Унитарные операторы

Унитарное преобразование

Преобразование нормированного пространства, сохраняющее норму вектора, называется унитарным.

Простейшие свойства унитарного преобразования:

1. унитарный оператор всегда обратим
2. если оператор [math]\hat{H}[/math] -- эрмитов, то оператор [math]\hat{U} = exp(i\hat{H})[/math] -- унитарный
3. существует оператор, обратный к унитарному [math]\hat{U}^{-1} = \hat{U}^*[/math], где [math]\hat{U}^*[/math] - оператор, сопряженный к [math]\hat{U}[/math]

Унитарные операторы играют огромную роль в квантовой информатике.

Воздействие на кубит

Унитарность воздействия

Покажем, что любое физическое воздействие на кубит в квантовой механике описывается линейным унитарным оператором [math]\hat{U}[/math] как [math]|\tilde{\psi}\rangle = \hat{U}|\psi\rangle[/math].

Линейность [math]\hat{U}[/math] вытекает из линейности уравнения Шредингера. Пусть [math]|\Psi\rangle = \alpha_0|0\rangle + \alpha_1|1\rangle[/math] - вектор, описывающий состояние системы. Тогда уравнение Шредингера записывается как [math]ih\frac{\partial |\Psi\rangle}{\partial t} = \hat{H}|\Psi\rangle[/math], где оператор [math]\hat{H}[/math] -- оператор Гамильтона. Решение этого уравнения с начальным условием [math]|\Psi\rangle|_{t=0} = |\psi\rangle[/math] может быть записано в виде [math]|\tilde{\psi}\rangle = \exp\left(\frac{-i\hat{H}t}{h}\right)|\psi\rangle = \hat{U} |\psi\rangle[/math]. Оператор Гамильтона [math]\hat{H}[/math] должен быть эрмитовым, чтобы допустимые значения энергии системы были вещественными. Тогда оператор [math]\frac{-\hat{H}t}{h}[/math] тоже будет эрмитов. Отсюда в силу свойства 2 унитарного оператора вытекает, что оператор [math]\hat{U}[/math] -- унитарный, что и требовалось показать.

Унитарность оператора [math]\hat{U}[/math] означает, что если исходное состояние квантовой системы нормировано, то и состояние, в которое система перейдет после совершения воздействия также будет нормированным.

Квантовые вычисления

В дальнейшем будем рассматривать воздействие на кубит (или на систему кубитов) как процесс вычисления. При этом вектор [math]|\psi\rangle[/math] играет роль входных данных, оператор [math]\hat{U}[/math] -- вычислительного процесса, а вектор [math]|\tilde{\psi}\rangle[/math] -- результата вычислений.

Так как воздействие представимо унитарным оператором, то любой вычислительный процесс обратим.

Матричная запись вычислений

Будем использовать матричное представление операторов [math]\hat{U}[/math].

Рассмотрим действие оператора на кубит. В силу линейности оператора [math]\hat{U}|\psi\rangle = \tilde{\alpha}|0\rangle + \tilde{\beta}|1\rangle = \hat{U}(\tilde{\alpha}|0\rangle + \tilde{\beta}|1\rangle) = \tilde{\alpha}\hat{U}|0\rangle + \tilde{\beta}\hat{U}|1\rangle[/math], то есть действие оператора на кубит предствляется действием на базисные вектора [math]|0\rangle[/math] и [math]|1\rangle[/math], которые представляют собой ортонормированный базис в двумерном гильбертовом пространстве. Тогда получим:

[math]\hat{U}|0\rangle = \hat{U}_{00}|0\rangle + \hat{U}_{10}|1\rangle[/math]

[math]\hat{U}|1\rangle = \hat{U}_{01}|0\rangle + \hat{U}_{11}|1\rangle[/math]

Тогда вычисление можно записать в виде

[math]\begin{pmatrix} \tilde{\alpha}\\ \tilde{\beta} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} U_{00} & U_{01}\\ U_{10} & U_{11} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \alpha\\ \beta \end{pmatrix} [/math]

или просто [math]\tilde{\psi} = U\psi[/math]. Матрица [math]U[/math] называется матричным представлением оператора [math]\hat{U}[/math]. Свойство унитарности оператора налагает требование унитарности на его матрицу.

Примеры однокомпонентных логических элементов

• Квантовый логический элемент NOT
• Квантовый логический элемент Адамара H

Воздействие на n-кубит

Двухкубитовые системы и операторы

Для простоты будем рассматривать 2-кубиты. Все сказанное ниже может быть несложным образом обобщено на случай [math]n\gt 2[/math]

Рассмотрим систему из двух кубитов:

[math]|\psi_1\rangle = \alpha_1|0_1\rangle + \beta_1|1_1\rangle \in H_1[/math],

[math]|\psi_2\rangle = \alpha_2|0_2\rangle + \beta_2|1_2\rangle \in H_2[/math]

Построим векторное пространство, элементами которого являются пары векторов, один из которых принадлежит [math]H_1[/math], а другой [math]H_2[/math]. Такое пространство называется тензорным произведением [math]H_1[/math] и [math]H_2[/math] и обозначается как [math]H_1\otimes H_2[/math]. Базисные вектора такого пространства представляют собой
[math]|00\rangle = |0_1\rangle \otimes |0_2\rangle[/math],
[math]|01\rangle = |0_1\rangle \otimes |1_2\rangle[/math],
[math]|10\rangle = |1_1\rangle \otimes |0_2\rangle[/math],
[math]|11\rangle = |1_1\rangle \otimes |1_2\rangle[/math].

Базисные вектора тензорного произведения являются ортонормированными.

Любое состояние двухкубитовой системы можно представить как

[math]|\psi\rangle = \gamma_{00}|00\rangle + \gamma_{01}|01\rangle + \gamma_{10}|10\rangle + \gamma_{11}|11\rangle[/math], где [math]\gamma_{ij}[/math] как и раньше - вероятность обнаружить систему в состоянии [math]|ij\rangle[/math].

Операторы, определенные в тензорном произведении действуют покомнонентно:
[math](\hat{U_1} \otimes \hat{U_2})(|\psi_1\rangle \otimes |\psi_2\rangle = (\hat{U_1}|\psi_1\rangle) \otimes (\hat{U_2}|\psi_2\rangle)[/math]

Примеры 2-кубитовых логических элементов

• Квантовый логический элемент CNOT
• Квантовый логический элемент Тоффоли

Дополнительные материалы

• [1] С.А.Чивилихин Квантовая информатика.
• [2] Wikipedia - The Free Encyclopedia