Класс ZPP — различия между версиями

Материал из Викиконспекты
Перейти к: навигация, поиск
(Здесь будет новая статья)
м (rollbackEdits.php mass rollback)
 
(не показано 5 промежуточных версий 2 участников)
Строка 1: Строка 1:
{{В разработке}}
+
{{Определение
 +
|definition =
 +
<tex>\mathrm{ZPP}</tex> (от ''zero-error probabilistic polynomial'') — множество языков <tex>L</tex>, для которых <tex>\exists p \forall x</tex>:
 +
# <tex>\operatorname{P}(p(x) \ne [x \in L]) = 0</tex>;<br>
 +
# <tex>\operatorname{E}[\operatorname{T}(p, x)] = poly(|x|)</tex>.<br>
 +
}}
 +
<tex>\mathrm{ZPP}</tex> — сложностный класс, такой что программы, удовлетворяющие его ограничениям, не могут делать ошибок, но работают за полиномиальное время только в среднем случае.
  
Здесь будет статья.
+
Напомним, что математическое ожидание является усреднением по вероятностным лентам, а не по входу <tex>x</tex>.
 +
 
 +
 
 +
Для данного класса существует и другое определение. Ниже мы покажем, что оба определения эквивалентны.
 +
{{Определение
 +
|definition =
 +
<tex>\mathrm{ZPP}_1</tex> — множество языков <tex>L</tex>, для которых <tex>\exists p \forall x</tex>:
 +
# <tex>p(x) \in \{0, 1, ?\}</tex>;
 +
# <tex>p(x) \ne \enskip? \Rightarrow p(x) = [x \in L]</tex>;
 +
# <tex>\operatorname{P}(p(x) = \enskip?) \le 1/2</tex>;
 +
# <tex>\forall r \operatorname{T}(p, x) \le poly(|x|).</tex>
 +
}}
 +
 
 +
{{Утверждение
 +
|statement = <tex>\mathrm{ZPP} = \mathrm{ZPP}_1</tex>.
 +
|proof =
 +
1. <tex>\mathrm{ZPP} \subset \mathrm{ZPP}_1</tex>.
 +
 
 +
Пусть <tex>X</tex> — случайная величина, равная времени работы программы <tex>p</tex> для <tex>\mathrm{ZPP}</tex>, <tex>X > 0</tex>. Запишем [http://ru.wikipedia.org/wiki/Неравенство_Маркова неравенство Маркова]:
 +
 
 +
<tex>\operatorname{P}(X > k \operatorname{E}[X]) \le 1/k</tex>.
 +
 
 +
Подставим <tex>k = 2</tex>. Тогда, если запустить программу <tex>p</tex> для <tex>\mathrm{ZPP}</tex> с ограничением по времени <tex>2E[X]</tex>, она не успеет завершиться с вероятностью, не превышающей <tex>1/2</tex>. Опишем программу <tex>q</tex> для <tex>\mathrm{ZPP}_1</tex>. Она будет возвращать <tex>?</tex>, если <tex>p</tex> не успеет завершиться, а иначе — результат работы программы <tex>p</tex>. Заметим, что <tex>q</tex> работает полиномиальное время, так как <tex>E[X]</tex> ограничено некоторым полиномом по определению класса <tex>\mathrm{ZPP}</tex>.
 +
 
 +
2. <tex>\mathrm{ZPP_1} \subset \mathrm{ZPP}</tex>.
 +
Будем запускать программу <tex>p</tex> для <tex>\mathrm{ZPP_1}</tex>, пока не получим ответ, отличный от <tex>?</tex>. Математическое ожидание количества запусков <tex>p</tex> не превышает <tex>\sum\limits_{k = 0}^\infty \frac{k}{2^k} = 2</tex>. Значит, новая программа будет в среднем работать за полиномиальное время, что и требуется для класса <tex>\mathrm{ZPP}</tex>.
 +
}}
 +
 
 +
== Литература ==
 +
* [http://www.cs.princeton.edu/theory/complexity/ Sanjeev Arora, Boaz Barak. Computational Complexity: A Modern Approach]

Текущая версия на 19:43, 4 сентября 2022

Определение:
[math]\mathrm{ZPP}[/math] (от zero-error probabilistic polynomial) — множество языков [math]L[/math], для которых [math]\exists p \forall x[/math]:
  1. [math]\operatorname{P}(p(x) \ne [x \in L]) = 0[/math];
  2. [math]\operatorname{E}[\operatorname{T}(p, x)] = poly(|x|)[/math].

[math]\mathrm{ZPP}[/math] — сложностный класс, такой что программы, удовлетворяющие его ограничениям, не могут делать ошибок, но работают за полиномиальное время только в среднем случае.

Напомним, что математическое ожидание является усреднением по вероятностным лентам, а не по входу [math]x[/math].


Для данного класса существует и другое определение. Ниже мы покажем, что оба определения эквивалентны.

Определение:
[math]\mathrm{ZPP}_1[/math] — множество языков [math]L[/math], для которых [math]\exists p \forall x[/math]:
  1. [math]p(x) \in \{0, 1, ?\}[/math];
  2. [math]p(x) \ne \enskip? \Rightarrow p(x) = [x \in L][/math];
  3. [math]\operatorname{P}(p(x) = \enskip?) \le 1/2[/math];
  4. [math]\forall r \operatorname{T}(p, x) \le poly(|x|).[/math]


Утверждение:
[math]\mathrm{ZPP} = \mathrm{ZPP}_1[/math].
[math]\triangleright[/math]

1. [math]\mathrm{ZPP} \subset \mathrm{ZPP}_1[/math].

Пусть [math]X[/math] — случайная величина, равная времени работы программы [math]p[/math] для [math]\mathrm{ZPP}[/math], [math]X \gt 0[/math]. Запишем неравенство Маркова:

[math]\operatorname{P}(X \gt k \operatorname{E}[X]) \le 1/k[/math].

Подставим [math]k = 2[/math]. Тогда, если запустить программу [math]p[/math] для [math]\mathrm{ZPP}[/math] с ограничением по времени [math]2E[X][/math], она не успеет завершиться с вероятностью, не превышающей [math]1/2[/math]. Опишем программу [math]q[/math] для [math]\mathrm{ZPP}_1[/math]. Она будет возвращать [math]?[/math], если [math]p[/math] не успеет завершиться, а иначе — результат работы программы [math]p[/math]. Заметим, что [math]q[/math] работает полиномиальное время, так как [math]E[X][/math] ограничено некоторым полиномом по определению класса [math]\mathrm{ZPP}[/math].

2. [math]\mathrm{ZPP_1} \subset \mathrm{ZPP}[/math].

Будем запускать программу [math]p[/math] для [math]\mathrm{ZPP_1}[/math], пока не получим ответ, отличный от [math]?[/math]. Математическое ожидание количества запусков [math]p[/math] не превышает [math]\sum\limits_{k = 0}^\infty \frac{k}{2^k} = 2[/math]. Значит, новая программа будет в среднем работать за полиномиальное время, что и требуется для класса [math]\mathrm{ZPP}[/math].
[math]\triangleleft[/math]

Литература