Факты из математического анализа — различия между версиями
Николай (обсуждение | вклад) (→Теорема о \sum \limits_{n) |
м (rollbackEdits.php mass rollback) |
||
(не показано 18 промежуточных версий 2 участников) | |||
Строка 5: | Строка 5: | ||
{{Утверждение | {{Утверждение | ||
− | |statement= | + | |id = th1. |
− | |proof= | + | |statement = |
+ | Пусть есть ряд состоящий из значений функций: | ||
+ | <math> f (1) + f (2) + f (3) + ... + f (n) </math>, притом <math> f_n </math> либо монотонно возрастают, либо монотонно убывают. Оценим ряд. Если расходится, то с какой скоростью? | ||
+ | |proof = | ||
+ | Рассмотрим случай, когда ряд из <math> f_n </math> монотонно возрастает. | ||
+ | Оценим ряд сверху: <math> {f(1) + \int \limits_{1}^{n} f(x) dx} \leq {f (1) + f (2) + f (3) + ... + f (n)} \leq {\int \limits_{1}^{n + 1} f(x) dx} </math> | ||
+ | Аналогично оценим ряд снизу. | ||
+ | |||
+ | Теперь рассмотрим случай, когда ряд из <math> f_n </math> монотонно убывает. | ||
+ | Оценим ряд снизу: <math> {\int \limits_{1}^{n} f(x) dx + f(n) \leq f (1) + f (2) + f (3) + ... + f (n) } </math>. | ||
+ | Аналогично оценим ряд сверху: <math> f (1) + f (2) + f (3) + ... + f (n) \leq f(1) + \int \limits_{2}^{n} f(x) dx </math>. | ||
+ | Таким образом <math> \sum \limits_{n \leq x} f (n) = \int \limits_{1}^{x} f(t) dt + O(1) </math>, где <math> O(1) = c + o(1) </math>. | ||
+ | В итоге <math> \sum \limits_{n \leq x} f (n) = \int \limits_{1}^{x} f(t) dt + c + o(1) </math>. | ||
}} | }} | ||
− | == Теорема о <tex> \sum \limits_{n \leq x} \ln x </tex> == | + | == Теорема о <math> \sum \limits_{n \leq x} \ln x = x \ln x - x + O(\ln x) </math> == |
+ | |||
+ | Рассмотрим пример, когда <tex> f(x) = \ln x </tex> | ||
+ | |||
+ | {{Теорема | ||
+ | |id = th2. | ||
+ | |statement = <math> {\sum \limits_{n \leq x} \ln x = x \ln x - x + O(\ln x)} </math> | ||
+ | |proof= Воспользуемся ранее полученным результатом ([[#th1|оценка ряда из монотонно возрастающих <tex> f_n </tex>]]). | ||
+ | <math> \sum \limits_{n \leq x} \ln (n) \leq \int \limits_{1}^{x + 1} \ln (t) dt = (x + 1) \ln (x + 1) - (x + 1) + 1 = x \ln (x + 1) + \ln (x + 1) - x = x \ln (x) - x + O(\ln (x)) </math> - оценка сверху. | ||
+ | Также оценим снизу: <math> f(1) + \int \limits_{1}^{n} \ln (x) dx = x \ln(x) - x </math> - оценка снизу. | ||
+ | В итоге получаем то, что требовалось получить: <math> \sum \limits_{n \leq x} \ln x = x \ln x - x + O(\ln x) </math> | ||
+ | }} | ||
+ | |||
+ | == Теорема о <tex> \sum \limits_{n \leq x} \frac{1}{n \ln n} = \ln \ln x + c + o(1) </tex> == | ||
+ | |||
+ | == Формула Тейлора == | ||
+ | |||
+ | == Теорема о <tex> \frac{1}{\ln (n+1)} = \frac{1}{\ln n} - \frac{1}{n \ln^2 n} + O(\frac{1}{n^2}) </tex> == |
Текущая версия на 11:44, 1 сентября 2022
Эта статья находится в разработке!
Оценка ряда с помощью для монотонных функций.
Утверждение: |
Пусть есть ряд состоящий из значений функций:
, притом либо монотонно возрастают, либо монотонно убывают. Оценим ряд. Если расходится, то с какой скоростью? |
Рассмотрим случай, когда ряд из монотонно возрастает. Оценим ряд сверху: Аналогично оценим ряд снизу.Теперь рассмотрим случай, когда ряд из В итоге монотонно убывает. Оценим ряд снизу: . Аналогично оценим ряд сверху: . Таким образом , где . . |
Теорема о
Рассмотрим пример, когда
Теорема: |
Доказательство: |
Воспользуемся ранее полученным результатом (оценка ряда из монотонно возрастающих ). - оценка сверху. Также оценим снизу: - оценка снизу. В итоге получаем то, что требовалось получить: |