Факты из математического анализа

Эта статья находится в разработке!

Оценка ряда [math] f (1) + f (2) + f (3) + ... + f (n) [/math] с помощью [math] \int \limits_{1}^{n} f(x) dx [/math] для монотонных функций.

Утверждение:

Пусть есть ряд состоящий из значений функций: [math] f (1) + f (2) + f (3) + ... + f (n) [/math], притом [math] f_n [/math] либо монотонно возрастают, либо монотонно убывают. Оценим ряд. Если расходится, то с какой скоростью?

[math]\triangleright[/math]

Рассмотрим случай, когда ряд из [math] f_n [/math] монотонно возрастает. Оценим ряд сверху: [math] {f(1) + \int \limits_{1}^{n} f(x) dx} \leq {f (1) + f (2) + f (3) + ... + f (n)} \leq {\int \limits_{1}^{n + 1} f(x) dx} [/math] Аналогично оценим ряд снизу. Теперь рассмотрим случай, когда ряд из [math] f_n [/math] монотонно убывает. Оценим ряд снизу: [math] {\int \limits_{1}^{n} f(x) dx + f(n) \leq f (1) + f (2) + f (3) + ... + f (n) } [/math]. Аналогично оценим ряд сверху: [math] f (1) + f (2) + f (3) + ... + f (n) \leq f(1) + \int \limits_{2}^{n} f(x) dx [/math]. Таким образом [math] \sum \limits_{n \leq x} f (n) = \int \limits_{1}^{x} f(t) dt + O(1) [/math], где [math] O(1) = c + o(1) [/math]. В итоге [math] \sum \limits_{n \leq x} f (n) = \int \limits_{1}^{x} f(t) dt + c + o(1) [/math].

[math]\triangleleft[/math]

Теорема о [math] \sum \limits_{n \leq x} \ln x = x \ln x - x + O(\ln x) [/math]

Рассмотрим пример, когда [math] f(x) = \ln x [/math]

Теорема:

[math] {\sum \limits_{n \leq x} \ln x = x \ln x - x + O(\ln x)} [/math]

Доказательство:

[math]\triangleright[/math]

Воспользуемся ранее полученным результатом (оценка ряда из монотонно возрастающих [math] f_n [/math]). [math] \sum \limits_{n \leq x} \ln (n) \leq \int \limits_{1}^{x + 1} \ln (t) dt = (x + 1) \ln (x + 1) - (x + 1) + 1 = x \ln (x + 1) + \ln (x + 1) - x = x \ln (x) - x + O(\ln (x)) [/math] - оценка сверху. Также оценим снизу: [math] f(1) + \int \limits_{1}^{n} \ln (x) dx = x \ln(x) - x [/math] - оценка снизу. В итоге получаем то, что требовалось получить: [math] \sum \limits_{n \leq x} \ln x = x \ln x - x + O(\ln x) [/math]

[math]\triangleleft[/math]