Регулярное представление группы — различия между версиями

Материал из Викиконспекты
Перейти к: навигация, поиск
м (rollbackEdits.php mass rollback)
 
(не показаны 2 промежуточные версии 2 участников)
Строка 1: Строка 1:
{{Требует доработки
 
|item1=Необходимо оформить это в виде теоремы. После теоремы дать определение регулярного представления.
 
|item2=НЕ ЗАБЫВАЙТЕ ПРО ТИРЕ!
 
}}
 
 
 
Рассмотрим конечную группу <tex>G</tex>, <tex>\vert G\vert=n</tex>. Занумеруем элементы: <tex>g_1,g_2,...,g_n</tex>.
 
Рассмотрим конечную группу <tex>G</tex>, <tex>\vert G\vert=n</tex>. Занумеруем элементы: <tex>g_1,g_2,...,g_n</tex>.
 
Рассмотрим преобразование всех элементов группы под действием какого-то одного:
 
Рассмотрим преобразование всех элементов группы под действием какого-то одного:
Строка 14: Строка 9:
  
 
[[Категория: Теория групп]]
 
[[Категория: Теория групп]]
 +
 +
[[Категория: В разработке]]

Текущая версия на 19:22, 4 сентября 2022

Рассмотрим конечную группу [math]G[/math], [math]\vert G\vert=n[/math]. Занумеруем элементы: [math]g_1,g_2,...,g_n[/math]. Рассмотрим преобразование всех элементов группы под действием какого-то одного:

[math]\phi_i:G\rightarrow G,\,\phi_i(a)=g_i\cdot a[/math]

Это отображение, очевидно, сюръективно (прообразом элемента [math]x[/math] служит [math]g_i^{-1}\cdot x[/math]), инъективно([math]g_i\cdot a = g_i\cdot b\,\Leftrightarrow\, a=b[/math]), а значит, и биективно. Иными словами, оно является перестановкой.

Определим отображение [math]\psi:G\rightarrow S_n,\,\psi(g_i)=\phi_i[/math]. При этом [math]\phi_i[/math] рассматривается как перестановка. Очевидно, что это отображение является гомоморфизмом: [math]\psi(a\cdot b)=\psi(a)\cdot\psi(b)[/math]. Раз образ гомоморфизма является подгруппой, то верно утверждение: любая конечная группа изоморфна(для этого надо еще упомянуть, что различным элементам группы сопоставляются различные перестановки - в группе не бывает "двойников", которые действуют одинаково на все элементы - по крайней мере, они отличаются действием на нейтральный элемент) некоторой подгруппе достаточно большой симметрической группы. Такое представление конечной группы подгруппой перестановок называется регулярным представлением.