Сопряжённый оператор — различия между версиями
м (rollbackEdits.php mass rollback) |
|||
(не показаны 52 промежуточные версии 15 участников) | |||
Строка 1: | Строка 1: | ||
{{В разработке}} | {{В разработке}} | ||
+ | |||
+ | [[Спектр линейного оператора|<<]][[Компактный оператор |>>]] | ||
Все рассматриваемые далее пространства считаем Банаховыми. | Все рассматриваемые далее пространства считаем Банаховыми. | ||
Строка 10: | Строка 12: | ||
== Естественное вложение == | == Естественное вложение == | ||
− | + | {{Утверждение | |
− | + | |statement= | |
+ | Между <tex> E </tex> и <tex> E^{**} </tex> существует так называемый '''естественный изоморфизм''', сохраняющий норму точки. | ||
+ | |proof= | ||
Введем <tex> F_x </tex> следующим образом: <tex>\forall x \in E : F_x (f) = f(x), f \in E^{*} </tex>. | Введем <tex> F_x </tex> следующим образом: <tex>\forall x \in E : F_x (f) = f(x), f \in E^{*} </tex>. | ||
− | <tex> F_x : E^{*} \to \mathbb{R} </tex> — функционал, заданный на <tex>E</tex>, то есть <tex> F_x \in E^{**} </tex>. | + | <tex> F_x : E^{*} \to \mathbb{R} </tex> — функционал, заданный на <tex>E^{*}</tex>, то есть <tex> F_x \in E^{**} </tex>. |
Тогда само <tex> F </tex> отображает <tex> E </tex> в <tex> E^{**} </tex>. | Тогда само <tex> F </tex> отображает <tex> E </tex> в <tex> E^{**} </tex>. | ||
Строка 22: | Строка 26: | ||
<tex> | F_x(f) | = |f(x)| \le \| f \| \| x \| </tex>, откуда <tex> \| F_x \| \le \| x \| </tex>. | <tex> | F_x(f) | = |f(x)| \le \| f \| \| x \| </tex>, откуда <tex> \| F_x \| \le \| x \| </tex>. | ||
− | С другой стороны, по | + | С другой стороны, по следствию из теоремы Хана-Банаха, для любого <tex> x_0 \in E </tex> существует <tex> f_0 \in E^* </tex>, такое, что выполняются два условия: |
# <tex> f_0(x_0) = \| x_0 \| </tex> | # <tex> f_0(x_0) = \| x_0 \| </tex> | ||
# <tex> \| f_0 \| = 1 </tex>. | # <tex> \| f_0 \| = 1 </tex>. | ||
Строка 29: | Строка 33: | ||
Значит, получившееся преобразование <tex> x \mapsto F_x </tex> — изометрия, <tex> \| x \| = \| F_x \| </tex>, получили '''естественное вложение''' <tex> E </tex> в <tex> E^{**} </tex>. | Значит, получившееся преобразование <tex> x \mapsto F_x </tex> — изометрия, <tex> \| x \| = \| F_x \| </tex>, получили '''естественное вложение''' <tex> E </tex> в <tex> E^{**} </tex>. | ||
+ | }} | ||
+ | {{Определение | ||
+ | |definition= | ||
<tex> E </tex> называется '''рефлексивным''', если <tex> E </tex> будет совпадать с <tex> E^{**} </tex> при таком отображении. | <tex> E </tex> называется '''рефлексивным''', если <tex> E </tex> будет совпадать с <tex> E^{**} </tex> при таком отображении. | ||
+ | }} | ||
Например, гильбертово пространство <tex> H </tex> рефлексивно (следует из теоремы Рисса об общем виде линейного функционала). | Например, гильбертово пространство <tex> H </tex> рефлексивно (следует из теоремы Рисса об общем виде линейного функционала). | ||
− | <tex> C[0, 1] </tex> | + | <tex> C[0, 1] </tex> не является рефлексивным. |
== Сопряженный оператор == | == Сопряженный оператор == | ||
Строка 56: | Строка 64: | ||
Получили, что <tex> \| A^* (\varphi) \| \le \| A \| \| \varphi \| </tex>, откуда <tex> \| A^* \| \le \| A \| </tex>. | Получили, что <tex> \| A^* (\varphi) \| \le \| A \| \| \varphi \| </tex>, откуда <tex> \| A^* \| \le \| A \| </tex>. | ||
− | Для доказательства в обратную сторону используем | + | Для доказательства в обратную сторону используем [[Теорема Хана-Банаха#hbnorm|следствие из теоремы Хана-Банаха]]: |
− | По определению нормы: <tex> \forall \varepsilon > 0 \, \exists x: \| x \| = 1 \implies \| A \| - \varepsilon < \| Ax \| </tex>. | + | По определению нормы оператора: <tex> \forall \varepsilon > 0 \, \exists x: \| x \| = 1 \implies \| A \| - \varepsilon < \| Ax \| </tex>. |
− | <tex> Ax \in F </tex>, по | + | <tex> Ax \in F </tex>, по следствию из теоремы Хана-Банаха подберем <tex> \varphi_0 \in F^*, \| \varphi_0 \| = 1: \varphi_0 (Ax) = \| Ax \| </tex>. |
− | <tex> | + | <tex> | A^*(\varphi_0, x) | = | \varphi_0(Ax) | = \| Ax \| > \| A \| - \varepsilon </tex>. |
− | <tex> | + | <tex> | A^*(\varphi_0, x) | \le \| A^*(\varphi_0) \| \| x \| = \| A^*(\varphi_0) \| \le \| A^* \| \| \varphi_0 \| = \| A^* \| </tex>. |
Соединяя эти два неравенства, получаем, что <tex> \forall \varepsilon > 0: \| A^* \| > \| A \| - \varepsilon </tex>. | Соединяя эти два неравенства, получаем, что <tex> \forall \varepsilon > 0: \| A^* \| > \| A \| - \varepsilon </tex>. | ||
Строка 76: | Строка 84: | ||
Возьмем любое гильбертово пространство <tex> H </tex>, <tex> A : H \to H </tex>. | Возьмем любое гильбертово пространство <tex> H </tex>, <tex> A : H \to H </tex>. | ||
− | <tex> \forall \varphi \in H^* </tex> по теореме Рисса об общем виде линейного функционала в <tex> H </tex> существует | + | <tex> \forall \varphi \in H^* </tex> по теореме Рисса об общем виде линейного функционала в <tex> H </tex> существует единственный |
<tex> z : \varphi (y) = \langle y, z \rangle, \| \varphi \| = \| z \| </tex>. | <tex> z : \varphi (y) = \langle y, z \rangle, \| \varphi \| = \| z \| </tex>. | ||
Строка 90: | Строка 98: | ||
{{Определение | {{Определение | ||
|definition= | |definition= | ||
− | Оператор <tex> A </tex> называется '''самосопряженным''', если <tex> A = A^* </tex> | + | Оператор <tex> A </tex> в гильбертовом пространстве называется '''самосопряженным''', если <tex> A = A^* </tex> |
}} | }} | ||
Строка 103: | Строка 111: | ||
Построим сопряженный оператор: | Построим сопряженный оператор: | ||
− | По теореме об общем виде линейного функционала в <tex> L_p </tex> | + | По теореме об общем виде линейного функционала в <tex> L_p </tex>, |
<tex> \forall \varphi \in E^*, x \in E: \varphi(x) = \int\limits_0^1 y(t) x(t) dt, y \in L_q </tex>, где <tex> \frac 1p + \frac 1q = 1 </tex> (<tex> p </tex> и <tex> q </tex> называются '''сопряженными показателями'''). | <tex> \forall \varphi \in E^*, x \in E: \varphi(x) = \int\limits_0^1 y(t) x(t) dt, y \in L_q </tex>, где <tex> \frac 1p + \frac 1q = 1 </tex> (<tex> p </tex> и <tex> q </tex> называются '''сопряженными показателями'''). | ||
Строка 113: | Строка 121: | ||
Получили, что <tex> A^*(\varphi, x) = \int\limits_0^1 ( \int\limits_0^1 K(s, t) y(s) ds) x(t) dt </tex>. Обозначим <tex> z(t) = \int\limits_0^1 K(s, t) y(s) ds </tex>, тогда <tex> A^* (\varphi) \equiv z </tex>, аналогично <tex> \varphi \equiv y </tex>. | Получили, что <tex> A^*(\varphi, x) = \int\limits_0^1 ( \int\limits_0^1 K(s, t) y(s) ds) x(t) dt </tex>. Обозначим <tex> z(t) = \int\limits_0^1 K(s, t) y(s) ds </tex>, тогда <tex> A^* (\varphi) \equiv z </tex>, аналогично <tex> \varphi \equiv y </tex>. | ||
− | <tex> A^* </tex> {{---}} интегральный оператор из <tex> L_q </tex>, имеющий ядро <tex> K^*(s, t) = K(t, s) </tex>. В частности, если ядро симметрично (<tex> K(s, t) = K(t, s) </tex>) | + | <tex> A^* </tex> {{---}} интегральный оператор из <tex> L_q </tex>, имеющий ядро <tex> K^*(s, t) = K(t, s) </tex>. В частности, если ядро симметрично (<tex> K(s, t) = K(t, s) </tex>) и <tex> p = q = 2 </tex>, то <tex> A = A^* </tex>. |
== Ортогональное дополнение == | == Ортогональное дополнение == | ||
− | Важное значение имеет | + | Важное значение имеет ортогональное дополнение (в любом нормированном пространстве): |
− | <tex> E </tex> {{---}} НП, <tex> S \subset E^* </tex>. | + | {{Определение |
+ | |definition= | ||
+ | Пусть <tex> E </tex> {{---}} НП, <tex> S \subset E^* </tex>. | ||
− | <tex> S^{\bot} = \{ x \in E \mid \forall f \in S: f(x) = 0 \} </tex> {{---}} ортогональное дополнение <tex> S | + | <tex> S^{\bot} = \{ x \in E \mid \forall f \in S: f(x) = 0 \} </tex> {{---}} '''ортогональное дополнение''' <tex> S </tex>. |
− | Аналогично | + | Аналогично, если <tex> T \subset E </tex>, то <tex> T^{\bot} = \{ f \in E^* \mid \forall x \in T: f(x) = 0 \} </tex>. |
+ | }} | ||
{{Утверждение | {{Утверждение | ||
− | |statement= <tex> \{ 0 \} = (E^*)^{\bot}, \{ 0 \} = E^{\bot} </tex>. | + | |statement= <tex> \{ 0 \} = (E^*)^{\bot}, \{ \mathbf{0} \} = E^{\bot} </tex>. |
|proof= | |proof= | ||
Оба включения <tex> \subset </tex> очевидны по определению. В обратную сторону: | Оба включения <tex> \subset </tex> очевидны по определению. В обратную сторону: | ||
− | Пусть <tex> x \in (E^*)^{\bot} </tex>, тогда <tex> \forall f \in E^*: f(x) = 0 </tex> | + | # Пусть <tex> x \in (E^*)^{\bot} </tex>, тогда <tex> \forall f \in E^*: f(x) = 0 </tex>. Предположим, что <tex> x \neq 0 </tex>, тогда по [[Теорема Хана-Банаха|следствию из теоремы Хана-Банаха]], для такого <tex>x</tex>, найдется функционал <tex>f: f(x) = \| x \| \neq 0 </tex>, получили противоречие, что <tex> x \in (E^*)^{\bot} </tex>. |
− | + | # Пусть <tex> f \in E^\bot </tex>, тогда <tex> \forall x \in E: f(x) = 0</tex>. Тогда <tex>f</tex> — нулевой функционал по определению. | |
− | Предположим, что <tex> x \neq 0 </tex>, тогда по | ||
− | |||
− | |||
}} | }} | ||
== Теоремы о множестве значений оператора == | == Теоремы о множестве значений оператора == | ||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
=== Теорема 1 === | === Теорема 1 === | ||
Строка 153: | Строка 152: | ||
|statement= <tex> A \in \mathcal{L}(E,F) \implies \operatorname{Cl} R(A) = (\operatorname{Ker} A^*)^\perp </tex>. | |statement= <tex> A \in \mathcal{L}(E,F) \implies \operatorname{Cl} R(A) = (\operatorname{Ker} A^*)^\perp </tex>. | ||
|proof = | |proof = | ||
− | + | <tex>\subset</tex>: | |
+ | |||
+ | <tex>\forall \varphi \in \operatorname{Ker}A^*</tex>, <tex>A^* \varphi = \mathbf{0}</tex>. | ||
− | + | Пусть <tex>y \in R(A) </tex>, тогда <tex> y = Ax </tex>. | |
− | + | <tex> \varphi (y) = \varphi(A x) = A^*(\varphi, x) = 0 </tex>, следовательно, <tex> R(A)\subset(\operatorname{Ker}A^*)^\perp</tex>. | |
− | + | Теперь, пусть <tex>y \in \operatorname{Cl} R(A)</tex>, тогда <tex> y = \lim y_n, y_n \in R(A)</tex>. | |
− | |||
− | + | <tex>\varphi(y_n) = 0, \varphi(y_n) \xrightarrow[]{n \to \infty} \varphi(y) \implies \varphi(y) = 0</tex>, и <tex>\operatorname{Cl}(R(A)) \subset (\operatorname{Ker}(A^*))^\perp</tex> | |
− | + | <tex>\supset</tex>: | |
− | + | Надо показать, что <tex>y \in (\operatorname{Ker}A^*)^\perp \implies y \in \operatorname{Cl} R(A)</tex>. Пусть это не так: <tex> y \notin \operatorname{Cl} R(A)</tex>. | |
− | + | Рассмотрим <tex> F_1 = \left\{ z + ty \mid z \in \operatorname{Cl}(R(A)), y \notin \operatorname{Cl}(R(A)), t \in \mathbb{R} \right\} </tex>. <tex>F_1</tex> {{---}} линейное множество в силу линейности <tex>\operatorname{Cl}(R(A))</tex>. | |
− | + | Покажем, что <tex>F_1</tex> -- подпространство <tex>F</tex>. Для этого нам осталось проверить замкнутость <tex>F_1</tex>: | |
− | + | Пусть <tex>z_n+t_{n}y \to u = z + ty</tex>, хотим убедиться в том, что <tex>u \in F_1</tex>. | |
− | Если | + | Если <tex> |t_{n}| \le const </tex>, то выберем <tex>t_{n_k}</tex>, стремящееся к какому-то <tex>t</tex>. Из <tex>z_n+t_{n}y \to u, t_{n_k}y \to ty </tex> получаем <tex> z_n \to z \in \operatorname{Cl}(R(A))</tex>. |
− | + | Если допустить, что <tex>t_{n_k} \to \infty</tex>: | |
− | + | <tex>z_{n_k}+t_{n_k}y \to u</tex>. <tex>z_{n_k}/t_{n_k} + y \to 0 \implies z_{n_k}/t_{n_k} \to -y \implies -y \in \operatorname{Cl}(R(A)) \implies y \in \operatorname{Cl}(R(A))</tex> {{---}} противоречие. | |
− | + | Таким образом, <tex>\operatorname{Cl}(F_1) = F_1</tex>. | |
− | + | Построим на <tex>F_1</tex> фунционал <tex>\varphi_0 : \varphi_0(z+ty) = t </tex>, <tex> \varphi_0(z) = 0</tex>. Он, очевидно, непрерывен, а по теореме Хана-Банаха с сохранением непрерывности его можно продолжить на <tex>F: \widetilde{\varphi_0} \in F^*</tex>, причем так, что <tex>\widetilde{\varphi_0}\mid _{F_1} = \varphi_0</tex>. | |
− | + | Рассмотрим значение <tex>\widetilde{\varphi_0}(y)</tex>: | |
− | {{ | + | * С одной стороны, <tex>\widetilde{\varphi_0}(y) = \varphi_0(y) = \varphi_0(0 + 1 y) = 1</tex> |
+ | * С другой стороны, <tex>y \in (\operatorname{Ker}A^*)^\perp</tex>, а значит, на любом функционале из ядра <tex>A^*</tex>, в том числе, и на <tex>\widetilde{\varphi_0}</tex>, должно выполняться <tex>\widetilde{\varphi_0}(y) = 0</tex> | ||
+ | Получили противоречие, следовательно, <tex> y \in \operatorname{Cl}(R(A))</tex>. | ||
}} | }} | ||
− | |||
=== Теорема 2 === | === Теорема 2 === | ||
Строка 196: | Строка 197: | ||
|statement= <tex> A \in \mathcal{L}(E,F),~R(A) = \operatorname{Cl} R(A) \implies R(A^*) = (\operatorname{Ker}A )^\perp </tex>. | |statement= <tex> A \in \mathcal{L}(E,F),~R(A) = \operatorname{Cl} R(A) \implies R(A^*) = (\operatorname{Ker}A )^\perp </tex>. | ||
|proof = | |proof = | ||
− | 1) <tex>f \in R(A^*) \implies f = \varphi A , \varphi \in F^*</tex>. Рассмотрим <tex> x \in (\operatorname{Ker}A). </tex> | + | 1) <tex>f \in R(A^*) \implies f = \varphi A , \varphi \in F^*</tex>. |
+ | |||
+ | Рассмотрим <tex> x \in (\operatorname{Ker}A). </tex> | ||
<tex>f(x) = \varphi(Ax) = \varphi(0) = 0 \implies R(A^*) \subset (\operatorname{Ker}A )^\perp</tex>. | <tex>f(x) = \varphi(Ax) = \varphi(0) = 0 \implies R(A^*) \subset (\operatorname{Ker}A )^\perp</tex>. | ||
2) Докажем теперь обратное включение: | 2) Докажем теперь обратное включение: | ||
− | + | ||
+ | <tex>(\operatorname{Ker}A )^\perp</tex> — набор таких <tex>f</tex>, что если <tex>Ax=0</tex>, то <tex>f(x)=0</tex>. | ||
+ | |||
+ | Надо показать, что <tex>f \in R(A^*)</tex>, т.е. проверить, что <tex>f = A^* \varphi = \varphi A</tex>. | ||
+ | |||
+ | Если найдем <tex>\varphi</tex>, заданный на <tex>R(A)</tex>, то сможем продолжить его на все <tex>F</tex> по теореме Хана-Банаха. | ||
+ | |||
+ | Рассмотрим произвольное <tex>y \in R(A)</tex>, пусть <tex>y = Ax</tex> и <tex>y = Ax'</tex>. | ||
+ | |||
+ | Тогда <tex>A(x - x') = 0</tex>, то есть <tex>x - x' \in \operatorname{Ker} A</tex>, <tex>f(x - x') = 0</tex>, и <tex>f(x) = f(x')</tex>, то есть, значение функционала не зависит от того, какой конкретно <tex>x</tex> (при <tex>Ax = y</tex>) был выбран. | ||
+ | |||
+ | Тогда можно взять <tex>\varphi(y) = f(x)</tex>, где <tex>y = Ax</tex> — линейный функционал, <tex>f = \varphi A</tex>. Осталось проверить ограниченность <tex>\varphi</tex> на <tex>R(A)</tex>. | ||
+ | |||
+ | Рассмотрим <tex>E/_{\operatorname{Ker} A}</tex>, <tex>\widetilde{A} : E/_{\operatorname{Ker} A} \to F</tex>, <tex>\widetilde{A}([x]) = Ax</tex>. | ||
+ | |||
+ | <tex>\widetilde{A} : E/_{\operatorname{Ker} A} \to R(A)</tex> — биекция, <tex>R(A)</tex> — замкнуто, <tex>F</tex> — банахово, поэтому <tex>R(A)</tex> — также банахово как подпространство в <tex>F</tex>. Введем норму для <tex>[x] \in E/_{\operatorname{Ker} A}</tex> как <tex>\|[x]\| = \inf\limits_{x\in [x]} \|x\|</tex>. | ||
+ | |||
+ | Покажем, что <tex>\widetilde{A}</tex> — ограничен: <tex>\|\widetilde{A}\| = \sup\limits_{\|[x]\| = 1} \|\widetilde{A}[x]\|</tex>. Для этого перейдем от классов эквивалентности к их представителям. Так как <tex>\|[x]\| = \inf\limits_{x \in [x]} \|x\| = 1</tex>, найдется <tex>x \in [x]</tex>, такой, что <tex>\|x\| \le 2</tex> (по определению инфимума), возьмем его в качестве представителя (мы можем это сделать, так как значение <tex>Ax</tex> одно и тоже для любого <tex>x\in[x]</tex>). Тогда: <tex>\|\widetilde{A}\| = \sup\limits_{\|[x]\| = 1} \|\widetilde{A}[x]\| \le \sup\limits_{\|x\| \le 2} \|Ax\| \le \sup\limits_{\|y\| \le 1} \|A(2 y)\| \le 2 \sup\limits_{\|y\| \le 1} \|Ay\| = 2 \|A\|</tex>, так как <tex>\|A\|</tex> был ограничен, <tex>\widetilde{A}</tex> тоже окажется ограниченным. | ||
+ | |||
+ | Тогда по [[Теорема Банаха об обратном операторе#Теорема Банаха о гомеоморфизме|теореме Банаха об гомеоморфизме]] существует линейный ограниченный оператор <tex>\widetilde{A}^{-1}</tex>, <tex>\| \widetilde{A}^{-1}(y) \| \le m \|y\| < 2m \|y\|</tex>. Замечание: строгое неравенство нам нужно для того, чтобы обеспечить существование такого <tex> x' \in A^{-1}(y) </tex>, что <tex> \| x' \| < 2m\| y \| </tex>. | ||
+ | |||
+ | <tex>\widetilde{A}^{-1}(y) = \{ x: y = Ax \}</tex> | ||
+ | |||
+ | <tex>\|\widetilde{A}^{-1}(y)\| = \inf\limits_{x\in \widetilde{A}^{-1}(y)} \|x\| < 2m \|y\| </tex>, следовательно, существует <tex> x' = A^{-1}y, \|x'\| < 2m\|y\|</tex>. | ||
+ | |||
+ | <tex> \|\varphi(y)\| = \|f(x')\| \le \|f\|\|x'\| < (2m\|f\|)\|y\| </tex>, то есть, получили ограниченность <tex> \varphi </tex>, теорема доказана. | ||
}} | }} | ||
− | </ | + | Эти две теоремы являются наиболее общей формой записи условий разрешимости операторных уравнений. |
+ | |||
+ | Смысл: рассмотрим уравнение <tex>Ax = y</tex>, где <tex>y</tex> — дано. Для того, чтобы понять, разрешимо ли уравнение, нужно проверить, что <tex>y \in R(A)</tex>. В общем случае, не существует способа это сделать, но можно ограничиться проверкой <tex>R(A) = \operatorname{Cl} R(A)</tex>, и тогда <tex>R(A) = (\operatorname{Ker}A^*)^\bot</tex>, сопряженный оператор можно построить, ядро поддается конструктивному описанию: <tex>y \in R(A) \iff y \perp \operatorname{Ker} A^*</tex>. | ||
+ | |||
+ | Например, <tex>A: \mathbb{R}^m \to \mathbb{R}^n</tex>, <tex>A^* = A^\top : \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^m</tex>. <tex>R(A) = \operatorname{Cl} R(A)</tex>, <tex>Ax = y</tex>, <tex>y</tex> — дано. Надо смотреть <tex>y \perp \operatorname{Ker} A^*</tex>, то есть <tex>A^\top y = 0</tex>. | ||
+ | |||
+ | В следующих параграфах мы введем класс бесконечномерных операторов, для которых <tex>R(A)</tex> — замкнуто, в частности, в этот класс входят интегральные операторы. | ||
+ | |||
+ | [[Категория: Функциональный анализ 3 курс]] |
Текущая версия на 19:13, 4 сентября 2022
Все рассматриваемые далее пространства считаем Банаховыми.
Определение: |
Аналогично, — пространство, сопряженное к . | — множество линейных непрерывных функционалов над , его называют пространством, сопряженным к .
Естественное вложение
Утверждение: |
Между и существует так называемый естественный изоморфизм, сохраняющий норму точки. |
Введем следующим образом: .— функционал, заданный на , то есть . Тогда само отображает в .линейно: . , откуда . С другой стороны, по следствию из теоремы Хана-Банаха, для любого существует , такое, что выполняются два условия:
Значит, получившееся преобразование , потому получаем, что . — изометрия, , получили естественное вложение в . |
Определение: |
называется рефлексивным, если будет совпадать с при таком отображении. |
Например, гильбертово пространство рефлексивно (следует из теоремы Рисса об общем виде линейного функционала).
не является рефлексивным.
Сопряженный оператор
Пусть оператор
действует из в , и функционал принадлежит .Рассмотрим
.Получили новый функционал
, принадлежащий . .. — сопряженный оператор к .
Теорема: |
Если — линейный ограниченный оператор, то . |
Доказательство: |
Возьмем .. Получили, что , откуда .Для доказательства в обратную сторону используем следствие из теоремы Хана-Банаха: По определению нормы оператора: ., по следствию из теоремы Хана-Банаха подберем . . . Соединяя эти два неравенства, получаем, что Устремляя . к нулю, получаем, что , и, окончательно, . |
Примеры сопряженных операторов
Возьмем любое гильбертово пространство
, .по теореме Рисса об общем виде линейного функционала в существует единственный .
Поскольку также является линейным функционалом , то , где не зависит от .
Имеем отображение
, тогда , и окончательно:.
В гильбертовом пространстве
сопряженный оператор — тот оператор, который позволяет писать равенство выше.
Определение: |
Оператор | в гильбертовом пространстве называется самосопряженным, если
В случае (частный случай ) оператор представляет собой матрицу размером . Сопряженный к оператор получается транспонированием соответствующей матрицы: . Для симметричной матрицы получается , то есть, если — симметричная матрица, то — самосопряженный оператор.
Рассмотрим теперь пространство
.Пусть
— непрерывная функция на , .Интегральный оператор
, действующий из в определяется так: . .Построим сопряженный оператор:
По теореме об общем виде линейного функционала в
,, где ( и называются сопряженными показателями).
.
(по теореме Фубини поменяем порядок интегрирования)
Получили, что
. Обозначим , тогда , аналогично .— интегральный оператор из , имеющий ядро . В частности, если ядро симметрично ( ) и , то .
Ортогональное дополнение
Важное значение имеет ортогональное дополнение (в любом нормированном пространстве):
Определение: |
Пусть Аналогично, если — ортогональное дополнение . , то . | — НП, .
Утверждение: |
. |
Оба включения очевидны по определению. В обратную сторону:
|
Теоремы о множестве значений оператора
Теорема 1
Теорема: |
. |
Доказательство: |
: , . Пусть , тогда ., следовательно, . Теперь, пусть , тогда ., и : Надо показать, что . Пусть это не так: .Рассмотрим . — линейное множество в силу линейности .Покажем, что -- подпространство . Для этого нам осталось проверить замкнутость :Пусть , хотим убедиться в том, что .Если , то выберем , стремящееся к какому-то . Из получаем .Если допустить, что :. — противоречие. Таким образом, .Построим на фунционал , . Он, очевидно, непрерывен, а по теореме Хана-Банаха с сохранением непрерывности его можно продолжить на , причем так, что .Рассмотрим значение :
|
Теорема 2
Теорема: |
. |
Доказательство: |
1) .Рассмотрим .2) Докажем теперь обратное включение: — набор таких , что если , то . Надо показать, что , т.е. проверить, что .Если найдем , заданный на , то сможем продолжить его на все по теореме Хана-Банаха.Рассмотрим произвольное , пусть и .Тогда , то есть , , и , то есть, значение функционала не зависит от того, какой конкретно (при ) был выбран.Тогда можно взять , где — линейный функционал, . Осталось проверить ограниченность на .Рассмотрим , , .— биекция, — замкнуто, — банахово, поэтому — также банахово как подпространство в . Введем норму для как . Покажем, что — ограничен: . Для этого перейдем от классов эквивалентности к их представителям. Так как , найдется , такой, что (по определению инфимума), возьмем его в качестве представителя (мы можем это сделать, так как значение одно и тоже для любого ). Тогда: , так как был ограничен, тоже окажется ограниченным.Тогда по теореме Банаха об гомеоморфизме существует линейный ограниченный оператор , . Замечание: строгое неравенство нам нужно для того, чтобы обеспечить существование такого , что .
, следовательно, существует . , то есть, получили ограниченность , теорема доказана. |
Эти две теоремы являются наиболее общей формой записи условий разрешимости операторных уравнений.
Смысл: рассмотрим уравнение
, где — дано. Для того, чтобы понять, разрешимо ли уравнение, нужно проверить, что . В общем случае, не существует способа это сделать, но можно ограничиться проверкой , и тогда , сопряженный оператор можно построить, ядро поддается конструктивному описанию: .Например,
, . , , — дано. Надо смотреть , то есть .В следующих параграфах мы введем класс бесконечномерных операторов, для которых
— замкнуто, в частности, в этот класс входят интегральные операторы.