Типы дифференциальных уравнений — различия между версиями
(Новая страница: «==Уравнение с разделенными переменными== {{Определение|definition= уравнение вида <tex>M(x)dx + N(y)dy = ...») |
м (rollbackEdits.php mass rollback) |
||
(не показано 87 промежуточных версий 20 участников) | |||
Строка 1: | Строка 1: | ||
==Уравнение с разделенными переменными== | ==Уравнение с разделенными переменными== | ||
− | {{Определение|definition= уравнение вида <tex>M(x)dx + N(y)dy = 0</tex> называется уравнением с разделенными переменными}} | + | {{Определение|definition= уравнение вида <tex>M(x)dx + N(y)dy = 0 \:\: (1)</tex> называется уравнением с разделенными переменными}} |
+ | <b>Решение:</b> | ||
+ | <tex>(1) \:\: \Leftrightarrow \:\: M(x)dx = -N(y)dy</tex> далее интегрируем правую и левую части | ||
+ | ==Уравнение с разделяемыми переменными== | ||
+ | {{Определение|definition= уравнение вида <tex>M_{1}(x)N_{1}(y)dx + M_{2}(x)N_{2}(y)dy = 0 \:\: (2)</tex> называется уравнением с разделяемыми переменными}} | ||
+ | <b>Решение:</b> (2) разделим на <tex>N_{1}(y)M_{2}(x) \neq 0</tex> и оно сведется к (1). в случае = 0 могут существовать особые решения. | ||
+ | |||
+ | ==Однородные уравнения== | ||
+ | {{Определение|definition = уравнение вида <tex>M(x, y)dx + N(x, y)dy = 0 \:\: (3)</tex>, где M и N - однородные функции одного измерения, называется однородным уравнением}} | ||
+ | {{Определение | definition= <tex>f(x, y) \ - </tex> однородная функция измерения n <tex>\Leftrightarrow \: f(\lambda x, \lambda y) = \lambda^{n}f(x, y)</tex> }} | ||
+ | <b>Решение:</b> произвести замену <tex>t = \dfrac{y}{x}</tex> | ||
+ | |||
+ | {{Определение | definition= <tex dpi=150>\dfrac{dy}{dx}=f\left(\dfrac{y}{x}\right) \ -</tex> один из видов однородного уравнения. }} | ||
+ | |||
+ | ==Уравнения приводящиеся к однородным== | ||
+ | {{Определение|definition= уравнение вида <tex dpi = 150>\dfrac{dy}{dx}= f\left(\dfrac{a_{1}x + b_{1}y + c_{1}}{a_{2}x + b_{2}y + c_{2}}\right) (4)</tex> называется уравнением приводящимся к однородному}} | ||
+ | {{Утверждение|statement = | ||
+ | Решением уравнения <tex>(4)</tex> является: | ||
+ | 1) <tex>\begin{vmatrix} | ||
+ | a_{1} & b_{1}\\ | ||
+ | a_{2} & b_{2} | ||
+ | \end{vmatrix} \neq 0 \Rightarrow \left\{\begin{matrix} | ||
+ | x = u + \alpha \\ | ||
+ | y = v + \beta | ||
+ | \end{matrix}\right. </tex> | ||
+ | |||
+ | <tex> (\alpha, \beta) : \left\{\begin{matrix} | ||
+ | a_{1}x + b_{1}y + c_{1} = 0\\ | ||
+ | a_{2}x + b_{2}y + c_{2} = 0 | ||
+ | \end{matrix}\right.</tex> | ||
+ | |||
+ | Тогда получаем однородное уравнение. | ||
+ | |||
+ | 2) <tex>\begin{vmatrix} | ||
+ | a_{1} & b_{1}\\ | ||
+ | a_{2} & b_{2} | ||
+ | \end{vmatrix} = 0 \Rightarrow | ||
+ | </tex> пусть <tex>a_{1} x + b_{1} y + c_{1} = t | ||
+ | </tex> | ||
+ | <br> | ||
+ | |||
+ | Тогда получаем уравнение с разделяющимися переменными. | ||
+ | |||
+ | | proof = Докажем 1), второй доказывается аналогично. | ||
+ | Подставим замену: <br> | ||
+ | <tex>a_{1}x + b_{1}y + c_{1} = a_{1}(u + \alpha) + b_{1}(v + \beta) + c_{1} = a_{1}\alpha + b_{1}\beta + c_{1} + a_{1}u + b_{1}v =</tex> <tex>a_{1}u + b_{1}v = 0 </tex> | ||
+ | Получили однородное уравнение. | ||
+ | }} | ||
+ | |||
+ | ==Линейное уравнение первого порядка== | ||
+ | {{Определение|definition= уравнение вида <tex>\frac{dy}{dx} = p(x) y + q(x)(5)</tex> называется линейным уравнением <tex>I</tex> порядка}} | ||
+ | |||
+ | {{Определение|definition= Если <tex>q(x) = 0</tex>, то уравнение <tex>(5) </tex> называется однородным линейным уравнением <tex>I</tex> порядка}} | ||
+ | |||
+ | ===Способ решения методом Бернулли=== | ||
+ | Пусть <tex> y(x) = u(x) v(x)</tex>, тогда: | ||
+ | |||
+ | <tex> u'(x) v(x) + u(x) v'(x) = p(x) u(x) v(x) + q(x) </tex> | ||
+ | |||
+ | <tex> | ||
+ | u'(x) v(x) + u(x) [ v'(x) - p(x) v(x)] = q(x) | ||
+ | </tex>, назовем это уравнение <tex>(5a)</tex> | ||
+ | |||
+ | Пусть <tex> v(x) </tex> таково, что: | ||
+ | |||
+ | <tex> v'(x) - p(x) v(x) = 0 </tex> | ||
+ | |||
+ | Тогда: | ||
+ | |||
+ | <tex>\frac{dv(x)}{dx} - p(x) v(x) = 0 </tex>. Домножим на <tex> \frac{dx}{dv(x)} </tex> | ||
+ | <tex>\frac{dv}{v} - p(x) dx = 0 </tex>. Отсюда получаем: | ||
+ | |||
+ | <tex>ln(v) = \int p(x)dx + C</tex> | ||
+ | |||
+ | <tex>v(x) = e^{C+ \int p(x)dx} = C e^{\int p(x)dx}</tex> | ||
+ | |||
+ | Пусть <tex> C = 1</tex>. Тогда из <tex>(5a)</tex> получаем: | ||
+ | |||
+ | <tex> u'(x) e^{\int p(x)dx} = q(x) </tex> | ||
+ | |||
+ | <tex> u(x) = \int q(x) e^{\int -p(x)dx} dx + C_{1} </tex>. Тогда | ||
+ | |||
+ | <tex>y(x) = e^{\int p(x)dx} [ \int q(x) e^{\int -p(x)dx} dx + C_{1}] </tex> | ||
+ | |||
+ | ===Способ решения методом Лагранжа=== | ||
+ | Рассмотрим: | ||
+ | |||
+ | <tex> \frac{dy}{dx} = p(x) y </tex> | ||
+ | |||
+ | Рассмотрим общее однородное(O.O) и общее неоднородное решение(O.H): | ||
+ | <tex> y_{O.O} = C e^{\int p(x)dx}</tex> (из док-ва Бернулли) | ||
+ | |||
+ | Пусть: | ||
+ | |||
+ | <tex> y_{O.H} = C(x) e^{\int p(x)dx}</tex> | ||
+ | |||
+ | <tex> C'(x) e^{\int p(x)dx} + C(x) p(x) e^{\int p(x)dx} = p(x) C(x) e^{\int p(x)dx} + q(x) </tex> | ||
+ | |||
+ | <tex> C'(x) = q(x) e^{-\int p(x)dx} </tex> | ||
+ | |||
+ | <tex> C(x) = \int q(x) C(x) e^{\int p(x)dx} dx + C_{1} </tex> | ||
+ | |||
+ | <tex>y(x) = e^{\int p(x)dx} [ \int q(x) e^{\int p(x)dx} dx + C_{1}] </tex> | ||
+ | |||
+ | ==Уравнение в полных дифференциалах== | ||
+ | {{Определение| definition= Уравнение вида: <tex>M(x, y)dx + N(x, y)dy = 0 \:\: (6)</tex> называется уравнением в полных дифференциалах, если <tex>(6) = du(x, y)</tex>}} | ||
+ | т.к. <tex>du(x, y) = 0 \Leftrightarrow u(x, y) = C \: -</tex> общий интеграл. | ||
+ | {{Теорема|statement = Пусть <tex>M(x, y), N(x, y) \in C(G)</tex>, где G - односвязная область, и <tex>\frac{\partial M(x,y)}{\partial y}, \: \frac{\partial N(x, y)}{\partial x} \in C(G)</tex>; <br> Тогда <tex>Mdx + Ndy = du \: \Leftrightarrow \frac{\partial M(x, y)}{\partial y} \equiv \frac{\partial N(x, y)}{\partial x} </tex>| proof = Рассмотрим первоначальное уравнение: <br> <tex> M(x,y)dx + N(x,y)dy = 0 </tex> <br> Перепишем его в виде: <tex> M(x,y)dx + N(x,y)dy \equiv du(x,y) = \dfrac{\partial u}{\partial x}dx + \dfrac{\partial u}{\partial y}dy. </tex> <br> Тогда видим, что <tex> \dfrac{\partial u}{\partial x} = M, \dfrac{\partial u}{\partial y} = N </tex> <br> Т.к.<tex> M,N </tex> - непрерывные на <tex> C </tex>, то давайте рассмотрим <tex> \dfrac{\partial^2 u}{\partial x \partial y} = \dfrac{\partial M}{\partial y} </tex> и <tex> \dfrac{\partial^2 u}{\partial y \partial x} = \dfrac{\partial N}{\partial x} </tex> <br> Левые части в этих равенствах равны, а следовательно равны и правые. Необходимость доказана. <br> Докажем теперь достаточность. <br> Предположим, что равенство частных производных выполняется, тогда рассмотрим следующую функцию: <br> <tex> a(x,y) = \int_{x_{0}}^{x}M(q, y)dq + \int_{y_{0}}^{y}N(x_{0}, z)dz </tex> <br> Найдем для нее частные производные по <tex> x </tex> и <tex> y </tex>: <br> <tex> \dfrac{\partial a}{\partial x} = M(x,y) </tex>, а дифференцируя по <tex> y </tex> и учитывая условие <tex> \frac{\partial M(x, y)}{\partial y} \equiv \frac{\partial N(x, y)}{\partial x} </tex>, получаем : <br> <tex> \dfrac{\partial a}{\partial y} = \int_{x_{0}}^{x}\frac{\partial M(q, y)}{\partial y}dq + N(x_0, y) = N(x,y) - N(x_0,y) + N(x_0,y) = N(x,y) </tex> , достаточность доказана, т.к. <tex> a(x,y) = u(x,y) </tex> - общий интеграл . }} | ||
+ | <b>Решение:</b> <tex>u(x, y) = \int_{x_{0}}^{x}M(x, y)dx + \int_{y_{0}}^{y}N(x_{0}, y)dy = C \: - </tex> Общее решение. | ||
+ | |||
+ | ==Уравнение, приводящееся к уравнению в полных дифференциалах== | ||
+ | в условиях предыдущего определения, но <tex>\frac{\partial M}{\partial y} \not\equiv \frac{\partial N}{\partial x}</tex>. Домножим (6) на <tex>\mu(x, y): \:</tex> <br> <tex>M \frac{\partial \mu}{\partial y} + \mu \frac{\partial M }{\partial y} = N \frac{\partial \mu}{\partial x} + \mu \frac{\partial N}{\partial x} \: \Rightarrow \: M \frac{\partial \mu}{\partial y} - N \frac{\partial \mu}{\partial x} = \mu (\frac{\partial N}{\partial x} - \frac{\partial M}{\partial y}) \: (*)</tex> <br> | ||
+ | {{Утверждение|statement= Пусть <tex>\exists \omega (x, y) \in C'(G): \:\:</tex> <tex dpi = "165"> \frac{\frac{\partial M}{\partial y} - \frac{\partial N}{\partial x}}{ N \frac{\partial \omega}{\partial x} - M \frac{\partial \omega}{\partial y}} = \psi(\omega) \: \Rightarrow \mu = e^{\int \psi(\omega)d\omega}</tex>| | ||
+ | proof= Пусть <tex dpi = "145">\mu = h(\omega) \: \Rightarrow \: M \frac{dh}{d\omega}\frac{\partial \omega}{\partial y} - N \frac{dh}{d\omega}\frac{\partial \omega}{\partial x} = h(\omega)(\frac{\partial N}{\partial x} - \frac{\partial M}{\partial y})</tex> <br><br>перегруппируем: <tex dpi = "165">\frac{dh}{d\omega} = h(\omega)\frac{\frac{\partial N}{\partial x} - \frac{\partial M}{\partial y})}{M\frac{\partial \omega}{\partial y} - N \frac{\partial \omega}{\partial x}} \: \Rightarrow</tex><br><tex dpi = "145">\frac{dh}{d\omega} = h(\omega)\psi(\omega)</tex> | ||
+ | <tex dpi = "145">\mu(x, y) = h(\omega) = e^{\int\psi(\omega)d\omega}</tex>}} | ||
+ | только как решать все равно не понятно.<br> | ||
+ | Но. <br> | ||
+ | Если <tex>\mu</tex> зависит только от x или только от y, можно выразить ее в явном виде:<br> | ||
+ | <tex dpi = "150"> \mu(x) = e^{\int \frac{\frac{\partial M}{\partial y} - \frac{\partial N}{\partial x}}{N} dx}</tex><br> | ||
+ | <tex dpi = "150"> \mu(y) = e^{-\int \frac{\frac{\partial M}{\partial y} - \frac{\partial N}{\partial x}}{M} dy}</tex> | ||
+ | |||
+ | ==Уравнение Бернулли== | ||
+ | {{Определение| definition= уравнение вида <tex>\frac{dy}{dx} = p(x) y + q(x)y^m, \: m \in \mathbb{R} \setminus \left \{ 0, 1 \right \}\:</tex>, называется уравнением Бернулли.}} | ||
+ | <b>Решение:</b><br> | ||
+ | <tex>y^{-m}y' = p(x)y^{1-m}+q(x), y \neq 0</tex><br> | ||
+ | <tex>(\frac{y^{1-m}}{1-m})' - p(x)y^{1-m}= q(x)</tex>, пусть <tex>z(x) = y^{1-m} \: \Rightarrow</tex><br> | ||
+ | <tex>z'(x) - p(x)(1 - m)z(x) = (1 - m)q(x) \: - </tex>линейное относительно z уравнение. | ||
+ | ==Уравнение Риккати== | ||
+ | {{Определение|definition= Уравнение вида <tex>\frac{dy}{dx} = p(x)y + q(x) + r(x)y^{2}\:\: (9)</tex>, где <tex>p, q, r \in C(a,b)\:</tex> называется уравнением Риккати}} | ||
+ | <b>Решение:</b><br> | ||
+ | Пусть <tex>y_{1}(x)\: - </tex> частное решение уравнения (9), тогда <tex>y(x) = z(x) + y_{1}</tex><br> | ||
+ | <tex>z' + y'_{1} = p(z + y_{1}) + q + r(z + y_{1})^{2}</tex><br> | ||
+ | <tex>z' = pz + rz^{2} + 2rzy_{1}\: - </tex> уравнение (8) | ||
+ | ==Уравнения 1-го порядка не разрешенные относительно 1-й производной== | ||
+ | ===x явно зависит от y'=== | ||
+ | <b>Решение:</b><br> | ||
+ | Пусть <tex>x = \phi(y')\:\: (10)</tex> | ||
+ | <br>Перейдем к параметрической системе: | ||
+ | <br><tex> | ||
+ | \left\{\begin{matrix} | ||
+ | x = \phi(t) | ||
+ | \\y' = t | ||
+ | \end{matrix}\right.</tex><br> | ||
+ | <tex>dy = t dx = t \phi'(t)</tex><br> | ||
+ | <tex> | ||
+ | \left\{\begin{matrix} | ||
+ | y = \int t\phi'(t)dt | ||
+ | \\x = \phi(t) | ||
+ | \end{matrix}\right.</tex> | ||
+ | <br> | ||
+ | ===y явно зависит от y'=== | ||
+ | <b>Решение:</b><br> | ||
+ | Пусть <tex>y = \phi(y')\:\: (11)</tex> | ||
+ | <br>Переходим к системе: | ||
+ | <tex> | ||
+ | \left\{\begin{matrix} | ||
+ | y = \phi(t) | ||
+ | \\y' = t | ||
+ | \end{matrix}\right.</tex><br> | ||
+ | <tex>dx = \frac{\phi'(t)dt}{t}</tex><br> | ||
+ | |||
+ | <tex> | ||
+ | \left\{\begin{matrix} | ||
+ | x = \int \frac{\phi'(t)dt}{t} | ||
+ | \\y = \phi(t) | ||
+ | \end{matrix}\right.</tex> | ||
+ | |||
+ | ===уравнение Лагранжа=== | ||
+ | {{Определение|definition= уравнение вида <tex>y = \phi(y')x + \psi(y')\:\: (12)</tex>, называется уравнением Лагранжа}} | ||
+ | <b>Решение:</b><br> | ||
+ | Переходим к системе:<br> | ||
+ | <tex> | ||
+ | \left\{\begin{matrix} | ||
+ | y = \phi(t)x + \psi(t) | ||
+ | \\y' = t | ||
+ | |||
+ | \end{matrix}\right.</tex><br> | ||
+ | <tex>dy = (\phi'(t)x + \psi'(t))dt + \phi(t)dx = tdx</tex><br> | ||
+ | <tex>(\phi'(t)x+ \psi'(t))dt + (\phi(t) - t)dx = 0</tex><br> | ||
+ | <tex>\Rightarrow \: ]x = F(t, C), \: \phi(t) - t \neq 0</tex><br> | ||
+ | <tex>\left\{\begin{matrix} | ||
+ | x = F(t, C) | ||
+ | \\y = \phi(t)F(t, C) + \psi(t) | ||
+ | \end{matrix}\right.</tex><br> | ||
+ | ===Уравнение Клеро=== | ||
+ | {{Определение|definition= уравнение вида <tex>y = xy' + \psi(y')\:\: (13)</tex>, называется уравнением Клеро}} | ||
+ | <b>Решение:</b><br> | ||
+ | Пусть <tex>y' = t \: \Rightarrow \: dy = tdx = (x + \psi'(t))dt + tdx \: \Rightarrow \: (x + \psi'(t))dt = 0 </tex> | ||
+ | <br> | ||
+ | Тогда либо <tex>dt = 0 \: (1)</tex>, либо <tex>x + \psi'(t) = 0 \: (2)</tex> | ||
+ | <br> | ||
+ | <tex>(1):\: t = C \Rightarrow y = xC + \psi(C)</tex> {{---}} общее решение. | ||
+ | <br> | ||
+ | <tex>(2):\: \left\{\begin{matrix} | ||
+ | x = -\psi'(t)\\y = -\psi'(t)t + \psi(t) | ||
+ | \end{matrix}\right.</tex> |
Текущая версия на 19:07, 4 сентября 2022
Уравнение с разделенными переменными
Определение: |
уравнение вида | называется уравнением с разделенными переменными
Решение:
далее интегрируем правую и левую частиУравнение с разделяемыми переменными
Определение: |
уравнение вида | называется уравнением с разделяемыми переменными
Решение: (2) разделим на
и оно сведется к (1). в случае = 0 могут существовать особые решения.Однородные уравнения
Определение: |
уравнение вида | , где M и N - однородные функции одного измерения, называется однородным уравнением
Определение: |
однородная функция измерения n |
Решение: произвести замену
Определение: |
один из видов однородного уравнения. |
Уравнения приводящиеся к однородным
Определение: |
уравнение вида | называется уравнением приводящимся к однородному
Утверждение: |
Решением уравнения является:
1)
Тогда получаем однородное уравнение. 2) |
Докажем 1), второй доказывается аналогично.
Подставим замену: |
Линейное уравнение первого порядка
Определение: |
уравнение вида | называется линейным уравнением порядка
Определение: |
Если | , то уравнение называется однородным линейным уравнением порядка
Способ решения методом Бернулли
Пусть
, тогда:
, назовем это уравнение
Пусть
таково, что:
Тогда:
. Домножим на . Отсюда получаем:
Пусть
. Тогда из получаем:
. Тогда
Способ решения методом Лагранжа
Рассмотрим:
Рассмотрим общее однородное(O.O) и общее неоднородное решение(O.H):
(из док-ва Бернулли)Пусть:
Уравнение в полных дифференциалах
Определение: |
Уравнение вида: | называется уравнением в полных дифференциалах, если
т.к.
общий интеграл.Теорема: |
Пусть , где G - односвязная область, и ; Тогда |
Доказательство: |
Рассмотрим первоначальное уравнение: Перепишем его в виде: Тогда видим, что Т.к. - непрерывные на , то давайте рассмотрим и Левые части в этих равенствах равны, а следовательно равны и правые. Необходимость доказана. Докажем теперь достаточность. Предположим, что равенство частных производных выполняется, тогда рассмотрим следующую функцию: Найдем для нее частные производные по и : , а дифференцируя по и учитывая условие , получаем : , достаточность доказана, т.к. - общий интеграл . |
Решение:
Общее решение.Уравнение, приводящееся к уравнению в полных дифференциалах
в условиях предыдущего определения, но
Утверждение: |
Пусть |
Пусть |
только как решать все равно не понятно.
Но.
Если зависит только от x или только от y, можно выразить ее в явном виде:
Уравнение Бернулли
Определение: |
уравнение вида | , называется уравнением Бернулли.
Решение:
, пусть
линейное относительно z уравнение.
Уравнение Риккати
Определение: |
Уравнение вида | , где называется уравнением Риккати
Решение:
Пусть частное решение уравнения (9), тогда
уравнение (8)
Уравнения 1-го порядка не разрешенные относительно 1-й производной
x явно зависит от y'
Решение:
Пусть
Перейдем к параметрической системе:
y явно зависит от y'
Решение:
Пусть
Переходим к системе:
уравнение Лагранжа
Определение: |
уравнение вида | , называется уравнением Лагранжа
Решение:
Переходим к системе:
Уравнение Клеро
Определение: |
уравнение вида | , называется уравнением Клеро
Решение:
Пусть
Тогда либо , либо
— общее решение.