Порядок элемента группы — различия между версиями

Материал из Викиконспекты
Перейти к: навигация, поиск
м (rollbackEdits.php mass rollback)
 
(не показано 6 промежуточных версий 3 участников)
Строка 1: Строка 1:
−
{{Требует доработки
 
−
|item1=Добавить примеры групп и их элементов с конечными и бесконечными порядками.
 
−
|item2=Добавить примеры p-групп.
 
−
}}
 
−
 
 
{{Определение
 
{{Определение
 
|definition=
 
|definition=
−
'''Порядком''' элемента <tex>a</tex> группы <tex>G</tex> называется наименьшее <tex>n\in\mathbb{N}</tex>, что <tex>a^n = e</tex>. Если такого <tex>n</tex> не существует, то говорят, что порядок <tex>a</tex> бесконечен.  
+
'''Порядком''' элемента <tex>a</tex> [[группа|группы]] <tex>G</tex> называется наименьшее <tex>n\in\mathbb{N}</tex>, что <tex>a^n = e</tex>. Если такого <tex>n</tex> не существует, то говорят, что порядок <tex>a</tex> бесконечен.  
 
}}
 
}}
  
−
примером элемента с '''бесконечным порядком''' является любой ненулевой элемент множества <tex>\mathbb{Z}</tex>.
+
=== Примеры ===
−
 
+
* Порядок любого ненулевого элемента в группе целых чисел по сложению равен бесконечности.
−
примером элемента с '''не бесконечным порядком''' является элемент <tex>\overline{2}</tex> класса вычетов по модулю 3. он имеет порядок равный 2.
+
* Порядок элемента <tex>\overline{2}</tex> в группе вычетов по модулю <tex>4</tex> конечен и равен двум, поскольку <tex>2+2 \equiv 0 \pmod 4</tex>.
−
 
 
  
 +
=== Свойства ===
 
{{Утверждение
 
{{Утверждение
−
|statement=В конечной группе у всех элементов конечный порядок.
+
|statement=В [[конечная группа|конечной группе]] у всех элементов конечный порядок.
 
|proof=
 
|proof=
−
Действительно, необходимо при некоторых <tex>n,m\in\mathbb{N},\, n>m</tex> совпадение степеней <tex>a</tex>(иначе получится бесконечное число различных элементов в группе). Но тогда порядок <tex>a</tex> не больше <tex>n-m</tex>: <tex>a^{n-m}=a^n\cdot a^{-m}=a^m\cdot a^{-m}=e</tex>.
+
Действительно, необходимо при некоторых <tex>n,m\in\mathbb{N},\, n>m</tex> совпадение степеней <tex>a</tex> (иначе получится бесконечное число различных элементов в группе). Но тогда порядок <tex>a</tex> не больше <tex>n-m</tex>: <tex>a^{n-m}=a^n\cdot a^{-m}=a^m\cdot a^{-m}=e</tex>.
 
}}
 
}}
 
{{Определение
 
{{Определение
Строка 24: Строка 19:
 
}}
 
}}
  
−
примером <tex>p</tex>-группы является группа класса вычетов по модулю 3.  
+
=== Примеры ===
 +
* Группа вычетов по модулю простого числа относительно сложения: <tex>\mathbb{Z}/{p\mathbb{Z}}</tex>.
 +
* [[Циклическая группа]] порядка <tex>p^e</tex>.
  
 
[[Категория: Теория групп]]
 
[[Категория: Теория групп]]

Текущая версия на 19:18, 4 сентября 2022

Определение:
Порядком элемента [math]a[/math] группы [math]G[/math] называется наименьшее [math]n\in\mathbb{N}[/math], что [math]a^n = e[/math]. Если такого [math]n[/math] не существует, то говорят, что порядок [math]a[/math] бесконечен.


Примеры

  • Порядок любого ненулевого элемента в группе целых чисел по сложению равен бесконечности.
  • Порядок элемента [math]\overline{2}[/math] в группе вычетов по модулю [math]4[/math] конечен и равен двум, поскольку [math]2+2 \equiv 0 \pmod 4[/math].

Свойства

Утверждение:
В конечной группе у всех элементов конечный порядок.
[math]\triangleright[/math]
Действительно, необходимо при некоторых [math]n,m\in\mathbb{N},\, n\gt m[/math] совпадение степеней [math]a[/math] (иначе получится бесконечное число различных элементов в группе). Но тогда порядок [math]a[/math] не больше [math]n-m[/math]: [math]a^{n-m}=a^n\cdot a^{-m}=a^m\cdot a^{-m}=e[/math].
[math]\triangleleft[/math]
Определение:
[math]p[/math]-группа — группа, все элементы в которой имеют порядок, равный некоторой степени простого числа [math]p[/math]. Порядок разных элементов может быть разным.


Примеры

  • Группа вычетов по модулю простого числа относительно сложения: [math]\mathbb{Z}/{p\mathbb{Z}}[/math].
  • Циклическая группа порядка [math]p^e[/math].
Источник — «http://neerc.ifmo.ru/wiki/index.php?title=Порядок_элемента_группы&oldid=84833»