ЭПР парадокс

ЭПР парадокс

Происхождение парадокса

ЭПР парадокс, назван в честь его создателей Эйнштейна, Подольского и Розена, является мысленным экспериментом, показывающий, что квантовая механика позволяет системам в удаленных частях Вселенной мгновенно координировать свои действия, что противоречит аксиоме специальной теории относительности Эйнштейна, которая говорит, что ничто не может перемещаться быстрее скорости света. Эйнштейн утверждал, что квантовую механику необходимо дополнить с целью устранения таких парадоксов.

В 1964 Джон Белл показал, как превратить мысленный эксперимент в реальный. Две системы на огромном расстоянии друг от друга имели общее квантовое состояние (систему из двух кубитов). Это состояние позволяет им согласовывать свои действия невозможным в «классическом» смысле образом. Эксперимент Белла был многократно повторен, и каждый раз сбывались предсказания квантовой механики. Сегодня ЭПР парадокс не считается парадоксом, так как в эксперименте информация не путешествует быстрее скорости света, а является разделенной между системами до проведения эксперимента.

Игра в четность

Два игрока, A и B, изолированны друг от друга. Им предлагается сыграть в следующую игру:

1. Выбираются два случайных бита [math]x[/math] и [math]y[/math] ∈ [math]\{0,1\}[/math].
2. Бит [math]x[/math] сообщается игроку A, бит [math]y[/math] — игроку B.
3. Игроки A и B сообщают биты [math]a[/math] и [math]b[/math] соответственно.
4. Игроки выигрывают тогда и только когда [math]a \oplus b = x \wedge y[/math].

Под изоляцией игроков понимается, например, разнесение их на расстояние одного светового года, при этом с каждым игроком находится свой ассистент, который в условленный момент времени бросает свою монету и сообщает игроку его случайный бит, затем получает ответ от игрока и посылает его судье, находящемуся посередине между игроками.

Легко показать, что вероятность выигрыша у игроков составляет хотя бы [math]3/4[/math], например если ответы всегда будут [math]a = b = 0[/math]. Также можно показать, что лучшего результата достигнуть невозможно, что кажется естественным, так как у игроков нет возможности обмениваться информацией.

Стратегией для пары игроков является пара функций [math]f, g:\{0,1\} \to \{0,1\}[/math], такие, что ответ игрока A есть [math]a = f(x)[/math], а игрока B — [math]b = g(y)[/math].

Теорема 1

Никакая стратегия (детерминированная или вероятностная) не позволит игрокам A и B иметь вероятность выигрыша более [math]3/4[/math].

Доказательство

Рассмотрим детерминированный случай. Пусть такая стратегия существует. Тогда функция [math]f(x)[/math] игрока A есть одно из четырех: всегда ноль, всегда единица, [math]f(x) = x[/math] или [math]f(x) = 1 - x[/math]. Рассмотрим случай [math]f(x) = x[/math], для остальных доказательство проводится аналогично. В данном случае ответ игрока A есть по сути [math]x[/math], то есть игроки выигрывают тогда и только тогда, когда [math]b = (x \wedge y) \oplus x[/math]. Таким образом задача игрока B по [math]y[/math] найти ответ [math]b[/math], обеспечивающий выигрыш. Если [math]y = 1[/math], то ответ [math]b = 0[/math] всегда подходит. Однако если [math]y = 0[/math], то [math](x \wedge y) \oplus x = x[/math] и, так как игроку B неизвестен [math]x[/math], вероятность того что [math]x[/math] будет угадан составляет [math]1/2[/math]. Таким образом вероятность выигрыша не превосходит [math]3/4[/math].

Игра в четность с общей квантовой информацией

Теперь у игроков A и B есть система из двух кубитов, которая была разделена ими заранее. Вопреки предыдущей теореме в таком случае вероятность выигрыша превышает [math]0.8[/math]. Для этого используется следующая стратегия:

1. Перед проведением эксперимента создается система кубитов [math]|00\rangle + |11\rangle[/math].
2. Игроки разделяют систему: игроку A достается первый кубит, а игроку B — второй.
3. Игрок A получает [math]x[/math]. Если [math]x = 1[/math], то игрок поворачивает свой кубит на [math]\pi / 8[/math].
4. Игрок B получает [math]y[/math]. Если [math]y = 1[/math], то игрок поворачивает свой кубит на [math]-\pi / 8[/math].
5. Оба игрока измеряют свои кубиты и выдают полученные значения в качестве [math]a[/math] и [math]b[/math].

Порядок, в котором производятся повороты и измерения кубитов неважен. Данный эксперимент был неоднократно повторен.

Теорема 2

Данная стратегия приводит к вероятности выигрыша не менее [math]0.8[/math].

Доказательство

Покажем, что:

1. Если [math]x = y = 0[/math], что [math]a = b[/math] с вероятностью [math]1[/math].
2. Если [math]x \neq y[/math], что [math]a = b[/math] с вероятностью [math]\cos^2(\pi/8) \ge 0.85[/math].
3. Если [math]x = y = 1[/math], что [math]a = b[/math] с вероятностью [math]0.5[/math].

Если все оценки будут доказаны, то получаем общую вероятность не менее [math]\frac{1}{4} \cdot 1 + \frac{1}{2} \cdot 0.85 + \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{8} = 0.8[/math].

В первом случае оба игрока не будут поворачивать свои кубиты, поэтому результатом измерений будет либо [math]|00\rangle[/math], либо [math]|11\rangle[/math]. В обоих случаях [math]a = b[/math].

Для анализа второй оценки рассмотрим случай [math]x = 0[/math], [math]y = 1[/math]. В этом случае только игрок B повернул свой кубит. Пусть игрок A первым измеряет свой кубит. С вероятность [math]0.5[/math] получается [math]0[/math] и второй кубит переходит в состояние [math]|0\rangle[/math], повернутое на [math]-\frac{\pi}{8}[/math]. Это означает, что игрок B получит [math]0[/math] с вероятностью [math]\cos^2 (\pi/8)[/math]. Аналогично и в других случаях.

В третьем случае получаем систему:

[math](\cos(\pi/8)|0\rangle + \sin(\pi/8)|1\rangle)(\cos(\pi/8)|0\rangle - \sin(\pi/8)|1\rangle) +[/math]

[math](-\sin(\pi/8)|0\rangle + \cos(\pi/8)|1\rangle)(\sin(\pi/8)|0\rangle + \cos(\pi/8)|1\rangle) =[/math]

[math](\cos^2(\pi/8) - \sin^2(\pi/8))|00\rangle - 2\sin(\pi/8)\cos(\pi/8)|01\rangle +[/math]

[math] 2\sin(\pi/8)\cos(\pi/8)|10\rangle + (\cos^2(\pi/8) - \sin^2(\pi/8))|11\rangle [/math]

Так как [math]\cos^2(\pi/8) - \sin^2(\pi/8) = \cos(\pi/4) = \frac{1}{\sqrt{2}} = \sin(\pi/4) = 2\sin(\pi/8)\cos(\pi/8)[/math], то получаем, что все конфигурации равновероятны, а значит вероятность того, что [math]a = b[/math] составляет [math]0.5[/math].

Дополнительные материалы

• [1] Sanjeev Arora and Boaz Barak, Computational Complexity: A Modern Approach.