Отношение порядка — различия между версиями
Pavponn (обсуждение | вклад) (→Примеры) |
м (rollbackEdits.php mass rollback) |
||
(не показано 5 промежуточных версий 5 участников) | |||
Строка 4: | Строка 4: | ||
[[Бинарное отношение]] <tex>R</tex> на множестве <tex>X</tex> называется '''отношением частичного порядка''' (англ. ''partial order relation''), если оно обладает следующими свойствами: | [[Бинарное отношение]] <tex>R</tex> на множестве <tex>X</tex> называется '''отношением частичного порядка''' (англ. ''partial order relation''), если оно обладает следующими свойствами: | ||
* [[Рефлексивное отношение|Рефлексивность]] (англ. ''reflexivity''): <tex>\forall a \in X: aRa</tex>. | * [[Рефлексивное отношение|Рефлексивность]] (англ. ''reflexivity''): <tex>\forall a \in X: aRa</tex>. | ||
− | * [[ | + | * [[Антисимметричное отношение|Антисимметричность]] (англ. ''antisymmetry''): <tex>\forall a, b \in X:</tex> если <tex>aRb</tex> и <tex>bRa</tex>, то <tex> a = b </tex>. |
* [[Транзитивное отношение|Транзитивность]] (англ. ''transitivity''): <tex>\forall a, b, c \in X:</tex> если <tex>aRb</tex> и <tex>bRc</tex>, то <tex>aRc</tex>. | * [[Транзитивное отношение|Транзитивность]] (англ. ''transitivity''): <tex>\forall a, b, c \in X:</tex> если <tex>aRb</tex> и <tex>bRc</tex>, то <tex>aRc</tex>. | ||
}} | }} | ||
Строка 14: | Строка 14: | ||
[[Бинарное отношение]] <tex>R</tex> на множестве <tex>X</tex> называется '''строгим отношением частичного порядка''' (англ. ''strict order relation''), если оно обладает следующими свойствами: | [[Бинарное отношение]] <tex>R</tex> на множестве <tex>X</tex> называется '''строгим отношением частичного порядка''' (англ. ''strict order relation''), если оно обладает следующими свойствами: | ||
* [[Рефлексивное отношение|Антирефлексивность]] (англ. ''irreflexivity''): <tex>\forall a \in X: aRa </tex> — не выполняется. | * [[Рефлексивное отношение|Антирефлексивность]] (англ. ''irreflexivity''): <tex>\forall a \in X: aRa </tex> — не выполняется. | ||
− | * [[ | + | * [[Антисимметричное отношение|Антисимметричность]] (англ. ''antisymmetry''): <tex>\forall a, b \in X:</tex> если <tex>aRb</tex> и <tex>bRa</tex>, то <tex> a = b </tex>. |
* [[Транзитивное отношение|Транзитивность]]: (англ. ''transitivity'') <tex>\forall a, b, c \in X:</tex> если <tex>aRb</tex> и <tex>bRc</tex>, то <tex>aRc</tex>. | * [[Транзитивное отношение|Транзитивность]]: (англ. ''transitivity'') <tex>\forall a, b, c \in X:</tex> если <tex>aRb</tex> и <tex>bRc</tex>, то <tex>aRc</tex>. | ||
}} | }} | ||
Строка 26: | Строка 26: | ||
|definition = | |definition = | ||
[[Бинарное отношение]] <tex>R</tex> на множестве <tex>X</tex> называется '''отношением полного порядка''' (англ. ''well-order relation''), если оно является отношением линейного порядка и обладает следующим свойством: | [[Бинарное отношение]] <tex>R</tex> на множестве <tex>X</tex> называется '''отношением полного порядка''' (англ. ''well-order relation''), если оно является отношением линейного порядка и обладает следующим свойством: | ||
− | <tex>\forall Y \ | + | <tex>\forall Y \subset X \exists a \in Y \forall b \in Y: aRb</tex>. |
}} | }} | ||
Множество <tex>X</tex>, на котором введено отношение полного порядка, называется '''полностью упорядоченным''' (англ. ''well-order''). | Множество <tex>X</tex>, на котором введено отношение полного порядка, называется '''полностью упорядоченным''' (англ. ''well-order''). | ||
Строка 39: | Строка 39: | ||
* Отношение «является делителем» на множестве натуральных чисел является отношением частичного порядка. | * Отношение «является делителем» на множестве натуральных чисел является отношением частичного порядка. | ||
* Отношение «меньше или равно» является отношением полного порядка на множестве натуральных чисел. | * Отношение «меньше или равно» является отношением полного порядка на множестве натуральных чисел. | ||
− | * Отношение | + | * Отношение «лексикографически не меньше» на множестве всех возможных слов, составленных из букв русского алфавита, является отношением полного порядка. |
* Отношение «состоит в подчинении» на множестве работников компании является отношением нестрогого порядка. | * Отношение «состоит в подчинении» на множестве работников компании является отношением нестрогого порядка. | ||
* Можно рассмотреть отношение «не младше» на множестве некоторой группы людей. Для соблюдения всех тонкостей скажем, что их даты рождения различны. Это отношение транзитивно (если ''человек A'' не младше ''человека B'', а ''человек B'' не младше ''человека C'', то ''человек A'' не младше ''человека C''), антисимметрично (если ''человек A'' не младше ''человека B'' и ''человек B'' не младше ''человека A'', то это один и тот же человек) и рефлексивно (каждый человек не младше самого себя). Из этого следует, что данное отношение является отношением частичного линейного порядка. | * Можно рассмотреть отношение «не младше» на множестве некоторой группы людей. Для соблюдения всех тонкостей скажем, что их даты рождения различны. Это отношение транзитивно (если ''человек A'' не младше ''человека B'', а ''человек B'' не младше ''человека C'', то ''человек A'' не младше ''человека C''), антисимметрично (если ''человек A'' не младше ''человека B'' и ''человек B'' не младше ''человека A'', то это один и тот же человек) и рефлексивно (каждый человек не младше самого себя). Из этого следует, что данное отношение является отношением частичного линейного порядка. | ||
* Отношение «является делителем» на множестве целых чисел не является отношением частичного порядка. Это легко видеть на следующем примере: <tex> 2 </tex> делится на <tex> -2 </tex>, а <tex> -2 </tex> делится на <tex> 2 </tex>. Однако <tex> 2 \neq -2</tex>. | * Отношение «является делителем» на множестве целых чисел не является отношением частичного порядка. Это легко видеть на следующем примере: <tex> 2 </tex> делится на <tex> -2 </tex>, а <tex> -2 </tex> делится на <tex> 2 </tex>. Однако <tex> 2 \neq -2</tex>. | ||
− | * Отношение «больше или равно по модулю» на множестве комплексных чисел не является отношением порядка. Из равенства модулей не следует равенство самих чисел, | + | * Отношение «больше или равно по модулю» на множестве комплексных чисел не является отношением порядка. Из равенства модулей не следует равенство самих чисел, тем самым нарушается антисимметричность. Это демонстрирует данный пример: модули комплексных чисел <tex> 3 + 4i </tex> и <tex> 4 + 3i </tex> равны, но сами числа разные. |
==См. также== | ==См. также== |
Текущая версия на 19:41, 4 сентября 2022
Определения
Определение: |
Бинарное отношение на множестве называется отношением частичного порядка (англ. partial order relation), если оно обладает следующими свойствами:
|
Множество
, на котором введено отношение частичного порядка, называется частично упорядоченным.Отношение частичного порядка также называют нестрогим порядком (англ. non-strict order).
Определение: |
Бинарное отношение на множестве называется строгим отношением частичного порядка (англ. strict order relation), если оно обладает следующими свойствами:
|
Определение: |
Бинарное отношение на множестве называется отношением линейного порядка (англ. total order relation), если оно является отношением частичного порядка и обладает следующим свойством: либо , либо . |
Множество
, на котором введено отношение линейного порядка, называется линейно упорядоченным (англ. total order).Определение: |
Бинарное отношение на множестве называется отношением полного порядка (англ. well-order relation), если оно является отношением линейного порядка и обладает следующим свойством: . |
Множество
, на котором введено отношение полного порядка, называется полностью упорядоченным (англ. well-order).Отношение нестрогого порядка обозначают символом
. Запись вида читают как « меньше либо равно ».Отношение строгого порядка обозначают символом
. Запись вида читают как « меньше ».Примеры
- На множестве вещественных чисел отношения «больше» и «меньше» являются отношениями строгого порядка, а «больше или равно» и «меньше или равно» — нестрогого, причем линейного порядка, но не полного.
- Отношение «является делителем» на множестве натуральных чисел является отношением частичного порядка.
- Отношение «меньше или равно» является отношением полного порядка на множестве натуральных чисел.
- Отношение «лексикографически не меньше» на множестве всех возможных слов, составленных из букв русского алфавита, является отношением полного порядка.
- Отношение «состоит в подчинении» на множестве работников компании является отношением нестрогого порядка.
- Можно рассмотреть отношение «не младше» на множестве некоторой группы людей. Для соблюдения всех тонкостей скажем, что их даты рождения различны. Это отношение транзитивно (если человек A не младше человека B, а человек B не младше человека C, то человек A не младше человека C), антисимметрично (если человек A не младше человека B и человек B не младше человека A, то это один и тот же человек) и рефлексивно (каждый человек не младше самого себя). Из этого следует, что данное отношение является отношением частичного линейного порядка.
- Отношение «является делителем» на множестве целых чисел не является отношением частичного порядка. Это легко видеть на следующем примере: делится на , а делится на . Однако .
- Отношение «больше или равно по модулю» на множестве комплексных чисел не является отношением порядка. Из равенства модулей не следует равенство самих чисел, тем самым нарушается антисимметричность. Это демонстрирует данный пример: модули комплексных чисел и равны, но сами числа разные.
См. также
Источники информации
- Новиков Ф. А. — Дискретная математика для программистов: Учебник для вузов. 3-е изд. — СПБ.: Питер, 2009 — 50 с.
- Wikipedia — Total order
- Википедия — Отношение порядка
- Wikia — Отношение порядка