Кубит — различия между версиями

Материал из Викиконспекты
Перейти к: навигация, поиск
(Кубит)
м (rollbackEdits.php mass rollback)
 
(не показано 11 промежуточных версий 3 участников)
Строка 1: Строка 1:
 
==Кубит==
 
==Кубит==
  
Кубит -- это объект, который может находиться в одном из возможных состояний (которые будут описаны далее). Причем, каждое состояние при наблюдении реализуется в конкретное бинарное значение -- 0 или 1.
+
Кубит — это объект, который может находиться в одном из возможных состояний (которые будут описаны далее). Причем, каждое состояние при наблюдении реализуется в конкретное бинарное значение — 0 или 1.
  
 
Запись <tex>\alpha_0|0\rangle + \alpha_1|1\rangle</tex> представляет собой состояние кубита и означает, что в данном состоянии кубит может принять значение 0 с вероятностью <tex>\alpha_0^2</tex> и значение 1 с вероятностью <tex>\alpha_1^2</tex>. Отсюда естественным образом следует ограничение, которое накладывается на возможные состояния кубита: <tex>\alpha_0^2 + \alpha_1^2 = 1</tex>. Причем, в общем случае, <tex>\alpha_0</tex> и <tex>\alpha_1</tex> могут быть и комплексными.
 
Запись <tex>\alpha_0|0\rangle + \alpha_1|1\rangle</tex> представляет собой состояние кубита и означает, что в данном состоянии кубит может принять значение 0 с вероятностью <tex>\alpha_0^2</tex> и значение 1 с вероятностью <tex>\alpha_1^2</tex>. Отсюда естественным образом следует ограничение, которое накладывается на возможные состояния кубита: <tex>\alpha_0^2 + \alpha_1^2 = 1</tex>. Причем, в общем случае, <tex>\alpha_0</tex> и <tex>\alpha_1</tex> могут быть и комплексными.
  
==<math>n</math>-кубит==
+
==Система из n кубитов==
  
Данные выше определения естественным образом обобщаются на случай системы из <math>n</math> кубитов. Состояние <math>n</math>-кубита описывается аналогичным образом: <math> \sum_{i \in {\{0,1\}}^n} \alpha_i|i></math>. Значение <math>i</math> реализуется в результате измерения с вероятностью <math>\alpha_i</math>, причем, аналогично случаю 1-кубита, <math>\sum\alpha_i^2 = 1</math>. Поскольку выполняется это условие, в дальнейшем мы будем опускать нормировочные множители, полагая, что при необходимости мы всегда можем привести результат к нормализованному виду.
+
Данные выше определения естественным образом обобщаются на случай системы из <tex>n</tex> кубитов. Состояние системы из <tex>n</tex> кубитов описывается аналогичным образом: <tex> \sum_{i \in {\{0,1\}}^n} \alpha_i|i\rangle</tex>. Значение <math>i</math> реализуется в результате измерения с вероятностью <tex>\alpha_i</tex>, причем, аналогично случаю одного кубита, <tex>\sum\alpha_i^2 = 1</tex>. Поскольку выполняется это условие, нормировочные множители часто опускаются, полагая, что при необходимости их всегда можно восстановить.
  
Приведем пример состояния 2-кубита: <math>|00> + |11></math>. Нормировочные множители <math>\frac{\sqrt{2}}{2}</math> были опущены. Данная запись обозначает, что при измерении система из двух кубитов равновероятно примет либо значение <math>\{0, 0\}</math>, либо <math>\{1, 1\}</math>.
+
Приведем пример состояния системы из двух кубитов: <tex>|00\rangle + |11\rangle</tex>. Нормировочные множители <tex>\frac{\sqrt{2}}{2}</tex> были опущены. Данная запись обозначает, что при измерении система из двух кубитов равновероятно примет либо значение <tex>\{0, 0\}</tex>, либо <tex>\{1, 1\}</tex>.
  
==Измерение <math>n</math>-кубита==
+
==Измерение кубитов==
  
Как уже было сказано, если измерить кубит, в результате будет получено конкретное значение. И при многократном измерении, на первый взгляд, мы как-будто просто узнаем в ходе исследования значения <math>\alpha_i^2</math>. В дальнейшем будет показано, что все не так просто.
+
Как уже было сказано, если измерить кубит, в результате будет получено конкретное значение. И при многократном измерении, на первый взгляд, мы как-будто просто узнаем в ходе исследования значения <tex>\alpha_i^2</tex>. Однако, это не так.
  
Кроме полного измерения <math>n</math>-кубита, возможно его частичное измерение. Измерив <math>m</math> компонент <math>n</math>-кубита, мы получим их конкретные реализации. Таким образом новое состояние системы может быть получено занулением <math>\alpha_i</math> для всех <math>i</math>, в которых не все из <math>m</math> измеренных компонент соответствуют полученной реализации (другими словами, не соответствуют реальности). После этой операции, в общем случае, подразумеваемые нормировочные множители изменятся.
+
Связь кубитов в системе является важной составляющей [[квантового вычисления]], реализация которой невозможна на классических компьютерах. И эта связь непосредственно обнаруживается при их измерении.
 +
 
 +
Кроме полного измерения системы из <tex>n</tex> кубитов, возможно ее частичное измерение. Измерив <tex>m</tex> компонент системы из <tex>n</tex> кубитов, мы получим их конкретные реализации. Таким образом, новое состояние системы может быть получено занулением <tex>\alpha_i</tex> для всех <tex>i</tex>, в которых не все из <tex>m</tex> измеренных компонент соответствуют полученной реализации (другими словами, не соответствуют реальности). Для определенности будем считать, что измеряются первые <tex>m</tex> кубитов. Вероятность получения конкретной реализации: <tex>P_{{x \in \{0, 1\}}^{m} }(x) = \Sigma_{y \in {\{0, 1\}}^{n - m}} \alpha_{xy}^2</tex>. В результате измерения мы получим новое состояние: <tex>\Sigma_{y \in {\{0, 1\}}^{n - m}} \alpha_{x_0 x_1 .. x_m y}</tex>. После этой операции, в общем случае, подразумеваемые нормировочные множители изменятся.
 +
 
 +
Например, после измерения первого кубита системы <tex>|00\rangle + |01\rangle + |11\rangle</tex> получаем <tex>|00\rangle + |01\rangle</tex>, если в результате измерения получили 0, и <tex>|11\rangle</tex>, если получили 1.

Текущая версия на 19:41, 4 сентября 2022

Кубит

Кубит — это объект, который может находиться в одном из возможных состояний (которые будут описаны далее). Причем, каждое состояние при наблюдении реализуется в конкретное бинарное значение — 0 или 1.

Запись [math]\alpha_0|0\rangle + \alpha_1|1\rangle[/math] представляет собой состояние кубита и означает, что в данном состоянии кубит может принять значение 0 с вероятностью [math]\alpha_0^2[/math] и значение 1 с вероятностью [math]\alpha_1^2[/math]. Отсюда естественным образом следует ограничение, которое накладывается на возможные состояния кубита: [math]\alpha_0^2 + \alpha_1^2 = 1[/math]. Причем, в общем случае, [math]\alpha_0[/math] и [math]\alpha_1[/math] могут быть и комплексными.

Система из n кубитов

Данные выше определения естественным образом обобщаются на случай системы из [math]n[/math] кубитов. Состояние системы из [math]n[/math] кубитов описывается аналогичным образом: [math] \sum_{i \in {\{0,1\}}^n} \alpha_i|i\rangle[/math]. Значение [math]i[/math] реализуется в результате измерения с вероятностью [math]\alpha_i[/math], причем, аналогично случаю одного кубита, [math]\sum\alpha_i^2 = 1[/math]. Поскольку выполняется это условие, нормировочные множители часто опускаются, полагая, что при необходимости их всегда можно восстановить.

Приведем пример состояния системы из двух кубитов: [math]|00\rangle + |11\rangle[/math]. Нормировочные множители [math]\frac{\sqrt{2}}{2}[/math] были опущены. Данная запись обозначает, что при измерении система из двух кубитов равновероятно примет либо значение [math]\{0, 0\}[/math], либо [math]\{1, 1\}[/math].

Измерение кубитов

Как уже было сказано, если измерить кубит, в результате будет получено конкретное значение. И при многократном измерении, на первый взгляд, мы как-будто просто узнаем в ходе исследования значения [math]\alpha_i^2[/math]. Однако, это не так.

Связь кубитов в системе является важной составляющей квантового вычисления, реализация которой невозможна на классических компьютерах. И эта связь непосредственно обнаруживается при их измерении.

Кроме полного измерения системы из [math]n[/math] кубитов, возможно ее частичное измерение. Измерив [math]m[/math] компонент системы из [math]n[/math] кубитов, мы получим их конкретные реализации. Таким образом, новое состояние системы может быть получено занулением [math]\alpha_i[/math] для всех [math]i[/math], в которых не все из [math]m[/math] измеренных компонент соответствуют полученной реализации (другими словами, не соответствуют реальности). Для определенности будем считать, что измеряются первые [math]m[/math] кубитов. Вероятность получения конкретной реализации: [math]P_{{x \in \{0, 1\}}^{m} }(x) = \Sigma_{y \in {\{0, 1\}}^{n - m}} \alpha_{xy}^2[/math]. В результате измерения мы получим новое состояние: [math]\Sigma_{y \in {\{0, 1\}}^{n - m}} \alpha_{x_0 x_1 .. x_m y}[/math]. После этой операции, в общем случае, подразумеваемые нормировочные множители изменятся.

Например, после измерения первого кубита системы [math]|00\rangle + |01\rangle + |11\rangle[/math] получаем [math]|00\rangle + |01\rangle[/math], если в результате измерения получили 0, и [math]|11\rangle[/math], если получили 1.