Характеристика перечислимых множеств через вычислимые функции — различия между версиями

Материал из Викиконспекты
Перейти к: навигация, поиск
(Эквивалентность определений)
м (rollbackEdits.php mass rollback)
 
(не показаны 4 промежуточные версии 3 участников)
Строка 1: Строка 1:
== Определение ==
+
[[Категория: Удалить]]
{{Определение
 
|definition='''Множество <tex>X</tex> называется перечислимым''', если выполняется хотя бы одно из условий:
 
# существует программа, перечисляющая все элементы <tex>X</tex> в произвольном порядке;
 
# <tex>X</tex> является областью определения [[Вычислимые функции|вычиcлимой функции]] <tex>f</tex>;
 
# <tex>X</tex> является областью значений вычиcлимой функции <tex>f</tex>;
 
# функция <tex>f_X(x) = \begin{cases}
 
  1, & x \in X \\
 
  \bot, & x \notin X
 
\end{cases}</tex> — вычислима.
 
}}
 
 
 
== Эквивалентность определений ==
 
 
 
{{Теорема
 
|statement=
 
Определения ''1'', ''2'', ''3'', ''4'' эквивалентны.
 
|proof=
 
*1 <tex>\Rightarrow</tex> 4
 
 
 
Пусть <tex>p</tex> — программа, перечисляющая <tex>X</tex>.
 
 
 
Приведем программу <tex>q</tex>, вычисляющую функцию <tex>f_X(x)</tex>:
 
 
 
<tex>q(x):</tex>
 
    '''for''' <tex>k = 1 \ .. \ \infty</tex>
 
        '''if''' <tex> p(k) == x </tex>
 
            '''return''' 1
 
 
 
 
 
*2 <tex>\Rightarrow</tex> 1
 
 
 
Пусть <tex>X</tex> — область определения вычислимой функции <tex>f</tex>, вычисляемой программой <tex>p</tex>.
 
 
 
Тогда <tex>X</tex> перечисляется такой программой:
 
 
 
<tex>q():</tex>
 
    '''for''' <tex> TL = 1 \ .. \ \infty </tex>
 
        '''for''' <tex> k = 1 \ ..\ TL</tex>
 
            '''if''' <tex>p(k)|_{TL} \neq \bot </tex>
 
                '''print''' <tex>k</tex>
 
 
 
*3 <tex>\Rightarrow</tex> 1
 
 
 
Пусть <tex>X</tex> — область значений вычислимой функции <tex>f</tex>, вычисляемой программой <tex>p</tex>.
 
 
 
Тогда <tex>X</tex> перечисляется такой программой:
 
 
 
<tex>q():</tex>
 
    '''for''' <tex> TL = 1 \ .. \ \infty </tex>
 
        '''for''' <tex> k = 1 \ ..\ TL</tex>
 
            '''if''' <tex>p(k)|_{TL} \neq \bot </tex>
 
                '''print''' <tex>p(k)|_{TL}</tex>
 
 
 
 
 
*4 <tex>\Rightarrow</tex> 2, 4 <tex>\Rightarrow</tex> 3
 
 
 
Пусть дана <tex>f_X(x)</tex>.
 
 
 
Введем новую функцию <tex>g(x) = x</tex>, если <tex>f_X(x) \neq \bot</tex>.
 
 
 
Очевидно, что она вычислима и что ее область определения и область значений совпадают с <tex>X</tex>.
 
 
 
}}
 
 
 
== Литература ==
 
* Н. К. Верещагин, А. Шень. Лекции по математической логике и теории алгоритмов. Часть 3. Вычислимые функции. — М.: МЦНМО, 1999. С. 134. ISBN 5-900916-36-7
 

Текущая версия на 19:25, 4 сентября 2022