Гомоморфизм групп — различия между версиями

Материал из Викиконспекты
Перейти к: навигация, поиск
(Новая страница: «{{Определение |definition= Отображение <tex>\phi:G_1 \rightarrow G_2</tex> группы <tex>\langle G_1, \cdot\rangle</tex> …»)
 
м (rollbackEdits.php mass rollback)
 
(не показано 12 промежуточных версий 7 участников)
Строка 4: Строка 4:
 
:<tex>\forall a,b\in G_1 : \phi(a\cdot b) = \phi(a)\times \phi(b)</tex>
 
:<tex>\forall a,b\in G_1 : \phi(a\cdot b) = \phi(a)\times \phi(b)</tex>
 
}}
 
}}
 +
'''Обозначения:'''
 +
<tex>e(G_i)</tex> единица в <tex>G_i</tex>-ой группе.
 +
{{Определение
 +
|definition=
 +
<tex>\textrm{ker}\phi=\{x\in G_1\vert\phi(x)=e(G_2)\}</tex> —  '''ядро гомоморфизма''' <tex>\phi:G_1\rightarrow G_2</tex>.
 +
}}
 +
{{Определение
 +
|definition=
 +
<tex>\textrm{im}\phi=\{y\in G_2\vert\exists x\in G_1:\phi(x)=y\}</tex> — '''образ гомоморфизма''' <tex>\phi:G_1\rightarrow G_2</tex>.
 +
}}
 +
 +
== Примеры ==
 +
* Возьмём отображение <tex> h \colon \mathbb{Z} \rightarrow \mathbb{Z}/3\mathbb{Z}</tex>, определённое следующим образом: <tex> h(x) = x \bmod 3 </tex>, {{---}} а в качестве бинарной операции возьмём сложение. Ядром такого гомоморфизма будут числа, кратные трём.
  
=== Свойства гомоморфизмов ===
+
== Свойства гомоморфизмов групп ==
 
{{Утверждение
 
{{Утверждение
 
|statement=Гомоморфизм переводит нейтральный элемент в нейтральный (<tex>e_1\in G_1</tex> в <tex>e_2 \in G_2</tex>).
 
|statement=Гомоморфизм переводит нейтральный элемент в нейтральный (<tex>e_1\in G_1</tex> в <tex>e_2 \in G_2</tex>).
 
|proof=
 
|proof=
 
По определению гомоморфизма имеем:
 
По определению гомоморфизма имеем:
:<tex>\phi(e_1)\times\phi(e_1) = \phi(e_1\cdot e_1)=\phi(e_1)</tex>.<br />
+
:<tex>\phi(e_1)\times\phi(e_1) = \phi(e_1\cdot e_1)=\phi(e_1)</tex>.
Следовательно, <tex>\phi(e_1) = e_2</tex>.
+
 
 +
Умножая с обеих сторон на обратный к <tex>\phi(e_1)</tex> элемент, получим:
 +
 
 +
:<tex>\phi(e_1) \times \phi(e_1) \times (\phi(e_1))^{-1} = \phi(e_1) \times (\phi(e_1))^{-1}</tex>
 +
:<tex>\phi(e_1) \times e_2 = \phi(e_1) = e_2</tex>, что и требовалось доказать.
 +
 
 +
Заметим, что доказательство опирается на существование обратного элемента, для [[Моноид | моноидов]] аналогичное утверждение неверно.
 
}}
 
}}
 
{{Утверждение
 
{{Утверждение
Строка 19: Строка 38:
 
что вместе с единственностью обратного к <tex>\phi(x)</tex> элемента означает <tex>\phi(x)^{-1}=\phi(x^{-1})</tex>.
 
что вместе с единственностью обратного к <tex>\phi(x)</tex> элемента означает <tex>\phi(x)^{-1}=\phi(x^{-1})</tex>.
 
}}
 
}}
 +
 +
== См. также ==
 +
* [[Циклическая группа]]
 +
 +
== Ссылки ==
 +
* [[wikipedia:Group_homomorphism | Wikipedia {{---}} Group homomorphism]]
 +
* [http://www.millersville.edu/~bikenaga/abstract-algebra-1/group-maps/group-maps.html Homomorphism examples]
  
 
[[Категория: Теория групп]]
 
[[Категория: Теория групп]]

Текущая версия на 19:36, 4 сентября 2022

Определение:
Отображение [math]\phi:G_1 \rightarrow G_2[/math] группы [math]\langle G_1, \cdot\rangle[/math] в группу [math]\langle G_2,\times\rangle[/math] называется гомоморфизмом, если оно сохраняет групповую структуру:
[math]\forall a,b\in G_1 : \phi(a\cdot b) = \phi(a)\times \phi(b)[/math]

Обозначения: [math]e(G_i)[/math] единица в [math]G_i[/math]-ой группе.

Определение:
[math]\textrm{ker}\phi=\{x\in G_1\vert\phi(x)=e(G_2)\}[/math]ядро гомоморфизма [math]\phi:G_1\rightarrow G_2[/math].


Определение:
[math]\textrm{im}\phi=\{y\in G_2\vert\exists x\in G_1:\phi(x)=y\}[/math]образ гомоморфизма [math]\phi:G_1\rightarrow G_2[/math].


Примеры

  • Возьмём отображение [math] h \colon \mathbb{Z} \rightarrow \mathbb{Z}/3\mathbb{Z}[/math], определённое следующим образом: [math] h(x) = x \bmod 3 [/math], — а в качестве бинарной операции возьмём сложение. Ядром такого гомоморфизма будут числа, кратные трём.

Свойства гомоморфизмов групп

Утверждение:
Гомоморфизм переводит нейтральный элемент в нейтральный ([math]e_1\in G_1[/math] в [math]e_2 \in G_2[/math]).
[math]\triangleright[/math]

По определению гомоморфизма имеем:

[math]\phi(e_1)\times\phi(e_1) = \phi(e_1\cdot e_1)=\phi(e_1)[/math].

Умножая с обеих сторон на обратный к [math]\phi(e_1)[/math] элемент, получим:

[math]\phi(e_1) \times \phi(e_1) \times (\phi(e_1))^{-1} = \phi(e_1) \times (\phi(e_1))^{-1}[/math]
[math]\phi(e_1) \times e_2 = \phi(e_1) = e_2[/math], что и требовалось доказать.
Заметим, что доказательство опирается на существование обратного элемента, для моноидов аналогичное утверждение неверно.
[math]\triangleleft[/math]
Утверждение:
Гомоморфизм переводит обратный элемент в обратный: [math]\phi(x)^{-1}=\phi(x^{-1})[/math]
[math]\triangleright[/math]

[math]\phi(x)\times\phi(x^{-1})=\phi(x\cdot x^{-1})=e_2=\phi(x^{-1}\cdot x)=\phi(x^{-1})\times\phi(x)[/math]

что вместе с единственностью обратного к [math]\phi(x)[/math] элемента означает [math]\phi(x)^{-1}=\phi(x^{-1})[/math].
[math]\triangleleft[/math]

См. также

Ссылки