Алгоритм Укконена — различия между версиями
Kot (обсуждение | вклад) (Новая страница: «{{В разработке}} ==Оптимизация алгоритма Укконена== {{Определение |definition= Пусть <tex>x\alpha</tex> об…») |
м (rollbackEdits.php mass rollback) |
||
(не показано 255 промежуточных версий 21 участника) | |||
Строка 1: | Строка 1: | ||
− | + | '''Алгоритм Укконена''' (англ. ''Ukkonen's algorithm'') — алгоритм построения [[Сжатое суффиксное дерево|суффиксного дерева]] для заданной строки <tex>s</tex> за линейное время. | |
− | |||
+ | == Алгоритм за O(n<sup>3</sup>) == | ||
+ | Рассмотрим сначала наивный метод, который строит дерево за время <tex>O(n^3)</tex>, где <tex>n</tex> — длина исходной строки <tex>s</tex>. В дальнейшем данный алгоритм будет оптимизирован таким образом, что будет достигнута линейная скорость работы. | ||
{{Определение | {{Определение | ||
− | |definition= Пусть <tex>x\alpha</tex> обозначает произвольную строку, где <tex>x</tex> {{---}} | + | |definition= '''Неявное суффиксное дерево''' (англ. ''implicit suffix tree, IST'') строки <tex>S</tex> {{---}} это суффиксное дерево, построенное для строки <tex>S</tex> без добавления <tex>\$</tex>.}} |
+ | [[Файл:ExampleUkkonen2.png|400px|thumb|right|Пример построения суффиксного дерева алгоритмом Укконена.]] | ||
+ | Алгоритм последовательно строит неявные суффиксные деревья для всех префиксов исходного текста <tex>S = s_{1}s_{2} \ldots s_{n}</tex>. На <tex>i</tex>-ой фазе неявное суффиксное дерево <tex>\tau_{i-1}</tex> для префикса <tex>s[1 \ldots i-1]</tex> достраивается до <tex>\tau_{i}</tex> для префикса <tex>s[1 \ldots i]</tex>. Достраивание происходит следующим образом: для каждого суффикса подстроки <tex>s[1 \ldots i-1]</tex> необходимо спуститься от корня дерева до конца этого суффикса и дописать символ <tex>s_i</tex>. | ||
+ | |||
+ | Алгоритм состоит из <tex>n</tex> фаз. На каждой фазе происходит продление всех суффиксов текущего префикса строки, что требует <tex>O(n^2)</tex> времени. Следовательно, общая асимптотика алгоритма составляет <tex>O(n^3)</tex>. | ||
+ | === Псевдокод алгоритма за O(n<sup>3</sup>) === | ||
+ | <code style = "display: inline-block;"> | ||
+ | '''for''' i = 1 .. n | ||
+ | '''for''' j = 1 .. i | ||
+ | treeExtend(s[j..i]) <font color=green>// добавление текущего суффикса работает за линейное время</font> | ||
+ | </code> | ||
+ | '''Замечание:''' на первый взгляд, более логичным подходом кажется добавление всех суффиксов строки в дерево по очереди, получив сразу алгоритм со временем работы <tex>O(n^2)</tex>. Однако осуществить улучшение данного алгоритма до линейного времени работы будет намного сложней, хотя именно в этом и заключается суть [[Алгоритм МакКрейта | алгоритма МакКрейта]]. | ||
+ | |||
+ | == Продление суффиксов == | ||
+ | Ниже приведены возможные случаи, которые могут возникнуть при добавлении символа <tex>s_{i}</tex> ко всем суффиксам префикса <tex>s[1 \ldots i-1]</tex>. | ||
+ | {| border="1" cellpadding="3" cellspacing="0" style="text-align:center" width=75% | ||
+ | !style="background:#f2f2f2"|Случай | ||
+ | !style="background:#f2f2f2"|Правило | ||
+ | !style="background:#f2f2f2"|Пример | ||
+ | |- | ||
+ | |style="background:#ffffff"|''1. Продление листа'' | ||
+ | |style="background:#ffffff"|Пусть суффикс <tex>s[k \ldots i-1]</tex> заканчивается в листе. Добавим <tex>s_{i}</tex> в конец подстроки, которой помечено ребро, ведущее в этот лист. | ||
+ | |style="background:#ffffff"|[[Файл:ExampleUkkonen3.png|300px]] | ||
+ | |- | ||
+ | |style="background:#ffffff" rowspan="2" |''2. Ответвление'' | ||
+ | |style="background:#ffffff"|а) Пусть суффикс <tex>s[k \ldots i-1]</tex> заканчивается в вершине, не являющейся листом, из которой нет пути по символу <tex>s_{i}</tex>. Создадим новый лист, в который из текущей вершины ведёт дуга с пометкой <tex>s_{i}</tex>. | ||
+ | |style="background:#ffffff"|[[Файл:ExampleUkkonen4.png|300px]] | ||
+ | |- | ||
+ | |style="background:#ffffff"|б) Пусть суффикс <tex>s[k \ldots i-1]</tex> заканчивается на ребре с меткой <tex>s[l \ldots r]</tex> в позиции <tex>p-1(l \leqslant p \leqslant r)</tex> и <tex>s_{p} \ne s_{i}</tex>. Разобьем текущее ребро новой вершиной на <tex>s[l \ldots p-1]</tex> и <tex>s[p \ldots r]</tex> и подвесим к ней еще одного ребенка с дугой, помеченной <tex>s_{i}</tex>. | ||
+ | |style="background:#ffffff"|[[Файл:ExampleUkkonen5.png|300px]] | ||
+ | |- | ||
+ | |style="background:#ffffff"|''3. Ничего не делать'' | ||
+ | |style="background:#ffffff"|Пусть суффикс <tex>s[k \ldots i-1]</tex> заканчивается в вершине, из которой есть путь по <tex>s_{i}</tex>. Тогда ничего делать не надо. | ||
+ | |style="background:#ffffff"|[[Файл:ExampleUkkonen6.png|300px]] | ||
+ | |} | ||
+ | |||
+ | ==Суффиксные ссылки== | ||
+ | |||
+ | {{Определение | ||
+ | |definition= Пусть <tex>x\alpha</tex> обозначает произвольную строку, где <tex>x</tex> {{---}} её первый символ, а <tex>\alpha</tex> {{---}} оставшаяся подстрока (возможно пустая). Если для внутренней вершины <tex>v</tex> с путевой меткой <tex>x\alpha</tex> существует другая вершина <tex>s(v)</tex> с путевой меткой <tex>\alpha</tex>, то ссылка из <tex>v</tex> в <tex>s(v)</tex> называется '''суффиксной ссылкой''' (англ. ''suffix link''). | ||
+ | }} | ||
+ | {{Лемма|id=l3 | ||
+ | |about= Существование суффиксных ссылок | ||
+ | |statement= | ||
+ | Для любой внутренней вершины <tex>v</tex> суффиксного дерева существует суффиксная ссылка, ведущая в некоторую внутреннюю вершину <tex>u</tex>. | ||
+ | |proof= | ||
+ | Рассмотрим внутреннюю вершину <tex>v</tex> с путевой меткой <tex>s[j \ldots i]</tex>. Так как эта вершина внутренняя, её путевая метка ветвится справа в исходной строке. Тогда очевидно подстрока <tex>s[j+1 \ldots i]</tex> тоже ветвится справа в исходной строке, и ей соответствует некоторая внутренняя вершина <tex>u</tex>. По определению суффиксная ссылка вершины <tex>v </tex> ведёт в <tex> u</tex>. | ||
+ | }} | ||
+ | |||
+ | === Использование суффиксных ссылок === | ||
+ | [[Файл:ExampleUkkonen7.png|300px|thumb|right|Использование суффиксных ссылок.]] | ||
+ | |||
+ | Рассмотрим применение суффиксных ссылок. Пусть только что был продлён суффикс <tex>s[j \ldots i-1]</tex> до суффикса <tex>s[j \ldots i]</tex>. Теперь с помощью построенных ссылок можно найти конец суффикса <tex>s[j+1 \ldots i-1]</tex> в суффиксном дереве, чтобы продлить его до суффикса <tex>s[j+1 \ldots i]</tex>. Для этого надо пройти вверх по дереву до ближайшей внутренней вершины <tex>v</tex>, в которую ведёт путь, помеченный <tex>s[j \ldots r]</tex>. У вершины <tex>v</tex> точно есть суффиксная ссылка (о том, как строятся суффиксные ссылки, будет сказано позже, а пока можно просто поверить). Эта суффиксная ссылка ведёт в вершину <tex>u</tex>, которой соответствует путь, помеченный подстрокой <tex>s[j+1 \ldots r]</tex>. Теперь от вершины <tex>u</tex> следует пройти вниз по дереву к концу суффикса <tex>s[j+1 \ldots i-1]</tex> и продлить его до суффикса <tex>s[j+1 \ldots i]</tex>. | ||
+ | |||
+ | Подстрока <tex>s[j+1 \ldots i-1]</tex> является суффиксом подстроки <tex>s[j \ldots i-1]</tex>, следовательно после перехода по суффиксной ссылке в вершину, помеченную путевой меткой <tex>s[j+1 \ldots r]</tex>, можно дойти до места, которому соответствует метка <tex>s[r+1 \ldots i-1]</tex>, сравнивая не символы на рёбрах, а лишь длину ребра по первому символу рассматриваемой части подстроки и длину самой этой подстроки. Таким образом можно спускаться вниз сразу на целое ребро. | ||
+ | |||
+ | === Построение суффиксных ссылок === | ||
+ | |||
+ | Легко увидеть, что в процессе построения суффиксного дерева уже построенные суффиксные ссылки никак не изменяются. Поэтому осталось сказать, как построить суффиксные ссылки для созданных вершин. Рассмотрим новую внутреннюю вершину <tex>v</tex>, которая была создана в результате продления суффикса <tex>s[j \ldots i-1]</tex>. Вместо того, чтобы искать, куда должна указывать суффиксная ссылка вершины <tex>v</tex>, поднимаясь от корня дерева для этого, перейдем к продлению следующего суффикса <tex>s[j+1 \ldots i-1]</tex>. И в этот момент можно проставить суффиксную ссылку для вершины <tex> v</tex>. Она будет указывать либо на существующую вершину, если следующий суффикс закончился в ней, либо на новую созданную. То есть суффиксные ссылки будут обновляться с запаздыванием. Внимательно посмотрев на все три правила продления суффиксов, можно осознать, что для вершины <tex> v </tex> точно найдётся на следующей фазе внутренняя вершина, в которую должна вести суффиксная ссылка. | ||
+ | |||
+ | === Оценка числа переходов === | ||
+ | |||
+ | {{Определение | ||
+ | |definition= '''Глубиной вершины''' <tex>d(v)</tex> назовем число рёбер на пути от корня до вершины <tex>v</tex>.}} | ||
+ | |||
+ | {{Лемма|id=l4 | ||
+ | |statement= | ||
+ | При переходе по суффиксной ссылке глубина уменьшается не более чем на <tex>1</tex>. | ||
+ | |proof= | ||
+ | |||
+ | [[Файл:ExampleUkkonen8.png|200px|center|]] | ||
+ | |||
+ | Заметим, что на пути <tex>A</tex> в дереве по суффиксу <tex>s[j+1 \ldots i]</tex> не более чем на одну вершину меньше, чем на пути <tex>B</tex> по суффиксу <tex>s[j \ldots i]</tex>. Каждой вершине <tex>v</tex> на пути <tex>B</tex> соответствует вершина <tex>u</tex> на пути <tex>A</tex>, в которую ведёт суффиксная ссылка. Разница в одну вершину возникает, если первому ребру в пути <tex>B</tex> соответсвует метка из одного символа <tex>s_{j}</tex>, тогда суффиксная ссылка из вершины, в которую ведёт это ребро, будет вести в корень. | ||
+ | }} | ||
+ | |||
+ | {{Лемма|id=l5 | ||
+ | |about=о числе переходов внутри фазы | ||
+ | |statement= | ||
+ | Число переходов по рёбрам внутри фазы номер <tex>i</tex> равно <tex>O(i)</tex>. | ||
+ | |proof= | ||
+ | Оценим количество переходов по рёбрам при поиске конца суффикса. Переход до ближайшей внутренней вершины уменьшает высоту на <tex>1</tex>. Переход по суффиксной ссылке уменьшает высоту не более чем на <tex>1</tex> (по лемме, доказанной выше). А потом высота увеличивается, пока мы переходим по рёбрам вниз. Так как высота не может увеличиваться больше глубины дерева, а на каждой <tex>j</tex>-ой итерации мы уменьшаем высоту не более, чем на <tex> 2 </tex>, то суммарно высота не может увеличиться больше чем на <tex> 2i</tex>. Итого, число переходов по рёбрам за одну фазу в сумме составляет <tex>O(i)</tex>. | ||
+ | }} | ||
+ | |||
+ | === Асимптотика алгоритма с использованием суффиксных ссылок === | ||
+ | |||
+ | Теперь в начале каждой фазы мы только один раз спускаемся от корня, а дальше используем переходы по суффиксным ссылкам. По доказанной [[#l5 | лемме]] переходов внутри фазы будет <tex>O(i)</tex>. А так как фаза состоит из <tex>i</tex> итераций, то амортизационно получаем, что на одной итерации будет выполнено <tex>O(1)</tex> действий. Следовательно, асимптотика алгоритма улучшилась до <tex>O(n^2)</tex>. | ||
+ | |||
+ | ==Линейный алгоритм== | ||
+ | |||
+ | Чтобы улучшить время работы данного алгоритма до <tex>O(n)</tex>, нужно использовать линейное количество памяти, поэтому метка каждого ребра будет храниться как два числа {{---}} позиции её самого левого и самого правого символов в исходном тексте. | ||
+ | |||
+ | {{Лемма|id=l1 | ||
+ | |about= Стал листом — листом и останешься | ||
+ | |statement= | ||
+ | Если в какой-то момент работы алгоритма Укконена будет создан лист с меткой <tex>i</tex> (для суффикса, начинающегося в позиции <tex>i</tex> строки <tex>S</tex>), он останется листом во всех последовательных деревьях, созданных алгоритмом. | ||
+ | <br> | ||
+ | |proof= | ||
+ | Это верно потому, что у алгоритма нет механизма продолжения листового ребра дальше текущего листа. Если есть лист с суффиксом <tex>i</tex>, правило продолжения 1 будет применяться для продолжения <tex>i</tex> на всех последующих фазах. | ||
+ | }} | ||
+ | |||
+ | {{Лемма|id=l2 | ||
+ | |about= Правило 3 заканчивает дело | ||
+ | |statement= | ||
+ | В любой фазе, если правило продления 3 применяется в продолжении суффикса, начинающего в позиции <tex>j</tex>, оно же и будет применяться во всех дальнейших продолжениях (от <tex>j+1</tex> по <tex>i</tex>) до конца фазы. | ||
+ | |proof= | ||
+ | При использовании правила продолжения 3 путь, помеченный <tex>s[j \ldots i-1]</tex> в текущем дереве, должен продолжаться символом <tex>i</tex>, и точно так же продолжается путь, помеченный <tex>s[j+1 \ldots i-1]</tex>, поэтому правило 3 применяется в продолжениях <tex>j+1,\ j+2, \ldots, i</tex>. | ||
+ | }} | ||
+ | |||
+ | Когда используется 3-е правило продления суффикса, никакой работы делать не нужно, так как требуемый суффикс уже в дереве есть. Поэтому можно заканчивать текущую итерацию после первого же использования этого правила. | ||
+ | |||
+ | Так как лист навсегда останется листом, можно задать метку ребра ведущего в этот лист как <tex>s[j \ldots x]</tex>, где <tex>x</tex> {{---}} ссылка на переменную, хранящую конец текущей подстроки. На следующих итерациях к этому ребру может применяться правило ответвления, но при этом будет меняться только левый(начальный) индекс <tex>j</tex>. Таким образом мы сможем удлинять все суффиксы, заканчивающиеся в листах за <tex>O(1)</tex>. | ||
+ | |||
+ | Следовательно, на каждой фазе <tex>i</tex> алгоритм реально работает с суффиксами в диапазоне от <tex>j^*</tex> до <tex>k,\ k \leqslant i</tex>, а не от <tex>1</tex> до <tex>i</tex>. Действительно, если суффикс <tex>s[j \ldots i-2]</tex> был продлён до суффикса <tex>s[j \ldots i-1]</tex> на прошлой фазе по правилу 1, то он и дальше будет продлеваться по правилу 1 (о чём говорит [[#l1 | лемма]]). Если он был продлён по правилу 2, то была создана новая листовая вершина, значит, на текущей фазе <tex> i </tex> этот суффикс будет продлён до суффикса <tex>s[j \ldots i]</tex> по листовой вершине. Поэтому после применения правила 3 на суффиксе <tex>s[k \ldots i]</tex> текущую фазу можно завершить, а следующую начать сразу с <tex>j^* = k</tex>. | ||
+ | |||
+ | === Итоговая оценка времени работы === | ||
+ | |||
+ | В течение работы алгоритма создается не более <tex>O(n)</tex> вершин по [[Сжатое_суффиксное_дерево#Количество_вершин | лемме о размере суффиксного дерева для строки]]. Все суффиксы, которые заканчиваются в листах, благодаря [[#l1|первой лемме]] на каждой итерации мы увеличиваем на текущий символ по умолчанию за <tex>O(1)</tex>. Текущая фаза алгоритма будет продолжаться, пока не будет использовано правило продления 3. Сначала неявно продлятся все листовые суффиксы, а потом по правилам 2.а) и 2.б) будет создано несколько новых внутренних вершин. Так как вершин не может быть создано больше, чем их есть, то амортизационно на каждой фазе будет создано <tex>O(1)</tex> вершин. Так как мы на каждой фазе начинаем добавление суффикса не с корня, а с индекса <tex>j*</tex>, на котором в прошлой фазе было применено правило 3, то используя немного модифицированный вариант [[#l5 | леммы о числе переходов внутри фазы]] нетрудно показать, что суммарное число переходов по рёбрам за все <tex>n</tex> фаз равно <tex>O(n)</tex>. | ||
+ | |||
+ | Таким образом, при использовании всех приведённых эвристик алгоритм Укконена работает за <tex>O(n)</tex>. | ||
+ | |||
+ | == Минусы алгоритма Укконена == | ||
+ | Несмотря на то, что данный алгоритм является одним из самых простых в понимании алгоритмов для построения суффиксных деревьев и использует online подход, у него есть серьёзные недостатки, из-за которых его нечасто используют на практике: | ||
+ | # Размер суффиксного дерева сильно превосходит входные данные, поэтому при очень больших входных данных алгоритм Укконена сталкивается с проблемой ''memory bottleneck problem''(другое её название ''thrashing'')<ref>[http://dspace.library.uvic.ca:8080/bitstream/handle/1828/2901/ThesisBarsky16july.pdf?sequence=1 Marina Barsky {{---}} Suffix trees for very large inputs.]</ref>. | ||
+ | # Для несложных задач, таких как поиск подстроки, проще и эффективней использовать другие алгоритмы (например поиск подстроки с помощью [[Префикс-функция | префикс-функции]]). | ||
+ | # При внимательном просмотре видно, что на самом деле алгоритм работает за время <tex>O(n \cdot |\Sigma|)</tex>, используя столько же памяти, так как для ответа на запрос о существовании перехода по текущему символу за <tex>O(1)</tex> необходимо хранить линейное количество информации от размера алфавита в каждой вершине. Поэтому, если алфавит очень большой требуется чрезмерный объём памяти. Можно сэкономить на памяти, храня в каждой вершине только те символы, по которым из неё есть переходы, но тогда поиск перехода будет занимать <tex>O(\log |\Sigma|)</tex> времени. | ||
+ | # Константное время на одну итерацию {{---}} это амортизированная оценка, в худшем случае одна фаза может выполняться за <tex>O(n)</tex> времени. Например, алгоритм Дэни Бреслауера и Джузеппе Итальяно<ref>[https://books.google.ru/books?id=sGDXz53FwM4C&lpg=PP11&ots=utJ8jnql5h&dq=Dany%20Breslauer%2C%20Giuseppe%20F.%20Italiano%3A%20Near%20Real-Time%20Suffix%20Tree%20Construction%20via%20the%20Fringe%20Marked%20Ancestor%20Problem.&hl=ru&pg=PA156#v=onepage&q&f=false Dany Breslauer, Giuseppe F. Italiano {{---}} Near Real-Time Suffix Tree Construction via the Fringe Marked Ancestor Problem.]</ref>, хоть и строит дерево за <tex>O(n \log \log n)</tex>, но на одну итерацию в худшем случае тратит <tex>O(\log \log n)</tex> времени. | ||
+ | # На сегодняшний день существуют кэш-эффективные алгоритмы, превосходящие алгоритм Укконена на современных процессорах<ref>[https://www.google.ru/url?sa=t&rct=j&q=&esrc=s&source=web&cd=6&ved=0CFMQFjAF&url=http%3A%2F%2Fwww.researchgate.net%2Fprofile%2FYuanyuan_Tian%2Fpublication%2F30848628_Practical_methods_for_constructing_suffix_trees%2Flinks%2F0046352b38e5dc849e000000.pdf&ei=Bh4sVZL8EIausAHujoDoBg&usg=AFQjCNEAr63t7zZnWZPKYIZLjQQInbelSg&sig2=jAPs1IULJvJZt8xwx5PYtA&bvm=bv.90491159,d.bGg&cad=rja Yuanyuan Tian, Sandeep Tata, Richard A. Hankins, Jignesh M. Patel {{---}} Practical methods for constructing suffix trees.]</ref>. | ||
+ | # Также алгоритм предполагает, что дерево полностью должно быть загружено в оперативную память. Если же требуется работать с большими размерами данных, то становится не так тривиально модифицировать алгоритм, чтобы он не хранил всё дерево в ней<ref>[http://arxiv.org/pdf/1012.4074.pdf Woong-Kee Loh, Yang-Sae Moon, Wookey Lee {{---}} A fast divide-and-conquer algorithm for indexing human genome sequences.]</ref>. | ||
+ | |||
+ | == См. также== | ||
+ | * [[Алгоритм МакКрейта]] | ||
+ | * [[Алгоритм Фарача| Алгоритм Фараx-Колтона]] | ||
+ | * [[Суффиксный бор]] | ||
+ | |||
+ | ==Примечания== | ||
+ | |||
+ | <references /> | ||
+ | |||
+ | == Источники информации == | ||
+ | * Дэн Гасфилд — Строки, деревья и последовательности в алгоритмах: Информатика и вычислительная биология — СПб.: Невский Диалект; БХВ-Петербург, 2003. — 654 с: ил. | ||
+ | * [http://yury.name/internet/01ianote.pdf Юрий Лифшиц {{---}} Построение суффиксного дерева за линейное время.] | ||
+ | * [http://e-maxx.ru/algo/ukkonen MAXimal :: algo :: Суффиксное дерево. Алгоритм Укконена] | ||
+ | * [http://habrahabr.ru/post/111675/ Habrahabr {{---}} Построение суффиксного дерева: алгоритм Укконена] | ||
+ | |||
+ | [[Категория: Алгоритмы и структуры данных]] | ||
+ | [[Категория: Словарные структуры данных]] | ||
+ | [[Категория: Суффиксное дерево]] |
Текущая версия на 19:17, 4 сентября 2022
Алгоритм Укконена (англ. Ukkonen's algorithm) — алгоритм построения суффиксного дерева для заданной строки за линейное время.
Алгоритм за O(n3)
Рассмотрим сначала наивный метод, который строит дерево за время
, где — длина исходной строки . В дальнейшем данный алгоритм будет оптимизирован таким образом, что будет достигнута линейная скорость работы.Определение: |
Неявное суффиксное дерево (англ. implicit suffix tree, IST) строки | — это суффиксное дерево, построенное для строки без добавления .
Алгоритм последовательно строит неявные суффиксные деревья для всех префиксов исходного текста
. На -ой фазе неявное суффиксное дерево для префикса достраивается до для префикса . Достраивание происходит следующим образом: для каждого суффикса подстроки необходимо спуститься от корня дерева до конца этого суффикса и дописать символ .Алгоритм состоит из
фаз. На каждой фазе происходит продление всех суффиксов текущего префикса строки, что требует времени. Следовательно, общая асимптотика алгоритма составляет .Псевдокод алгоритма за O(n3)
for i = 1 .. n for j = 1 .. i treeExtend(s[j..i]) // добавление текущего суффикса работает за линейное время
Замечание: на первый взгляд, более логичным подходом кажется добавление всех суффиксов строки в дерево по очереди, получив сразу алгоритм со временем работы алгоритма МакКрейта.
. Однако осуществить улучшение данного алгоритма до линейного времени работы будет намного сложней, хотя именно в этом и заключается сутьПродление суффиксов
Ниже приведены возможные случаи, которые могут возникнуть при добавлении символа
ко всем суффиксам префикса .Суффиксные ссылки
Определение: |
Пусть | обозначает произвольную строку, где — её первый символ, а — оставшаяся подстрока (возможно пустая). Если для внутренней вершины с путевой меткой существует другая вершина с путевой меткой , то ссылка из в называется суффиксной ссылкой (англ. suffix link).
Лемма (Существование суффиксных ссылок): |
Для любой внутренней вершины суффиксного дерева существует суффиксная ссылка, ведущая в некоторую внутреннюю вершину . |
Доказательство: |
Рассмотрим внутреннюю вершину | с путевой меткой . Так как эта вершина внутренняя, её путевая метка ветвится справа в исходной строке. Тогда очевидно подстрока тоже ветвится справа в исходной строке, и ей соответствует некоторая внутренняя вершина . По определению суффиксная ссылка вершины ведёт в .
Использование суффиксных ссылок
Рассмотрим применение суффиксных ссылок. Пусть только что был продлён суффикс
до суффикса . Теперь с помощью построенных ссылок можно найти конец суффикса в суффиксном дереве, чтобы продлить его до суффикса . Для этого надо пройти вверх по дереву до ближайшей внутренней вершины , в которую ведёт путь, помеченный . У вершины точно есть суффиксная ссылка (о том, как строятся суффиксные ссылки, будет сказано позже, а пока можно просто поверить). Эта суффиксная ссылка ведёт в вершину , которой соответствует путь, помеченный подстрокой . Теперь от вершины следует пройти вниз по дереву к концу суффикса и продлить его до суффикса .Подстрока
является суффиксом подстроки , следовательно после перехода по суффиксной ссылке в вершину, помеченную путевой меткой , можно дойти до места, которому соответствует метка , сравнивая не символы на рёбрах, а лишь длину ребра по первому символу рассматриваемой части подстроки и длину самой этой подстроки. Таким образом можно спускаться вниз сразу на целое ребро.Построение суффиксных ссылок
Легко увидеть, что в процессе построения суффиксного дерева уже построенные суффиксные ссылки никак не изменяются. Поэтому осталось сказать, как построить суффиксные ссылки для созданных вершин. Рассмотрим новую внутреннюю вершину
, которая была создана в результате продления суффикса . Вместо того, чтобы искать, куда должна указывать суффиксная ссылка вершины , поднимаясь от корня дерева для этого, перейдем к продлению следующего суффикса . И в этот момент можно проставить суффиксную ссылку для вершины . Она будет указывать либо на существующую вершину, если следующий суффикс закончился в ней, либо на новую созданную. То есть суффиксные ссылки будут обновляться с запаздыванием. Внимательно посмотрев на все три правила продления суффиксов, можно осознать, что для вершины точно найдётся на следующей фазе внутренняя вершина, в которую должна вести суффиксная ссылка.Оценка числа переходов
Определение: |
Глубиной вершины | назовем число рёбер на пути от корня до вершины .
Лемма: |
При переходе по суффиксной ссылке глубина уменьшается не более чем на . |
Доказательство: |
Заметим, что на пути в дереве по суффиксу не более чем на одну вершину меньше, чем на пути по суффиксу . Каждой вершине на пути соответствует вершина на пути , в которую ведёт суффиксная ссылка. Разница в одну вершину возникает, если первому ребру в пути соответсвует метка из одного символа , тогда суффиксная ссылка из вершины, в которую ведёт это ребро, будет вести в корень. |
Лемма (о числе переходов внутри фазы): |
Число переходов по рёбрам внутри фазы номер равно . |
Доказательство: |
Оценим количество переходов по рёбрам при поиске конца суффикса. Переход до ближайшей внутренней вершины уменьшает высоту на | . Переход по суффиксной ссылке уменьшает высоту не более чем на (по лемме, доказанной выше). А потом высота увеличивается, пока мы переходим по рёбрам вниз. Так как высота не может увеличиваться больше глубины дерева, а на каждой -ой итерации мы уменьшаем высоту не более, чем на , то суммарно высота не может увеличиться больше чем на . Итого, число переходов по рёбрам за одну фазу в сумме составляет .
Асимптотика алгоритма с использованием суффиксных ссылок
Теперь в начале каждой фазы мы только один раз спускаемся от корня, а дальше используем переходы по суффиксным ссылкам. По доказанной лемме переходов внутри фазы будет . А так как фаза состоит из итераций, то амортизационно получаем, что на одной итерации будет выполнено действий. Следовательно, асимптотика алгоритма улучшилась до .
Линейный алгоритм
Чтобы улучшить время работы данного алгоритма до
, нужно использовать линейное количество памяти, поэтому метка каждого ребра будет храниться как два числа — позиции её самого левого и самого правого символов в исходном тексте.Лемма (Стал листом — листом и останешься): |
Если в какой-то момент работы алгоритма Укконена будет создан лист с меткой (для суффикса, начинающегося в позиции строки ), он останется листом во всех последовательных деревьях, созданных алгоритмом.
|
Доказательство: |
Это верно потому, что у алгоритма нет механизма продолжения листового ребра дальше текущего листа. Если есть лист с суффиксом | , правило продолжения 1 будет применяться для продолжения на всех последующих фазах.
Лемма (Правило 3 заканчивает дело): |
В любой фазе, если правило продления 3 применяется в продолжении суффикса, начинающего в позиции , оно же и будет применяться во всех дальнейших продолжениях (от по ) до конца фазы. |
Доказательство: |
При использовании правила продолжения 3 путь, помеченный | в текущем дереве, должен продолжаться символом , и точно так же продолжается путь, помеченный , поэтому правило 3 применяется в продолжениях .
Когда используется 3-е правило продления суффикса, никакой работы делать не нужно, так как требуемый суффикс уже в дереве есть. Поэтому можно заканчивать текущую итерацию после первого же использования этого правила.
Так как лист навсегда останется листом, можно задать метку ребра ведущего в этот лист как
, где — ссылка на переменную, хранящую конец текущей подстроки. На следующих итерациях к этому ребру может применяться правило ответвления, но при этом будет меняться только левый(начальный) индекс . Таким образом мы сможем удлинять все суффиксы, заканчивающиеся в листах за .Следовательно, на каждой фазе лемма). Если он был продлён по правилу 2, то была создана новая листовая вершина, значит, на текущей фазе этот суффикс будет продлён до суффикса по листовой вершине. Поэтому после применения правила 3 на суффиксе текущую фазу можно завершить, а следующую начать сразу с .
алгоритм реально работает с суффиксами в диапазоне от до , а не от до . Действительно, если суффикс был продлён до суффикса на прошлой фазе по правилу 1, то он и дальше будет продлеваться по правилу 1 (о чём говоритИтоговая оценка времени работы
В течение работы алгоритма создается не более лемме о размере суффиксного дерева для строки. Все суффиксы, которые заканчиваются в листах, благодаря первой лемме на каждой итерации мы увеличиваем на текущий символ по умолчанию за . Текущая фаза алгоритма будет продолжаться, пока не будет использовано правило продления 3. Сначала неявно продлятся все листовые суффиксы, а потом по правилам 2.а) и 2.б) будет создано несколько новых внутренних вершин. Так как вершин не может быть создано больше, чем их есть, то амортизационно на каждой фазе будет создано вершин. Так как мы на каждой фазе начинаем добавление суффикса не с корня, а с индекса , на котором в прошлой фазе было применено правило 3, то используя немного модифицированный вариант леммы о числе переходов внутри фазы нетрудно показать, что суммарное число переходов по рёбрам за все фаз равно .
вершин поТаким образом, при использовании всех приведённых эвристик алгоритм Укконена работает за
.Минусы алгоритма Укконена
Несмотря на то, что данный алгоритм является одним из самых простых в понимании алгоритмов для построения суффиксных деревьев и использует online подход, у него есть серьёзные недостатки, из-за которых его нечасто используют на практике:
- Размер суффиксного дерева сильно превосходит входные данные, поэтому при очень больших входных данных алгоритм Укконена сталкивается с проблемой memory bottleneck problem(другое её название thrashing)[1].
- Для несложных задач, таких как поиск подстроки, проще и эффективней использовать другие алгоритмы (например поиск подстроки с помощью префикс-функции).
- При внимательном просмотре видно, что на самом деле алгоритм работает за время , используя столько же памяти, так как для ответа на запрос о существовании перехода по текущему символу за необходимо хранить линейное количество информации от размера алфавита в каждой вершине. Поэтому, если алфавит очень большой требуется чрезмерный объём памяти. Можно сэкономить на памяти, храня в каждой вершине только те символы, по которым из неё есть переходы, но тогда поиск перехода будет занимать времени.
- Константное время на одну итерацию — это амортизированная оценка, в худшем случае одна фаза может выполняться за [2], хоть и строит дерево за , но на одну итерацию в худшем случае тратит времени. времени. Например, алгоритм Дэни Бреслауера и Джузеппе Итальяно
- На сегодняшний день существуют кэш-эффективные алгоритмы, превосходящие алгоритм Укконена на современных процессорах[3].
- Также алгоритм предполагает, что дерево полностью должно быть загружено в оперативную память. Если же требуется работать с большими размерами данных, то становится не так тривиально модифицировать алгоритм, чтобы он не хранил всё дерево в ней[4].
См. также
Примечания
- ↑ Marina Barsky — Suffix trees for very large inputs.
- ↑ Dany Breslauer, Giuseppe F. Italiano — Near Real-Time Suffix Tree Construction via the Fringe Marked Ancestor Problem.
- ↑ Yuanyuan Tian, Sandeep Tata, Richard A. Hankins, Jignesh M. Patel — Practical methods for constructing suffix trees.
- ↑ Woong-Kee Loh, Yang-Sae Moon, Wookey Lee — A fast divide-and-conquer algorithm for indexing human genome sequences.
Источники информации
- Дэн Гасфилд — Строки, деревья и последовательности в алгоритмах: Информатика и вычислительная биология — СПб.: Невский Диалект; БХВ-Петербург, 2003. — 654 с: ил.
- Юрий Лифшиц — Построение суффиксного дерева за линейное время.
- MAXimal :: algo :: Суффиксное дерево. Алгоритм Укконена
- Habrahabr — Построение суффиксного дерева: алгоритм Укконена