)e^{A\varphi(t)} dt \le (1+\varepsilon)\int\limits_a^{a+s}L(t-a)^q \cdot e^{A\varphi(a)} \cdot e^{-A(\varphi(a)-\varphi(t)} dt \le</tex> | |
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | + | <tex>\le (1+\varepsilon)Le^{A\varphi(a)}\int\limits_0^s{\tau^q}e^{-Ae^{c(1-\varepsilon)\tau^p}}d\tau</tex> | |
− | |||
− | |||
− | <tex> \ | ||
− | <tex> \ | + | По утверждению 2 это меньше или равно <tex>\frac{1+\varepsilon}{(1-\varepsilon)^{\frac{q+1}{p}}}\cdot L\cdot [e^{A \varphi(a)} \frac{1}{p(cA)^{\frac{q + 1}{p}}} \Gamma(\frac{q + 1}{p})]</tex>. В квадратных скобках то, что нам нужно. |
− | <tex> \ | + | Используя другие части неравенства, находим, что <tex>\int\limits_a^b f(t)e^{A\varphi(t)} dt \ge \frac{1-\varepsilon}{(1+\varepsilon)^{\frac{q+1}{p}}}\cdot L\cdot [e^{A \varphi(a)} \frac{1}{p(cA)^{\frac{q + 1}{p}}} \Gamma(\frac{q + 1}{p})]</tex>. |
− | |||
− | + | Вроде доказали. | |
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
}} | }} | ||
− | === | + | === Теорема Вейерштрасса о приближении функций многочленами === |
− | {{ | + | {{Теорема |
− | | | + | |statement= |
− | Пусть <tex>f | + | Пусть <tex> f </tex> непрерывна на <tex> [a; b] </tex>. Тогда существует многочлен (последовательность многочленов?) <tex> P_n(x), \ n = 1, 2 ... </tex>, что <tex> \forall x \in [a; b] \ P_n(x) \to f(x) </tex>. |
+ | |proof= | ||
+ | <tex> [a, b] \subset [a - 1, b + 1] = [a_1, b_1] </tex> // Можно считать <tex> \begin{matrix} [a, b] = [\frac{1}{3}, \frac{2}{3}] \\ [a_1, b_1] = [0, 1] \end{matrix} </tex> | ||
− | <tex>f(x | + | <tex> \tilde f(x) = \begin{cases} f(x), x \in [a, b] \\ f(a), x \in [a_1, a] \\ f(b) x \in [b, b_1] \end{cases} </tex> |
− | + | Заметим, что: <tex> \int_{a_1}^{b_1} \tilde f(t)(1 - (x - t)^2)^n dt \sim_{n \to +\infty} \sqrt{\frac{\pi}{n}} f(x); \ x \in [a, b] </tex> | |
− | |||
− | + | <tex> \varphi (t) = ln(1 - (x - t)^2); \ max \varphi </tex> — достигается при <tex> t = x </tex> | |
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | + | <tex> \varphi(t) \sim -(x - t)^2, t \to x </tex> | |
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | + | <tex> \varphi''(x) = -2, \ \varphi(x) = 0 </tex> | |
− | |||
− | |||
− | |||
− | + | <tex> Q_n(x) \sim \sqrt{\frac{\pi}{n}} f(x), \ n \to +\infty </tex> | |
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | + | <tex> \sqrt{\frac{n}{\pi}} Q_n (x) \to f(x)_{x \in [a_1, b]}, \ n \to +\infty </tex> | |
− | |||
− | |||
− | |||
}} | }} | ||
+ | * Замечание | ||
− | + | <tex> \forall f </tex> — непр. на <tex> [a, b] \ \ \exists f_n(x) </tex> — многочлен : <tex> P_n(x) \rightrightarrows f </tex> на <tex> [a, b] </tex> | |
− | |||
− | |||
− | |||
− | + | === Формула Стирлинга для Гамма-функции === | |
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | === Формула | ||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
{{Теорема | {{Теорема | ||
|statement= | |statement= | ||
− | + | <tex> \Gamma (x + 1) \underset{x \to + \infty}{\sim} x^x e^{-x} \sqrt{2 \pi x} </tex> | |
+ | |proof= | ||
+ | <tex> \Gamma(x + 1) = \int_0^{+\infty} t^x e^{-t} dt =_{t = ux; \ dt = xdu} \ </tex><tex>\ x^{x + 1} \int_0^{+\infty} u^x e^{-ux} du = x^{x + 1} \int_0^{+\infty} e^{-x(u - \ln u)} du \sim </tex> | ||
− | <tex> \ | + | // <tex> \varphi(u) = -(u - \ln u) </tex> |
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | <tex | + | // <tex> \varphi' = -(1 - \frac{1}{u}); u = 1; \varphi'(u) = 0 - (\cdot) max </tex> |
− | |||
− | \frac{ | ||
− | |||
− | |||
− | |||
− | + | // <tex> \varphi'' = -\frac{1}{u^2}; \ \varphi''(1) = -1 </tex> | |
− | |||
− | + | <tex> \sim x^{x + 1} e^{-x} \sqrt{\frac{2\pi}{x}} \cdot \frac{1}{\sqrt{1}} \cdot 1 </tex> | |
− | |||
− | |||
− | <tex> | ||
}} | }} | ||
+ | <tex> \int_{\gamma} \sum V_i dx_i = \int_{\gamma_1} \sum V_i dx_i</tex> | ||
− | == | + | == Определения и факты == |
− | + | [[Участник:Yulya3102/Матан3сем/Определения|Перемещено, а то из-за большого размера страница не грузится на некоторых телефонах]] | |
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | = | ||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | | | ||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− |
Текущая версия на 14:50, 29 января 2015
Основные вопросы
Признак Вейерштрасса
Теорема: |
Рассмотрим ряд , где ( — метрическое пространство). Пусть есть ряд — сходящийся, такой, что .
Тогда равномерно сходится на . |
Доказательство: |
Теорема Стокса--Зайдля для рядов
Теорема: |
Пусть ряд , где ( — метрическое пространство), равномерно сходится на . Пусть есть точка , такая, что все непрерывны в . Тогда непрерывна в точке . |
Доказательство: |
1) — непрерывна в2) из 1) и 2) Где вы вообще такое доказательство нашли? Тут фигня какая-та. Нормальное доказательство есть в Фихтенгольце. непрерывна в |
Теорема об интегрировании функционального ряда
Теорема: |
Пусть ( — множество непрерывных функций), равномерно сходится на , .
Тогда 2) Правая часть имеет смысл — это следует из доказательства. 1) — непрерывно интеграл имеет смысл. |
Доказательство: |
Сделаем предельный переход по |
Теорема о дифференцировании функционального ряда
Теорема: |
Пусть ( — множество непрерывно дифференцируемых функций).
1) поточечно сходится на2) Тогда равномерно сходится при и . |
Доказательство: |
Следует из т. о предельном переходе под знаком производной (прошлый семестр).
|
Теорема о почленном предельном переходе в суммах
Теорема: |
Пусть , .
1) 2) равномерно сходится наТогда 1) 2) — сходится |
Доказательство: |
1) — имеет предел
Берём из р. сх-ти
При данном Выберем так близко к , чтобы— непр. равномерно в — р. сх. на Утв. 2 следует из т. 1. Стокса-Зайдля для рядов |
Теорема о перестановке пределов
(
)Теорема: |
Пусть , [или даже — предельная точка ]
1) сходится равномерно к при2) Тогда 1) 2) |
Доказательство: |
Тогда: Условие 1: р. сх. к сумме
Условие 2: (при проявить сообразительность)
по теореме о почл. пр. переходе в суммах: 1) — сх., т.е.2) |
Замечание: верна теорема
при условии 1:
— и этот предел равномерный
Признак Дирихле равномерной сходимости функционального ряда
Теорема: |
Пусть есть ряд ,
1) частичные суммы ряда равномерно ограничены, т.е.2) Тогда монотонна по и равномерно сходится к равномерно сходится на . |
Доказательство: |
Применяя преобразование Абеля
В силу равномерной ограниченности частичных сумм ряда при некотором
Тогда, используя монотонность (по ), имеем
Из этого неравенства в силу получаем, чтоПрименяя критерий Коши, получаем, что ряд сходится равномерно на . |
Метод суммирования Абеля
Теорема: |
Пусть сходится. Рассмотрим функцию . Тогда . |
Доказательство: |
по признаку Абеля равномерно сх-ся — |
Теорема о круге сходимости степенного ряда
Теорема: |
Пусть — произвольный степенной ряд — комплексная переменная или
Возможны три случая: 1) ряд сходится2) сходится только при3) присходится расходится — радиус сходимости |
Доказательство: |
Нужно доказать абсолютную сходимость
1) при всех ряд сходится абсолютно2) при , т.е. ряд сходитсяпри расходится (слагаемые )3) — конеченряд сходится абсолютно расходится (слагаемые ) |
Теорема о равномерной сходимости и непрерывности степенного ряда
Теорема: |
Пусть ряд — радиус сходимости. Тогда:
1) Для 2) В круге ряд равномерно сходится в круге сумма ряда — непрерывна. |
Доказательство: |
— сходится! т.к. — абс. сх.
(2) фиксируем В ; Возьмём ряд р. сх. и слагаемые непр. сумма непрерывна. |
Линейные и комплексно линейные отображения. Уравнения Коши--Римана
Лемма: |
Пусть — комплексно дифференцируема в точке . Тогда, если , отображение дифференцируемо в и выполнены соотношения:
(уравнения Коши-Римана) |
Доказательство: |
Википедия [1] |
Теорема о почленном дифференцировании степенного ряда
Теорема: |
Ряд
Ряд Тогда: 1) радиус сх-ти [Тогда . 2) при — дифф. при и ] |
Доказательство: |
Проверим р. сх. ;Тогда:
признаку Вейерштрасса р. сх. при — сх. по |
Экспонента, синус, косинус. Свойства.
1.1)
1.2)
1.3)
1.4)
Теорема: |
Доказательство: |
|
- Следствие: — ни при каких
2.1)
2.2)
2.3)
2.4)
2.5) Пусть
2.6)
2.7)
Единственность производной
Теорема: |
Производный оператор единственный. |
Доказательство: |
Покажем, что значение производного оператора определения. По линейности имеем: на каждом векторе определяется однозначно. По линейности оператора . Зафиксируем . Возьмём достаточно малое по модулю (достаточно взять , где ) и подставим вместо в равенство из. Перенеся в левую часть и разделив на , получим:, то есть . |
Лемма о покоординатной дифференцируемости
Лемма: |
Дифференцируемость отображения в точке равносильна одновременной дифференцируемости всех его координатных функций в точке . |
Доказательство: |
Пусть из определения производного оператора покоординатно: дифференцируемо в точке . Запишем равенство. Координатные функции Обратно, пусть линейного оператора являются линейными, а непрерывность и равенство нулю в нуле отображения равносильно такому же свойству его координатных функций . Поэтому для выполнено определение дифференцируемости. дифференцируемы в точке . Тогда для каждого существует линейная функция и функция , непрерывная и равная нулю в нуле, для которых выполняется равенство. Следовательно, для выполняется равенство из определения производного оператора, где — оператор с координатными функциями . |
Необходимое условие дифференцируемости.
Теорема: |
Пусть — дифференцируемо в точке
Тогда Замечание: Для и матрица Якоби — дифференцируемо в точке ; |
Доказательство: |
— это св-во дифф-ти в из |
Достаточное условие дифференцируемости
Теорема: |
Пусть , в шаре существуют все и все производные непрерывны в точке . Тогда дифференцируема в точке |
Доказательство: |
// — По теореме Лагранжа // // — средняя точка
где: по модулю; при |
Лемма об оценке нормы линейного оператора
Лемма: |
Пусть — линейный оператор. Тогда , где ( — элементы его матрицы) |
Доказательство: |
, т.е. если , то тривиально (КБШ)
|
Дифференцирование композиции
Теорема: |
— дифф. в — дифф. в ; Тогда: — дифф. в |
Доказательство: |
1. 2.
|
Дифференцирование «произведений»
Лемма: |
Пусть , , ; — дифференцируемые в . тогда:
1) 2) (здесь — скалярное произведение и ) |
Доказательство: |
1. Введём координатную ф-ю — -ая коорд. док. ф-лы;
— ограничена.
2. лин. дифф.Замечание: |
Теорема Лагранжа для векторнозначных функций
Теорема: |
— непр. на и дифф. на
Тогда: |
Доказательство: |
// Если ехать быстро и криво
при // — длина дуги; — длина хорды |
Экстремальное свойство градиента
Теорема: |
— направление Тогда Более того: указывает напр-е наискорейшего возр. ф-и, а самого быстрого убывания. напр. равенство достижимо для |
Доказательство: |
// // |
Независимость частных производных от порядка дифференцирования
Теорема: |
— опр. в окр. , дифф. в окр. Тогда эти две частные производные равны. и — непр. в |
Доказательство: |
— задано при фикс.
— средние точки
|
- Замечание 1:
Аналогично:
— опр. в окр. — непр. в
- Замечание 2:
Если
сущ. част. пр. -того порядка в окр. и все они непр. вДля
— индексыи
— которые получаются из набора перестановкаВерно:
Полиномиальная формула
Лемма: |
Если , — мультииндекс, - вектор, то |
Доказательство: |
Индукция по
<ещё суммы> = ; — это ограничение можно убрать, т.к. все слагаемые с имеют нулевой индекс |
- Замечание 1
- Замечание 2
Лемма о дифференцировании «сдвига»
Лемма: |
Пусть , открыто в , , так, что . Также . Пусть . Тогда верно . |
Доказательство: |
Доказательства нет, есть пример, из которого можно придумать доказательство по индукции, наверное. |
Многомерная формула Тейлора (с остатком в форме Лагранжа и Пеано)
Лагранж:
Теорема: |
Пусть , открыто в , . Тогда существует такое , что . |
Доказательство: |
Разложили по одномерной формуле Тейлора в точке 0, используя лемму о дифференцировании сдвига, — получили то, что нужно. |
Также можно обозначить точки через
и , тогда формула запишется в виде .Пеано:
Теорема: |
Пусть , открыто в , . Тогда . |
Теорема о пространстве линейных отображений
Теорема: |
|
Доказательство: |
1. очевидно // для2. очевидно, св-ва [2] . Википедия3. \\\\ |
Теорема Лагранжа для отображений
Теорема: |
Тогда: |
Доказательство: |
// |
Теорема об обратимости линейного отображения, близкого к обратимому
Теорема: |
Пусть ( — множество обратимых линейных операторов в ), . Тогда:
1) ;2) 3) ; . |
Доказательство: |
Лемма: пусть Тогда — обратим,Это правда, потому что , значит, — биекция(пусть )Неравенство получается из заменойСамо доказательство:
По условию теоремы множитель в последней части больше нуля, поэтому по лемме обратим, по этой же лемме выполнено 2).
|
Теорема о непрерывно дифференцируемых отображениях
Теорема: |
Пусть , где открыто, дифференцируемо на . Тогда эквивалентны утверждения:
— непрерывна. |
Доказательство: |
? непр. в
выберем ; при
— непрерывна. — нормированный базис
Точно также: |
Необходимое условие экстремума. Теорема Ролля
Необходимое условие экстремума:
Теорема: |
Пусть открыто — точка лок. экстремума. — дифф. на .
Тогда (т.е. ) |
Доказательство: |
Меняем | на , по теореме Ферма из первого семестра . Из этого следует, что все частные производные в точке a равны нулю, что нам и было нужно.
Теорема Ролля:
Теорема: |
Пусть компакт , дифференцируемо на , на (граница ), — непр. на .
Тогда существует . |
Доказательство: |
Если Если нет, то по постоянна на , то утверждение очевидно. теореме Вейерштрасса на компакте достигает наибольшего или наименьшего значения в какой-то точке, а по необходимому условию экстремума в этой точке градиент равен нулю. |
Лемма об оценке квадратичной формы и об эквивалентных нормах
Утверждение: |
1) Если квадратичная форма положительно определена, то существует такое , что для всех 2) Пусть — норма. Тогда . |
1) (Сфера теореме Вейерштрасса ) — компакт по
2) — по т. Вейерштрасса (т.к. — непр.)
|
Достаточное условие экстремума
Теорема: |
Пусть открыто в , дифф. на — стационарная точка (то есть ). — кв. форма.
Тогда справедливы следующие утверждения: 1) Если положительно определённая, то — точка минимума (локального).2) Если отрицательно определённая, то — точка максимума (локального).3) Если 4) Если не знакоопределённая, то — не точка экстремума. положительно/отрицально опр. вырожденное, то (?) может быть макс., мин. требуется исследование |
Доказательство: |
// Выберем так, чтобы при
Таким образом точка локального минимума— не знакоопределён.
— при эта сумма из '?' б.м по модулю при малых |
Лемма о почти локальной инъективности
Лемма: |
Пусть — диффеоморфизм, . Тогда |
Доказательство: |
1) — линейное.
2) // при |
Теорема о сохранении области
Теорема: |
Пусть , где открыто — диффеоморфизм в , . Тогда открыто.
1. Если 2. Непрерывность — лин. связное и — непр. — лин. связное — откр. [в ] |
Доказательство: |
— внутрення точка ?
при
Возьмем (S — сфера, т. е. граница шара)Утверждение: Т.е.:
— внутри В точке .На сфере : — имеет внутри шара пов точке минимума (у системы есть только тривиальное решение) |
Теорема о диффеоморфизме
Теорема: |
Пусть , — обратима и её производная невырождена, .
Тогда: 1) 2) |
Доказательство: |
1) — открытое Пусть Пусть — открытое, тогда — открытое.
Возьмём из леммы.Пусть
Можно считать, что близко к , так что
2) — любое. (без доказательства) |
Теорема о локальной обратимости
Теорема: |
Пусть , где открыто;
Тогда — диффеоморфизм ( или — сужение отображения на множество ). |
Доказательство: |
Нужно проверить лишь: — обратима[так как можно считать что на открыто и определено на открытом множестве и дифференцируемо по предыдущим теоремам]// Это какая-то хрень, к тому же она в конце не доказана. Надо проверить, что , тогда отображение будет биекцией.
|
- Замечание
— нужно для дифференцируемости.
— не дифференцируемо в нуле
Теорема о неявном отображении
Теорема: |
Пусть , где открыто, . Пусть известно, что невырождено ( ). Тогда:
1) существуют открытые , и существует единственное , чтоРаньше тут был забыт минус! 2) |
Доказательство: |
Пусть .
.
По теореме о локальной обратимости — такая, что — диффеоморфизм в данной окрестности.Тогда существует обратное отображение .Почти очевидно, что Берем производную — получаем 2): . |
Теорема о задании гладкого многообразия системой уравнений
Теорема: |
Пусть (гладкое многообразие), .
Эквивалентные утверждения: 1) — простое -мерное многообразие2) и существуют функции класса , для которых выполняются условия:2.1) 2.2) — линейно независимые |
Доказательство: |
— параметризация — матрица — реализуется на первых степенях
Очевидно: — невырожденно.
— диффеоморфизм на взаимно однозначное отображение на
— открыто в — реал. как — откр. в
|
Необходимое условие относительного локального экстремума
Теорема: |
Пусть , где открыто, . Пусть имеет в точке локальный относительный экстремум. Тогда , что
|
Доказательство: |
Пусть ранг реализуется на столбцах . Переобозначим .По теореме о неявном отображении: — гл. параметризация ; Точка — лок. экстремум . — необходимое усл. экстремума в матр. форме.
При таком |
Вычисление нормы линейного оператора с помощью собственных чисел
Теорема: |
Пусть . Тогда — собственное число . |
Доказательство: |
Простейшие свойства интеграла векторного поля по кусочно-гладкому пути
1) Линейность по векторному полю:
.— по линейному скалярному произведению
2) Аддитивность при дроблении пути:
.
3) Замена параметра: если
— гладкая, , ,Тогда
.
4) Пусть
— произведение путей:
то
.\\ заменить параметр
— противоположный путь (в обратную сторону)
5) Оценка интеграла:
Теорема: |
, где — длина пути.
|
Доказательство: |
Обобщенная формула Ньютона--Лебница
Теорема: |
Пусть потенциально, — потенциал , — кусочно гладкий.
Тогда . |
Доказательство: |
1) — доказано для гладкого пути\\ \\ 2) — гладкий |
Характеризация потенциальных векторных полей в терминах интегралов
Теорема: |
Если тогда эквиваленты следующие утверждение:
1) V потенциально в 2) Интеграл 3) не зависит от пути (в обл. ) |
Доказательство: |
— формула — очевидно — петля;
— очевидно
Фиксируем точку Возьмём как-нибудь путь из в— потенциал? Докажем, что (аналогично )Выберем
|
Лемма о дифференцировании интеграла по параметру
Лемма: |
Пусть — непрерывна, дифференцируема по при любых и непрерывна на промежутке. Пусть . Тогда дифференцируема и . |
Доказательство: |
зависит от — непрерывна на — равномерная непрерывность
— определение предела. |
Необходимое условие потенциальности гладкого поля. Лемма Пуанкаре
Теорема: |
Пусть — гладкое потенциальное векторное поле в . Тогда |
Доказательство: |
— потенциал, обе части (— непр., т.к. — гладкое) |
Лемма: |
Пусть — выпуклое, — векторное поле в , гладкое и . Тогда — потенциальное. |
Доказательство: |
фиксируем
|
Лемма о гусенице
Лемма: |
Пусть . Тогда существуют дробление и шары , что . |
Доказательство: |
— выберем шар
Пусть мы имеем — открытое покрытие и конечное подпокрытие Можно считать — которое лежит в , но не лежит в |
Лемма о равенстве интегралов по похожим путям
Лемма: |
Пусть — кусочно-гладкие, похожие, — локально-потенциальное векторное поле, . Тогда . |
Доказательство: |
Cуществуют дробление и шарыв существует потенциал векторного поля
Пусть — потенциал в , в выберем потенциалв выберем и т.д.
|
- Замечание
Лемма о похожести путей, близких к данному
Лемма: |
Пусть . Тогда [любые два пути, мало отличающиеся от данного — похожие] такое, что если пути — «близкие» к , то есть , то похожи. |
Доказательство: |
Cуществуют дробление и шары для— компакт в
— удовл. и — гусеница реал. похож. путей |
Равенство интегралов по гомотопным путям
Теорема: |
Пусть — локально-потенциальное векторное поле в , — связанно гомотопны. Тогда . Тоже верно для петельной гомотопии. |
Доказательство: |
— гомотопия. . Проверим, что — локальная постоянная при — постоянна) — равномерно непрерывна. верно |
Потенциальность локально потенциального поля. Следствие о лемме Пуанкаре
Теорема: |
Пусть — односвязная область, — локально потенциальное поле в . Тогда потенциально. |
Доказательство: |
По предыдущей теореме: — потенциально — гомотопия пост. пути |
Следствие: если
— односвязная, , то — потенциально.Асимптотика интеграла $\int_0^{\pi/2}\cos^nx\,dx$, $n\no+\infty$
Теорема: |
Доказательство: |
Доказательство в три шага, полностью выписывать много, поэтому здесь только идеи: 1) Доказывается заменой и каким-то подбором нового предела интегрирования, зависящего от n (конспект, стр.143)2) Доказываем, что x — точка максимума для 3) Делаем замену , вместе с этим заменяем по формуле Тейлора на и показываем, что это не мешает подставить замену в интеграл. , получаем интеграл из условия. |
Лемма о локализации (в методе Лапласа)
Лемма: |
Пусть непрерывна, на строго монотонно убывает, непрерывна. Тогда . |
Доказательство: |
// последняя экспонента с большим показателем |
Метод Лапласа вычисления асимптотики интегралов
Теорема: |
Пусть на , непрерывна, непрерывна, строго убывает, . Тогда . |
Доказательство: |
Утверждения: 1) (следствие из теоремы о локализации)2) (следствие из приема выше. Да, читается ужасно) Доказательство Выбираем окрестность точки и такое, что
Для , удовлетворяющих двум утверждениям выше, выполняется:
По утверждению 2 это меньше или равно . В квадратных скобках то, что нам нужно.Используя другие части неравенства, находим, что Вроде доказали. . |
Теорема Вейерштрасса о приближении функций многочленами
Теорема: |
Пусть непрерывна на . Тогда существует многочлен (последовательность многочленов?) , что . |
Доказательство: |
// Можно считать
Заметим, что: — достигается при
|
- Замечание
— непр. на — многочлен : на
Формула Стирлинга для Гамма-функции
Теорема: |
Доказательство: |
// // // |