Теорема Голдвассера, Сипсера — различия между версиями

Материал из Викиконспекты
Перейти к: навигация, поиск
(→‎План доказательства)
м (rollbackEdits.php mass rollback)
 
(не показано 48 промежуточных версий 3 участников)
Строка 3: Строка 3:
  
 
==Определение==
 
==Определение==
−
<tex>AM[f(n)]</tex> - класс языков, распознаваемых с помощью интерактивного протокола доказательства Артура-Мерлина, причем количество запросов <tex>V</tex> к <tex>P</tex> не превышает <tex>f(n)</tex>.
+
'''AM'''<tex>[f(n)]</tex> - класс языков, распознаваемых с помощью интерактивного протокола доказательства Артура-Мерлина, причем количество запросов <tex>V</tex> к <tex>P</tex> не превышает <tex>f(n)</tex>.
  
 
==Формулировка теоремы==
 
==Формулировка теоремы==
−
<tex>IP[f(n)] = AM[f(n)+2]</tex>
+
'''[[Класс IP|IP]]'''<tex>[f(n)] = </tex> '''AM'''<tex>[f(n)+ O(1)]</tex>
  
−
==Доказательство==
+
 
−
Итак, есть множество <tex>S \subset 2^{m}</tex>, и мы хотим доказать, что либо <tex>|S| > 2K</tex>, либо <tex>|S| < K</tex>.
+
Заметим что, '''AM'''<tex>[f(n)+O(1)] \subset </tex> '''IP'''<tex>[f(n)]</tex> для любой функции <tex>f</tex>, так как открытые монетки "хуже" закрытых.
−
Выберем <tex>k</tex> так, чтобы <tex>2^{k-2} \le 2K \le 2^{k-1}</tex>.
+
 
−
Возьмем <tex>h \in H_{m,k}</tex> (<tex>H_{m,k}</tex> существует согласно соответствующей [[Семейство универсальных попарно независимых хеш-функций|теореме]]) и <tex>y \in 2^k</tex>. Далее, отправим запрос <tex>P</tex> на получение <tex>s \in S</tex>, такого, что <tex>h(s)=y</tex>, и проверим, верно ли в действительности, что полученный <tex>s \in S</tex>.
+
 
−
Пусть <tex>p=\frac{2K}{2^k}</tex>.
+
----
−
* если <tex>|S|<K</tex> , то <tex>|h(s)| < \frac{p \cdot 2^k}{2} = K \Rightarrow P(</tex>успех<tex>) \le p/2</tex>.
+
Тут было неправильное доказательство теоремы.
−
* если <tex>|S|>2K</tex>, и <tex>|S|<2^{k-1}</tex>, то поступим следующим образом. Мы хотим, чтобы выполнялось: <tex>P_{h,y}(\exists s: h(s)=y) \ge \frac{3}{4} \cdot \frac{|s|}{2K}</tex> . Рассмотрим <tex>y \in 2^m</tex>. <math>P_{h}(\exists s: h(s)=y) = P_{h}(y \in \bigcup \limits_{s}h(s))=P_{h}(\bigcup \limits_{s}E_s) \ge \sum_{j}P(E_s)-\sum \limits_{s_1 \ne s_2}P(E_{s_1} \bigcap E_{s_2})= \frac{|s|}{2^k}-\frac{1}{2}|s|^{2}\frac{1}{2^{2k}}=|s|\frac{1}{2^k}\left ( 1 - \frac{|s|}{2^{k+1}} \right )</math>
+
Правильное напишем в следующем году.
−
Заметим, что <tex>|s|\frac{1}{2^k} > p</tex>, а <tex>\frac{|s|}{2^{k+1}} < \frac{1}{4}</tex>. Следовательно, <tex>P_{h}(\exists s: h(s)=y) > \frac{3}{4}p</tex>
+
То, что было правильно из этого доказательства, перенесено в статью [[Протокол Гольдвассера-Сипсера для оценки размера множества]]

Текущая версия на 19:20, 4 сентября 2022

Определение

Протокол Артура-Мерлина - интерактивный протокол доказательства, в котором [math]P[/math](prover, Merlin) видит вероятностную ленту [math]V[/math](verifier, Arthur)(т.н. public coins)

Определение

AM[math][f(n)][/math] - класс языков, распознаваемых с помощью интерактивного протокола доказательства Артура-Мерлина, причем количество запросов [math]V[/math] к [math]P[/math] не превышает [math]f(n)[/math].

Формулировка теоремы

IP[math][f(n)] = [/math] AM[math][f(n)+ O(1)][/math]


Заметим что, AM[math][f(n)+O(1)] \subset [/math] IP[math][f(n)][/math] для любой функции [math]f[/math], так как открытые монетки "хуже" закрытых.


Тут было неправильное доказательство теоремы. Правильное напишем в следующем году. То, что было правильно из этого доказательства, перенесено в статью Протокол Гольдвассера-Сипсера для оценки размера множества

Источник — «http://neerc.ifmo.ru/wiki/index.php?title=Теорема_Голдвассера,_Сипсера&oldid=84928»