Теоретический минимум по математическому анализу за 1 семестр — различия между версиями
м |
м (rollbackEdits.php mass rollback) |
||
(не показано 8 промежуточных версий 4 участников) | |||
Строка 1: | Строка 1: | ||
1. Аксиома непрерывности в множестве вещественных чисел, точные грани числовых | 1. Аксиома непрерывности в множестве вещественных чисел, точные грани числовых | ||
множеств. | множеств. | ||
+ | |||
+ | Пусть <tex>A </tex> и <tex>B </tex> — 2 произвольных подмножества из пополненного множества рациональных чисел, и <tex> A \le B </tex>, то в пополненном множестве <tex> \exists d: A \le d \le B </tex> | ||
2. Принцип вложенных отрезков. | 2. Принцип вложенных отрезков. | ||
Строка 104: | Строка 106: | ||
: или | : или | ||
: <tex>\forall \varepsilon > 0, \exists N \in \mathbb{N}, \forall n > N: x_n \in V_\varepsilon(x)</tex>, где <tex> V_\varepsilon(x) = \{ y: \rho(y, x) < \varepsilon \} </tex>, то есть открытый шар радиуса <tex>\ \varepsilon</tex> с центром в точке <tex>\ x</tex> | : <tex>\forall \varepsilon > 0, \exists N \in \mathbb{N}, \forall n > N: x_n \in V_\varepsilon(x)</tex>, где <tex> V_\varepsilon(x) = \{ y: \rho(y, x) < \varepsilon \} </tex>, то есть открытый шар радиуса <tex>\ \varepsilon</tex> с центром в точке <tex>\ x</tex> | ||
+ | }} | ||
+ | |||
+ | {{Определение | ||
+ | |definition = | ||
+ | Пусть даны два метрических пространства <tex> (X,\rho) </tex> и <tex> (Y, \tilde \rho) </tex>, <tex> A \subset X</tex> и <tex>\ a </tex> {{---}} предельная точка <tex>A</tex>. Пусть <tex> f: A \rightarrow Y </tex>. | ||
+ | * Тогда <tex> b = \lim\limits_{x \rightarrow a} f(x), b \in Y</tex> , если <tex>\forall \varepsilon > 0 \, \exists \delta > 0: 0 < \rho(x, a) < \delta \Rightarrow \tilde \rho(f(x), b) < \varepsilon </tex>. | ||
}} | }} | ||
11. Теорема Кантора о равномерной непрерывности. | 11. Теорема Кантора о равномерной непрерывности. | ||
+ | |||
+ | Равномерная непрерывность - <tex> \forall \varepsilon >0 \exists \delta > 0 \forall x_1, x_2 \in X: | x_1 - x_2| < \delta : |f(x_1) - f(x_2)| < \varepsilon </tex> | ||
{{Теорема | {{Теорема | ||
Строка 322: | Строка 332: | ||
26. Полиномы и теорема Бернштейна. | 26. Полиномы и теорема Бернштейна. | ||
+ | Существует ли <tex>\forall \varepsilon > 0</tex> некоторый полином <tex>P</tex> (неважно, какой степени) такой, что <tex>\forall x \in [a; b]: \ |f(x) - P(x)| < \varepsilon</tex>? | ||
+ | |||
+ | {{Теорема | ||
+ | |author= | ||
+ | Бернштейн | ||
+ | |statement= | ||
+ | Пусть функция <tex>f</tex> - непрерывна на <tex>[0; 1]</tex>. Тогда <tex>\forall \varepsilon > 0 \ \exists P(x)</tex> - полином, такой, что <tex>\forall x \in [0; 1] \Rightarrow |f(x) - P(x)| < \varepsilon</tex> | ||
+ | }} | ||
+ | {{Теорема | ||
+ | |author= | ||
+ | Вейерштрасс | ||
+ | |statement= | ||
+ | Пусть функция <tex>f</tex> непрерывна на отрезке <tex>[a; b]</tex>. | ||
+ | Тогда <tex>\forall \varepsilon > 0\ \exists P \forall x \in [0; 1]: |f(x) - P(f, x)| \le \varepsilon</tex> | ||
+ | }} | ||
27. Неопределенный интеграл: линейность, замена переменной интегрирования, | 27. Неопределенный интеграл: линейность, замена переменной интегрирования, | ||
формула интегрирования по частям. | формула интегрирования по частям. | ||
+ | |||
+ | Линейность - интеграл суммы функций, произведения на число. | ||
+ | |||
+ | Пусть имеется [[Отображения|функция]] <tex>y = f(x)</tex>, заданная на <tex>[a; b]</tex>. Требуется найти функцию <tex>F(x)</tex>, такую, что <tex>F'(x) = f(x) \forall x \in [a; b]</tex>. Любая такая функция называется первообразной <tex>f</tex>. | ||
+ | |||
+ | {{Утверждение | ||
+ | |statement= | ||
+ | Если <tex>F_1' = f, F_2' = f</tex>, то <tex>F_2 = F_1 + \mathrm{const}</tex> | ||
+ | |proof= | ||
+ | Пусть <tex>g(x) = F_2(x) - F_1(x)</tex>. <tex>F_1, F_2</tex> непрерывны, следовательно, непрерывна и <tex>g</tex>, и можно применить теорему Лагранжа: | ||
+ | :<tex>g(x_2) - g(x_1) = g'(c)(x_2 - x_1)</tex>, но <tex>g' = F_2' - F_1' = 0</tex>. | ||
+ | |||
+ | Таким образом, <tex>g(x_2) = g(x_1) \forall x_1, x_2 \in [a; b]</tex>. | ||
+ | }} | ||
+ | |||
+ | Пусть <tex>f</tex> задана на <tex>[a; b]</tex>. Тогда совокупность всех её первообразных называется неопределённым интегралом и записывается: | ||
+ | :<tex>\int f(x)dx = \{F(x) + C, F' = f, c \in \mathbb R\}</tex> | ||
+ | |||
+ | Интегрирование по частям - <tex>\int udv = uv - \int vdu</tex> | ||
+ | |||
+ | Формула подстановки | ||
+ | : <tex> F(x) = \int f(x)dx </tex> | ||
+ | : <tex> x = \varphi(t) </tex> | ||
+ | : <tex> F(x) = \int f(\varphi(t)) \varphi'(t) dt </tex> | ||
+ | |||
28. Интегральные суммы Римана, необходимое условие интегрируемости. | 28. Интегральные суммы Римана, необходимое условие интегрируемости. | ||
+ | |||
+ | {{Определение | ||
+ | |definition= | ||
+ | Пусть <tex>\overline{x_k}</tex> {{---}} произвольное <tex>x</tex> из <tex>\left [ x_k,x_{k+1} \right ]</tex>, <tex>f</tex> {{---}} функция, заданная на отрезке <tex>[a; b]</tex>, <tex>\tau</tex> {{---}} разбиение отрезка <tex>[a; b]</tex>. | ||
+ | |||
+ | Тогда <tex>\sigma \left ( f, \tau, \left \{ \overline{x_k} \right \} \right )</tex> | ||
+ | (также обозначается как <tex>\sigma \left ( f, \tau \right )</tex> или <tex>\sigma \left ( \tau \right )</tex>) | ||
+ | <tex>~= \sum\limits_{k=0}^{n-1}</tex> <tex>f \left ( \overline{x_k} \right )\cdot\Delta_{k}</tex> | ||
+ | называется '''интегральной суммой Римана''' по разбиению <tex>\tau</tex>. | ||
+ | }} | ||
+ | |||
+ | Необхомдимое условие интегрируемости - функция является ограниченной. | ||
+ | |||
29. Критерий интегрируемости по Риману. | 29. Критерий интегрируемости по Риману. | ||
+ | |||
+ | Пусть <tex>\omega(f, \tau) = \overline{s}(\tau) - \underline{s}(\tau) = \sum\limits_{k = 0}^{n - 1} (M_k - m_k)\Delta x_k \ge 0</tex> | ||
+ | |||
+ | <tex>\lim\limits_{\operatorname{rang} \tau \to 0} \omega(f, \tau) \to 0 \Rightarrow</tex> | ||
+ | <tex>\forall \varepsilon > 0\ \exists \delta > 0 : \ \operatorname{rang} \tau < \delta \Rightarrow \omega(f, \tau) < \varepsilon</tex> | ||
+ | |||
+ | Определим <tex>\underline{I} = \sup\limits_{\{\tau\}} \underline{s}(\tau)</tex>, | ||
+ | <tex>\overline{I} = \inf\limits_{\{\tau\}} \overline{s}(\tau)</tex> | ||
+ | |||
+ | <tex>I = \lim\limits_{\operatorname{rang} \tau \to 0} \sigma(\tau)</tex> | ||
+ | |||
+ | {{Теорема | ||
+ | |about= | ||
+ | Критерий интегрируемости | ||
+ | |statement= | ||
+ | <tex>f \in \mathcal{R}(a; b) \iff \lim\limits_{\operatorname{rang} \tau \to 0} \omega(f, \tau) = 0</tex> | ||
+ | }} | ||
+ | |||
30. Теорема Барроу. | 30. Теорема Барроу. | ||
+ | |||
+ | {{Определение | ||
+ | |definition= | ||
+ | Объектом исследования этого параграфа является <tex>F(x) = \int\limits_a^x f(t) dt</tex>, <tex>f \in \mathcal{R}(a, b)</tex>, <tex>x \in [a, b]</tex>. | ||
+ | Такая функция называется ''интегралом с переменным верхним пределом' | ||
+ | |||
+ | {{Теорема | ||
+ | |author=Барроу | ||
+ | |statement= | ||
+ | Пусть <tex>f \in \mathcal{R}(a, b)</tex> и непрерывна в <tex>x_0 \in (a; b)</tex>. | ||
+ | |||
+ | Тогда <tex>F</tex> дифференцируема в этой точке и её производная равна <tex>F'(x_0) = f(x_0)</tex>. | ||
+ | }} | ||
+ | |||
31. Формула Ньютона-Лейбница. | 31. Формула Ньютона-Лейбница. | ||
+ | |||
+ | {{Теорема | ||
+ | |about=формула Ньютона-Лейбница | ||
+ | |statement= | ||
+ | Пусть <tex>F</tex> дифференцируема на <tex>[a; b]</tex>, её производная <tex>f</tex> интегрируема на этом же отрезке. Тогда | ||
+ | <tex>F(b) - F(a) = \int\limits_a^b f(x) dx</tex> | ||
+ | }} | ||
+ | |||
32. Критерий сходимости несобственных интегралов. | 32. Критерий сходимости несобственных интегралов. | ||
+ | |||
+ | Пусть <tex>F(A) = \int\limits_a^A f(x) dx</tex>. Применяя критерий Коши существования предела функции, приходим к критерию Коши сходимости несобственного интеграла: | ||
+ | <tex>\int\limits_a^{+\infty}</tex> сходится <tex>\iff \lim\limits_{A, B \to +\infty} \int\limits_A^B f(x)dx = 0</tex>. | ||
+ | |||
33. Остаток формулы Тейлора в интегральной форме. | 33. Остаток формулы Тейлора в интегральной форме. | ||
− | 34. Определение суммы числового ряда. Необходимый признак и критерий Коши | + | |
− | сходимости ряда. | + | {{Утверждение |
+ | |statement= | ||
+ | Пусть в окрестности точки <tex>x_0</tex> функция <tex>f</tex> <tex>n + 1</tex> раз дифференцируема и её <tex>(n + 1)</tex>-я производная интегрируема. Тогда в окрестности точки <tex>x_0</tex> <tex>f(x) = \sum\limits_{k = 0}^n \frac{f^{(k)} (x_0)}{k!}(x - x_0)^k + \frac1{n!} \int\limits_{x_0}^x f^{(n + 1)}(t) (x-t)^n dt</tex>. | ||
+ | }} | ||
+ | |||
+ | 34. Определение суммы числового ряда. Необходимый признак и критерий Коши сходимости ряда. | ||
+ | |||
+ | Классический способ суммирования: | ||
+ | <tex>S_n = \sum\limits_{k = 1}^n a_k</tex> {{---}} частичные суммы ряда. | ||
+ | |||
+ | {{Определение | ||
+ | |definition= | ||
+ | <tex>\lim\limits_{n\to\infty} S_n</tex> {{---}} сумма числового ряда. Если этот предел существует и конечен, то ряд называют сходящимся, иначе {{---}} расходящийся. | ||
+ | }} | ||
+ | |||
+ | {{Утверждение | ||
+ | |statement= | ||
+ | Если ряд сходится, то его слагаемые необходимо стремятся к нулю. Однако, это требование лишь необходимое | ||
+ | |proof= | ||
+ | Переписывая на языке частичных сумм критерий Коши существования предела последовательности, приходим к критерию Коши сходимости ряда: | ||
+ | |||
+ | <tex>\sum\limits_{k = 1}^\infty a_k</tex> {{---}} сходится <tex>\iff</tex> <tex>\sum\limits_{k = n}^{n + p} a_k \xrightarrow[n,p\to \infty]{} 0</tex>. | ||
+ | |||
35. Интегральный признак Коши сходимости рядов. | 35. Интегральный признак Коши сходимости рядов. | ||
+ | |||
+ | {{Утверждение | ||
+ | |statement= | ||
+ | Пусть при <tex>x \geq 1</tex> определена функция <tex>y = f(x)</tex>, <tex>y</tex> убывает, <tex>y \geq 0</tex>. Тогда <tex>\int\limits_1^{+\infty} f(x) dx \equiv \sum\limits_{k = 1}^\infty f(k)</tex>. | ||
+ | }} | ||
+ | |||
36. Ряды и теорема Лейбница. | 36. Ряды и теорема Лейбница. | ||
+ | |||
+ | {{Определение | ||
+ | |definition= | ||
+ | Знакочередующийся ряд, в котором <tex>a_n</tex> убывает и <tex>a_n</tex> стремится к нулю {{---}} ряд Лейбница | ||
+ | }} | ||
+ | |||
+ | {{Теорема | ||
+ | |author=Лейбниц | ||
+ | |statement= | ||
+ | 1. Любой ряд Лейбница сходится. | ||
+ | 2. Для остатка такого ряда справедлива оценка <tex>|R_n| \leq |a_{n + 1}|</tex>. | ||
+ | }} | ||
+ | |||
37. Теорема Мертенса о произведении рядов по Коши. | 37. Теорема Мертенса о произведении рядов по Коши. | ||
+ | |||
+ | {{Теорема | ||
+ | |about= | ||
+ | Мертенс | ||
+ | |statement= | ||
+ | Пусть ряд из <tex>a_n</tex> — абсолютно сходящийся, а ряд из <tex>b_n</tex> — условно сходящийся. Тогда эти два ряда можно перемножить по способу Коши. | ||
+ | }} | ||
+ | |||
+ | [[Категория:Математический анализ 1 курс]] |
Текущая версия на 19:36, 4 сентября 2022
1. Аксиома непрерывности в множестве вещественных чисел, точные грани числовых множеств.
Пусть
и — 2 произвольных подмножества из пополненного множества рациональных чисел, и , то в пополненном множестве2. Принцип вложенных отрезков.
Определение: |
Пусть дана система отрезков: Тогда эта система отрезков называется вложенной. |
3. Определение предела последовательности.
Определение: |
Число Записывают: | называется пределом последовательности , если:
4. Теорема Вейерштрасса о монотонных последовательностях.
Теорема (Вейерштрасс): |
Пусть и ограничена сверху. Тогда она сходится. (Аналогично, если , — ограничена снизу). |
5. Число е.
. Его обозначают числом .
6. Теорема Больцано-Вейерштрасса.
Теорема (Больцано): |
Из любой ограниченной последовательности можно выделить сходящуюся подпоследовательность |
7. Теорема Коши о сходящихся в себе последовательностях.
Теорема (Коши): |
Если числовая последовательность сходится в себе, то она сходится. |
8. Определение МП, открытые и замкнутые множества в МП.
Если на
определена метрика, то пара называется метрическим пространством, аббревиатура — МП.
Определение: |
Пусть | — метрическое пространство, пусть , тогда открытый шар радиуса в точке — это множество
Определение: |
Множество
| называется открытым в метрическом пространстве, если его можно записать как некоторое объединение открытых шаров (в общем случае объединение может состоять из несчетного числа шаров).
Определение: |
Множество | называется замкнутым в МП , если — открыто.
9. Компакты в МП, теорема Хаусдорфа.
Определение: |
Множество ограниченное, если его можно поместить в шар. |
Определение: |
Пусть | — МП. является компактом в X, если из любой последовательности точек принадлежащих K можно выделить сходящуюся подпоследовательность .
Утверждение: |
Легко видеть что если K — компакт, то оно ограниченное, замкнутое. Обратное в общем случае не верно. |
Теорема (Хаусдорф): |
Пусть — полное метрическое пространство, , — замкнуто.
Тогда — компакт — вполне ограниченно. |
10. Предел отображения в МП.
Определение: |
| в МП , если:
Определение: |
Пусть даны два метрических пространства
| и , и — предельная точка . Пусть .
11. Теорема Кантора о равномерной непрерывности.
Равномерная непрерывность -
Теорема (Кантор): |
Пусть даны МП , - компакт, - непрерывное отображение. Тогда также и равномерно непрерывное на . |
12. Теорема Вейерштрасса об экстремумах.
Теорема (Вейерштрасс): |
Пусть — непрерывная функция на компакте .
Тогда существуют такие , что . |
13. Теорема Коши о промежуточных значениях.
Теорема (Коши, о промежуточных значениях функции): |
Пусть — непрерывная функция на , для определенности считаем, что .
Тогда . |
14. Определение дифференциала и производной, критерий дифференцируемости.
Определение: |
Также обозначают — такая величина, что при . Тогда называют дифференциалом в точке . . | — дифференцируема в точке , если , где
Утверждение: |
Функция дифференцируема . |
Если функция дифференцируема, то где , — бесконечно малая. |
Определение: |
15. Производная сложной функции.
Теорема (Дифференцирование сложной функции): |
Пусть дифференцируема в точке , . Пусть дифференцируема в . Тогда в некоторой окрестности корректно определена сложная функция и её производная равна . |
16. Теорема Ферма о значении производной в экстремальной точке.
Теорема (Ферма): |
Пусть существует и дифференцируема в , и — точка локального экстремума. Тогда |
17. Теорема Ролля о нулях производной.
Теорема (Ролль): |
Пусть непрерывна на , дифференцируема на и . Тогда существует точка , такая, что . |
18. Формула конечных приращений Лагранжа.
Теорема (Лагранж): |
Пусть непрерывна на и дифференцируема на . Тогда |
19. Правило Лопиталя раскрытия неопределенностей.
Теорема (правило Лопиталя): |
Если при , то |
20. Формула Тейлора с остатком Лагранжа.
Теорема (Лагранж): |
Пусть раз дифференцируема в окрестности точки .
Тогда — формула Тейлора с остатком по Лагранжу. |
21. Интерполяционная формула Лагранжа и ее остаток.
Определение: |
Фундаментальные полиномы системе узлов такие, что . | степени не выше — полиномы, отвечающие заданной
Для его построения обозначим за . Это полином степени .
Обозначим
..
Теорема (Лагранжа): |
Пусть раз дифференцируема на . На этом промежутке задана система узлов.
Тогда для соответственного интерполяционного полинома Лагранжа выполняется равенство , где — некоторая точка из , зависящая от . |
22. Определение выпуклой функции, неравенство Иенсена.
Определение: |
Пусть функция задана на . Тогда она выпукла вверх на этом отрезке, если
Если же всё время неравенство противоположно, то функция называется выпуклой вниз. . |
В силу того, что было сказано о выпуклой комбинации, определение корректно: .
Геометрической смысл этого факта состоит в том, что для выпуклой вверх функции её график будет лежать выше хорды.
Теорема (Неравенство Йенсена): |
Пусть выпукла вверх на . Тогда и их выпуклой комбинации выполнено неравенство
. |
23. Неравенство Гельдера для сумм.
Теорема (Гёльдера): |
Пусть , ,
Тогда |
24. Неравенство Минковского для сумм.
Теорема (Минковского): |
Пусть снова , , .
Тогда |
25. Теорема о выпуклом модуле непрерывности.
Класс модулей непрерывности обозначим
. Класс выпуклых вверх модулей непрерывности обозначим .Утверждение: |
Пусть имеется семейство выпуклых функций . Тогда — также выпуклая функция. |
Теорема (о выпуклом модуле непрерывности): |
Пусть . Тогда существует такая, что
|
26. Полиномы и теорема Бернштейна.
Существует ли
некоторый полином (неважно, какой степени) такой, что ?Теорема (Бернштейн): |
Пусть функция - непрерывна на . Тогда - полином, такой, что |
Теорема (Вейерштрасс): |
Пусть функция непрерывна на отрезке .
Тогда |
27. Неопределенный интеграл: линейность, замена переменной интегрирования, формула интегрирования по частям.
Линейность - интеграл суммы функций, произведения на число.
Пусть имеется функция , заданная на . Требуется найти функцию , такую, что . Любая такая функция называется первообразной .
Утверждение: |
Если , то |
Пусть . непрерывны, следовательно, непрерывна и , и можно применить теорему Лагранжа:
|
Пусть
задана на . Тогда совокупность всех её первообразных называется неопределённым интегралом и записывается:Интегрирование по частям -
Формула подстановки
28. Интегральные суммы Римана, необходимое условие интегрируемости.
Определение: |
Пусть Тогда называется интегральной суммой Римана по разбиению (также обозначается как или ) . | — произвольное из , — функция, заданная на отрезке , — разбиение отрезка .
Необхомдимое условие интегрируемости - функция является ограниченной.
29. Критерий интегрируемости по Риману.
Пусть
Определим
,
Теорема (Критерий интегрируемости): |
30. Теорема Барроу.
{{Определение |definition= Объектом исследования этого параграфа является
, , . Такая функция называется интегралом с переменным верхним пределом'Теорема (Барроу): |
Пусть и непрерывна в .
Тогда дифференцируема в этой точке и её производная равна . |
31. Формула Ньютона-Лейбница.
Теорема (формула Ньютона-Лейбница): |
Пусть дифференцируема на , её производная интегрируема на этом же отрезке. Тогда
|
32. Критерий сходимости несобственных интегралов.
Пусть
. Применяя критерий Коши существования предела функции, приходим к критерию Коши сходимости несобственного интеграла: сходится .33. Остаток формулы Тейлора в интегральной форме.
Утверждение: |
Пусть в окрестности точки функция раз дифференцируема и её -я производная интегрируема. Тогда в окрестности точки . |
34. Определение суммы числового ряда. Необходимый признак и критерий Коши сходимости ряда.
Классический способ суммирования:
— частичные суммы ряда.
Определение: |
— сумма числового ряда. Если этот предел существует и конечен, то ряд называют сходящимся, иначе — расходящийся. |
{{Утверждение
|statement=
Если ряд сходится, то его слагаемые необходимо стремятся к нулю. Однако, это требование лишь необходимое
|proof=
Переписывая на языке частичных сумм критерий Коши существования предела последовательности, приходим к критерию Коши сходимости ряда:
— сходится .
35. Интегральный признак Коши сходимости рядов.
Утверждение: |
Пусть при определена функция , убывает, . Тогда . |
36. Ряды и теорема Лейбница.
Определение: |
Знакочередующийся ряд, в котором | убывает и стремится к нулю — ряд Лейбница
Теорема (Лейбниц): |
1. Любой ряд Лейбница сходится.
2. Для остатка такого ряда справедлива оценка . |
37. Теорема Мертенса о произведении рядов по Коши.
Теорема (Мертенс): |
Пусть ряд из — абсолютно сходящийся, а ряд из — условно сходящийся. Тогда эти два ряда можно перемножить по способу Коши. |