Формула полной вероятности — различия между версиями
(→Доказательство) |
м (rollbackEdits.php mass rollback) |
||
(не показано 26 промежуточных версий 8 участников) | |||
Строка 1: | Строка 1: | ||
− | '''Формула полной вероятности''' позволяет вычислить вероятность интересующего события через | + | '''Формула полной вероятности''' (англ. ''law of total probability'') позволяет вычислить [[Вероятностное пространство, элементарный исход, событие | вероятность]] интересующего события <tex> A </tex> через вероятности его произойти при выполнении ''гипотез'' с заданной вероятностью. Формула полной вероятности требуется, когда необходимо узнать вероятность совершения некоторого события, если его совершение зависит от нескольких условий. Например, можно узнать вероятность принятия законопроекта, зная, с какой вероятностью его примет каждая партия. Ещё формула применяется в задачах о нахождении среднего качества продукции, выпускаемой цехом. Вот пример: |
+ | {{Задача | ||
+ | |definition = | ||
+ | Из <tex>40</tex> деталей <tex>10</tex> изготовлены в первом цехе, <tex>25</tex> {{---}} во втором, а остальные {{---}} в третьем. Первый и третий цехи дают продукцию отличного качества с вероятностью <tex>0.9</tex>, второй цех {{---}} с вероятностью <tex>0.7</tex>. Какова вероятность того, что взятая наудачу деталь будет отличного качества? | ||
+ | }} | ||
− | == | + | ==Теорема== |
+ | {{Определение | ||
+ | |definition = | ||
+ | '''Полной системой событий''' называется [[Мощность множества | не более чем счётное]] [[Множества | множество]] событий <tex> B_1,\ B_2,\ \dots,\ B_{n} </tex>, таких что: | ||
+ | # все события попарно несовместны: <tex> \forall i,\ j = 1,\ 2,\ \dots,\ n\ B_{i} \cap B_{j} = \varnothing </tex> | ||
+ | # их объединение образует пространство элементарных исходов: <tex>P(B_{i})~>~0,~B_1~\cup ~B_2~\cup\ \dots ~\cup ~B_n = \Omega </tex> | ||
+ | }} | ||
+ | В этом случае события <tex>B_i</tex> ещё называются гипотезами. | ||
− | Вероятность события <tex> A </tex>, которое может произойти вместе с одним из событий <tex>\ | + | {{Теорема |
+ | | about = | ||
+ | формула полной вероятности | ||
+ | | statement = | ||
+ | Вероятность события <tex> A~\subset ~\Omega </tex>, которое может произойти только вместе с одним из событий <tex> B_1, B_2, \dots, B_{n} </tex>, образующих | ||
− | + | полную систему событий, равна сумме произведений вероятностей гипотез на условные вероятности события, вычисленные соотвественно при каждой из гипотез. | |
− | == | + | <tex> {P}(A) = \sum\limits_{i=1}^{n} {P}( A \mid B_i) {P}(B_i) </tex> |
+ | | proof = | ||
− | + | Так как события <tex>\{B_i\}_{i=1}^{n} </tex> образуют полную систему событий, то по определению событие <tex> A </tex> можно представить следующим образом: | |
− | <tex> A = A\cap | + | <tex> |
+ | A~=~A \cap \Omega ~=~ A \cap \big( \bigcup\limits_{i=1}^{n} B_{i} \big) ~=~ \bigcup\limits_{i=1}^{n} ( A \cap B_{i} ) | ||
+ | </tex> | ||
− | События <tex>\{B_i\}_{i=1}^{n} </tex> несовместны, значит | + | События <tex>\{B_i\}_{i=1}^{n} </tex> попарно несовместны, значит, события <tex> (A\cap B_{i}) </tex> тоже несовместны. Тогда, воспользовавшись определением условной вероятности, получаем: |
− | <tex>{ | + | <tex> |
+ | {P}(A)~=~{P}\Big( \bigcup\limits_{i=1}^{n} ( A \cap B_{i} ) \Big) ~=~ \sum\limits_{i=1}^{n} {P}(A\cap B_i) ~=~ \sum\limits_{i=1}^{n} {P}(A \mid B_i){P}(B_i) | ||
+ | </tex> | ||
− | + | }} | |
− | + | ==Использование формулы полной вероятности== | |
− | + | Рассмотрим два примера | |
− | <tex>{ | + | ===Пример 1=== |
+ | {{Задача | ||
+ | |definition = Имеются <tex>3</tex> одинаковые урны с шарами. В первой из них находится <tex>3</tex> белых и <tex>4</tex> черных шара, во второй {{---}} <tex>2</tex> белых и <tex>5</tex> чёрных, а в третьей {{---}} <tex>10</tex> чёрных шаров. Из случайно выбранной урны наудачу вынут шар. С какой вероятностью он окажется белым? | ||
+ | }} | ||
+ | '''Решение.''' Будем считать события <tex> B_1, B_2, B_3 </tex> выбором урны с соотвествующим номером, а событие <tex>A</tex> {{---}} выбором белого шара. По условию задачи все события выбора урны равновероятны, значит: | ||
+ | |||
+ | <tex> {P}(B_1)~=~{P}(B_2)~=~{P}(B_3)~=~ \genfrac{}{}{}{0}{1}{3} </tex> | ||
− | + | Теперь найдём вероятность события <tex>A</tex> при выборе каждой урны: | |
− | + | <tex> | |
− | + | {P}(A \mid B_1) = \genfrac{}{}{}{0}{3}{7} ,~ {P}(A \mid B_2) = \genfrac{}{}{}{0}{2}{7} ,~ {P}(A \mid B_3) = 0. | |
− | + | </tex> | |
− | :<tex>{ | + | |
− | + | В результате получаем | |
+ | <tex> | ||
+ | {P}(A) ~=~ \genfrac{}{}{}{0}{1}{3} \cdot \genfrac{}{}{}{0}{3}{7} +\genfrac{}{}{}{0}{1}{3} \cdot \genfrac{}{}{}{0}{2}{7} +\genfrac{}{}{}{0}{1}{3} \cdot 0 ~\approx ~ 0{.}238 | ||
+ | </tex> | ||
+ | |||
+ | ===Пример 2=== | ||
+ | Рассмотрим пример из введения. | ||
+ | |||
+ | '''Решение.''' Обозначим за событие <tex> A </tex> {{---}} выбрана деталь отличного качества, тогда событие <tex> B_i </tex> {{---}} выбранная деталь изготовлена в <tex>i</tex> цехе (где <tex> i ~=~ 1,2,3 </tex>). | ||
+ | |||
+ | <tex> | ||
+ | {P}(B_1) = \genfrac{}{}{}{0}{10}{40} = \genfrac{}{}{}{0}{1}{4},~ | ||
+ | {P}(B_2) = \genfrac{}{}{}{0}{25}{40} = \genfrac{}{}{}{0}{5}{8},~ | ||
+ | {P}(B_3) = \genfrac{}{}{}{0}{5}{40} = \genfrac{}{}{}{0}{1}{8}. | ||
+ | </tex> | ||
+ | |||
+ | По условию задачи, вероятности производства продукции отличного качества в каждом цехе: | ||
+ | |||
+ | <tex> | ||
+ | {P}(A \mid B_1) = {P}(A \mid B_3) = \genfrac{}{}{}{0}{9}{10},~ | ||
+ | {P}(A \mid B_2) = \genfrac{}{}{}{0}{7}{10}. | ||
+ | </tex> | ||
+ | |||
+ | Теперь воспользуемся формулой полной вероятности для нахождения искомой вероятности: | ||
+ | |||
+ | <tex> | ||
+ | {P}(A) ~=~ \sum\limits_{i=1}^3 {P}(A \mid B_i) {P}(B_i) ~=~ \genfrac{}{}{}{0}{9}{10} \cdot \genfrac{}{}{}{0}{1}{4} +\genfrac{}{}{}{0}{7}{10} \cdot \genfrac{}{}{}{0}{5}{8} +\genfrac{}{}{}{0}{9}{10} \cdot \genfrac{}{}{}{0}{1}{8} ~=~ 0{.}775 | ||
+ | </tex> | ||
==См. также== | ==См. также== | ||
Строка 38: | Строка 91: | ||
* [[Формула Байеса]] | * [[Формула Байеса]] | ||
− | == Источники == | + | == Источники информации == |
− | *[http://ru | + | * [http://nsu.ru/mmf/tvims/chernova/tv/lec/node14.html NSU | Формула полной вероятности] |
+ | * [http://vm.psati.ru/downloads/uch-pos-tv.pdf Конспект лекций | Теория вероятностей] | ||
+ | |||
+ | [[Категория: Дискретная математика и алгоритмы]] | ||
+ | [[Категория: Теория вероятности]] |
Текущая версия на 19:35, 4 сентября 2022
Формула полной вероятности (англ. law of total probability) позволяет вычислить вероятность интересующего события через вероятности его произойти при выполнении гипотез с заданной вероятностью. Формула полной вероятности требуется, когда необходимо узнать вероятность совершения некоторого события, если его совершение зависит от нескольких условий. Например, можно узнать вероятность принятия законопроекта, зная, с какой вероятностью его примет каждая партия. Ещё формула применяется в задачах о нахождении среднего качества продукции, выпускаемой цехом. Вот пример:
Задача: |
Из | деталей изготовлены в первом цехе, — во втором, а остальные — в третьем. Первый и третий цехи дают продукцию отличного качества с вероятностью , второй цех — с вероятностью . Какова вероятность того, что взятая наудачу деталь будет отличного качества?
Теорема
Определение: |
Полной системой событий называется не более чем счётное множество событий , таких что:
|
В этом случае события
ещё называются гипотезами.Теорема (формула полной вероятности): |
Вероятность события , которое может произойти только вместе с одним из событий , образующих
полную систему событий, равна сумме произведений вероятностей гипотез на условные вероятности события, вычисленные соотвественно при каждой из гипотез. |
Доказательство: |
Так как события образуют полную систему событий, то по определению событие можно представить следующим образом:
События попарно несовместны, значит, события тоже несовместны. Тогда, воспользовавшись определением условной вероятности, получаем: |
Использование формулы полной вероятности
Рассмотрим два примера
Пример 1
Задача: |
Имеются | одинаковые урны с шарами. В первой из них находится белых и черных шара, во второй — белых и чёрных, а в третьей — чёрных шаров. Из случайно выбранной урны наудачу вынут шар. С какой вероятностью он окажется белым?
Решение. Будем считать события
выбором урны с соотвествующим номером, а событие — выбором белого шара. По условию задачи все события выбора урны равновероятны, значит:
Теперь найдём вероятность события
при выборе каждой урны:
В результате получаем
Пример 2
Рассмотрим пример из введения.
Решение. Обозначим за событие
— выбрана деталь отличного качества, тогда событие — выбранная деталь изготовлена в цехе (где ).
По условию задачи, вероятности производства продукции отличного качества в каждом цехе:
Теперь воспользуемся формулой полной вероятности для нахождения искомой вероятности: