Предельный переход в классе измеримых функций

<<>>

1

Утверждение:

Пусть [math]E[/math] измеримо, [math]f_n : E \to \mathbb{R}[/math], все [math]f_n[/math] — измеримы на [math]E[/math], [math]\forall x \in E : f(x) = \lim\limits_{n\to\infty} f_n(x)[/math], тогда [math]f[/math] тоже измерима на [math]E[/math].

[math]\triangleright[/math]

Выведем это из стандартного факта анализа. [math]a = \lim\limits_{n\to\infty} a_n \iff a = \inf\limits_{n\in \mathbb{N}} \sup \{a_n, a_{n+1}, \ldots\} = \sup\limits_{n\in \mathbb{N}} \inf \{a_n, a_{n+1}, \ldots\}[/math] Но нас интересует следствие только в прямую сторону. [math]f(x) = \inf\limits_{n\to\infty} \sup \{f_n(x), f_{n+1}(x), \ldots\}[/math] Обозначим [math]g_n(x) = \sup \{f_n(x), f_{n+1}(x), \ldots \}[/math] Осталось показать, что [math]\inf[/math] и [math]\sup[/math] не выводят за рамки класса измеримых: [math]E(g_n\leq a) = \bigcap\limits_{m = n}^\infty E(f_m\leq a)[/math] Аналогично [math]\inf[/math]. Значит, [math]f[/math] — измерима по Лебегу

[math]\triangleleft[/math]

2

Введём понятие «свойство выполняется почти всюду». Именно на базе этого термина теория приобретает свои характерные черты.

Определение:

Пусть [math]E\subset X[/math], [math]P[/math] — свойство. Если [math]E(\overline P)[/math] —нульмерно, то [math]P[/math] выполняется почти всюду на [math]E[/math]

Пример. Функция Дирихле [math]f = \begin{cases}1 & x \notin \mathbb{Q}\\ 0 & x \in \mathbb{Q}\end{cases}[/math]

[math]g = 1[/math] на [math]\mathbb{R}[/math].

Тогда [math]f=g[/math] почти всюду на [math]\mathbb{R}[/math].

Это понятие понадобится нам для того, чтобы определить сходимость функции почти всюду.

Определение:

Пусть заданы функции [math]f_n, f[/math] на [math]E[/math], [math]E' = \{x | x \in E, \lim\limits_{n\to\infty} f_n(x) \ne f(x)\}[/math]. Если [math]\mu E' = 0[/math], то [math]f_n\to f[/math] почти всюду на [math]E[/math].

Для того, чтобы придать более удобную запись множеству [math] E' [/math], рассмотрим множество [math]A = \bigcup\limits_{p=1}^\infty \bigcap\limits_{m=1}^\infty \bigcup\limits_{n=m}^\infty E(|f_n(x) - f(x)| \geq \frac1p)[/math].

Считаем, что функции [math] f_n, f [/math] измеримы, поэтому множество [math] A [/math] тоже измеримо.

Легко проверить, что оно совпадает с множеством точек [math] x [/math] из [math]E[/math], таких, что [math]\lim\limits_{n\to\infty}f_n(x)\ne f(x)[/math], достаточно вспомнить отрицание предела:

Если точка принадлежит [math] A [/math], то [math]\exists p_0 : x \in \bigcap\limits_{m=1}^\infty \bigcup\limits_{n=m}^\infty E(|f_n(x) - f(x)| \geq \frac{1}{p_0})[/math].

Значит, [math]\exists p_0\ \forall m : x \in \bigcup\limits_{n=m}^\infty \left(|f_n(x) - f(x)| \geq \frac1{p_0} \right) [/math], то есть,

[math]\exists n_1 \lt n_2 \lt \ldots \lt n_k \lt \ldots : |f_{n_k}(x) - f(x)| \geq \frac1{p_0}[/math], и [math] x \in E' [/math].

Аналогично — в обратную сторону.

Значит, сходимость [math] f_n [/math] к [math] f [/math] почти всюду равносильна нульмерности [math] A [/math].

Утверждение:

Пусть [math]f_n[/math] — измеримо, [math]f_n \to f[/math] почти всюду на [math]E[/math]. Тогда [math]f[/math] — измерима.

[math]\triangleright[/math]

Напоминаем, все действия мы проводим для [math]\sigma[/math]-конечных полных мер. [math]E'=E(f_n\not\to f)[/math]. [math]\mu E' = 0[/math] [math]E'' = E \setminus E'[/math] — измеримо, [math]f_n\to f[/math] всюду на [math]E''[/math]. Рассмотрим [math]E(f\lt a)[/math], [math]E = E'' \cup E'[/math] [math]\Rightarrow[/math] [math]E(f\lt a) = (E(f\lt a) \cap E') \cup (E(f\lt a) \cap E'')[/math]. Первое множество — часть нульмерного, значит, и само нульмерно, второе множество измеримо. Значит, [math]E(f\lt a)[/math] измеримо как объединение измеримых.

[math]\triangleleft[/math]

<<>>