Протокол Гольдвассера-Сипсера для оценки размера множества

Пусть зафиксировано множество [math]S[/math].

Построим протокол на открытых монетах, обладающий следующими свойствами:

• если [math]|S|\gt 2K[/math], то [math]V[/math] с высокой вероятностью примет слово;
• если [math]|S|\lt K[/math], то [math]V[/math] с высокой вероятностью не примет слово.

Выберем [math]k[/math] так, чтобы [math]2^{k-2} \le 2K \le 2^{k-1}[/math]. Возьмем [math]h \in H_{m,k}[/math] ([math]H_{m,k}[/math] - семейство универсальных попарно независимых хеш-функций), и [math]y \in 2^k[/math]. Далее, отправим запрос [math]P[/math] на получение [math]s \in S[/math], такого, что [math]h(s)=y[/math], и проверим, верно ли в действительности, что полученный [math]s \in S[/math]. Пусть [math]p=\frac{2K}{2^k}[/math].

• если [math]|S|\lt K[/math] , то [math]|h(S)| \lt \frac{p \cdot 2^k}{2} = K \Rightarrow P(V(x) = [x \in L]) \le p/2[/math], то есть в этом случае [math]V[/math] ошибется с вероятностью не более [math]\frac{1}{2}p[/math];
• если [math]|S|\gt 2K[/math], и [math]|S|\lt 2^{k-1}[/math], то поступим следующим образом. Мы хотим, чтобы выполнялось: [math]P_{h,y}(\exists s: h(s)=y) \ge \frac{3}{4} \cdot \frac{|S|}{2K}[/math] . Обозначим как [math]E_s[/math] событие [math]h(s)=y[/math]. Рассмотрим [math]y \in 2^m[/math]. [math]P_{h}(\exists s: h(s)=y) = P_{h}(y \in \bigcup \limits_{s}h(s))= [/math] [math] P_{h}(\bigcup \limits_{s}E_s) \ge \sum \limits_{j}P(E_s)-\sum \limits_{s_1 \ne s_2}P(E_{s_1} \bigcap E_{s_2})= \frac{|S|}{2^k}-\frac{1}{2}|S|^{2}\frac{1}{2^{2k}}=|S|\frac{1}{2^k}\left ( 1 - \frac{|S|}{2^{k+1}} \right )[/math]

Заметим, что [math]|S|\frac{1}{2^k} \gt p[/math], а [math]\frac{|S|}{2^{k+1}} \lt \frac{1}{4}[/math]. Итак, действительно, [math]P_{h}(\exists s: h(s)=y) \gt \frac{3}{4}p[/math], т.е. в этом случае [math]V[/math] примет слово с вероятностью [math]\frac{3}{4}p \gt \frac{1}{2}p[/math];

• если [math]|S|\gt 2^{k-1}[/math], то [math]V[/math] примет слово с вероятностью, большей, чем [math]\frac{3}{4}p[/math], так как с дальнейшим возрастанием мощности [math]|S|[/math] вероятность того, что [math]V[/math] примет слово только возрастет.