Линейные операторы в нормированных пространствах — различия между версиями
м (rollbackEdits.php mass rollback) |
|||
(не показано 25 промежуточных версий 8 участников) | |||
Строка 1: | Строка 1: | ||
+ | [[Нормированные пространства|<<]] [[Дифференцируемые отображения в нормированных пространствах|>>]] | ||
{{Определение | {{Определение | ||
|definition= | |definition= | ||
− | Пусть <tex>X</tex>, <tex>Y</tex> — нормированные пространства, <tex>~A\colon X \to Y</tex>. <tex>A</tex> называется линейным оператором, если <tex>A | + | Пусть <tex>X</tex>, <tex>Y</tex> — нормированные пространства, <tex>~\mathcal{A}\colon X \to Y</tex>. <tex>\mathcal{A}</tex> называется линейным оператором, если <tex>\mathcal{A} (\alpha x + \beta y ) = \alpha \mathcal{A} \left( x \right) + \beta \mathcal{A} \left( y \right), \forall \alpha, \beta \in \mathbb {R}, \forall x, y \in X</tex> |
− | Из того факта, что <tex>A \left ( \alpha x \right )=\alpha A \left ( x \right )</tex>, следует, что <tex>\ | + | }} |
+ | Из того факта, что <tex>\mathcal{A} \left( \alpha x \right) = \alpha \mathcal{A} \left( x \right) \forall \alpha \in \mathbb {R} </tex>, следует, что <tex> \mathcal{A} \left( 0 \right) =0 </tex>. | ||
+ | |||
{{Определение | {{Определение | ||
|definition= | |definition= | ||
− | Л.о. называется ограниченным, если <tex>\exists m \in \mathbb {R} \ge 0: \forall x \in X \left \| A \left ( x \right ) \right \| \le m \left \| x \right \|</tex> }} | + | Л.о. называется ограниченным, если <tex>\exists m \in \mathbb {R}, m \ge 0: \forall x \in X \left \| \mathcal{A} \left( x \right) \right \| \le m \left \| x \right \|</tex> |
− | + | }} | |
+ | |||
{{Определение | {{Определение | ||
|definition= | |definition= | ||
− | Л.о. непрерывен в | + | Л.о. непрерывен в точке <tex>x</tex>, если <tex>\lim \limits_{\Delta x \to 0} \mathcal{A} \left( x + \Delta x \right) = \mathcal{A} \left( x \right) </tex> |
− | + | }} | |
− | + | ||
− | <tex> \left \| A | + | Имеется тесная связь между ограниченностью и непрерывностью оператора: |
− | <tex>A \left ( x + \ | + | |
+ | {{Лемма | ||
+ | |statement= | ||
+ | Непрерывность оператора в точке <tex>x</tex> совпадает с его непрерывностью в точке <tex>0</tex>. | ||
+ | |proof= | ||
+ | Пусть <tex> \lim\limits_{\Delta x \to 0} \mathcal{A} \left( \Delta x \right) = \mathcal{A} \left( 0 \right) = 0</tex> | ||
+ | |||
+ | <tex> \left \| \mathcal{A}( x + \Delta x) - \mathcal{A}(x) \right \| = \left \| \mathcal{A} \left( x \right) + \mathcal{A} \left( \Delta x \right) - \mathcal{A} \left( x \right) \right \| = \left \| \mathcal{A} \left( \Delta x \right) \right \| \xrightarrow [\Delta x \to 0]{} 0 </tex> | ||
+ | |||
+ | Значит, <tex>\mathcal{A} \left ( x + \Delta x \right )\xrightarrow [\Delta x \to 0]{} \mathcal{A}(x) </tex>, и <tex> \mathcal{A} </tex> непрерывен в <tex> x </tex> по определению. | ||
+ | }} | ||
+ | |||
{{Теорема | {{Теорема | ||
|statement= | |statement= | ||
− | + | Линейный оператор непрерывен тогда и только тогда, когда он ограничен. | |
+ | |proof= | ||
+ | # <tex>\mathcal{A}</tex> {{---}} ограничен, значит, <tex> \left \| \mathcal{A}(x) \right \| \le m \left \| x \right \|, m \ge 0</tex> | ||
+ | #: <tex>\left \| \mathcal{A} \left( \Delta x \right) \right \| \le m \left \| \Delta x \right \| </tex> | ||
+ | #: <tex> \mathcal{A} \left( \Delta x \right) \xrightarrow [\Delta x \to 0]{} 0 </tex>. | ||
+ | #: А непрерывен в 0, следовательно, непрерывен и на X. | ||
+ | # Пусть <tex>\mathcal{A}</tex> {{---}} непрерывен на X, в частности, в <tex>0</tex>, тогда: | ||
+ | #: Подставляем в определение <tex>\varepsilon = 1: ~ \exists \delta > 0: \forall z: \left \| z \right \| \le \delta \Rightarrow ~ \left \| \mathcal{A}(z) \right \| \le \varepsilon = 1</tex> | ||
+ | #* Для <tex>x = 0</tex> условие ограничения будет соблюдено при любом <tex>m</tex>. | ||
+ | #* Для <tex>x \ne 0</tex> рассмотрим <tex>z = \frac{\delta}{2} \frac {x}{\left \| x \right \|}.\quad</tex> <tex> \left \| z \right \| = \frac{\delta}{2} < \delta \Rightarrow \left \| \mathcal{A}(z) \right \| \le 1 </tex> | ||
+ | #*: Но <tex>\mathcal{A} \left ( z \right ) = \frac {\delta}{2 \left \| x \right \|} \mathcal{A}(x) </tex>. Значит, <tex> \| \mathcal{A}(z) \| = \frac {\delta}{2 \| x \|} \| \mathcal{A}(x) \| \le 1</tex>, таким образом, <tex> \| \mathcal{A}(x) \| \le \frac2{\delta} \| x \|</tex> | ||
+ | #: Выберем <tex> m = \frac2{\delta} </tex>, и получим, что оператор ограничен. | ||
+ | }} | ||
+ | |||
+ | {{Определение | ||
+ | |definition= | ||
+ | Нормой ограниченного оператора <tex>\left \| \mathcal{A} \right \|</tex> является <tex>\sup \limits_{\left \| x \right \| \le 1} \left \| \mathcal{A}x \right \|</tex>. | ||
+ | }} | ||
+ | |||
+ | При <tex>x \ne 0, z = \frac {x}{\left \| x \right \|}, \left \| z \right \| = 1</tex>, имеем | ||
+ | <tex>\left \| \mathcal{A}z \right \| \le \left \| \mathcal{A} \right \|</tex> | ||
+ | |||
+ | <tex>\mathcal{A}z = \frac {\mathcal{A}x}{\left \| x \right \|}</tex>, таким образом, <tex> \left \| \mathcal{A}x \right \| \le \left \| \mathcal{A} \right \| \left \| x \right \|, \forall x \in X</tex> | ||
+ | |||
+ | Норма оператора <tex>\left \| \mathcal{A} \right \|</tex> удовлетворяет трём стандартным аксиомам абстрактной нормы: | ||
+ | # <tex>\left \| \mathcal{A} \right \| \ge 0, \left \| \mathcal{A} \right \| = 0 \Longleftrightarrow \mathcal{A} = 0</tex> | ||
+ | # <tex>\left \| \alpha \mathcal{A} \right \| = \left | \alpha \right | \left \| \mathcal{A} \right \|</tex> | ||
+ | # <tex>\left \| \mathcal{A} + \mathcal{B} \right \| \le \left \| \mathcal{A} \right \| + \left \| \mathcal{B} \right \|</tex> | ||
+ | Докажем свойство 3: | ||
+ | |||
+ | {{Утверждение | ||
+ | |statement=<tex>\left \| \mathcal{A} + \mathcal{B} \right \| \le \left \| \mathcal{A} \right \| + \left \| \mathcal{B} \right \|</tex> | ||
+ | |proof= | ||
+ | Рассмотрим <tex>x</tex>, такой, что <tex>\left \| x \right \| \le 1</tex>. | ||
+ | |||
+ | <tex> \left \| \left ( \mathcal{A} + \mathcal{B} \right ) \left ( x \right ) \right \| \le \left \|\mathcal{A}x \right \| + \left \| \mathcal{B}x \right \| \le \left \| \mathcal{A} \right \| + \left \| \mathcal{B} \right \|, \forall x \le 1 </tex> | ||
+ | }} | ||
+ | |||
+ | <tex>~\mathcal{A}\colon X \to Y, ~\mathcal{B}\colon Y \to Z</tex> | ||
+ | |||
+ | <tex>\mathcal{B} \circ \mathcal{A} = \mathcal{B} \cdot \mathcal{A} \colon X \to Z, \left ( \mathcal{B}\mathcal{A} \right ) \left ( x \right ) = \mathcal{B} \left ( \mathcal{A} \left ( x \right ) \right )</tex> | ||
+ | |||
+ | <tex>\left \| \mathcal{B}\mathcal{A} \right \| \le \left \| \mathcal{B} \right \| \cdot \left \| \mathcal{A} \right \| </tex>, в частности, <tex>\left \| \mathcal{A}^n \right \| \le \left \| \mathcal{A} \right \|^n</tex> | ||
+ | |||
+ | {{Утверждение | ||
+ | |statement= | ||
+ | <tex>\|\mathcal{BA}\| \leq \|\mathcal{A}\| \cdot \|\mathcal{B}\| </tex> | ||
+ | |proof= | ||
+ | <tex>\forall x : \|x\| < 1 : \|\mathcal{BA}x\| = \mathcal{B}(\mathcal{A}x) </tex> <tex>\leq \|\mathcal{B}\| \cdot \|\mathcal{A}x\|</tex> <tex>\leq \|\mathcal{B}\| \cdot \|\mathcal{A}\| \cdot \|x\|</tex> <tex>\leq \|\mathcal{A}\| \cdot \|\mathcal{B}\|</tex> | ||
+ | }} | ||
+ | |||
+ | Действия с операторами производятся стандартным образом, поточечно. Рассмотрим частный случай: | ||
+ | |||
+ | <tex>\mathcal{A}\colon \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^m, \overline x \in \mathbb{R}^n, \overline x = \sum \limits_{k=1}^n x_k \overline {e_k}, x_k= | ||
+ | \left \langle \overline x, \overline {e_k}\right \rangle</tex>. Тогда <tex>\mathcal{A} \left (\overline {x} \right ) = \sum \limits_{k=1}^n x_k \mathcal{A} \left ( \overline {e_k} \right ) </tex> | ||
+ | |||
+ | Таким образом, если оператор действует из конечномерного пространства, то он вполне определён по его значению на базисных точках. Если он действует в конечномерное пространство, <tex>\mathcal{A} \left ( \overline {e_k} \right ) = \sum \limits_{j=1}^m a_{jk} \overline{e_j}'</tex>. | ||
+ | |||
+ | <tex>\mathcal{A} \left ( \overline x \right ) = \sum \limits_{k=1}^n \sum \limits_{j=1}^m \left ( a_{jk}x_k\overline{e_j}' \right ) = \sum \limits_{j=1}^m \left ( \sum \limits_{k=1}^n a_{jk} x_k \right ) \overline{e_j}' </tex> | ||
+ | |||
+ | {{Утверждение | ||
+ | |statement=<tex>\left \| \mathcal{A} \right \| \le \sqrt{\sum \limits_{k=1}^n \sum \limits_{j=1}^m a_{jk}^2}</tex> | ||
|proof= | |proof= | ||
− | + | <tex>\overline y = \mathcal{A} \overline x, y_j = \sum \limits_{k=1}^n a_{jk} x_k</tex> — здесь отчётливо видно правило умножения матриц. Отсюда понятно, почему часто устанавливают связь между линейными операторами и матрицами: <tex>\mathcal{A} \colon \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^m \longleftrightarrow \mathcal{A} = \left ( a_{jk} \right )</tex>, где <tex>j</tex> и <tex>k</tex> пробегают от <tex>1</tex> до <tex>n</tex> и <tex>m</tex> соответственно, а <tex>\mathcal{A} \overline x </tex> — результат действия л.о. <tex>\mathcal{A}</tex> на точку <tex>\overline x</tex> можно представить в виде произведения матрицы <tex>\mathcal{A}</tex> и столбца <tex>x</tex>. | |
− | <tex>\ | + | |
− | + | В <tex>\mathbb{R}^n</tex> сходимость покоординатная. <tex>\left | \sum \limits_{k=1}^m a_{jk} x_k \right | \le \sum \limits_{k=1}^m \left | a_{jk} \right | \left | x_k \right | \le \sqrt {\sum \limits_{k=1}^m \left | a_{jk} \right | ^ 2} \left \| \overline x \right \|</tex> (по неравенству Коши для сумм), таким образом, из <tex>\overline x \to 0</tex> неизбежно следует <tex>\sum \limits_{k=1}^m a_{jk} x_k \to 0</tex> | |
− | <tex> | + | |
− | <tex>\ | + | Итак, линейный оператор, действующий из одного конечномерного пространства в другое, всегда непрерывен. |
− | <tex>\left \| | + | |
− | <tex> | + | Пользуясь классическими неравенствами типа Коши, легко оценить норму такого оператора: |
− | + | ||
+ | <tex>\left \| \overline y \right \| = \sqrt{\sum \limits_{j=1}^m y^{2}_j} </tex> | ||
+ | |||
+ | <tex> y^{2}_j \le \left ( \sum \limits_{k=1}^n a_{jk}^2 \right ) \left \| \overline x \right \| ^ 2 </tex>. | ||
+ | |||
+ | <tex>\left \| \overline y \right \| ^ 2 \le \sum \limits_{j=1}^m \left ( \sum \limits_{k=1}^n a_{jk}^2 \right ) \left \| \overline x \right \|^2</tex> | ||
+ | |||
+ | <tex>\left \| \mathcal{A} \overline x \right \| \le \sqrt{\sum \limits_{k=1}^n \sum \limits_{j=1}^m a_{jk}^2} \left \| \overline x \right \|</tex> | ||
+ | |||
+ | Таким образом, финальная оценка — <tex>\left \| \mathcal{A} \right \| \le \sqrt{\sum \limits_{k=1}^n \sum \limits_{j=1}^m a_{jk}^2}</tex>. Но, в общем случае, эта оценка достаточно грубая. | ||
}} | }} | ||
+ | |||
{{Определение | {{Определение | ||
|definition= | |definition= | ||
− | + | '''Линейный функционал''' - линейный оператор вида <tex> \mathcal{A}: H \rightarrow \mathbb{R} </tex>, где <tex> H </tex> - гильбертово пространство. | |
− | + | }} | |
− | + | ||
− | + | {{Теорема | |
− | + | |statement= | |
− | + | Для любого <tex> x_0 \in H </tex> существует ограниченный линейный функционал <tex>f \colon H \to \mathbb{R}</tex>, обладающий такими свойствами: | |
− | + | # <tex>f \left ( x_0 \right ) = \left \| x_0 \right \|</tex> | |
− | + | # <tex>\left \| f \right \| = 1</tex> | |
− | + | |proof= | |
− | + | Для <tex> x_0 = 0 </tex> подойдет любой линейный функционал, такой, что <tex> \|f\| = 1 </tex>, поэтому рассмотрим <tex> x_0 \ne 0 </tex>. | |
− | + | ||
− | + | Рассмотрим <tex>H</tex>-пространство(гильбертово). Фиксируем <tex> y \in H </tex> и определим <tex>f\left ( x \right )=\left (x,y\right)</tex>. <tex>f</tex> — линейный функционал. | |
− | + | ||
− | + | По неравенству Шварца, <tex> \left | f \left ( x \right ) \right | \le \left \| y \right \| \left \| x \right \|</tex>, следовательно, <tex> \left \| f \right \| \le \left \| y \right \|, x = \frac y {\left \| y \right \|}, \left \| x \right \| = 1. \left | f \left ( x \right ) \right | = \left \| y \right \|</tex>. | |
− | + | ||
− | + | <tex>\forall ~x_0 \ne 0 \in H,~ y_0 = \frac {x_0} {\left \| x_0 \right \|}, \left \| y_0 \right \| = 1</tex>. | |
− | + | ||
− | + | Рассмотрим <tex> f \left ( x \right ) = \left (x, y_0 \right ), \left \| f \right \| = 1.~ f \left ( x_0 \right ) = \left ( x_0, \frac {x_0} {\left \| x_0 \right \|} \right ) = \left \| x_0 \right \|</tex>. Как раз это нам и нужно. | |
− | <tex>\ | + | |
− | + | }} | |
− | + | ||
− | + | {{Утверждение | |
− | + | |statement= | |
− | <tex> | + | <tex>\forall x \ne y\ \exists</tex> линейный функционал <tex>\mathcal{A} : \mathcal{A}x \ne \mathcal{A}y</tex> |
− | + | |about=Разделение точек | |
− | Рассмотрим <tex>H</tex>-пространство ( | + | |proof= |
− | <tex>\forall ~x_0 \ne 0 \in H,~ y_0 = \frac {x_0} {\left \| x_0 \right \|}, \left \| y_0 \right \| = 1</tex>. Рассмотрим <tex> f \left ( x \right ) = \left (x, y_0 \right ), \left \| f \right \| = 1.~ f \left ( x_0 \right ) = \left ( x_0, \frac {x_0} {\left \| x_0 \right \|} \right ) = \left \| x_0 \right \|</tex> | + | Рассмотрим <tex>x-y</tex>. <tex>\exists \mathcal{A} : \mathcal{A}(x - y) = \| x- y\|</tex>. |
− | <tex>\forall | + | По линейности, <tex>\mathcal{A}(x - y) = \mathcal{A}x - \mathcal{A}y</tex>. Значит, <tex>\mathcal{A}x \ne \mathcal{A}y</tex>. |
− | + | }} | |
+ | |||
+ | [[Нормированные пространства|<<]] [[Дифференцируемые отображения в нормированных пространствах|>>]] | ||
[[Категория:Математический анализ 1 курс]] | [[Категория:Математический анализ 1 курс]] |
Текущая версия на 19:21, 4 сентября 2022
Определение: |
Пусть | , — нормированные пространства, . называется линейным оператором, если
Из того факта, что
, следует, что .
Определение: |
Л.о. называется ограниченным, если |
Определение: |
Л.о. непрерывен в точке | , если
Имеется тесная связь между ограниченностью и непрерывностью оператора:
Лемма: |
Непрерывность оператора в точке совпадает с его непрерывностью в точке . |
Доказательство: |
Пусть Значит, , и непрерывен в по определению. |
Теорема: |
Линейный оператор непрерывен тогда и только тогда, когда он ограничен. |
Доказательство: |
|
Определение: |
Нормой ограниченного оператора | является .
При , имеем
, таким образом,
Норма оператора
удовлетворяет трём стандартным аксиомам абстрактной нормы:Докажем свойство 3:
Утверждение: |
Рассмотрим , такой, что . |
, в частности,
Утверждение: |
Действия с операторами производятся стандартным образом, поточечно. Рассмотрим частный случай:
. Тогда
Таким образом, если оператор действует из конечномерного пространства, то он вполне определён по его значению на базисных точках. Если он действует в конечномерное пространство,
.
Утверждение: |
— здесь отчётливо видно правило умножения матриц. Отсюда понятно, почему часто устанавливают связь между линейными операторами и матрицами: , где и пробегают от до и соответственно, а — результат действия л.о. на точку можно представить в виде произведения матрицы и столбца . В сходимость покоординатная. (по неравенству Коши для сумм), таким образом, из неизбежно следуетИтак, линейный оператор, действующий из одного конечномерного пространства в другое, всегда непрерывен. Пользуясь классическими неравенствами типа Коши, легко оценить норму такого оператора:
.
Таким образом, финальная оценка — . Но, в общем случае, эта оценка достаточно грубая. |
Определение: |
Линейный функционал - линейный оператор вида | , где - гильбертово пространство.
Теорема: |
Для любого существует ограниченный линейный функционал , обладающий такими свойствами:
|
Доказательство: |
Для подойдет любой линейный функционал, такой, что , поэтому рассмотрим .Рассмотрим -пространство(гильбертово). Фиксируем и определим . — линейный функционал.По неравенству Шварца, , следовательно, .Рассмотрим . . Как раз это нам и нужно. |
Утверждение (Разделение точек): |
линейный функционал |
Рассмотрим По линейности, . . . Значит, . |