Реализация запроса в дереве отрезков сверху — различия между версиями

Материал из Викиконспекты
Перейти к: навигация, поиск
(Пример)
м (rollbackEdits.php mass rollback)
 
(не показано 48 промежуточных версий 10 участников)
Строка 3: Строка 3:
 
==Алгоритм==
 
==Алгоритм==
 
''Замечание.''
 
''Замечание.''
Используем в алгоритме не отрезки, а полуинтервалы (левая граница включительно, а правая - нет).
+
Используем в алгоритме не отрезки, а полуинтервалы (левая граница включительно, а правая {{---}} нет).
  
Пусть есть уже [[Дерево отрезков. Построение|построенное дерево отрезков]]  и идет запрос на полуинтервале <tex>[a .. b)</tex>.
+
Пусть есть уже [[Дерево отрезков. Построение|построенное дерево отрезков]]  и идет запрос на полуинтервале <tex>[a \ldots b)</tex>.
[[Файл:123.jpg|right|380px|thumb|Пример дерева отрезков]]
 
  
 
В качестве параметров рекурсий передаем следующие переменные:
 
В качестве параметров рекурсий передаем следующие переменные:
Строка 12: Строка 11:
 
* <tex>a</tex>, <tex>b</tex>  {{---}} левая и правая границы запрашиваемого полуинтервала.
 
* <tex>a</tex>, <tex>b</tex>  {{---}} левая и правая границы запрашиваемого полуинтервала.
  
Пусть <tex>l</tex>, <tex>r</tex> {{---}} это левая и правая границы полуинтервала, за которые "отвечает" наша вершин.
+
Пусть <tex>l</tex>, <tex>r</tex> {{---}} это левая и правая границы полуинтервала, за которые "отвечает" наша вершина.
 
 
 
Запустим рекурсивную процедуру от всего полуинтервала  (то есть от корневой вершины).
 
Запустим рекурсивную процедуру от всего полуинтервала  (то есть от корневой вершины).
  
Для текущего состояния проверяем следующие условия :
+
Для текущего состояния проверяем следующие условия:
  
* Если текущий полуинтервал не пересекается с искомым, то возвращаем некоторое значение, которое не повлияет на результат запроса на запрашиваемом полуинтервале.
+
* Если текущий полуинтервал не пересекается с искомым, то возвращаем нейтральный элемент.
''Например'': текущий <tex>[1..3)</tex>, а искомый <tex>[3 .. 5)</tex>;
+
:''Например'': текущий <tex>[1 \ldots 3)</tex>, а искомый <tex>[3 \ldots 5)</tex>;
  
* Если текущий полуинтервал совпадает, то возвращаем значение в текущей вершине.
+
* Если текущий полуинтервал лежит внутри запрашиваемого полуинтервала, то возвращаем значение в текущей вершине.
''Например'': текущий и искомый <tex>[2..4)</tex>;
+
:''Например'': текущий <tex>[2 \ldots 3)</tex>, а искомый <tex>[2 \ldots 4)</tex>;
  
 
* Иначе переходим к рекурсивным вызовам функций от детей вершины. При этом возвращаем значение на текущем полуинтервале, как функцию (соответствующую типу нашего запроса) от результатов выполнения на детях.
 
* Иначе переходим к рекурсивным вызовам функций от детей вершины. При этом возвращаем значение на текущем полуинтервале, как функцию (соответствующую типу нашего запроса) от результатов выполнения на детях.
''Замечание:''
 
  
При передаче новых параметров следует изменять не только границы, за которые отвечает текущая вершина, но и границы запрашиваемого полуинтервала, чтобы на последующих шагах произошло полное совпадение полуинтервалов.
+
Так как на каждом уровне дерева рекурсия может дойти до не более, чем двух вершин (иначе бы нашлось две рядом стоящие вершины одного уровня, объединение которых дало отрезок, за который отвечает вершина предыдущего уровня), а всего уровней <tex>\log n</tex>, то операция выполняется за <tex>O(\log n)</tex>.
  
Так как каждый полуинтервал разбивается не более, чем на <tex>O(\log n)</tex> полуинтервалов (поскольку на каждом уровне дерева может быть не более двух полуинтервалов из разбиения, а всего уровней <tex>\log n</tex> ), то данная реализация выполняется за <tex>O(\log n)</tex>.
+
==Пример==
  
==Пример==
+
Рассмотрим данный алгоритм на примере задачи <tex>\mathrm{RSQ}</tex> (Range Sum Query {{---}} запрос суммы на отрезке).
Рассмотрим данный алгоритм на примере задачи RSQ (запрос суммы на отрезке).
 
  
При этом сумма на текущем полуинтервале (в случае вызова рекурсий от детей) равна сумме результатов выполнения операций на этих детях.
+
При этом сумма на текущем полуинтервале (в случае вызова рекурсий от детей) равна сумме результатов выполнения операции на этих детях.
  
 
Пусть дерево содержит <tex>8</tex> листьев и запрашиваемая сумма  
 
Пусть дерево содержит <tex>8</tex> листьев и запрашиваемая сумма  
{{---}} это отрезок <tex>[1 .. 4]</tex> (полуинтервал <tex>[1 .. 5)</tex>).
+
{{---}} это отрезок <tex>[1 \ldots 4]</tex> (полуинтервал <tex>[1 \ldots 5)</tex>).
 +
[[Файл:Image_4.png|right|602px|Пример рабoты алгоритма]]
 +
Рассмотрим данный алгоритм на определенных глубинах рекурсии, то есть на разных уровнях дерева (на рисунке глубина обозначена слева от уровня):
  
Рассмотрим данную рекурсию:
+
* На глубине <tex>0</tex>.
 +
** Текущий полуинтервал <tex>[0 \ldots 8)</tex> пересекается с <tex>[1 \ldots 5) \Rightarrow</tex> рекурсивно переходим к <tex>[0 \ldots 4)</tex> и <tex>[4 \ldots 8)</tex>
  
*Текущий полуинтервал <tex>[0 .. 8)</tex>, он больше <tex>[1 .. 5)</tex> => переходим по рекурсивным вызовам на <tex>[0 .. 4)</tex>  и <tex>[4 .. 8)</tex>
 
  
 +
* На глубине <tex>1</tex>.
 +
** <tex>[0 \ldots 4)</tex> и <tex>[4 \ldots 8)</tex> пересекаются с <tex> [1 \ldots 5) \Rightarrow </tex> переходим по рекурсивным вызовам на полуинтервалах <tex>[0 \ldots
 +
2)</tex>, <tex>[2 \ldots 4)</tex>, <tex>[4 \ldots 6)</tex> и <tex>[6 \ldots 8)</tex>
  
*<tex>[0 .. 4)</tex> выходит за границы<tex> [1 .. 5)</tex>, <tex>[4 .. 8)</tex> выходит за границы <tex>[1 .. 5)</tex> => переходим по рекурсивным вызовам на <tex>[0 .. 2)</tex>, <tex>[2 .. 4)</tex> и <tex>[4 .. 6)</tex>, <tex>[6 .. 8)</tex>.
 
  
 +
* На глубине <tex>2</tex>.
 +
** <tex>[0 \ldots 2)</tex> и <tex>[4 \ldots 6)</tex> пересекаются с  <tex>[1 \ldots 5) \Rightarrow </tex> переходим в листья <tex>[0 \ldots 1), [1 \ldots 2), [4 \ldots 5), [5 \ldots 6) </tex>
 +
** <tex>[2 \ldots 4) </tex> полностью лежит внутри <tex>[1 \ldots 5) \Rightarrow </tex> возвращаем сумму на этом отрезке
 +
** <tex>[6 \ldots 8)</tex> не пересекается с <tex>[1 \ldots 5) \Rightarrow </tex> возвращаем нулевое значение
  
*<tex>[0 .. 2)</tex> выходит за границы <tex>[1 .. 5)</tex> => переходим в листья <tex>0, 1 </tex>;  <tex>[2 .. 4)</tex> целиком внутри <tex>[1 .. 5)</tex> => возвращаем значение в <tex>[2 .. 4)</tex>; <tex>[6 .. 8)</tex> не пересекается с <tex>[1 .. 5)</tex> => возвращаем нулевое значение; <tex>[4 .. 6)</tex> выходит за границы <tex>[1 .. 5)</tex> => переходим к листьям <tex>4</tex> и <tex>5</tex>.
 
  
 +
* На глубине <tex>3</tex>.
 +
** Листья <tex>[1 \ldots 2), [4 \ldots 5)</tex> лежат в запрашиваемом интервале <tex>\Rightarrow </tex> возвращаем значения в них
 +
** Листья <tex>[0 \ldots 1), [5 \ldots 6)</tex> лежат вне <tex>[1 \ldots 5) \Rightarrow </tex> возвращаем нейтральное значение
  
*листья <tex>5</tex> и <tex>0</tex> не пересекается с полуинтервалом <tex>[1 .. 5)</tex> => возвращаем нулевое значение, а листья <tex>4</tex> и <tex>1</tex> целиков внутри <tex>[1 .. 5)</tex> => возвращаем значения в этих листьях.
+
Таким образом ответ на полуинтервале <tex>[1 \ldots 5)</tex> равен сумме значений в вершинах, отвечающих за полуинтервалы <tex>[1 \ldots 2)</tex>, <tex>[2 \ldots 4)</tex> и <tex>[4 \ldots 5)</tex>.
  
 
==Реализация==
 
==Реализация==
Рассмотрим реализацию задачи RSQ.
+
Рассмотрим реализацию задачи о дереве отрезков с произвольной ассоциативной бинарной операцией.
<code>
 
  
  int get_sum (int <tex>node</tex>, int <tex>a</tex>, int <tex>b</tex>)
+
Пусть в узлах дерева хранятся структуры из трех полей:
  {      
+
* <tex>\mathtt{left}</tex> {{---}} левая граница полуинтервала, за который "отвечает" текущая вершина.
        <tex>l</tex> = tree[<tex>node</tex>].left;
+
* <tex>\mathtt{right}</tex> {{---}} правая граница этого полуинтервала.
        <tex>r</tex> = tree[<tex>node</tex>].right;
+
* <tex> \mathtt{res}</tex> {{---}} результат операции на полуинтервале.
        if  <tex>[l, r)\bigcap [a, b)</tex> == <tex> \varnothing</tex>
 
            return 0;
 
        if <tex>[l, r)</tex> == <tex>[a, b)</tex>
 
            return tree[<tex>node</tex>];
 
        int <tex>m</tex> = (<tex>l</tex> + <tex>r</tex>) / 2;
 
        return get_sum (<tex>node</tex> * 2 + 1, <tex>a</tex>, min(<tex>b</tex>, <tex>m</tex>))
 
            + get_sum (<tex>node</tex> * 2 + 2, max(<tex>a</tex>, <tex>m</tex>), <tex>b</tex>);
 
  }  
 
</code>
 
  
==Ссылки==
+
  '''int''' query('''int''' node, '''int''' a, '''int''' b)   
 +
      l = tree[node].left
 +
      r = tree[node].right
 +
      '''if''' [l, r) <tex>\cap </tex> [a, b) == <tex>\varnothing</tex>
 +
          '''return''' ''<tex>\varepsilon</tex>''                    <span style="color:#008000">// <tex>\varepsilon</tex> {{---}} нейтральный для данной операции элемент</span>
 +
      '''if''' [l, r) <tex>\subset</tex> [a, b)
 +
          '''return''' tree[node].res
 +
      '''return''' query(node * 2 + 1, a, b) <tex> \circ </tex> query(node * 2 + 2, a, b)
  
[http://e-maxx.ru/algo/segment_tree MAXimal :: algo :: Дерево отрезков]
+
==См. также==
 +
* [[Реализация запроса в дереве отрезков снизу]]
 +
* [[Дерево отрезков. Построение]]
  
[http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%94%D0%B5%D1%80%D0%B5%D0%B2%D0%BE_%D0%BE%D1%82%D1%80%D0%B5%D0%B7%D0%BA%D0%BE%D0%B2  Дерево отрезков — Википедия]
+
==Источники информации==
 +
* [http://e-maxx.ru/algo/segment_tree MAXimal :: algo :: Дерево отрезков]
 +
* [http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%94%D0%B5%D1%80%D0%B5%D0%B2%D0%BE_%D0%BE%D1%82%D1%80%D0%B5%D0%B7%D0%BA%D0%BE%D0%B2  Википедия — Дерево отрезков]
  
[http://rain.ifmo.ru/cat/view.php/vis/trees/segment-2006 Визуализатор дерева отрезков]
+
* [http://rain.ifmo.ru/cat/view.php/vis/trees/segment-2006 Дискретная математика: Алгоритмы — Визуализатор дерева отрезков]
  
 
[[Категория: Дискретная математика и алгоритмы]]
 
[[Категория: Дискретная математика и алгоритмы]]
 
[[Категория: Дерево отрезков]]
 
[[Категория: Дерево отрезков]]

Текущая версия на 19:22, 4 сентября 2022

Данная операция позволяет выполнять запросы на дереве отрезков, причем алгоритм запускается от корня и рекурсивно идет сверху вниз.

Алгоритм

Замечание. Используем в алгоритме не отрезки, а полуинтервалы (левая граница включительно, а правая — нет).

Пусть есть уже построенное дерево отрезков и идет запрос на полуинтервале [math][a \ldots b)[/math].

В качестве параметров рекурсий передаем следующие переменные:

  • [math]node[/math] — номер (в массиве с деревом отрезков) текущей вершины дерева.
  • [math]a[/math], [math]b[/math] — левая и правая границы запрашиваемого полуинтервала.

Пусть [math]l[/math], [math]r[/math] — это левая и правая границы полуинтервала, за которые "отвечает" наша вершина. Запустим рекурсивную процедуру от всего полуинтервала (то есть от корневой вершины).

Для текущего состояния проверяем следующие условия:

  • Если текущий полуинтервал не пересекается с искомым, то возвращаем нейтральный элемент.
Например: текущий [math][1 \ldots 3)[/math], а искомый [math][3 \ldots 5)[/math];
  • Если текущий полуинтервал лежит внутри запрашиваемого полуинтервала, то возвращаем значение в текущей вершине.
Например: текущий [math][2 \ldots 3)[/math], а искомый [math][2 \ldots 4)[/math];
  • Иначе переходим к рекурсивным вызовам функций от детей вершины. При этом возвращаем значение на текущем полуинтервале, как функцию (соответствующую типу нашего запроса) от результатов выполнения на детях.

Так как на каждом уровне дерева рекурсия может дойти до не более, чем двух вершин (иначе бы нашлось две рядом стоящие вершины одного уровня, объединение которых дало отрезок, за который отвечает вершина предыдущего уровня), а всего уровней [math]\log n[/math], то операция выполняется за [math]O(\log n)[/math].

Пример

Рассмотрим данный алгоритм на примере задачи [math]\mathrm{RSQ}[/math] (Range Sum Query — запрос суммы на отрезке).

При этом сумма на текущем полуинтервале (в случае вызова рекурсий от детей) равна сумме результатов выполнения операции на этих детях.

Пусть дерево содержит [math]8[/math] листьев и запрашиваемая сумма — это отрезок [math][1 \ldots 4][/math] (полуинтервал [math][1 \ldots 5)[/math]).

Пример рабoты алгоритма

Рассмотрим данный алгоритм на определенных глубинах рекурсии, то есть на разных уровнях дерева (на рисунке глубина обозначена слева от уровня):

  • На глубине [math]0[/math].
    • Текущий полуинтервал [math][0 \ldots 8)[/math] пересекается с [math][1 \ldots 5) \Rightarrow[/math] рекурсивно переходим к [math][0 \ldots 4)[/math] и [math][4 \ldots 8)[/math]


  • На глубине [math]1[/math].
    • [math][0 \ldots 4)[/math] и [math][4 \ldots 8)[/math] пересекаются с [math] [1 \ldots 5) \Rightarrow [/math] переходим по рекурсивным вызовам на полуинтервалах [math][0 \ldots 2)[/math], [math][2 \ldots 4)[/math], [math][4 \ldots 6)[/math] и [math][6 \ldots 8)[/math]


  • На глубине [math]2[/math].
    • [math][0 \ldots 2)[/math] и [math][4 \ldots 6)[/math] пересекаются с [math][1 \ldots 5) \Rightarrow [/math] переходим в листья [math][0 \ldots 1), [1 \ldots 2), [4 \ldots 5), [5 \ldots 6) [/math]
    • [math][2 \ldots 4) [/math] полностью лежит внутри [math][1 \ldots 5) \Rightarrow [/math] возвращаем сумму на этом отрезке
    • [math][6 \ldots 8)[/math] не пересекается с [math][1 \ldots 5) \Rightarrow [/math] возвращаем нулевое значение


  • На глубине [math]3[/math].
    • Листья [math][1 \ldots 2), [4 \ldots 5)[/math] лежат в запрашиваемом интервале [math]\Rightarrow [/math] возвращаем значения в них
    • Листья [math][0 \ldots 1), [5 \ldots 6)[/math] лежат вне [math][1 \ldots 5) \Rightarrow [/math] возвращаем нейтральное значение

Таким образом ответ на полуинтервале [math][1 \ldots 5)[/math] равен сумме значений в вершинах, отвечающих за полуинтервалы [math][1 \ldots 2)[/math], [math][2 \ldots 4)[/math] и [math][4 \ldots 5)[/math].

Реализация

Рассмотрим реализацию задачи о дереве отрезков с произвольной ассоциативной бинарной операцией.

Пусть в узлах дерева хранятся структуры из трех полей:

  • [math]\mathtt{left}[/math] — левая граница полуинтервала, за который "отвечает" текущая вершина.
  • [math]\mathtt{right}[/math] — правая граница этого полуинтервала.
  • [math] \mathtt{res}[/math] — результат операции на полуинтервале.
 int query(int node, int a, int b)     
     l = tree[node].left
     r = tree[node].right 
     if [l, r) [math]\cap [/math] [a, b) == [math]\varnothing[/math]
         return [math]\varepsilon[/math]                    // [math]\varepsilon[/math] — нейтральный для данной операции элемент
     if [l, r) [math]\subset[/math] [a, b)
         return tree[node].res
     return query(node * 2 + 1, a, b) [math] \circ [/math] query(node * 2 + 2, a, b)

См. также

Источники информации