Участник:Yulya3102/Линал — различия между версиями

Материал из Викиконспекты
Перейти к: навигация, поиск
(Удалено содержимое страницы)
 
(не показана 1 промежуточная версия этого же участника)
Строка 1: Строка 1:
{{boring}}
 
Теоретические  вопросы  по  III-IV  модулям
 
Дисциплина  "Геометрия и алгебра" (весенний семестр)
 
  
Я за вами слежу. Вандалы будут выебаны в жопу.
 
 
=Линейные операторы=
 
== Линейные операторы и их матричная запись. Примеры.==
 
'''Линейный оператор''' {{---}} отображение между линейными пространствами, сохраняющее линейную структуру. <br>
 
Пусть <tex>E_1, E_2</tex> {{---}} линейные пространства. <tex>\mathcal{A}:E_1 \to E_2</tex> называется линейным оператором, если
 
<tex>\mathcal{A}(\alpha x + \beta y) = \alpha \mathcal{A}x + \beta \mathcal{A}y</tex>. Иногда их называют '''гомоморфизмами'''.
 
Да, естественно <tex>E_1</tex> и <tex>E_2</tex> над одним полем <tex>K</tex>, <tex>\alpha, \beta \in K</tex>, <tex>x, y \in E_1</tex>, <tex>\mathcal{A}x, \mathcal{A}y \in E_2</tex>.
 
 
== Пространство линей ных операторов. ==
 
== Алгебра. Примеры. Изоморфизм алгебр. ==
 
== Алгебра операторов  и матриц ==
 
Множество '''всех''' операторов <tex>\mathcal{A}: X \to Y</tex> (<tex>X, Y</tex> над полем <tex>K</tex>) образует линейное пространство. <br>
 
Это линейное пространство обозначается как <tex>X \times Y</tex> {{---}} '''прямое произведение подпространств'''.
 
 
== Обратная матрица: критерий обратимости, метод Гаусса вычисления обратной матрицы.==
 
== Обратная матрица: критерий обратимости,  вычисление обратной матрицы методом присоединенной матрицы.==
 
== Ядро и образ линейного  оператора. Теорема о ядре и образе. Функции матриц и операторов.==
 
== Обратный оператор. Критерий существования обратного оператора.==
 
=Тензорная алгебра=
 
== Преобразование координат векторов  Х  и  Х* при  замене базиса.==
 
== Преобразование матрицы линейного оператора  А при  замене базиса. Преобразование подобия.==
 
== Тензоры (ковариантность, независимое от ПЛФ определение). Пространство тензоров.==
 
== Свертка  тензора. ==
 
== Транспонирование тензора.==
 
== Определитель линейного оператора. Внешняя степень оператора.==
 
== Независимость определителя оператора от базиса. Теорема умножения определителей.==
 
=Cпектральный  анализ  линейных операторов в конечномерном  пространстве=
 
== Инварианты линейного оператора. Инвариантные подпространства.==
 
== Собственные векторы и собственные значения линейного оператора: основные определения и свойства.==
 
== Собственные векторы и собственные значения линейного оператора: существование, вычисление. ==
 
== Cпектральный  анализ линейного оператора с простым спектром: спектр,  диагональный вид матрицы, спектральные проекторы, спектральная теорема.==
 
== Cпектральный  анализ скалярного оператора: спектр,  диагональный вид матрицы, спектральные проекторы, спектральная теорема.==
 
== Спектральная теорема и функциональное исчисление для скалярного оператора.==
 
== Спектральная теорема и инварианты скалярного оператора. Тождество Кэли.==
 
=Cпектральный  анализ  линейных операторов в конечномерном  пространстве: операторы общего вида=
 
== Ультраинвариантные подпространства.==
 
== Алгебра скалярных полиномов. Идеал.  Минимальный полином.==
 
== Алгебра операторных полиномов. Минимальный полином линейного оператора.==
 
== Разложение линейного пространства в сумму подпространств. 2-я теорема о ядре и образе. Теорема о проекторах.==
 
== Минимальный полином и инвариантные подпространства. Спектральная теорема для линейного оператора произвольного вида.==
 
== Нильпотентные операторы (определение, простейшие свойства). Жорданова клетка. ==
 
== Структура нильпотентного оператора. Базис Жордана (обзор).==
 
== Жорданова форма матрицы линейного оператора.==
 
== Кратности собственных чисел (алгебраическая, геометрическая, полная). Теорема Гамильтона-Кэли.==
 
=Евклидово пространство.=
 
== Метрические, нормированные и евклидовы пространства.==
 
== Вещественное евклидово и псевдоевклидово пространство. Основные неравенства.==
 
== Комплексное евклидово пространство. Основные неравенства.==
 
== Ортогональность. Ортогональный базис. Процесс ортогонализации Грама-Шмидта. ==
 
== Ортогональная сумма подпространств. Ортогональный проектор.==
 
== Задача о перпендикуляре.==
 
== Ортогональные системы векторов: коэффициенты Фурье, неравенства Бесселя и Парсеваля.==
 
== Метрический тензор. Естественный изоморфизм евклидова и сопряженного ему пространств.==
 
== Ковариантные и контравариантные координаты вектора. Операции поднятия и  опускания индексов.==
 
== Эрмитовски сопряженный и эрмитов оператор в евклидовом пространстве: основные определения и свойства.==
 
== Эрмитов и самосопряженный операторы в евклидовом пространстве: теоремы о скалярном типе эрмитова и самосопряженного оператора.==
 
== Эрмитов и самосопряженный операторы в евклидовом пространстве: спектральная теорема, минимальное свойство.==
 
== Унитарный и ортогональный операторы: основные определения и свойства.==
 
==Унитарный оператор: теорема о скалярном типе унитарного оператора, спектральная теорема.==
 
== Приведение эрмитовой матрицы к диагональному виду унитарным преобразованием.==
 
== Квадратичные формы: основные определения, приведение к каноническому виду методом Лагранжа.==
 
== Квадратичные формы: приведение к каноническому виду унитарным преобразованием.==
 
== Квадратичные формы: закон инерции квадратичной формы.==
 
== Квадратичные формы: одновременное приведение пары квадратичных форм  к сумме квадратов.==
 

Текущая версия на 23:11, 23 июня 2012