Порядок элемента группы — различия между версиями

Материал из Викиконспекты
Перейти к: навигация, поиск
(→‎p-группы)
м (rollbackEdits.php mass rollback)
 
(не показано 14 промежуточных версий 3 участников)
Строка 1: Строка 1:
−
== Порядок элемента группы ==
+
{{Определение
 +
|definition=
 +
'''Порядком''' элемента <tex>a</tex> [[группа|группы]] <tex>G</tex> называется наименьшее <tex>n\in\mathbb{N}</tex>, что <tex>a^n = e</tex>. Если такого <tex>n</tex> не существует, то говорят, что порядок <tex>a</tex> бесконечен.
 +
}}
  
−
'''Порядком''' элемента <tex>a</tex> группы <tex>G</tex> называется наименьшее <tex>n\in\mathbb{N}</tex>, что <tex>a^n = e</tex>. Если такого <tex>n</tex> не существует, то говорят, что порядок <tex>a</tex> бесконечен. В конечной группе у всех элементов конечный порядок. Действительно, необходимо при некоторых <tex>n,m\in\mathbb{N},\, n>m</tex> совпадение степеней <tex>a</tex>(иначе получится бесконечное число различных элементов в группе). Но тогда порядок <tex>a</tex> не больше <tex>n-m</tex>: <tex>a^{n-m}=a^n\cdot a^{-m}=a^m\cdot a^{-m}=e</tex>.
+
=== Примеры ===
−
 
+
* Порядок любого ненулевого элемента в группе целых чисел по сложению равен бесконечности.
−
== Конечно порожденные группы ==
+
* Порядок элемента <tex>\overline{2}</tex> в группе вычетов по модулю <tex>4</tex> конечен и равен двум, поскольку <tex>2+2 \equiv 0 \pmod 4</tex>.
−
 
 
−
Пусть <tex>S</tex> - подмножество элементов группы <tex>G</tex>. Обозначим через <tex>\langle S\rangle</tex> наименьшую подгруппу, содержащую <tex>S</tex>. Ею является множество всех возможных произведений элементов <tex>S</tex> и их обратных.
 
−
 
 
−
Если <tex>\langle S\rangle = G</tex>, то говорят, что <tex>S</tex> является '''системой образующих''' для <tex>G</tex>. <tex>G</tex> называется '''конечно порожденной''', если у нее есть конечная система образующих.
 
−
 
 
−
== Циклические группы ==
 
−
 
 
−
Группа <tex>G</tex> называется '''циклической''', если у нее существует система образующих, состоящая из одного элемента <tex>a</tex>. Тогда все элементы группы имеют вид <tex>a^n,\,n\in\mathbb{Z}</tex>.
 
−
 
 
−
Любая циклическая группа аблева, т.к. степени одного и того же элемента коммутируют между собой.
 
−
 
 
−
Примерами циклических групп являются группы <tex>\mathbb{Z},\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}</tex>. Вообще, любая конечная циклическая группа изоморфна <tex>\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}</tex> при некотором <tex>n</tex>, а любая бесконечная - <tex>\mathbb{Z}</tex>.
 
−
 
 
−
=== Классификации циклических групп ===
 
−
 
 
−
'''Теорема''': любая конечная циклическая группа изоморфна <tex>\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}</tex> при некотором <tex>n</tex>, а любая бесконечная - <tex>\mathbb{Z}</tex>.
 
−
 
 
−
Доказательство разбивается на два случая: порядок а конечен или бесконечен.
 
−
 
 
−
Пусть порядок <tex>a</tex> бесконечен. Тогда рассмотрим отображение <tex>\phi:\mathbb{Z}\rightarrow G,\, \phi(n) = a^n</tex>. Докажем, что <tex>\phi</tex> - изоморфизм. Очевидно, что <tex>\phi</tex> - гомоморфизм: <tex>\phi(n+m)=a^{n+m}=a^n\cdot a^m=\phi(n)\cdot\phi(m)</tex>. По определению циклической группы <tex>\phi</tex> сюръективен. Докажем инъективность: пусть <tex>n>m,\,a^n=a^m</tex>, тогда <tex>a^{n-m}=a^n\cdot a^{-m}=a^m\cdot a^{-m}=e</tex>, т.е. порядок <tex>a</tex> конечен, что приводит к противоречию. Поэтому <tex>\phi</tex> - биекция, а значит, и изоморфизм.
 
−
 
 
−
Пусть теперь порядок <tex>a</tex> конечен и равен <tex>r</tex>. Рассмотрим отображение <tex>\phi:\mathbb{Z}/r\mathbb{Z}\rightarrow G,\, \phi(n)=a^n</tex>. Докажем, что <tex>\phi</tex> - гомоморфизм. Пусть <tex>n,m,c\in\mathbb{Z}/r\mathbb{Z},\,c\equiv n+m\mod r \Leftrightarrow c=n+m-k\cdot r,\, k\in\mathbb{Z},\, k\geq 0</tex>. Тогда:
 
−
 
 
−
<tex>\phi(c) = \phi(n+m-k\cdot r)=a^{n+m-k\cdot r}=a^n\cdot a^m\cdot a^{-k\cdot r}=a^n\cdot a^m\cdot (a^r)^{-k}=a^n\cdot a^m\cdot {e}^{-k}=a^n\cdot a^m</tex>
 
−
 
 
−
<tex>\phi</tex> сюръективно по определению циклической группы. Докажем инъективность. Пусть <tex>a^n=a^m,\, n<m<r</tex>, тогда
 
−
<tex>a^{m-n}=a^m\cdot a^{-n}=a^n\cdot a^{-n}=e</tex>. Но <tex>r>m-n>0</tex>, т.е. <tex>r</tex> - не минимальная степень <tex>a</tex>, равная <tex>e</tex>. Противоречие. Значит, <tex>\phi</tex> - биекция, следовательно, и изоморфизм.
 
−
 
 
−
== p-группы ==
 
  
 +
=== Свойства ===
 +
{{Утверждение
 +
|statement=В [[конечная группа|конечной группе]] у всех элементов конечный порядок.
 +
|proof=
 +
Действительно, необходимо при некоторых <tex>n,m\in\mathbb{N},\, n>m</tex> совпадение степеней <tex>a</tex> (иначе получится бесконечное число различных элементов в группе). Но тогда порядок <tex>a</tex> не больше <tex>n-m</tex>: <tex>a^{n-m}=a^n\cdot a^{-m}=a^m\cdot a^{-m}=e</tex>.
 +
}}
 +
{{Определение
 +
|definition=
 
<tex>p</tex>-группа — группа, все элементы в которой имеют порядок, равный некоторой степени простого числа <tex>p</tex>. Порядок разных элементов может быть разным.
 
<tex>p</tex>-группа — группа, все элементы в которой имеют порядок, равный некоторой степени простого числа <tex>p</tex>. Порядок разных элементов может быть разным.
 +
}}
  
 +
=== Примеры ===
 +
* Группа вычетов по модулю простого числа относительно сложения: <tex>\mathbb{Z}/{p\mathbb{Z}}</tex>.
 +
* [[Циклическая группа]] порядка <tex>p^e</tex>.
  
 
[[Категория: Теория групп]]
 
[[Категория: Теория групп]]

Текущая версия на 19:18, 4 сентября 2022

Определение:
Порядком элемента [math]a[/math] группы [math]G[/math] называется наименьшее [math]n\in\mathbb{N}[/math], что [math]a^n = e[/math]. Если такого [math]n[/math] не существует, то говорят, что порядок [math]a[/math] бесконечен.


Примеры

  • Порядок любого ненулевого элемента в группе целых чисел по сложению равен бесконечности.
  • Порядок элемента [math]\overline{2}[/math] в группе вычетов по модулю [math]4[/math] конечен и равен двум, поскольку [math]2+2 \equiv 0 \pmod 4[/math].

Свойства

Утверждение:
В конечной группе у всех элементов конечный порядок.
[math]\triangleright[/math]
Действительно, необходимо при некоторых [math]n,m\in\mathbb{N},\, n\gt m[/math] совпадение степеней [math]a[/math] (иначе получится бесконечное число различных элементов в группе). Но тогда порядок [math]a[/math] не больше [math]n-m[/math]: [math]a^{n-m}=a^n\cdot a^{-m}=a^m\cdot a^{-m}=e[/math].
[math]\triangleleft[/math]
Определение:
[math]p[/math]-группа — группа, все элементы в которой имеют порядок, равный некоторой степени простого числа [math]p[/math]. Порядок разных элементов может быть разным.


Примеры

  • Группа вычетов по модулю простого числа относительно сложения: [math]\mathbb{Z}/{p\mathbb{Z}}[/math].
  • Циклическая группа порядка [math]p^e[/math].
Источник — «http://neerc.ifmo.ru/wiki/index.php?title=Порядок_элемента_группы&oldid=84833»