ДНФ

ДНФ

Определение:

Простой конъюнкцией (англ. inclusive conjunction) или конъюнктом (англ. conjunct) называется конъюнкция одной или нескольких переменных или их отрицаний, причём каждая переменная встречается не более одного раза.

Простая конъюнкция

• полная, если в неё каждая переменная (или её отрицание) входит ровно [math] 1 [/math] раз;
• монотонная, если она не содержит отрицаний переменных.

Определение:

Дизъюнктивная нормальная форма, ДНФ (англ. disjunctive normal form, DNF) — нормальная форма, в которой булева функция имеет вид дизъюнкции нескольких простых конъюнктов.

Пример ДНФ: [math]f(x,y,z) = (x \land y) \lor (y \land \neg {z})[/math].

СДНФ

Определение:

Совершенная дизъюнктивная нормальная форма, СДНФ (англ. perfect disjunctive normal form, PDNF) — ДНФ, удовлетворяющая условиям: в ней нет одинаковых простых конъюнкций, каждая простая конъюнкция полная.

Пример СДНФ: [math]f(x,y,z) = (x \land \neg {y} \land z) \lor (x \land y \land \neg {z})[/math].

Теорема:

Для любой булевой функции [math]f(\vec {x})[/math], не равной тождественному нулю, существует СДНФ, ее задающая.

Доказательство:

[math]\triangleright[/math]

Для любой булевой функции выполняется следующее соотношение, называемое разложением Шеннона: [math]f(\vec{x}) = \neg x_i \wedge f(x_1, \ldots ,x_{i-1},0,x_{i+1}, \ldots ,x_n) \vee x_i \wedge f(x_1, \ldots ,x_{i-1},1,x_{i+1}, \ldots ,x_n)[/math]. Данное соотношение легко проверить подстановкой возможных значений [math]x_i[/math] ([math]0[/math] и [math]1[/math]). Эта формула позволяет выносить [math]x_i[/math] за знак функции. Последовательно вынося [math]x_1[/math], [math]x_2[/math],.., [math]x_n[/math] за знак [math]f(\vec{x})[/math], получаем следующую формулу: [math] f(\vec{x}) = \neg x_1 \wedge \neg x_2 \wedge \ldots \wedge \neg x_{n-1} \wedge \neg x_n \wedge f(0,0,\ldots,0,0)~\vee~[/math] [math]\neg x_1 \wedge \neg x_2 \wedge \ldots \wedge \neg x_{n-1} \wedge x_n \wedge f(0,0,\ldots,0,1) ~\vee~ \\ \ldots \\ ~\vee~ x_1 \wedge x_2 \wedge \ldots \wedge x_{n-1} \wedge \neg x_n \wedge f(1,1,\ldots,1,0) ~\vee~\\ x_1 \wedge x_2 \wedge \ldots \wedge x_{n-1} \wedge x_n \wedge f(1,1,\ldots,1) [/math] Так как применение данного соотношения к каждой из переменных увеличивает количество конъюнктов в два раза, то для функции от [math]n[/math] переменных мы имеем [math]2^n[/math] конъюнктов. Каждый из них соответствует значению функции на одном из [math]2^n[/math] возможных наборов значений [math] n [/math] переменных. Если на некотором наборе [math]f(\vec{x})=0[/math], то весь соответствующий конъюнкт также равен нулю и из представления данной функции его можно исключить. Если же [math] f(\vec{x})=1[/math], то в соответствующем конъюнкте само значение функции можно опустить. В результате для произвольной функции была построена СДНФ.

[math]\triangleleft[/math]

Алгоритм построения СДНФ по таблице истинности

1. В таблице истинности отмечаем те наборы переменных, на которых значение функции равно [math] 1 [/math].
2. Для каждого отмеченного набора записываем конъюнкцию всех переменных по следующему правилу: если значение некоторой переменной есть [math] 1 [/math], то в конъюнкцию включаем саму переменную, иначе ее отрицание.
3. Все полученные конъюнкции связываем операциями дизъюнкции.

Пример построения СДНФ для медианы

Построение СДНФ для медианы от трех аргументов

1. В таблице истинности отмечаем те наборы переменных, на которых значение функции равно [math] 1 [/math].

[math] x [/math]	[math] y [/math]	[math] z [/math]	[math] \langle x,y,z \rangle [/math]
0	0	0	0
0	0	1	0
0	1	0	0
0	1	1	1
1	0	0	0
1	0	1	1
1	1	0	1
1	1	1	1

2. Для каждого отмеченного набора записываем конъюнкцию всех переменных по следующему правилу: если значение некоторой переменной есть [math] 1 [/math], то в конъюнкцию включаем саму переменную, иначе ее отрицание.

[math] x [/math]	[math] y [/math]	[math] z [/math]	[math] \langle x,y,z \rangle [/math]
0	0	0	0
0	0	1	0
0	1	0	0
0	1	1	1	[math](\neg {x} \land y \land z)[/math]
1	0	0	0
1	0	1	1	[math](x \land \neg {y} \land z)[/math]
1	1	0	1	[math](x \land y \land \neg {z})[/math]
1	1	1	1	[math](x \land y \land z)[/math]

3. Все полученные конъюнкции связываем операциями дизъюнкции:

[math] \langle x,y,z \rangle = (x \land y \land z) \lor (\neg {x} \land y \land z) \lor (x \land \neg {y} \land z) \lor (x \land y \land \neg {z})[/math].

Построение СДНФ для медианы от пяти аргументов

[math] x_1 [/math]	[math] x_2 [/math]	[math] x_3 [/math]	[math]x_4[/math]	[math] x_5 [/math]	[math] \langle x_1, x_2, x_3, x_4, x_5 \rangle [/math]
0	0	0	0	0	0
0	0	0	0	1	0
0	0	0	1	0	0
0	0	0	1	1	0
0	0	1	0	0	0
0	0	1	0	1	0
0	0	1	1	0	0
0	0	1	1	1	1	[math](\neg {x_1} \land \neg {x_2} \land x_3 \land x_4 \land x_5)[/math]
0	1	0	0	0	0
0	1	0	0	1	0
0	1	0	1	0	0
0	1	0	1	1	1	[math](\neg {x_1} \land x_2 \land \neg {x_3} \land x_4 \land x_5)[/math]
0	1	1	0	0	0
0	1	1	0	1	1	[math](\neg {x_1} \land x_2 \land x_3 \land \neg {x_4} \land x_5)[/math]
0	1	1	1	0	1	[math](\neg {x_1} \land x_2 \land x_3 \land x_4 \land \neg {x_5})[/math]
0	1	1	1	1	1	[math](\neg {x_1} \land x_2 \land x_3 \land x_4 \land x_5)[/math]
1	0	0	0	0	0
1	0	0	0	1	0
1	0	0	1	0	0
1	0	0	1	1	1	[math](x_1 \land \neg {x_2} \land \neg {x_3} \land x_4 \land x_5)[/math]
1	0	1	0	0	0
1	0	1	0	1	1	[math](x_1 \land \neg {x_2} \land x_3 \land \neg {x_4} \land x_5)[/math]
1	0	1	1	0	1	[math](x_1 \land \neg {x_2} \land x_3 \land x_4 \land \neg {x_5})[/math]
1	0	1	1	1	1	[math](x_1 \land \neg {x_2} \land x_3 \land x_4 \land x_5)[/math]
1	1	0	0	0	0
1	1	0	0	1	1	[math](x_1 \land x_2 \land \neg {x_3} \land \neg {x_4} \land x_5)[/math]
1	1	0	1	0	1	[math](x_1 \land x_2 \land \neg {x_3} \land x_4 \land \neg {x_5})[/math]
1	1	0	1	1	1	[math](x_1 \land x_2 \land \neg {x_3} \land x_4 \land x_5)[/math]
1	1	1	0	0	1	[math](x_1 \land x_2 \land x_3 \land \neg {x_4} \land \neg {x_5})[/math]
1	1	1	0	1	1	[math](x_1 \land x_2 \land x_3 \land \neg {x_4} \land x_5)[/math]
1	1	1	1	0	1	[math](x_1 \land x_2 \land x_3 \land x_4 \land \neg {x_5})[/math]
1	1	1	1	1	1	[math](x_1 \land x_2 \land x_3 \land x_4 \land x_5)[/math]

[math] \langle x_1, x_2, x_3, x_4, x_5 \rangle = (\overline {x_1} \land \overline {x_2} \land x_3 \land x_4 \land x_5) \lor (\overline {x_1} \land x_2 \land \overline {x_3} \land x_4 \land x_5) \lor (\overline {x_1} \land x_2 \land x_3 \land \overline {x_4} \land x_5) \lor (\overline {x_1} \land x_2 \land x_3 \land x_4 \land \overline {x_5}) \lor (\overline {x_1} \land x_2 \land x_3 \land x_4 \land x_5) \lor (x_1 \land \overline {x_2} \land \overline {x_3} \land x_4 \land x_5) \lor (x_1 \land \overline {x_2} \land x_3 \land \overline {x_4} \land x_5) \lor (x_1 \land \overline {x_2} \land x_3 \land x_4 \land \overline {x_5}) \lor (x_1 \land \overline {x_2} \land x_3 \land x_4 \land x_5) \lor (x_1 \land x_2 \land \overline {x_3} \land \overline {x_4} \land x_5) \lor (x_1 \land x_2 \land \overline {x_3} \land x_4 \land \overline {x_5}) \lor (x_1 \land x_2 \land \overline {x_3} \land x_4 \land x_5) \lor (x_1 \land x_2 \land x_3 \land \overline {x_4} \land \overline {x_5}) \lor (x_1 \land x_2 \land x_3 \land \overline {x_4} \land x_5) \lor (x_1 \land x_2 \land x_3 \land x_4 \land \overline {x_5}) \lor (x_1 \land x_2 \land x_3 \land x_4 \land x_5)[/math].

Примеры СДНФ для некоторых функций

Стрелка Пирса: [math] x \downarrow y = (\neg {x} \land \neg {y})[/math].

Исключающее или: [math] x \oplus y \oplus z = (\overline{x} \land \overline{y} \land z) \lor (\overline{x} \land y \land \overline{z}) \lor (x \land \overline{y} \land \overline{z}) \lor (x \land y \land z)[/math].

См. также

• Сокращенная и минимальная ДНФ
• КНФ

Источники информации

• СДНФ — Википедия
• Е.Л Рабкин, Ю.Б. Фарфоровская — Дискретная математика