Некоторые элементарные свойства интеграла Лебега — различия между версиями
(→Сигма-аддитивность) |
м (rollbackEdits.php mass rollback) |
||
(не показаны 4 промежуточные версии 4 участников) | |||
Строка 1: | Строка 1: | ||
[[Определение интеграла Лебега|<<]] [[Предельный переход под знаком интеграла Лебега|>>]] | [[Определение интеграла Лебега|<<]] [[Предельный переход под знаком интеграла Лебега|>>]] | ||
− | |||
− | |||
Далее, для краткости, «определённый интеграл Лебега» будет означать интеграл Лебега от ограниченной измеримой функции по множеству конечной меры. | Далее, для краткости, «определённый интеграл Лебега» будет означать интеграл Лебега от ограниченной измеримой функции по множеству конечной меры. | ||
Строка 55: | Строка 53: | ||
Тогда, так как <tex>\left|\int\limits_{B_p}\right| \leq \mu B_p \cdot M</tex>, <tex>\int\limits_{B_p} \xrightarrow[p\to \infty]{} 0</tex>. | Тогда, так как <tex>\left|\int\limits_{B_p}\right| \leq \mu B_p \cdot M</tex>, <tex>\int\limits_{B_p} \xrightarrow[p\to \infty]{} 0</tex>. | ||
− | Тогда, при <tex>p\to\infty</tex>, <tex>\int\limits_{E} = \sum\limits_{n=1}^ | + | Тогда, при <tex>p\to\infty</tex>, <tex>\int\limits_{E} = \sum\limits_{n=1}^\infty </tex>, что нам и требовалось. |
}} | }} | ||
Строка 94: | Строка 92: | ||
<tex>m_j(f) + m_j(g) \leq f(x) + g(x) \leq M_j(f) + M_j(g)</tex> | <tex>m_j(f) + m_j(g) \leq f(x) + g(x) \leq M_j(f) + M_j(g)</tex> | ||
− | <tex>m_j(f) + m_j(g) \leq m_j(f + g) \leq M_j(f + g) \leq M_j(f) + | + | <tex>m_j(f) + m_j(g) \leq m_j(f + g) \leq M_j(f + g) \leq M_j(f) + M_j(g)</tex> |
Суммируем по <tex>j</tex>: | Суммируем по <tex>j</tex>: | ||
− | <tex>\underline{s}(f) + \underline{s}(g) \leq \underline{s}(f+g) \leq \int\ | + | <tex>\underline{s}(f) + \underline{s}(g) \leq \underline{s}(f+g) \leq \int\limits_E(f+g) \leq \overline{s}(f+g) \leq \overline{s}(f) + \overline{s}(g)</tex>. |
<tex>\underline{s}(f) + \underline{s}(g) \leq \int\limits_Ef+\int\limits_Eg</tex>, <tex>\int\limits_E(f+g)\leq \overline{s}(f) + \overline{s}(g)</tex>. | <tex>\underline{s}(f) + \underline{s}(g) \leq \int\limits_Ef+\int\limits_Eg</tex>, <tex>\int\limits_E(f+g)\leq \overline{s}(f) + \overline{s}(g)</tex>. |
Текущая версия на 19:21, 4 сентября 2022
Далее, для краткости, «определённый интеграл Лебега» будет означать интеграл Лебега от ограниченной измеримой функции по множеству конечной меры.
Учитывая, что
и , , имеем набор неравенств .То есть,
.Если
, то , и интеграл от постоянной — .Если
неотрицательна, то интеграл от нее тоже неотрицателен.Сигма-аддитивность
Теорема ( | -аддитивность интеграла):
Пусть существует , — измеримы и дизъюнктны. Тогда . |
Доказательство: |
1) (случай конечного объединения множеств).Ясно, что достаточно рассмотреть : . Дальнейшее доказательство делается тривиальной индукцией по числу множеств.Раз , то — измерима на и ограничена там.Значит, она будет такой же на частях и , поэтому, все интегралы существуют.В силу определения интеграла, — разбиение .
Но — разбиение . Значит, .— почти победа. Получили, что . Обратное неравенство доказываем аналогично. Случай конечной суммы рассмотрен. 2) ,Теперь разбито на конечное число дизъюнктных частей.По пункту 1,
Так как , , по -аддитивности.. Так как остаток сходящегося числового ряда стремится к нулю, .Тогда, так как Тогда, при , . , , что нам и требовалось. |
В частности, из этой теоремы уже можно перейти к следующему факту:
Утверждение: |
Пусть , . Тогда |
Действительно, — измеримо, так как и — измеримы. — счётное объединение измеримых множеств.. разбито на две дизъюнктных части, , . Тогда: . |
Если вернуться к
и , то, так как везде, кроме нульмерного множества, то .Линейность
Теперь установим так называемую линейность интеграла:
Утверждение: |
Пусть , . Тогда . |
Установим, что интеграл суммы равен сумме интегралов. То, что можно выносить множитель, доказывается аналогично. В все интегралы существуют, нужно только доказать, что равенство выполняется.. ; ; Сложим эти неравенства:
Суммируем по :. , . В силу определения интеграла от измеримой функции, .
Подставим .
Тогда крайние величины отличаются не более, чем на . Так как — произвольное, числа должны совпасть. |