Участник:Yulya3102/Матан3сем — различия между версиями
(→Положительно-, отрицательно-, незнако- определенная квадратичная форма) |
(→Полиномиальная формула) |
||
(не показано 297 промежуточных версий 18 участников) | |||
Строка 1: | Строка 1: | ||
== Основные вопросы == | == Основные вопросы == | ||
− | |||
− | === | + | === Признак Вейерштрасса === |
− | + | {{Теорема | |
+ | |statement= | ||
+ | Рассмотрим ряд <tex> \sum u_n(x) </tex>, где <tex> u_n : E \rightarrow \mathbb{R} </tex> (<tex> E </tex>— метрическое пространство). Пусть есть ряд <tex> \sum c_n </tex> — сходящийся, такой, что <tex> \forall x \in E \ |u_n(x)| \leqslant c_n </tex>. | ||
− | + | Тогда <tex> \sum u_n(x) </tex> равномерно сходится на <tex> E </tex>. | |
+ | |proof= | ||
+ | <tex> M_n = sup_{x \in E}|S_n(x) - S(x)| = sup|\sum_{n = N + 1}^{+ \infty} u_n(x)| \le sup\sum_{n = N + 1}^{+ \infty}|u_n(x)| \le | ||
+ | sup_{x \in E}\sum_{n = N + 1}^{+ \infty}|u_n(x)| \le sup_{x \in E}\sum c_n = \sum_{n = N + 1}^{+ \infty}c_n \xrightarrow[N \rightarrow + \infty]{} 0 | ||
+ | </tex> | ||
+ | }} | ||
− | + | === Теорема Стокса--Зайдля для рядов === | |
+ | {{Теорема | ||
+ | |statement= | ||
+ | Пусть ряд <tex> \sum u_n(x) </tex>, где <tex> u_n: X \rightarrow \mathbb{R} </tex> ( <tex>X</tex> — метрическое пространство), равномерно сходится на <tex> X </tex>. Пусть есть точка <tex> x_0 \in X </tex>, такая, что все <tex> u_n </tex> непрерывны в <tex> (\cdot) x_0 </tex>. Тогда <tex> S(x) = \sum u_n(x) </tex> непрерывна в точке <tex> (\cdot) x_0 </tex>. | ||
+ | |proof= | ||
+ | 1) <tex> S_n(x) = \sum_{n = 1}^{N}u_n(x) </tex> — непрерывна в <tex> (\cdot) x_0 </tex> | ||
− | + | 2) <tex> S_n \rightrightarrows_{n \rightarrow + \infty. x \in X} S </tex> | |
− | + | из 1) и 2) <tex> \Rightarrow S(x) </tex> непрерывна в <tex> (\cdot) x_0 </tex> | |
− | + | Где вы вообще такое доказательство нашли? Тут фигня какая-та. Нормальное доказательство есть в Фихтенгольце. | |
+ | }} | ||
− | Теорема об | + | === Теорема об интегрировании функционального ряда === |
+ | {{Теорема | ||
+ | |statement= | ||
+ | Пусть <tex> u_n \in C[a, b] </tex> (<tex> C </tex> — множество непрерывных функций), <tex> \sum u_n(x) </tex> равномерно сходится на <tex> [a; b] </tex>, <tex> S(x) = \sum u_n(x) </tex>. | ||
− | + | Тогда<tex> * </tex> <tex> \int\limits_{a}^{b} S(x) dx = \sum_{n=1}^{+\infty} \int\limits_{a}^{b} u_n(x) dx </tex> | |
− | + | <tex> * </tex> | |
+ | 1) <tex> S(x) </tex> — непрерывно <tex> \rightarrow </tex> интеграл имеет смысл. | ||
+ | 2) Правая часть имеет смысл — это следует из доказательства. | ||
+ | |proof= | ||
+ | <tex> S_n(x) \in C[a, b] \ \ \int\limits_{a}^{b} S_n(x)dx = \sum_{n = 1}^{N}\int\limits_{a}^{b}u_n(x)dx </tex> | ||
− | + | Сделаем предельный переход по <tex>N</tex> | |
− | + | <tex> S_n \rightrightarrows S \ \ \int\limits_{a}^{b} S(x)dx = \sum_{n = 1}^{+ \infty}\int\limits_{a}^{b}u_n(x)dx </tex> | |
+ | }} | ||
− | + | === Теорема о дифференцировании функционального ряда === | |
+ | {{Теорема | ||
+ | |statement= | ||
+ | Пусть <tex> u_n \in C'[a; b] </tex> (<tex> C' </tex> — множество непрерывно дифференцируемых функций). | ||
− | + | 1) <tex> \sum_{n = 1}^{+ \infty} u_n(x) = S(x) </tex> поточечно сходится на <tex> [a; b] </tex> | |
− | + | 2) <tex> \sum_{n = 1}^{+ \infty} u'_n(x) = \varphi(x)</tex> равномерно сходится при <tex> x \in [a, b] </tex> | |
− | + | Тогда <tex> S(x) \in C'[a, b] </tex> и <tex> S'(x) = \varphi(x) </tex>. | |
+ | |proof= | ||
+ | Следует из т. о предельном переходе под знаком производной (прошлый семестр). | ||
+ | * <tex> (\lim_{n \to +\infty} f_n) = \lim_{n \to +\infty}(f{'}_n); \ f_n \in C^1[a, b] </tex> | ||
− | + | * <tex> f_n \to f </tex> — поточечно на <tex> [a, b]. \ f{'}_n \rightrightarrows \varphi </tex> при <tex> n \to +\infty, x \in [a, b] </tex> | |
− | + | * Тогда <tex> f </tex> — дифф. на <tex> [a, b] \ \forall x \in [a, b] : f{'}(x) = \varphi(x) </tex>. | |
− | + | <tex> \begin{matrix} S_n \rightarrow S \\ S_{n}' \rightrightarrows \Phi \end{matrix} </tex> Тогда <tex> S' = \Phi </tex> | |
+ | }} | ||
− | + | === Теорема о почленном предельном переходе в суммах === | |
+ | {{ | ||
+ | Теорема | ||
+ | |statement= | ||
+ | Пусть <tex> u_n(x): \left \langle a, b \right \rangle \rightarrow \mathbb{R} </tex>, <tex> x_0 \in \left \langle a; b \right \rangle </tex>. | ||
− | + | 1) <tex> \exists \lim_{x \to x_0} u_n(x) = a_n </tex> | |
− | + | 2) <tex> \sum u_n(x) </tex> равномерно сходится на <tex> \left \langle a, b \right \rangle </tex> | |
− | + | Тогда | |
− | + | 1) <tex> \sum a_n </tex> — сходится | |
− | + | 2) <tex> \sum a_n = \lim_{x \to x_0} (\sum_{n=1}^{+\infty} u_n(x) ) </tex> | |
+ | |proof= | ||
+ | 1) <tex> S_N = \sum_{n = 1}^{N} u_n(x); S_N^{(a)} = \sum_{n = 1}^{N} a_n ? S_N^{(a)} </tex> — имеет предел | ||
− | + | * Критерий Больцано-Коши <tex> \lim S_n^{(a)} = S^{(a)} </tex> | |
+ | * <tex> \forall \epsilon > 0 \ \exists N \ \forall n > N \ \forall p : |S_n^{(a)} - S_{n + p}^{(a)}| < \epsilon </tex> | ||
− | + | <tex> |S_n^{(a)} - S_{n + p}^{(a)}| \le |S_n^{(a)} - S_n(x)| + |S_n(x) - S_{n + p}(x)| + |S_{n + p}(x) - S_{n + p}^{(a)}| </tex> | |
− | + | Берём <tex> \forall \epsilon > 0 </tex> из р. сх-ти | |
− | |||
− | + | <tex> \exists N \ \forall n > N \ \forall p \ \forall x : |S_n(x) - S_{n + p}(x)| < \frac{\epsilon}{3} </tex> | |
− | + | <tex> |S_n(x) - S(x)| < \frac{\epsilon}{6} </tex> | |
− | + | <tex> |S_{n + p}(x) - S(x)| < \frac{\epsilon}{6} </tex> | |
− | + | При данном <tex>n : S_n(x) = u_1(x) + \ldots + u_n(x) \xrightarrow[x \rightarrow x_0]{} a_1 + \ldots + a_n = S_n^{(a)} </tex> | |
− | + | Выберем <tex> x </tex> так близко к <tex> x_0 </tex>, чтобы <tex> \begin{matrix} |S_n^{(a)} - S_n(x)| < \frac{\epsilon}{3} \\ |S_{n + p}(x) - S_{n + p}^{(a)}| < \frac{\epsilon}{3} \end{matrix} </tex> | |
− | + | <tex>u_n(x); \hat{u}_n(x) := \begin{Bmatrix} u_n(x) & x \ne x_0 \\ a_n & x = x_0 \end{Bmatrix}</tex> — непр. равномерно в <tex> (\cdot) x_0 </tex> | |
− | + | <tex> \sum \hat{u}_n(x) </tex> — р. сх. на <tex> \langle a, b \rangle </tex> | |
− | Теорема | + | Утв. 2 следует из [[Участник:Yulya3102/Матан3сем#Теорема Стокса--Зайдля для рядов|т. 1. Стокса-Зайдля для рядов]] |
− | + | <tex> M_n = \sup |\sum_{n = N + 1}^{+ \infty} \hat{u}_n(x)| \le \sup |\sum_{n = n + 1}^{+ \infty} u_n(x)| + |\sum_{n = N + 1}^{+ \infty} a_n| \xrightarrow[N \rightarrow +\infty]{} 0 </tex> | |
+ | }} | ||
− | + | === Теорема о перестановке пределов === | |
+ | (<tex> \lim_{n \to + \infty} \ \lim_{x \to 0} = \lim_{x \to 0} \ \lim_{n \to + \infty} </tex>) | ||
− | + | {{Теорема | |
+ | |statement= | ||
+ | Пусть <tex> f_n: X \rightarrow \mathbb{R} </tex>, <tex> x_0 \in X </tex> [или даже <tex> x_0 </tex> — предельная точка <tex> X </tex>] | ||
− | + | 1) <tex> f_n(x) </tex> сходится равномерно к <tex> S(x) </tex> при <tex> n \to + \infty, \ x \in X </tex> | |
− | + | 2) <tex> f_n(x) \underset{x \to x_0}{\rightarrow} A_n </tex> | |
− | + | Тогда | |
− | + | 1) <tex> \exists lim_{n \to + \infty} A_n = A \in \mathbb{R} </tex> | |
− | + | 2) <tex> S(x) \underset{x \to x_0}{\rightarrow} A </tex> | |
+ | |proof= | ||
+ | <tex> u_1 = f_1; \ u_2 = f_2 - f_1; \ u_3 = f_3 - f_2; </tex> | ||
+ | |||
+ | Тогда: <tex> f_N(x) = \sum_{n = 1}^{N}u_n(x) </tex> | ||
− | + | Условие 1: <tex> \sum u_n </tex> р. сх. к сумме <tex> S(x) </tex> | |
− | + | <tex> u_n = f_n - f_{n - 1} </tex> | |
− | + | Условие 2: <tex> lim_{x \rightarrow x_0}u_n(x) = a_n = A_n - A_{n - 1} </tex> (при <tex> n = 1</tex> проявить сообразительность) | |
− | + | <tex> A_n = \sum_{k = 1}^{n}a_k </tex> | |
− | + | по теореме о почл. пр. переходе в суммах: | |
− | + | 1) <tex> \sum a_k </tex> — сх., т.е. <tex>\exists lim_{n \rightarrow + \infty} A_n = A</tex> | |
− | + | 2) <tex> \sum a_n = lim_{x \rightarrow x_0}(\sum u_n(x)) </tex> | |
− | + | <tex> S(x) \xrightarrow[x \rightarrow x_0]{} A </tex> | |
+ | }} | ||
+ | Замечание: верна теорема <tex> f(x, y) </tex> | ||
− | + | <tex> lim_{x \rightarrow x_0}(lim_{y \rightarrow y_0}f(x, y)) = lim_{y \rightarrow y_0}(lim_{x \rightarrow x_0}f(x, y)) </tex> | |
− | + | при условии 1: <tex> \exists lim_{y \rightarrow y_0} f(x, y) = g(x) </tex> — и этот предел равномерный | |
− | + | <tex>\exists lim_{x \rightarrow x_0}f(x, y) = h(y)</tex> | |
− | === Признак | + | === Признак Дирихле равномерной сходимости функционального ряда === |
{{Теорема | {{Теорема | ||
|statement= | |statement= | ||
− | + | Пусть есть ряд <tex> \sum a_n(x) b_n(x) </tex>, <tex> x \in X </tex> | |
+ | |||
+ | 1) частичные суммы ряда <tex>a_n(x)</tex> равномерно ограничены, т.е. <tex> \exists c_a \ \forall x | \sum_{k = 1}^{n} a_k(x) | \leqslant c_a </tex> | ||
+ | |||
+ | 2) <tex> b_n(x) </tex> монотонна по <tex> n </tex> и равномерно сходится к <tex> 0 </tex> | ||
+ | |||
+ | Тогда <tex> \sum a_n(x) b_n(x) </tex> равномерно сходится на <tex> X </tex>. | ||
+ | |||
|proof= | |proof= | ||
− | + | Применяя преобразование Абеля | |
+ | |||
+ | <tex>\sum_{k=n+1}^{n+p}b_k(x)a_k(x) = b_{n+p}(x)\sum_{k = 1}^{n + p}a_k(x)-\sum_{k=n+1}^{n+p-1}(b_{k+1}(x)-b_k(x))\sum_{j=1}^{k}a_j(x)</tex> | ||
+ | |||
+ | В силу равномерной ограниченности частичных сумм ряда <tex>\sum a_k(x)</tex> при некотором <tex>M</tex> | ||
+ | |||
+ | <tex>|\sum_{k = 1}^{n}a_k(x)| \le M \ \forall n \in N, \forall x \in X</tex> | ||
+ | |||
+ | Тогда, используя монотонность <tex>b_k(x)</tex> (по <tex>k</tex>), имеем | ||
+ | |||
+ | <tex>|\sum_{k=n+1}^{n+p}b_k(x)a_k(x)| \le M|b_{n+p}(x)|+M \sum_{k = n + 1}^{n+p-1}|b_{k+1}(x)-b_k(x)|= 2M|b_{n+p}(x)|+M|b_{n+1}(x)|</tex> | ||
+ | |||
+ | Из этого неравенства в силу <tex>b_k \rightrightarrows 0</tex> получаем, что | ||
+ | |||
+ | <tex>\forall \varepsilon > 0 \ \exists n(\varepsilon ) : | ||
+ | |\sum_{k=n+1}^{n+p}b_k(x)a_k(x)| < \varepsilon \ \forall n \ge n(\varepsilon), \forall p \in N, \forall x \in X</tex> | ||
+ | |||
+ | Применяя критерий Коши, получаем, что ряд сходится равномерно на <tex>X</tex>. | ||
}} | }} | ||
− | |||
− | === | + | === Метод суммирования Абеля === |
{{Теорема | {{Теорема | ||
|statement= | |statement= | ||
− | Пусть | + | Пусть <tex> \sum a_n </tex> сходится. Рассмотрим функцию <tex> f(x) = \sum a_n x^n </tex>. Тогда <tex> \sum a_n = \lim_{x \to 1 - 0} f(x) </tex>. |
+ | |proof= | ||
+ | <tex>a_n, b_n = x^n; \ X = [0, 1]</tex> | ||
+ | |||
+ | <tex> \sum a_n b_n </tex> — [[Участник:Yulya3102/Матан3сем#Признак Абеля равномерной сходимости|по признаку Абеля]] равномерно сх-ся <tex>[0, 1]</tex> | ||
+ | |||
+ | <tex>lim \ a_n x^n \xrightarrow[x \rightarrow 1 - 0]{} a_n </tex> | ||
}} | }} | ||
− | === Теорема | + | === Теорема о круге сходимости степенного ряда === |
{{Теорема | {{Теорема | ||
|statement= | |statement= | ||
− | Пусть < | + | Пусть <tex> (A) </tex> <tex> \sum_{k=0}^{+ \infty} a_k(z-z_0)^k </tex> — произвольный степенной ряд <tex> [ a_k \in \mathbb{C}, z </tex> — комплексная переменная <tex> ] </tex> или <tex> [ a_k \in \mathbb{R}; z, z_0 \in \mathbb{R} ] </tex> |
− | |||
− | + | Возможны три случая: | |
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | + | 1) <tex> \forall z \in \mathbb{C} </tex> ряд <tex> (A) </tex> сходится | |
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | + | 2) <tex> (A) </tex> сходится только при <tex> z = z_0 </tex> | |
− | + | 3) <tex> \exists R </tex> <tex> 0 < R < + \infty </tex> при | |
− | + | <tex> |z - z_0| < R </tex> сходится | |
− | + | <tex> |z - z_0| > R </tex> расходится | |
− | + | <tex> R </tex> — радиус сходимости | |
+ | |proof= | ||
+ | Нужно доказать абсолютную сходимость | ||
− | + | <tex> \sum |a_k| \cdot |z - z_0|^k </tex> | |
− | + | * Признак Коши: <tex> \overline{lim}_{n \to + \infty} \sqrt[n]{|a_n| \cdot |z - z_0|^n} = \overline{lim}_{n \to + \infty} \sqrt[n]{|a_n|} \cdot |z - z_0| = |z - z_0| \cdot\overline{lim}_{n \to + \infty} \sqrt[n]{|a_n|} </tex> | |
− | |||
− | + | 1) <tex> \overline{lim} = 0 </tex> при всех <tex> z </tex> ряд <tex> (A) </tex> сходится абсолютно | |
− | |||
− | |||
− | + | 2) <tex> \overline{lim} = + \infty </tex> при <tex> z = z_0 \text{ } lim_{n \to + \infty} \sqrt[n]{|a_n| \cdot |z - z_0|^n} = 0 </tex>, т.е. ряд сходится | |
− | + | при <tex> z \ne z_0 \text{ } lim \sqrt[n]{...} = + \infty </tex> расходится (слагаемые <tex> \nrightarrow 0 </tex>) | |
− | + | 3) <tex> \overline{lim} \sqrt[n]{a_n} </tex> — конечен <tex> = \frac{1}{R} </tex> | |
− | + | <tex> |z - z_0| < R </tex> ряд <tex> (A) </tex> сходится абсолютно | |
− | + | <tex> |z - z_0| > R </tex> расходится (слагаемые <tex> \nrightarrow 0 </tex>) | |
}} | }} | ||
− | === | + | === Теорема о равномерной сходимости и непрерывности степенного ряда === |
{{Теорема | {{Теорема | ||
|statement= | |statement= | ||
− | Пусть | + | Пусть ряд <tex> (A) = \sum a_n(z - z_0)^n, 0 < R \le + \infty </tex> — радиус сходимости. Тогда: |
+ | |||
+ | 1) Для <tex> r : 0 < r < R </tex> ряд <tex> (A) </tex> равномерно сходится в круге <tex> \overline{B(z_0, r)} </tex> | ||
+ | |||
+ | 2) В круге <tex> B(z_0, R) </tex> сумма ряда <tex> (A) </tex> — непрерывна. | ||
+ | |proof= | ||
+ | (1) [[Участник:Yulya3102/Матан3сем#Признак Вейерштрасса|Признак Вейерштрасса]] | ||
+ | |||
+ | <tex> z \in \overline{B(z_0, r)} </tex> | ||
+ | |||
+ | <tex> |a_n(z - z_0)^n| = |a_n| \cdot r^n </tex> | ||
+ | |||
+ | <tex> \sum |a_n| \cdot r^n </tex> — сходится! т.к. <tex> \sum a_n \cdot r^n </tex> — абс. сх. | ||
− | + | <tex> (z := z_0 + r \in B(z_0, R)) </tex> | |
− | 2) <tex> | + | (2) фиксируем <tex> z \in B(z_0, R) </tex>; Возьмём <tex> r : |z - z_0| < r < R </tex> |
− | + | В <tex> B(z_0, r) </tex> ряд р. сх. и слагаемые непр. <tex> \Rightarrow </tex> сумма непрерывна. | |
}} | }} | ||
− | === | + | === Линейные и комплексно линейные отображения. Уравнения Коши--Римана === |
− | {{ | + | {{Лемма |
|statement= | |statement= | ||
− | Пусть <tex> \ | + | Пусть <tex> f: E \subset \mathbb{C} \to \mathbb{C}, \ z_0 \in \operatorname{Int} E, \ f </tex> — комплексно дифференцируема в точке <tex> z_0 </tex>. Тогда, если <tex> f \leftrightarrow F: \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}^2, \ (x, y) \mapsto (\operatorname{Re}{f(x + iy)}, \operatorname{Im}{f(x + iy)} ) </tex>, отображение <tex> F </tex> дифференцируемо в <tex> (x_0, y_0) </tex> и выполнены соотношения: |
+ | |||
+ | <tex> \frac{\partial F_1}{\partial x} (x_0, y_0) = \frac{\partial F_2}{\partial y} (x_0, y_0) </tex> | ||
+ | |||
+ | <tex> \frac{\partial F_1}{\partial y} (x_0, y_0) = - \frac{\partial F_2}{\partial x} (x_0, y_0) </tex> | ||
+ | |||
+ | (уравнения Коши-Римана) | ||
+ | |||
+ | |proof= | ||
+ | Википедия [http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%A3%D1%81%D0%BB%D0%BE%D0%B2%D0%B8%D1%8F_%D0%9A%D0%BE%D1%88%D0%B8_%E2%80%94_%D0%A0%D0%B8%D0%BC%D0%B0%D0%BD%D0%B0] | ||
}} | }} | ||
− | |||
− | |||
− | |||
=== Теорема о почленном дифференцировании степенного ряда === | === Теорема о почленном дифференцировании степенного ряда === | ||
{{Теорема | {{Теорема | ||
|statement= | |statement= | ||
− | + | Ряд <tex> (A) = \sum a_n(z - z_0)^n = f(z), R \in [0, + \infty], |z - z_0| < R </tex> | |
− | + | Ряд <tex> (A)' = \sum_{n = 1}^{+ \infty} n a_n (z - z_0)^{n - 1} </tex> | |
− | 2) при <tex> |z - z_0| < R \ f'(z) = \sum n a_n (z - z_0)^{n - 1} </tex> | + | Тогда: 1) радиус сх-ти <tex> (A') = R </tex>. 2) при <tex> |z - z_0| < R; f'(z) = \sum n a_n (z - z_0)^{n - 1} </tex> |
+ | |||
+ | [Тогда <tex>f</tex> — дифф. при <tex> |z - z_0| < r </tex> и <tex> f'(z) = \sum n a_n (z - z_0)^{n - 1} </tex> ] | ||
+ | |proof= | ||
+ | <tex>R = \frac{1}{\overline{\lim}\sqrt[n]{|a_n|}}; R_A = \frac{1}{\overline{\lim}\sqrt[n]{(n + 1)|a_{n + 1}|}} = R</tex> | ||
+ | |||
+ | <tex> \frac{f(z + h) - f(z)}{h} = \sum \frac{a_n (z + h - z_0)^n - a_n (z - z0)^n }{h} = \sum a_n \frac{(z + h - z_0) - (z - z_0)^n}{h} </tex> | ||
+ | |||
+ | Проверим р. сх. <tex> z \in B(z_0, r), r < R </tex>; <tex> ]h : |h| \le r - |z - z_0| </tex> | ||
+ | |||
+ | Тогда: <tex> z + h \in \overline{B(z_0, r)}; |z + h - z_0| \le r; |z - z_0| \le r </tex> | ||
+ | |||
+ | <tex> |a_n \frac{(z + h - z_0)^n - (z - z_0)^n}{h}| \le \frac{|a_n|}{|h|} n r^{n - 1} |h| = |a_n| n r^{n - 1} </tex> | ||
+ | |||
+ | <tex> \sum h|a_n|r^{n - 1} </tex> — сх. <tex>\Rightarrow</tex> по [[Участник:Yulya3102/Матан3сем#Признак Вейерштрасса|признаку Вейерштрасса]] р. сх. при <tex> |h| < r - |z - z_0| </tex> | ||
+ | |||
+ | <tex> f(z) = \lim_{h \rightarrow 0} \frac{f(z + h) - f(z)}{h} = \sum \lim a_n \frac{(z + h - z_0)^n - (z - z_0)^n}{h} = \sum n(z - z_0)^{n - 1} a_n </tex> | ||
}} | }} | ||
=== Экспонента, синус, косинус. Свойства. === | === Экспонента, синус, косинус. Свойства. === | ||
− | <tex> \mathrm{exp}(0) = 1 </tex> | + | 1.1) <tex> \mathrm{exp}(0) = 1 </tex> |
− | <tex> \mathrm{exp}(\overline{z}) = \overline{\mathrm{exp}(z)} </tex> | + | 1.2) <tex> \mathrm{exp}(\overline{z}) = \overline{\mathrm{exp}(z)}; \ /S_n(\overline{z}) = \overline{S_n(x)})/</tex> |
− | <tex> (\mathrm{exp}(z))' = \mathrm{exp}(z) </tex> | + | 1.3) <tex> (\mathrm{exp}(z))' = \mathrm{exp}(z); \ /\sum_{n = 1}^{+ \infty} (\frac{z^n}{n!})' = \sum_{n = 1}^{+ \infty} \frac{z^{n - 1}}{(n - 1)!} = \sum_{n = 0}^{+ \infty} \frac{z^n}{n!}/ </tex> |
− | <tex> \mathrm{exp}( | + | 1.4) <tex> (\mathrm{exp}(x))'|_{x = 0} = 1 </tex> |
− | <tex> \mathrm{exp}(z) | + | {{Теорема |
+ | |statement= | ||
+ | <tex> \forall z, w \in \mathbb{C} : \mathrm{exp}(z + w) = \mathrm{exp}(z) ⋅ \mathrm{exp}(w) </tex> | ||
+ | |proof= | ||
+ | <tex> \sum \frac{z^n}{n!} \cdot \sum \frac{w^k}{k!} </tex> | ||
− | <tex> \ | + | <tex> \sum_{k = 0}^{+ \infty} \frac{(z + w)^k}{k!} = \sum_{k = 0}^{+ \infty} \sum_{l = 0}^{k} \frac{z^l}{l!} \cdot \frac{w^{k - l}}{(k - l)!} = \sum_{l = 0}^{+ \infty} \sum_{k = l}^{+ \infty} \frac{z^l}{l!} \cdot \frac{w^{k - l}}{(k - l)!} = </tex> |
− | <tex> \ | + | <tex> = \sum_{l = 0}^{+ \infty} \sum_{n = 0}^{+ \infty} \frac{z^l}{l!} \cdot \frac{w^n}{n!} = \sum_{l = 0}^{+ \infty}(\frac{z^l}{l!} \cdot \sum_{n = 0}^{+ \infty} \frac{w^n}{n!}) = (\sum \frac{w^n}{n!})(\sum \frac{z^l}{l!}) </tex> |
+ | }} | ||
+ | |||
+ | * Следствие: <tex> \mathrm{exp}(z) \ne 0 </tex> — ни при каких <tex> z </tex> | ||
+ | |||
+ | 2.1) <tex> \sin x = \frac{\mathrm{exp}(ix) - \mathrm{exp}(-ix)}{2i} </tex> | ||
− | <tex> \ | + | 2.2) <tex> \cos x = \frac{\mathrm{exp}(ix) + \mathrm{exp}(-ix)}{2} </tex> |
− | <tex> \cos(z) = \sum_{n=0}^{+\infty} (-1)^n \frac{z^{2n}}{(2n)!} </tex> | + | 2.3) <tex> \cos(z) = \sum_{n=0}^{+\infty} (-1)^n \frac{z^{2n}}{(2n)!} </tex> |
− | <tex> \sin(z) = \sum_{n=0}^{+\infty} (-1)^n \frac{z^{2n - 1}}{(2n - 1)!} </tex> | + | 2.4) <tex> \sin(z) = \sum_{n=0}^{+\infty} (-1)^n \frac{z^{2n - 1}}{(2n - 1)!} </tex> |
− | Пусть <tex> T(x) = \mathrm{exp}(ix) </tex> | + | 2.5) Пусть <tex> T(x) = \mathrm{exp}(ix) </tex> |
<tex> T(x+y) = T(x)T(y) </tex> | <tex> T(x+y) = T(x)T(y) </tex> | ||
Строка 236: | Строка 340: | ||
<tex> \sin(x + y) = \cos(x)\sin(y) + \cos(y)\sin(x) </tex> | <tex> \sin(x + y) = \cos(x)\sin(y) + \cos(y)\sin(x) </tex> | ||
− | <tex> |T(x)| = 1 </tex> | + | 2.6) <tex> |T(x)| = 1; \ \cos^2(x) + \sin^2(x) = 1 </tex> |
− | <tex> \ | + | <tex> (\frac{T(x) + T(-x)}{2})^2 + (\frac{T(x) - T(-x)}{2i})^2 = T(x)T(-x) = T(0) = \mathrm{exp}(i0) = 1 </tex> |
− | <tex> \lim_{x \to 0} \frac{1-cos(x)}{x^2} = \frac{1}{2} </tex> | + | 2.7) <tex> \lim_{x \to 0} \frac{\sin(x)}{x} = 1; \ \lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos(x)}{x^2} = \frac{1}{2}</tex> |
− | <tex> \lim_{x \to 0} \frac{1 | + | <tex> \lim_{x \to 0} (\frac{\mathrm{exp}(ix) - 1}{ix}) = \lim_{x \to 0} (\frac{\cos(x) - 1}{ix} + \frac{i \sin(x)}{ix}) </tex> |
− | <tex> e^x = 1 + x + \frac{x^2}{2} + | + | ----- |
+ | <tex> x \in \mathbb{C} \begin{cases} e^x = 1 + x + \frac{x^2}{2} + \ldots \\ \sin(x) = x + \frac{x^3}{3} + \ldots \\ \cos(x) = 1 - \frac{x^2}{2} + \ldots \end{cases} </tex> | ||
− | <tex> \ | + | <tex> |x| < 1 \begin{cases} (1 + x)^\alpha = 1 + \alpha x + \frac{\alpha (\alpha - 1)}{2} x^2 + \ldots \\ \frac{1}{1-x} = 1 + x + x^2 + \ldots \\ \ln(1 + x) = x - \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} - \ldots \end{cases}</tex> |
− | <tex> \ | + | <tex> \sum a_k \to </tex> [[Участник:Yulya3102/Матан3сем#Признак Абеля равномерной сходимости|Абель]] <tex> \to \sum a_k \cdot x^k = f(x); \lim_{x \to 1- 0}f(x) = S </tex> |
− | |||
− | <tex> | ||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
=== Единственность производной === | === Единственность производной === | ||
Строка 286: | Строка 385: | ||
=== Необходимое условие дифференцируемости. === | === Необходимое условие дифференцируемости. === | ||
+ | {{Теорема | ||
+ | |statement= | ||
+ | Пусть <tex> f : E \subset \mathbb{R}^m \rightarrow \mathbb{R} </tex> — дифференцируемо в точке <tex> a \in \operatorname{Int}(E) </tex> | ||
+ | |||
+ | Тогда <tex> \forall x \ \exists {\partial f\over\partial x_k}(a) </tex> и матрица Якоби <tex> f'(a) = ({\partial f\over\partial x_1}(a), \ldots, {\partial f\over\partial x_m}(a)) </tex> | ||
+ | |||
+ | Замечание: Для <tex> F : E \rightarrow \mathbb{R}^l </tex> — дифференцируемо в точке <tex> a </tex>; <tex>F'(a) = ({\partial f_i\over\partial x_j})_{i = 1 \ldots l; j = 1 \ldots m} </tex> | ||
+ | |proof= | ||
+ | <tex>f(a + h) = f(a) + f'(a) \cdot h + o(h)</tex> | ||
+ | |||
+ | <tex> h := (0, \ldots, 0, t, 0, \ldots, 0) </tex> | ||
+ | |||
+ | <tex> f(a_1, \ldots, a_k + t, \ldots, a_m) = f(a_1 \ldots a_m) + (f'(a))_k \cdot t + o(t) </tex> — это св-во дифф-ти <tex> \varphi_k </tex> в <tex> \cdot (a) </tex> из [[Участник:Yulya3102/Матан3сем#Частные производные|опр. частн. производных]]. | ||
+ | |||
+ | <tex> {o(h)\over ||L||} \rightarrow 0 </tex> | ||
+ | }} | ||
+ | |||
=== Достаточное условие дифференцируемости === | === Достаточное условие дифференцируемости === | ||
+ | {{Теорема | ||
+ | |statement= | ||
+ | Пусть <tex> f : E \subset \mathbb{R}^m \rightarrow \mathbb{R}; \ \exists r \ B(a, r) \subset E </tex>, в шаре <tex>B(a, r) </tex> существуют все <tex> f'x_k, k = {1..m} </tex> и все производные непрерывны в точке <tex> a</tex>. Тогда <tex> f </tex> дифференцируема в точке <tex> a</tex> | ||
+ | |proof= | ||
+ | <tex> m = 2 </tex> | ||
+ | |||
+ | <tex> f(x_1, x_2) - f(a_1, a_2) = (f(x_1, x_2) - f(x_1, a_2)) + (f(x_1, a_2) - f(a_1, a_2)) =^* </tex> // <tex> =^* </tex> — По теореме Лагранжа | ||
+ | |||
+ | // <tex> \varphi_2(t) = f(x, t); \varphi_2(x_2) - \varphi_2(a_2) = \varphi'_2(t) \cdot (x_2 - a_2) </tex> // <tex> t </tex> — средняя точка | ||
+ | |||
+ | <tex> =^* \frac{\partial f}{\partial x_2}(x_1, \bar x_2)(x_2 - a_2) + \frac{\partial f}{\partial x_1}(\bar x_1, a_2)(x_1 - a_1) = </tex><tex> \frac{\partial f}{\partial x_2}(a_1, a_2)(x_2 - a_2) + \frac{\partial f}{\partial x_1}(a_1, a_2)(x_1 - a_1) + </tex> | ||
+ | |||
+ | <tex> o(\begin{bmatrix} x_1 - a_1 \\ x_2 - a_2 \end{bmatrix}) \to ||\ldots|| = \sqrt{(x_1 - a_1)^2 + (x_2 - a_2)^2} \begin{cases} + [\frac{\partial f}{\partial x_2}(x_1, \bar x_2) - \frac{\partial f}{\partial x_2}(a_1, a_2)](x_2 - a_2) + \\ [\frac{\partial f}{\partial x_1}(\bar x_1, a_2) - \frac{\partial f}{\partial x_1}(a_1, a_2)](x_1 - a_1) \end{cases}</tex> | ||
+ | |||
+ | <tex>[\ldots] \cdot \frac{x - a}{\sqrt{(x_1 - a_1)^2 + (x_2 - a_2)^2}} \ \</tex> где: <tex> \frac{x - a}{\sqrt{(x_1 - a_1)^2 + (x_2 - a_2)^2}} \le 1 </tex> по модулю; <tex> [\ldots] \to 0 </tex> при <tex> (x_1, x_2) \to (a_1, a_2) </tex> | ||
+ | }} | ||
+ | |||
=== Лемма об оценке нормы линейного оператора === | === Лемма об оценке нормы линейного оператора === | ||
{{Лемма | {{Лемма | ||
|statement= | |statement= | ||
− | Пусть <tex> A: \mathbb{R}^m \to \mathbb{R}^l </tex> — линейный оператор. Тогда <tex> | + | Пусть <tex> A: \mathbb{R}^m \to \mathbb{R}^l </tex> — линейный оператор. Тогда <tex> ||Ax|| \le C_A||x|| </tex>, где <tex> C_A = \sqrt{\sum_{i, j} a_{i, j}^2} </tex> (<tex> a_{i, j} </tex> — элементы его матрицы) |
+ | |proof= | ||
+ | <tex> ||x|| = 0 </tex>, т.е. если <tex> x = 0 </tex>, то тривиально | ||
+ | |||
+ | <tex> ||Ax||^2 = \sum_{i = 1}^{l}(\sum_{j = 1}^{m}a_{i, j}x_{j})^2 \le </tex> (КБШ) <tex> \sum_{i = 1}^{l}((\sum_{j = 1}^{m}a_{i, j}^{2})(\sum_{j = 1}^{m}x_{j}^{2})) = (\sum_{i = 1}^{l}\sum_{j = 1}^{m}a_{i, j}^{2})(\sum_{j = 1}^{m}x_{j}^{2}) </tex> | ||
+ | |||
+ | <tex> x^{(k)} \rightarrow x </tex> | ||
+ | |||
+ | <tex>||x^{(k)} - x|| \rightarrow 0 </tex> | ||
+ | |||
+ | <tex> Ax^{(k)} \xrightarrow{?} Ax </tex> | ||
+ | |||
+ | <tex> ||A(x^{(k)} - x)|| \le C_A||x_k - x|| </tex> | ||
}} | }} | ||
Строка 296: | Строка 441: | ||
{{Теорема | {{Теорема | ||
|statement= | |statement= | ||
− | + | <tex> F : E \subset \mathbb{R}^m \to \mathbb{R}^l; \ a \in IntE, F(E) \subset I </tex> | |
+ | |||
+ | <tex> G : I \subset \mathbb{R}^l \to \mathbb{R}^n; \ b = F(a) \in IntI </tex> | ||
+ | |||
+ | <tex> F </tex> — дифф. в <tex> (\cdot) a, G </tex> — дифф. в <tex> (\cdot) b </tex>; | ||
+ | |||
+ | <tex> H = G \circ F \ // H(x) = G(F(x)) </tex> | ||
+ | |||
+ | Тогда: <tex> H </tex> — дифф. в <tex> (\cdot) a; H'(a) = G'(F(a)) \cdot F'(a) </tex> | ||
+ | |proof= | ||
+ | <tex> F(a + h) = F(a) + F'(a)h + \alpha(h)||h||; \ // \alpha(h) \xrightarrow[h \to 0]{} 0 </tex> | ||
+ | |||
+ | <tex> G(b + k) = G(b) + G'(b)k + \beta(k)||k||; \ // \beta(k) \xrightarrow[k \to 0]{} 0 </tex> | ||
+ | |||
+ | <tex> H(a + h) = G(F(a + h)) = G(\overbrace{F(a)}^{b} + \overbrace{F'(a)h + \alpha(h)||h||}^{k}) = </tex><tex> G(b) + G'(b)(F'(a)h + \alpha(h)||h||) + \beta(k)||k|| = </tex> | ||
+ | |||
+ | <tex> = \overbrace{G(F(a)) + G'(F(a) \cdot F'(a)h)}^{H(a)} + \overbrace{G'(b)\alpha(h)||h|| + \beta(k)||k||}^{? o(h) \leftarrow \text{proverim}} </tex> | ||
+ | |||
+ | 1. <tex> ||\ G'(b)\alpha(h)\|h\| \ || = \|h\| \cdot ||G'(b)\alpha(h)|| \le \|h\|\cdot C_{G(b)} \cdot ||\alpha(h)|| = o(h) </tex> | ||
+ | |||
+ | 2. <tex> \beta(k)||k|| </tex> | ||
+ | |||
+ | <tex> \|k\| = || \ F'(a)h + \alpha(h)\|h\| \ || \le \overbrace{||F'(a)h||}^{C_{F'(a)} \cdot \|h\|} + \|\alpha(h)\|\cdot\|h\| \le (C_{F'(a)} + \|\alpha(h)\|\cdot \|h\|) </tex> | ||
+ | |||
+ | <tex> ||\ \beta(k)\cdot \|k\| \ || \le \overbrace{||\beta{k}||}^{\to 0, h \to 0} \cdot \overbrace{(C_{F'(a)} + ||\alpha(h)||)}^{ogr. pri: \ h \to 0} \cdot \|h\| = o(h)</tex> | ||
+ | |||
+ | <tex> F = (f_1(x_1 \ldots x_m), f_2(x_1 \ldots x_m), \ldots, f_l(x_1 \ldots x_m)) </tex> | ||
+ | |||
+ | <tex> G = (g_1(y_1 \ldots y_l), \ldots, g_n(y_1 \ldots y_l)) </tex> | ||
+ | <tex> H = \overbrace{g_1}^{h_1}(f_1(x_1 \ldots x_n), \ldots, f_l(x_1 \ldots x_n)), \ldots, \overbrace{g_n}^{h_n}(f \ldots)) </tex> | ||
+ | |||
+ | <tex> \frac{\partial h_i}{\partial x_j}(a) = \frac{\partial g_i}{\partial y_1}(b) \cdot \frac{\partial f_1}{\partial x_j}(a) + \frac{\partial g_i}{\partial y_2}(b) \cdot \frac{\partial f_2}{\partial x_j}(a) + \ldots + \frac{\partial g_i}{\partial y_l}(b) \cdot \frac{\partial f_l}{\partial x_j}(a) </tex> | ||
}} | }} | ||
Строка 302: | Строка 478: | ||
{{Лемма | {{Лемма | ||
|statement= | |statement= | ||
− | Пусть <tex> F, G: \ E \subset \mathbb{R}^m \to \mathbb{R}^l </tex>, <tex> \lambda: E \to \mathbb{R} </tex>, <tex> a \in \operatorname{Int} E </tex> | + | Пусть <tex> F, G: \ E \subset \mathbb{R}^m \to \mathbb{R}^l </tex>, <tex> \lambda: E \to \mathbb{R} </tex>, <tex> a \in \operatorname{Int} E </tex>; <tex> F, G, \lambda </tex> — дифференцируемые в <tex> a </tex>. тогда: |
− | 1) <tex> (\lambda F)' (a) h = ( \lambda'(a) | + | 1) <tex> (\lambda F)' (a) h = ( \lambda'(a) h ) F(a) + \lambda(a) (F'(a) h) </tex> |
2) <tex> \left \langle F, G \right \rangle ' (a) h = \left \langle F'(a) h, G(a) \right \rangle + \left \langle F(a), G'(a) h \right \rangle </tex> | 2) <tex> \left \langle F, G \right \rangle ' (a) h = \left \langle F'(a) h, G(a) \right \rangle + \left \langle F(a), G'(a) h \right \rangle </tex> | ||
(здесь <tex> \left \langle a, b \right \rangle </tex> — скалярное произведение <tex> a </tex> и <tex> b </tex>) | (здесь <tex> \left \langle a, b \right \rangle </tex> — скалярное произведение <tex> a </tex> и <tex> b </tex>) | ||
+ | |proof= | ||
+ | 1. Введём координатную ф-ю <tex> F = (f_1 \ldots f_l) </tex> | ||
+ | |||
+ | <tex> (\lambda f_i)'(a)h = (\lambda'(a)(h))f_i(a) + \lambda(a)(f'_i(a)h) </tex> — <tex>i</tex>-ая коорд. док. ф-лы; <tex> ]f_i \leftrightarrow f </tex> | ||
+ | |||
+ | <tex> \lambda(a + h)f(a + h) - \lambda(a)f(a) = (\lambda(a + h) - \lambda(a))f(a + h) + \lambda(a)(f(a + h) - f(a)) = | ||
+ | (\lambda'(a)h + o(h))f(a + h) + \lambda(a)(f'(a)h + o(h)) = </tex> | ||
+ | |||
+ | <tex> = (\lambda'(a)h) \cdot f(a) + \lambda(a)f'(a)h + (\lambda'(a)h)(f(a + h) - f(a)) + o(h)f(a + h) + \lambda(a) \cdot o(h) </tex> | ||
+ | |||
+ | <tex> || \frac{1 slag.}{||h||} || = \frac{|\lambda'(a)h|\cdot||f(a + h) - f(a)||}{||h||} \le \frac{||\lambda'(a)||\cdot||h||\cdot||f(a + h) - f(a)||}{||h||} \rightarrow 0 </tex> | ||
+ | |||
+ | <tex> ||2 slag.|| = |o(h)| \cdot ||f(a + h)|| = o(h); \ \ ||f(a + h)|| </tex> — ограничена. | ||
+ | |||
+ | <tex> ||3 slag.|| = ||\lambda(a) \cdot o(h)|| = |\lambda(a)| \cdot ||o(h)|| = o(h) </tex> | ||
+ | |||
+ | 2. <tex> \left \langle F, G \right \rangle ' (a)h = (\sum_{i = 1}^{l}f_i g_i)'(a)h = </tex> лин. дифф. <tex> \sum(f_i g_i)'(a)h = \sum(f'_i(a)h)g_i(a) </tex><tex> + f_i(a)(g'_i(a)h) = \left \langle F'(a)h, G(a) \right \rangle + \left \langle F(a), G'(a)h \right \rangle </tex> | ||
+ | |||
+ | Замечание: <tex>m = 1; \ F, G : \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}^l </tex> | ||
+ | |||
+ | <tex> \left \langle F, G \right \rangle ' (a) = \left \langle F'(a), G(a) \right \rangle + \left \langle F(a), G'(a) \right \rangle </tex> | ||
}} | }} | ||
Строка 314: | Строка 511: | ||
{{Теорема | {{Теорема | ||
|statement= | |statement= | ||
− | + | <tex> F : [a, b] \rightarrow \mathbb{R}^l; F </tex> — непр. на <tex> [a, b] </tex> и дифф. на <tex> [a, b] </tex> | |
+ | |||
+ | Тогда: <tex> \exists c_{G(a, b)} : ||F(b) - F(a)|| \le ||F'(c)|| \cdot |b - a| </tex> | ||
+ | |proof= | ||
+ | <tex>\varphi (t) := \langle F(b) - F(a), F(t) \rangle; t \in [a, b]; (\varphi : [a, b] \rightarrow \mathbb{R}) </tex> | ||
+ | |||
+ | <tex> \varphi(b) - \varphi(a) = \langle F(b) - F(a), F(b) - F(a) \rangle = ||F(b) - F(a)||^2 </tex> | ||
+ | |||
+ | <tex> \begin{matrix} \varphi'(t) = \langle F(b) - F(a), F'(t) \rangle \\ | ||
+ | \varphi(b) - \varphi(a) = \varphi'(c)(b - a) \end{matrix} </tex> | ||
+ | |||
+ | <tex> ||F(b) - F(a)|| \le ||F'(c)||(b - a) </tex> | ||
+ | |||
+ | // Если ехать быстро и криво | ||
+ | |||
+ | <tex> F : \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}^2; t \rightarrow (\cos t, \sin t) </tex> | ||
+ | |||
+ | <tex> F' = (-\sin t, \cos t); ||F'(t)|| = 1 </tex> при <tex> \forall t </tex> | ||
+ | |||
+ | <tex> ||F(b) - F(a)|| \ne ||F'(c)|| \cdot (b - a) </tex> | ||
+ | |||
+ | // <tex>||F'(x)|| = 1; (b - a) </tex> — длина дуги; <tex> ||F(b) - F(a)|| </tex> — длина хорды | ||
}} | }} | ||
Строка 320: | Строка 538: | ||
{{Теорема | {{Теорема | ||
|statement= | |statement= | ||
− | + | <tex> f : E \subset \mathbb{R}^m \rightarrow \mathbb{R}; f </tex> — дифф. в <tex> (\cdot) a, \nabla f(a) \ne 0 </tex> | |
+ | |||
+ | <tex> l = \frac{\nabla f(a)}{||\nabla f(a)||} </tex> — направление | ||
+ | |||
+ | Тогда <tex> l </tex> указывает напр-е наискорейшего возр. ф-и, а <tex> -l </tex> самого быстрого убывания. | ||
+ | |||
+ | Более того: <tex> \forall </tex> напр. <tex> u : -||\nabla f(a)|| \le \frac{\partial f}{\partial u}(a) \le ||\nabla f(a)|| </tex> равенство достижимо для <tex> u = \pm l </tex> | ||
+ | |proof= | ||
+ | <tex> -||\nabla f(a)|| \cdot ||u|| \le \frac{\partial f}{\partial u}(a) \le ||\nabla f(a)|| \cdot ||u|| </tex> // <tex> u = 1 </tex> | ||
+ | |||
+ | // <tex> \frac{\partial f}{\partial u}(a) = \langle \nabla f(a), u \rangle </tex> | ||
}} | }} | ||
Строка 326: | Строка 554: | ||
{{Теорема | {{Теорема | ||
|statement= | |statement= | ||
− | + | <tex> f : E \subset \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}; \ a \in IntE </tex> | |
+ | |||
+ | <tex> \frac{\partial f}{\partial x_1}, \frac{\partial f}{\partial x_2} </tex> — опр. в окр. <tex> (\cdot) a </tex>, дифф. в окр. <tex> (\cdot) a </tex> | ||
+ | |||
+ | <tex> \frac{\partial^2 f}{\partial x_1 \partial x_2} </tex> и <tex> \frac{\partial^2 f}{\partial x_2 \partial x_1} </tex> — непр. в <tex> (\cdot) a </tex> | ||
+ | |||
+ | Тогда эти две частные производные равны. | ||
+ | |proof= | ||
+ | <tex> \vartriangle^2 f(h, k) = f(a_1 + h, a_2 + k) - f(a_1 + h, a_2) - f(a_1, a_2 + k) + f(a_1, a_2) </tex> — задано при <tex> |h|, |k| < r; V(a) = B(a, 2r) </tex> | ||
+ | |||
+ | фикс. <tex>k: \varphi(h) = f(a_1 + h, a_2 + k) - f(a_1 + h, a_2) </tex> | ||
+ | |||
+ | <tex> \vartriangle^2 f(h, k) = \varphi(h) - \varphi(0) \overbrace{=}^{t. Lagrange} \varphi'(\bar h)h = </tex><tex> (f'_{x_1}(a_1 + \bar h, a_2 + k) - f'_{x_1}(a + \bar h, a_2) )h \overbrace{=}^{t. Lagrange} f''_{x_1 x_2}(a_1 + \bar h, a_2 + \bar k)hk </tex> | ||
+ | |||
+ | <tex> \bar h, \bar k </tex> — средние точки | ||
+ | |||
+ | <tex> \psi(k) = f(a_1 + h, a_2 + k) - f(a_1, a_2 + k) </tex> | ||
+ | |||
+ | <tex> \vartriangle^2 f(h, k) = f''_{x_2 x_1}(a_1 + \hat h, a_2 + \hat k)hk </tex> | ||
+ | |||
+ | <tex> f''_{x_2 x_1}(a_1 + \hat h, a_2 + \hat k) = f''_{x_1 x_2}(a_1 + \bar h, a_2 + \bar k) \Rightarrow f''_{x_2 x_1} = f''_{x_1 x_2} </tex> | ||
}} | }} | ||
+ | * Замечание 1: | ||
+ | |||
+ | Аналогично: <tex> i, j : 1 \le i, j \le m; i \ne j </tex> | ||
+ | |||
+ | <tex> \frac{\partial f}{\partial x_i}, \frac{\partial f}{\partial x_j} </tex> — опр. в окр. <tex> (\cdot) a; \frac{\partial^2 f}{\partial x_i \partial x_j}, \frac{\partial^2 f}{\partial x_j \partial x_i} </tex> — непр. в <tex> (\cdot) a </tex> | ||
+ | |||
+ | * Замечание 2: | ||
+ | |||
+ | Если <tex> f </tex> сущ. част. пр. <tex>k</tex>-того порядка в окр. <tex>(\cdot)a</tex> и все они непр. в <tex>(\cdot)a</tex> | ||
+ | |||
+ | Для <tex> \forall i_1 \ldots i_k </tex> — индексы <tex> \in \{ 1 \ldots m \} </tex> | ||
+ | |||
+ | и <tex> \forall j_1 \ldots \j_k </tex> — которые получаются из набора <tex> i_1 \ldots i_k </tex> перестановка | ||
+ | |||
+ | Верно: <tex> \frac{\partial^k f}{\partial x_{i_1} \ldots \partial x_{i_k}}(a) = \frac{\partial^k f}{\partial x_{j_1} \ldots \partial x_{j_k}}(a) </tex> | ||
=== Полиномиальная формула === | === Полиномиальная формула === | ||
{{Лемма | {{Лемма | ||
|statement= | |statement= | ||
− | Если <tex> r \in \mathbb{Z}_+ </tex>, <tex> | + | Если <tex> r \in \mathbb{Z}_+ </tex>, <tex> k </tex> — мультииндекс, <tex> a </tex> - вектор, то <tex> (a_1 + ... + a_m)^r = \sum_{k: (k) = r} \frac{r!}{k!} a^{k} </tex> |
+ | |proof= | ||
+ | Индукция по <tex>r</tex> | ||
+ | |||
+ | <tex> r = 1 </tex> | ||
+ | |||
+ | <tex> k = (0, 0, \ldots, \overbrace{1}^{k}, 0, \ldots); a_k \cdot \frac{1!}{0!0! \ldots 1!0! ...} = 1 </tex> | ||
+ | |||
+ | <tex> r = r + 1 </tex> | ||
+ | |||
+ | <tex> (a_1 + ... + a_m)^{r + 1} = (a_1 + ... + a_m) \cdot \sum \frac{r!}{k_1! ... k_m!} \cdot a_1^{k_{1}} ... a_m^{k_{m}} = </tex> | ||
+ | |||
+ | <tex> = \sum \frac{r!}{k_1! ... k_m!} \cdot a_1^{k_{1}+1} ... a_m^{k_{m}} + \sum \frac{r!}{k_1! ... k_m!} \cdot a_1^{k_{1}} a_2^{k_2 + 1} ... a_m^{k_{m}} + </tex><tex> \sum \frac{r!}{k_1! ... k_m!} \cdot a_1^{k_{1}} ... a_{m-1}^{k_{m - 1}} a_m^{k_{m} + 1} = </tex> | ||
+ | |||
+ | <tex> = \sum_{\beta : |\beta| = r + 1; \beta_1 \ge 1} \frac{r! \beta_1}{\beta_1!\beta_2!...\beta_m!} \cdot a_1^{\beta_1}...a_m^{\beta_m} + \sum_{\beta : |\beta| = r + 1; \beta_2 \ge 1} \frac{r! \beta_2}{\beta_1!\beta_2!...\beta_m!} \cdot a_1^{\beta_1}...a_m^{\beta_m} + </tex> <ещё <tex> m - k </tex> суммы> = <tex> \sum_{|b| = r + 1} \frac{r! (b_1 + ... + b_m)}{b_1! ... b_m!} \cdot a_1^{\beta_1}...a_m^{\beta_m} </tex>; | ||
+ | |||
+ | <tex> \beta_1 \ge 1 .. </tex> — это ограничение можно убрать, т.к. все слагаемые с <tex> \beta_1 = 0 </tex> имеют нулевой индекс | ||
+ | |||
+ | <tex> (k_1 + 1, k_2 ... k_m) \to (\beta_1 ... \beta_m) </tex> | ||
}} | }} | ||
+ | * Замечание 1 | ||
+ | |||
+ | <tex> \sum_{(k_1...k_m); k_i \ge 0; k_1 + ... + k_m = r} \frac{r!}{k_1! ... k_m!} \cdot a_1^{k_{1}} ... a_m^{k_{m}} = </tex><tex> \sum_{i_1 = 1}^m \sum_{i_2 = 1}^m ... \sum_{i_r = 1}^m a_{i_1} a_{i_2} ... a_{i_r} </tex> | ||
+ | |||
+ | * Замечание 2 | ||
+ | |||
+ | <tex> m = 2; k_1, k_2 = r - k_1 </tex> | ||
+ | |||
+ | <tex> \sum_{k_1 = 0}^{r} \frac{r!}{k_1!(r - k_1)!} \cdot a_1^{k_1} a_2^{r - k_1} = (a_1 + a_2)^r </tex> | ||
=== Лемма о дифференцировании «сдвига» === | === Лемма о дифференцировании «сдвига» === | ||
Строка 339: | Строка 629: | ||
|statement= | |statement= | ||
Пусть <tex> f: E \subset \mathbb{R}^m \to \mathbb{R} </tex>, <tex> E </tex> открыто в <tex> \mathbb{R}^m </tex>, <tex> \ a \in E, \ h \in \mathbb{R}^m </tex>, так, что <tex> \forall t \in [-1; 1] \ a + th \in E </tex>. Также <tex> f \in C^r(E) </tex>. Пусть <tex> \varphi (t) = f(a + th) </tex>. Тогда <tex> \forall t_0 \in (-1; 1) </tex> верно <tex> \varphi^{r} (t_0) = \sum_{\alpha: (\alpha) = r} \frac{r!}{\alpha!} f^{(\alpha)} (a + t_0 h) h^{\alpha} </tex>. | Пусть <tex> f: E \subset \mathbb{R}^m \to \mathbb{R} </tex>, <tex> E </tex> открыто в <tex> \mathbb{R}^m </tex>, <tex> \ a \in E, \ h \in \mathbb{R}^m </tex>, так, что <tex> \forall t \in [-1; 1] \ a + th \in E </tex>. Также <tex> f \in C^r(E) </tex>. Пусть <tex> \varphi (t) = f(a + th) </tex>. Тогда <tex> \forall t_0 \in (-1; 1) </tex> верно <tex> \varphi^{r} (t_0) = \sum_{\alpha: (\alpha) = r} \frac{r!}{\alpha!} f^{(\alpha)} (a + t_0 h) h^{\alpha} </tex>. | ||
+ | |proof= | ||
+ | Доказательства нет, есть пример, из которого можно придумать доказательство по индукции, наверное. | ||
}} | }} | ||
Строка 346: | Строка 638: | ||
|statement= | |statement= | ||
Пусть <tex> r \in \mathbb{R}_+ </tex>, <tex> D </tex> открыто в <tex> \mathbb{R}^n </tex>, <tex> f \in C^{(r + 1)} (D), \ a, x \in \mathbb{R}^n, \ \overline{a, x} \subset D </tex>. Тогда существует такое <tex> \theta \in (0, 1) </tex>, что <tex dpi="150"> f(x) = \sum_{(k) \leqslant r} \frac{f^{(k)} (a) }{k!} (x - a)^k + \sum_{(k) = r + 1} \frac{f^{(k)} (a + \theta(x - a))}{k!} (x - a)^k </tex>. | Пусть <tex> r \in \mathbb{R}_+ </tex>, <tex> D </tex> открыто в <tex> \mathbb{R}^n </tex>, <tex> f \in C^{(r + 1)} (D), \ a, x \in \mathbb{R}^n, \ \overline{a, x} \subset D </tex>. Тогда существует такое <tex> \theta \in (0, 1) </tex>, что <tex dpi="150"> f(x) = \sum_{(k) \leqslant r} \frac{f^{(k)} (a) }{k!} (x - a)^k + \sum_{(k) = r + 1} \frac{f^{(k)} (a + \theta(x - a))}{k!} (x - a)^k </tex>. | ||
+ | |proof= | ||
+ | |||
+ | <tex>\phi(t)=f(a+th), t\in{[-1;1]}</tex> | ||
+ | |||
+ | <tex>f(a+h) = \phi(1)</tex> | ||
+ | |||
+ | Разложили <tex>\phi(1)</tex> по одномерной формуле Тейлора в точке 0, используя лемму о дифференцировании сдвига, — получили то, что нужно. | ||
+ | |||
}} | }} | ||
Строка 353: | Строка 653: | ||
{{Теорема | {{Теорема | ||
|statement= | |statement= | ||
− | Пусть <tex> r \in \mathbb{N} </tex>, <tex> D </tex> открыто в <tex> \mathbb{R}^n </tex>, <tex> f \in C^{(r)} (D), \ x \in D </tex>. Тогда <tex dpi="150"> f(x + h) = \sum_{(k) \leqslant r} \frac{f^{(k)} (x)}{k!} h^k + o(|h|^r), \ h \to \mathbb{O}_n </tex>. | + | Пусть <tex> r \in \mathbb{N} </tex>, <tex> D </tex> открыто в <tex> \mathbb{R}^n </tex>, <tex> f \in C^{(r + 1)} (D), \ x \in D </tex>. Тогда <tex dpi="150"> f(x + h) = \sum_{(k) \leqslant r} \frac{f^{(k)} (x)}{k!} h^k + o(|h|^r), \ h \to \mathbb{O}_n </tex>. |
}} | }} | ||
=== Теорема о пространстве линейных отображений === | === Теорема о пространстве линейных отображений === | ||
+ | {{Теорема | ||
+ | |statement= | ||
+ | <tex>(1) ||\ldots||_{m, n} </tex> — норма в пр-ве <tex> \mathcal{L}_{m, n} </tex>, то есть | ||
+ | |||
+ | <tex> 1. ||A|| \ge 0, ||A|| = 0 \Leftrightarrow A = \mathbb{O}_{m, n} </tex> | ||
+ | |||
+ | <tex> 2. \forall \lambda \in \mathbb{R} : ||\lambda A|| = |\lambda|\cdot||A|| </tex> | ||
+ | |||
+ | <tex> 3. ||A + B|| \leqslant ||A|| + ||B|| </tex> | ||
+ | |||
+ | <tex> (2) A \in \mathcal{L}_{m, n}, B \in \mathcal{L}_{n, k}: ||BA||_{m, k} \leqslant ||B||_{n, k} \cdot ||A||_{m, n} </tex> | ||
+ | |proof= | ||
+ | <tex>(1)</tex> | ||
+ | |||
+ | 1. очевидно <tex>||A|| = 0; sup_{|x| \le 1}|Ax| = 0 \Rightarrow Ax \equiv 0 \Rightarrow A = \mathbb{O} </tex> // для <tex> x \in B(0, 1) </tex> | ||
+ | |||
+ | 2. очевидно, св-ва <tex> sup </tex>. Википедия[http://ru.wikipedia.org/wiki/%D2%EE%F7%ED%E0%FF_%E2%E5%F0%F5%ED%FF%FF_%E8_%ED%E8%E6%ED%FF%FF_%E3%F0%E0%ED%E8%F6%FB_%EC%ED%EE%E6%E5%F1%F2%E2] | ||
+ | |||
+ | 3. <tex> \forall x : |(A + B)x| = |Ax + Bx| \le |Ax| + |Bx| \le ||A||\cdot|x| + ||B||\cdot|x| </tex><tex> = (||A|| + ||B||)|x| \Rightarrow ||A + B|| \le C </tex> \\ <tex> ||A|| + ||B|| = C </tex> | ||
+ | |||
+ | <tex>(2)</tex> | ||
+ | |||
+ | <tex> |B(Ax)| \le ||B||\cdot|Ax| \le ||B||\cdot||A||\cdot|x| \Rightarrow ||BA|| \le C </tex> \\ <tex> ||B|| \cdot ||A|| = C </tex> | ||
+ | }} | ||
+ | |||
=== Теорема Лагранжа для отображений === | === Теорема Лагранжа для отображений === | ||
{{Теорема | {{Теорема | ||
|statement= | |statement= | ||
− | + | <tex> F : E </tex> откр. <tex> \subset \mathbb{R}^m \rightarrow \mathbb{R}^n; </tex> дифф. <tex> E; a, b \in E </tex> | |
+ | |||
+ | <tex> [a, b] = \{ c = a + t(b - a), t \in [0, 1] \} \subset E </tex> | ||
+ | |||
+ | Тогда: <tex> \exists c \in [a, b] : |F(b) - F(a)| \le ||F'(c)||\cdot|b - a| </tex> | ||
+ | |proof= | ||
+ | <tex> g(t) = F(a + t(b - a)), t \in [0, 1] \\ g'(t) = F'(a + t(b - a))\cdot(b - a) </tex> // <tex> |g(b) - g(a)| \le |g'(c)|\cdot|b - a| </tex> | ||
+ | |||
+ | <tex> ||F(b) - F(a)|| = |g(1) - g(0)| \le |F'(c)(b - a)| \le ||F'(c)||\cdot|b - a| </tex> | ||
}} | }} | ||
=== Теорема об обратимости линейного отображения, близкого к обратимому === | === Теорема об обратимости линейного отображения, близкого к обратимому === | ||
+ | {{Теорема | ||
+ | |statement= | ||
+ | Пусть <tex> A \in \Omega(\mathbb{R}^n) </tex> (<tex> \Omega(\mathbb{R}^n) </tex> — множество обратимых линейных операторов в <tex> \mathbb{R}^n </tex>), <tex> B \in \mathcal{L}(\mathbb{R}^n), \ || B - A || < \frac{1}{||A^{-1}||} </tex>. Тогда: | ||
+ | |||
+ | 1) <tex> B \in \Omega (\mathbb{R}^n) </tex>; | ||
+ | |||
+ | 2) <tex> ||B^{-1}|| \leqslant \frac{1}{||A^{-1}||^{-1} - ||B - A||} </tex>; | ||
+ | |||
+ | 3) <tex> ||B^{-1} - A^{-1}|| \leqslant \frac{||A^{-1}||}{||A^{-1}||^{-1} - ||B - A||} ||B - A|| </tex>. | ||
+ | |proof= | ||
+ | |||
+ | Лемма: пусть <tex>\exists{c > 0} : \forall{x} |Bx| \ge c|x|</tex> | ||
+ | |||
+ | Тогда <tex>B</tex> — обратим, <tex>||B^{-1}|| \le \frac{1}{c}</tex> | ||
+ | |||
+ | Это правда, потому что <tex>\operatorname{Ker}{B} = \{0\}</tex>, значит, <tex>B</tex> — биекция(пусть <tex>B(x_1)=B(x_2): B(x_1)-B(x_2)=0 \Leftrightarrow B(x_1 - x_2) = 0 \Rightarrow x_1 = x_2</tex>) | ||
+ | |||
+ | Неравенство получается из <tex>|Bx| \ge c|x|</tex> заменой <tex>Bx=y, x = B^{-1}y</tex> | ||
+ | |||
+ | Само доказательство: | ||
+ | |||
+ | <tex>|Bx| = |Ax + (B-A)x| \ge |Ax| - |(B-A)x| \ge \frac{1}{||A^{-1}||}|x| - ||B-A|| \cdot |x| = (\frac{1}{||A^{-1}||} - ||B-A||) \cdot |x|</tex> | ||
+ | |||
+ | По условию теоремы множитель в последней части больше нуля, поэтому по лемме <tex>B</tex> обратим, по этой же лемме выполнено 2). | ||
+ | |||
+ | |||
+ | <tex>||B^{-1} - A^{-1}|| = ||B^{-1}\cdot (A-B) \cdot A^{-1}|| \le ||B^{-1}||\cdot ||A-B|| \cdot ||A^{-1}|| \le \frac{||A^{-1}||}{||A^{-1}||^{-1} - ||B - A||} ||B - A||</tex> | ||
+ | }} | ||
+ | |||
=== Теорема о непрерывно дифференцируемых отображениях === | === Теорема о непрерывно дифференцируемых отображениях === | ||
+ | {{Теорема | ||
+ | |statement= | ||
+ | Пусть <tex> F : E \subset \mathbb{R}^m \rightarrow \mathbb{R}^n </tex>, где <tex> E </tex> открыто, дифференцируемо на <tex> E </tex>. Тогда эквивалентны утверждения: | ||
+ | |||
+ | <tex> I) F \in C^{1}(E) </tex> | ||
+ | |||
+ | <tex> II) F' : E \rightarrow \mathcal{L}_{m, n} </tex> — непрерывна. | ||
+ | |proof= | ||
+ | <tex> I \Rightarrow II </tex> | ||
+ | |||
+ | <tex> ||A|| \le \sqrt{\sum a_i^2}; A = (a_{ij}); </tex> | ||
+ | |||
+ | ? <tex> F' </tex> непр. в <tex> (\cdot) \overline{X} </tex> | ||
+ | |||
+ | <tex> \forall \epsilon > 0 \exists \delta > 0 : \forall x : |x - \overline{x}| < \delta </tex> | ||
+ | |||
+ | <tex> ||F'(x) - F'(\overline{x})|| < \epsilon </tex> | ||
+ | |||
+ | <tex> ||F'(x) - F'(\overline{x})|| \le \sqrt{\sum(\frac{\partial f_i}{\partial x_j}(x) - \frac{\partial f_i}{\partial x_j}(\overline{x}))^2} </tex> | ||
+ | |||
+ | <tex> \forall \epsilon > 0 </tex> выберем <tex> \delta : |\frac{\partial f_i}{\partial x_j}(x) - \frac{\partial f_i}{\partial x_j}(\overline{x})| < \frac{\epsilon}{\sqrt{mn}}</tex>; при <tex> |x - \overline{x}| < \delta; i = 1 \ldots n; j = 1 \ldots m </tex> | ||
+ | |||
+ | <tex> II \Rightarrow I </tex> | ||
+ | |||
+ | <tex> F' </tex> — непрерывна. <tex> e_1 \ldots e_m </tex> — нормированный базис <tex>\mathbb{R}^m</tex> | ||
+ | |||
+ | <tex> F'(x)e_i = \begin{pmatrix} \frac{\partial f_i}{\partial x_1}(x) \\ \ldots \\ \frac{\partial f_i}{\partial x_n}(x) \end{pmatrix}; </tex> | ||
+ | |||
+ | <tex> \begin{matrix} |F'(x)e_i| \le ||F'(x)|| \cdot 1 \\ |\frac{\partial f_i}{\partial x_j}(x)| \le |F'(x)e_i| \le ||F'(x)|| \end{matrix} </tex> | ||
+ | |||
+ | Точно также: <tex> |\frac{\partial f_i}{\partial x_j}(x) - \frac{\partial f_i}{\partial x_j}(\overline{x})| \le ||F'(x) - F'(\overline{x})|| </tex> | ||
+ | }} | ||
+ | |||
=== Необходимое условие экстремума. Теорема Ролля === | === Необходимое условие экстремума. Теорема Ролля === | ||
− | === Лемма об оценке квадратичной | + | '''Необходимое условие экстремума:''' |
+ | {{Теорема | ||
+ | |statement= | ||
+ | Пусть <tex> f: E </tex> открыто <tex> \subset \mathbb{R}^m \to \mathbb{R}; \ \ a </tex> — точка лок. экстремума. <tex> f </tex> — дифф. на <tex> E </tex>. | ||
+ | |||
+ | Тогда <tex> \nabla_a f = 0 </tex> (т.е. <tex> f'_{x_1}(a) = 0, \ldots, f'_{x_m}(a) = 0 </tex>) | ||
+ | |||
+ | |proof= | ||
+ | Меняем <tex>f(a+l)</tex> на <tex>g(t)=f(a+tl)</tex>, по теореме Ферма из первого семестра <tex>g'(0)=0</tex>. Из этого следует, что все частные производные в точке a равны нулю, что нам и было нужно. | ||
+ | }} | ||
+ | '''Теорема Ролля:''' | ||
+ | {{Теорема | ||
+ | |statement= | ||
+ | Пусть <tex> f: K </tex> компакт <tex> \subset \mathbb{R}^m \to \mathbb{R} </tex>, дифференцируемо на <tex> \operatorname{Int} K \ne 0 </tex>, <tex> f \equiv \operatorname{const} </tex> на <tex> \partial K </tex> (граница <tex> K </tex>), <tex> f </tex> — непр. на <tex> K </tex>. | ||
+ | |||
+ | Тогда существует <tex> a \in \operatorname{Int} K: \ \nabla f(a) = 0 </tex>. | ||
+ | |proof= | ||
+ | Если <tex>f</tex> постоянна на <tex>K</tex>, то утверждение очевидно. | ||
+ | Если нет, то по [[Участник:Katyatitkova/Матан#Теорема Вейерштрасса о непрерывном образе компакта. Следствия|теореме Вейерштрасса]] <tex>f</tex> на компакте достигает наибольшего или наименьшего значения в какой-то точке, а по необходимому условию экстремума в этой точке градиент равен нулю. | ||
+ | }} | ||
+ | |||
+ | === Лемма об оценке квадратичной формы и об эквивалентных нормах === | ||
+ | {{Утверждение | ||
+ | |statement= | ||
+ | 1) Если квадратичная форма <tex> h </tex> положительно определена, то существует такое <tex> \gamma_h </tex>, что <tex> h(x) \ge \gamma_h |x|^2 </tex> для всех <tex> x \in \mathbb{R}^m </tex> <br> | ||
+ | 2) Пусть <tex> p : \mathbb{R}^m \to \mathbb{R}_+ </tex> — норма. Тогда <tex> \exists c_1, c_2 > 0 \ \forall x \ c_1 |x| \leqslant p(x) \leqslant c_2 |x| </tex>. | ||
+ | |proof= | ||
+ | 1) <tex> \gamma_h = min_{|x| = 1}h(x) </tex> | ||
+ | |||
+ | (Сфера <tex> \{ x : |x| = 1 \} </tex> — компакт по [[Участник:Katyatitkova/Матан#Теорема Вейерштрасса о непрерывном образе компакта. Следствия|теореме Вейерштрасса]] <tex> \exists min </tex>) | ||
+ | |||
+ | <tex> x = 0 : \text{ok} </tex> | ||
+ | |||
+ | <tex> x \ne 0 : h(x) = h(|x| \cdot \frac{x}{|x|}) = |x|^2 \cdot h(\frac{x}{|x|}) \ge \gamma_h |x|^2 </tex> | ||
+ | |||
+ | <tex> h(tx) = t^2 h(x) </tex> | ||
+ | |||
+ | 2) <tex> c_1 := min_{|x| = 1} p(x); c_2 := max_{|x| = 1} p(x); </tex> — по т. Вейерштрасса (т.к. <tex>p(x)</tex> — непр.) | ||
+ | |||
+ | <tex> x = 0 : \text{triv} </tex> | ||
+ | |||
+ | <tex> x \ne 0 : p(x) = p(|x| \cdot \frac{x}{|x|}) = |x| \cdot p(\frac{x}{|x|}) \begin{matrix} \le c_2|x| \\ \ge c_1|x| \end{matrix} </tex> | ||
+ | }} | ||
+ | |||
=== Достаточное условие экстремума === | === Достаточное условие экстремума === | ||
+ | {{Теорема | ||
+ | |statement= | ||
+ | Пусть <tex> f = Е </tex> открыто в <tex> \mathbb{R}^m \to \mathbb{R} </tex>, дифф. на <tex> Е, a \in E </tex> — стационарная точка <tex> f </tex> (то есть <tex> \nabla f(a) = \mathbb{O}_m </tex>). <tex> d^2 f(a, h) = Q(h) </tex> — кв. форма. | ||
+ | |||
+ | Тогда справедливы следующие утверждения: | ||
+ | |||
+ | 1) Если <tex> Q(h) </tex> положительно определённая, то <tex> a </tex> — точка минимума (локального). | ||
+ | |||
+ | 2) Если <tex> Q(h) </tex> отрицательно определённая, то <tex> a </tex> — точка максимума (локального). | ||
+ | |||
+ | 3) Если <tex> Q(h) </tex> не знакоопределённая, то <tex> a </tex> — не точка экстремума. | ||
+ | |||
+ | 4) Если <tex> Q(h) </tex> положительно/отрицально опр. вырожденное, то (?) может быть макс., мин. требуется исследование | ||
+ | |proof= | ||
+ | <tex>(1) : f(a + h) = f(a) + \sum_{i = 1}^{m} f'_{x_i}(a) \cdot h_i + \frac{1}{2} \sum f''_{x_i x_j}(a + \theta h)h_i h_j </tex> | ||
+ | |||
+ | <tex> 2(f(a + h) - f(a)) = \sum_{i, j = 1}^{m}f''_{x_i x_j}(a)h_i h_j + \sum_{i, j = 1}^{m}(f''_{x_i x_j}(a + \theta h) - f''_{x_i x_j}(a))h_i h_j </tex> // <tex> |h_i| < |h| </tex> | ||
+ | |||
+ | Выберем <tex> U(a) </tex> так, чтобы при <tex> a + h \in U(a) </tex> | ||
+ | |||
+ | <tex> \sum |f''_{x_i x_j}(a + \theta h) - f(a)| \le \frac{\gamma}{2} </tex> | ||
+ | |||
+ | <tex> 2(f(a + h) - f(a)) \ge \gamma_Q |h|^2 - \frac{\gamma_Q}{2} |h|^2 > 0 </tex> | ||
+ | |||
+ | Таким образом <tex>a</tex> точка локального минимума | ||
+ | |||
+ | <tex>(3) : Q(h) </tex> — не знакоопределён. <tex> \begin{matrix} h \ne 0 & Q(h) \ge 0 \\ \bar h \ne 0 & Q(\bar h) < 0 \end{matrix} </tex> | ||
+ | |||
+ | <tex> 2(f(a + th) - f(a)) = Q(th) + \sum(f''_{x_i x_j}(a + \theta th) - f''_{x_i x_j}(a))th_i th_j = </tex> | ||
+ | |||
+ | <tex> = t^2 Q(h) + t^2 \sum(f''_{x_i x_j}(a + \theta th) - f''_{x_i x_j}(a))h_i h_j </tex> | ||
+ | |||
+ | <tex>Q(h) > 0; t^2 \sum(f''_{x_i x_j}(a + \theta th) - f''_{x_i x_j}(a))h_i h_j </tex> — при <tex> t \to 0 </tex> эта сумма из '?' б.м по модулю <tex> \le Q(h) </tex> при малых <tex> t </tex> | ||
+ | }} | ||
+ | |||
=== Лемма о почти локальной инъективности === | === Лемма о почти локальной инъективности === | ||
{{Лемма | {{Лемма | ||
|statement= | |statement= | ||
Пусть <tex> F: O \subset \mathbb{R}^m \to \mathbb{R}^m </tex> — диффеоморфизм, <tex> x_0 \in \mathbb{R}^m , \ \det F'(x_0) \neq 0 </tex>. Тогда <tex> \exists c, \delta > 0 \ \forall h: |h| < \delta \ | F(x_0 + h) - F(x_0) | \geqslant c|h| </tex> | Пусть <tex> F: O \subset \mathbb{R}^m \to \mathbb{R}^m </tex> — диффеоморфизм, <tex> x_0 \in \mathbb{R}^m , \ \det F'(x_0) \neq 0 </tex>. Тогда <tex> \exists c, \delta > 0 \ \forall h: |h| < \delta \ | F(x_0 + h) - F(x_0) | \geqslant c|h| </tex> | ||
+ | |proof= | ||
+ | 1) <tex> F </tex> — линейное. <tex> \exists (F'(x_0))^{-1} </tex> | ||
+ | |||
+ | <tex> F(x_0 + h) - F(x_0) = F(h); F'(x_0) \equiv F </tex> | ||
+ | |||
+ | <tex> |h| = |F^{-1} Fh| \le ||F^{-1}|| \cdot |Fh| </tex> | ||
+ | |||
+ | <tex> |Fh| \ge \frac{1}{||F^{-1}||} \cdot |h|; c := \frac{1}{||F^{-1}||} </tex> | ||
+ | |||
+ | 2) <tex> F(x_0 + h) - F(x_0) = F'(x_0)h + \alpha(h)\cdot|h|; c = \frac{1}{||F'(x_0)^{-1}||} </tex> | ||
+ | |||
+ | <tex> |F(x_0 + h) - F(x_0)| \ge |F'(x_0)h| - |\alpha(h)|\cdot|h| \ge c|h| - |\alpha(h)|\cdot|h| </tex><tex> = (c - (\alpha(h))) \cdot |h| \ge^* \frac{c}{2}\cdot|h| </tex> | ||
+ | |||
+ | // <tex> \ge^*: \exists \delta > 0: </tex> при <tex> |h| < \delta: |\alpha(h)| < \frac{c}{2} </tex> | ||
}} | }} | ||
Строка 378: | Строка 865: | ||
|statement= | |statement= | ||
Пусть <tex> F: O \subset \mathbb{R}^m \to \mathbb{R}^m </tex>, где <tex> O </tex> открыто — диффеоморфизм в <tex> O </tex>, <tex> \forall x \in O \ \det(F'(x)) \neq 0 </tex>. Тогда <tex> F(O) </tex> открыто. | Пусть <tex> F: O \subset \mathbb{R}^m \to \mathbb{R}^m </tex>, где <tex> O </tex> открыто — диффеоморфизм в <tex> O </tex>, <tex> \forall x \in O \ \det(F'(x)) \neq 0 </tex>. Тогда <tex> F(O) </tex> открыто. | ||
+ | |||
+ | * Замечание | ||
+ | |||
+ | 1. Если <tex> O </tex> — лин. связное и <tex> F </tex> — непр. <tex> \Rightarrow F(O) </tex> — лин. связное | ||
+ | |||
+ | 2. Непрерывность <tex> F : \forall A \subset \mathbb{R}^m : F^{-1}(A) </tex> — откр. [в <tex> O </tex>] | ||
+ | |proof= | ||
+ | <tex> x_0 \in O; y_0 = F(x_0) </tex> — внутрення точка <tex> F(O) </tex>? | ||
+ | |||
+ | <tex> \exists c, \delta : \forall |h| \le \delta \ |F(x_0 + h) - F(x_0)| \ge c|h| </tex> | ||
+ | |||
+ | при <tex> |h| = \delta \ F(x_0 + h) \ne F(x_0) = y_0 </tex> | ||
+ | |||
+ | <tex> dist(y_0, A) = inf_{a \in A} \rho (y_0, c)</tex> | ||
+ | |||
+ | Возьмем <tex> r = \frac{1}{2} dist(y_0, F(S(x_0, \delta))) </tex>(S — сфера, т. е. граница шара) | ||
+ | |||
+ | Утверждение: <tex> B(y_0, r) \subset F(O) </tex> | ||
+ | |||
+ | Т.е.: <tex> \forall y \in B(y_0, r) \ \exists x \in B(x_0, \delta) \ F(x) = y </tex> | ||
+ | |||
+ | <tex> \varphi(x) = |F(x) - y|^2 = (F_1(x_1...x_m) - y_1)^2 + (F_2 - y_2)^2 + \ldots + (F_m - y_m)^2; </tex> <tex> x \in B(x_0, \delta</tex> | ||
+ | |||
+ | <tex> min \varphi </tex> — внутри <tex> B(x_0, \delta) </tex> | ||
+ | |||
+ | В точке <tex>x_0: \varphi(x_0) = |y_0 - y|^2 < r^2 </tex>. | ||
+ | |||
+ | На сфере <tex> S(x_0, \delta) </tex>: <tex> \varphi(x) = |F(x) - y|^2 \ge (\overbrace{|F(x) - y_0|}^{ \ge 2r} - \overbrace{|y - y_0|}^{ < r })^2 \ge r^2 </tex> | ||
+ | |||
+ | <tex> \varphi </tex> — имеет <tex> (\cdot) min </tex> внутри шара <tex> B(x_0, \delta) </tex> по [[Участник:Katyatitkova/Матан#Теорема Вейерштрасса о непрерывном образе компакта. Следствия|теореме Вейерштрасса]] | ||
+ | |||
+ | <tex> \begin{cases} 2(F_1(x_1...x_m) - y_1)\frac{\partial F_1}{\partial x_1} + 2(F_2(x_1...x_m) - y_2)\frac{\partial F_2}{\partial x_1} + \ldots + 2(F_m() - y_m)\frac{\partial F_m}{\partial x_1} = 0 \\ \ldots \\ 2(F_1(x_1...x_m) - y_1)\frac{\partial F_1}{\partial x_m} + \ldots + 2(F_m() - y_m)\frac{\partial F_m}{\partial x_m} = 0 \end{cases} </tex> | ||
+ | |||
+ | <tex> det(\frac{\partial F_i}{\partial x_j}) \ne 0 \Rightarrow </tex> в точке минимума <tex> \begin{matrix} F_1(x_1...x_m) = y_1 \\ \ldots \\F_m(x_1..x_m) = y_m \end{matrix} </tex>(у системы есть только тривиальное решение) | ||
}} | }} | ||
Строка 383: | Строка 904: | ||
{{Теорема | {{Теорема | ||
|statement= | |statement= | ||
− | Пусть <tex> F: O \subset \mathbb{R}^m \to \mathbb{R}^m, \ F \in C^r(O) </tex>, <tex> F </tex> — обратима и невырождена, <tex> \forall x \in O \det(F'(x)) \neq 0 </tex>. Тогда: | + | Пусть <tex> F: O \subset \mathbb{R}^m \to \mathbb{R}^m, \ F \in C^r(O) </tex>, <tex> F </tex> — обратима и её производная невырождена, <tex> (\forall x \in O \ \det(F'(x))) \neq 0 </tex>. |
+ | |||
+ | Тогда: | ||
1) <tex> F^{-1} \in C^r </tex> | 1) <tex> F^{-1} \in C^r </tex> | ||
− | 2) <tex> y_0 = F(x_0), \ (F^{-1})' (y_0) = (F'(x_0))^{-1} (y_0) </tex> | + | 2) <tex> y_0 = F(x_0), \ (F^{-1})' (y_0) = (F'(x_0))^{-1} </tex> |
+ | |proof= | ||
+ | |||
+ | 1) <tex> r = 1 </tex> | ||
+ | |||
+ | <tex>F(O) = O' </tex> — открытое | ||
+ | |||
+ | Пусть <tex> S = F^{-1}, S : O' \to O</tex> | ||
+ | |||
+ | Пусть <tex> U \subset O</tex> — открытое, тогда <tex> S^{-1}(U) </tex> — открытое. | ||
+ | |||
+ | * <tex> T : X \to Y</tex> — непрерывное отображение <tex> \Leftrightarrow \forall U \subset Y : T^{-1}(U) </tex> — открыто. // Мне кажется, из определения диффеоморфизма и предыдущей теоремы следует, что обратное отображение тоже диффеоморфизм и предыдущие строчки и так очевидны. | ||
+ | |||
+ | <tex> y_0 = F(x_0); x_0 = S(y_0) </tex> | ||
+ | |||
+ | <tex> y - y_0 = F(x) - F(x_0) = A(x - x_0) + o(x - x_0) </tex> | ||
+ | |||
+ | <tex> S(y) - S(y_0) = x - x_0 = A^{-1}(y - y_0) - A^{-1} o(x - x_0) </tex> | ||
+ | |||
+ | * <tex> T </tex> — диффеоморфизм, матрица <tex>T'(x_0)</tex> невырождена <tex>\Rightarrow</tex> <tex> \exists c, \delta \ \forall x \in B(x_0, \delta) \ |T(x) - T(x_0)| > c|x - x_0| </tex> // По лемме о почти локальной инъективности | ||
+ | |||
+ | Возьмём <tex> c, \delta </tex> из леммы. | ||
+ | |||
+ | Пусть <tex> T = F'(x_0) </tex> | ||
+ | |||
+ | <tex> y - y_0 = T(x - x_0) + \alpha(x)|x - x_0| </tex> | ||
+ | |||
+ | <tex> S(y) - S(y_0) = T^{-1}(y - y_0) - \overbrace{T^{-1} \alpha(x) |S(y) - S(y_0)|}^{? o(y - y_0)} </tex> | ||
+ | |||
+ | Можно считать, что <tex> y </tex> близко к <tex> y_0 </tex>, так что <tex> |x - x_0| = |S(y) - S(y_0)| < \delta </tex> | ||
+ | |||
+ | <tex> | \ T^{-1} \alpha(x) \cdot |x - x_0| \ | = |T^{-1}(\alpha(x))|\cdot|x - x_0| \le </tex><tex> \| T^{-1} \| \cdot |\alpha(x)| \cdot \frac{1}{c} |F(x) - F(x_0)| \le \frac{\| T^{-1} \|}{c}|y - y_0|\cdot|\alpha(x)| </tex> | ||
+ | |||
+ | <tex>// y \to y_0; x \to x_0; \alpha(x) \to 0 </tex> | ||
+ | |||
+ | <tex> y \mapsto S(y) = x \mapsto F'(x) = T \mapsto T^{-1} = S'(y) </tex> | ||
+ | |||
+ | 2) <tex> r </tex> — любое. (без доказательства) | ||
}} | }} | ||
Строка 393: | Строка 953: | ||
{{Теорема | {{Теорема | ||
|statement= | |statement= | ||
− | Пусть <tex> F: O \subset \mathbb{R}^m \to \mathbb{R}^m </tex>, где <tex> O </tex> открыто | + | Пусть <tex> F: O \subset \mathbb{R}^m \to \mathbb{R}^m </tex>, где <tex> O </tex> открыто; <tex> F \in C^1(O, \mathbb{R}^m); x_0 \in O; \det F'(x_0) \ne 0 </tex> |
+ | |||
+ | Тогда <tex> \exists U(x_0): \ F |_U </tex> — диффеоморфизм (<tex> F |_U </tex> или <tex> F|U </tex> — сужение отображения <tex> F </tex> на множество <tex> U </tex>). | ||
+ | |proof= | ||
+ | Нужно проверить лишь: <tex> \exists U(x_0) : F|_U </tex> — обратима | ||
+ | |||
+ | [так как можно считать что <tex> \det F'(x) \ne 0 </tex> на <tex> U(x_0) \Rightarrow F(U(x_0)) </tex> открыто и <tex> F^{-1} </tex> определено на открытом множестве и дифференцируемо по предыдущим теоремам] | ||
+ | |||
+ | <tex> |F(x) - F(y)| \ge^{?} |x - y| </tex> // Это какая-то хрень, к тому же она в конце не доказана. Надо проверить, что <tex>\forall{x \neq y} |F(x) - F(y)| > 0</tex>, тогда отображение будет биекцией. | ||
+ | |||
+ | <tex> \exists c \ \forall h \in \mathbb{R}^m : |F'(x_0)h| \ge c|h|; \ U = B(x_0, r) \subset O </tex> | ||
+ | |||
+ | <tex> \begin{matrix} 1: \forall x \in U & \det F'(x) \ne 0 \\ 2: \forall x \in U & \| F'(x) - F'(x_0) \| < \frac{c}{4} \end{matrix} </tex> | ||
+ | |||
+ | <tex> x, y \in B(x_0, r); y = x + h </tex> | ||
+ | |||
+ | <tex> F(y) - F(x) = ( F(x + h) - F(x) - F'(x)h ) + ( F'(x) - F'(x_0) )h + F'(x_0)h </tex> | ||
+ | |||
+ | <tex> |F(y) - F(x)| \ge |F'(x_0)h| - |F(x + h) - F(x) - F'(x)h| - |(F'(x) - F'(x_0))h| \ge </tex> | ||
+ | |||
+ | <tex> \ge c|h| - sup_{t \in [x, x + h]} \| F'(t) - F'(x) \| \cdot |h| - \| F'(x) - F'(x_0) \| \cdot |h| \ge c|h| - \frac{c}{4}|h| - \frac{c}{4}|h| = \frac{c}{2}|h| > 0</tex> | ||
}} | }} | ||
+ | * Замечание | ||
+ | |||
+ | <tex> \det F' \ne 0 </tex> — нужно для дифференцируемости. | ||
+ | |||
+ | <tex> F : \mathbb{R} \to \mathbb{R}; x \mapsto x^3; F^{-1} </tex> — не дифференцируемо в нуле | ||
=== Теорема о неявном отображении === | === Теорема о неявном отображении === | ||
Строка 401: | Строка 986: | ||
Пусть <tex> F: E \subset \mathbb{R}^{m + n} \to \mathbb{R}^n </tex>, где <tex> E </tex> открыто, <tex> F \in C^r (E, \mathbb{R}^n), \ (a, b) \in E, \ F(a, b) = 0 </tex>. Пусть известно, что <tex> F'_y (a, b) </tex> невырождено (<tex> \det F'_y (a, b) \neq 0 </tex>). Тогда: | Пусть <tex> F: E \subset \mathbb{R}^{m + n} \to \mathbb{R}^n </tex>, где <tex> E </tex> открыто, <tex> F \in C^r (E, \mathbb{R}^n), \ (a, b) \in E, \ F(a, b) = 0 </tex>. Пусть известно, что <tex> F'_y (a, b) </tex> невырождено (<tex> \det F'_y (a, b) \neq 0 </tex>). Тогда: | ||
− | 1) существуют открытые <tex> P \subset \mathbb{R}^m, \ Q \subset \mathbb{R}^n, \ a \in P, \ b \in Q </tex>, и существует единственное <tex> \varphi: P \to Q, \varphi \in C^ | + | 1) существуют открытые <tex> P \subset \mathbb{R}^m, \ Q \subset \mathbb{R}^n, \ a \in P, \ b \in Q </tex>, и существует единственное <tex> \varphi: P \to Q, \varphi \in C^r </tex>, что <tex> \forall x \in P \ F(x, \varphi(x) ) = 0 </tex> |
− | 2) <tex> \varphi'(x) = [F'_y (x, \varphi(x) ) ]^{-1} \cdot F'_x(x, \varphi(x)) </tex> | + | '''Раньше тут был забыт минус!''' |
+ | 2) <tex> \varphi'(x) = -[F'_y (x, \varphi(x) ) ]^{-1} \cdot F'_x(x, \varphi(x)) </tex> | ||
+ | |||
+ | |proof= | ||
+ | |||
+ | Пусть <tex>\Phi(x, y) = (x, F(x,y))</tex>. | ||
+ | |||
+ | <tex>\Phi(a, b) = (a, 0)</tex> | ||
+ | |||
+ | <tex>\Phi{'} = \begin{pmatrix} E_n & O \\ F'_x & F'_y \end{pmatrix}</tex>. | ||
+ | |||
+ | <tex>\det{\Phi'} = \det{F'_y} \neq 0</tex> | ||
+ | |||
+ | По теореме о локальной обратимости <tex>\exists{U(a,b)}</tex> — такая, что <tex>\Phi</tex> — диффеоморфизм в данной окрестности. | ||
+ | |||
+ | Тогда существует обратное отображение <tex>\Psi(u, v) = (u, H(u, v))</tex>. | ||
+ | |||
+ | Почти очевидно, что <tex>\varphi(x) = H(x, 0)</tex>. | ||
+ | |||
+ | Берем производную — получаем 2): <tex>F'(x, \varphi(x)) = F'_x + F'_{y}\varphi{'} = 0</tex> | ||
}} | }} | ||
Строка 420: | Строка 1024: | ||
2.2) <tex> \nabla f_1, ... , \nabla f_{m - k} </tex> — линейно независимые | 2.2) <tex> \nabla f_1, ... , \nabla f_{m - k} </tex> — линейно независимые | ||
+ | |proof= | ||
+ | <tex> 1 \Rightarrow 2 </tex> | ||
+ | |||
+ | <tex> \Phi : \Omega \to \mathbb{R}^m </tex> — параметризация <tex> C^r; \ p = \Phi(t_0); \ \Phi'(t_0) </tex> — матрица <tex> m \times k </tex> | ||
+ | |||
+ | <tex> Rg \Phi'(t_0) = k </tex> — реализуется на первых <tex> k </tex> степенях | ||
+ | |||
+ | <tex> \det( \frac{\partial \Phi_i}{\partial U_j} (t_0) ) \ne 0; \ L : \mathbb{R}^m \mapsto \mathbb{R}^k; \ (x_1 ... x_m) \mapsto (x_1 ... x_k) </tex> | ||
+ | |||
+ | <tex> 2 \Rightarrow 1 </tex> | ||
+ | |||
+ | Очевидно: <tex> (L \circ \Phi)'(p) </tex> — невырожденно. | ||
+ | |||
+ | <tex> \Phi = (\Phi_1 ... \Phi_m); L \circ \Phi = (\Phi_1 ... \Phi_k) </tex> | ||
+ | |||
+ | <tex> \exists W(t_0) : L \circ \Phi </tex> — диффеоморфизм на <tex> W(t_0) </tex> | ||
+ | |||
+ | <tex> V = (L \circ \Phi)(W) \Rightarrow L </tex> взаимно однозначное отображение <tex> \Phi(W) </tex> на <tex> V </tex> | ||
+ | |||
+ | <tex> \Psi_1 = (L \circ \Phi)^{-1}; \ H : V \to \mathbb{R}^{m - k}; \ \Phi(\Psi(V)) = (V, H(V)) </tex> | ||
+ | |||
+ | <tex> \Phi(W) </tex> — открыто в <tex> M \Rightarrow \Phi(W) </tex> — реал. как <tex> G \cap M, \ G </tex> — откр. в <tex> \mathbb{R}^m </tex> | ||
+ | |||
+ | <tex> G := V \times \mathbb{R}^{m - k}; \ \tilde{U} = G \cap G_1 </tex> | ||
+ | |||
+ | <tex> \begin{cases} f_1 = H_1 - X_{k + 1} \\ \ldots \\ f_{m - k} = H_{m - k} - X_m \end{cases} </tex> | ||
+ | |||
+ | <tex> \begin{matrix} \nabla f_1 = (\frac{\partial H_1}{\partial x_1} \cdots \frac{\partial H_1}{\partial x_k}, 1, 0, \ldots, 0 ) \\ \cdots \\ \nabla f_{m - k} = ( \frac{\partial H_{m - k}}{\partial x_1} \cdots \frac{\partial H_{m - k}}{\partial x_k}, 0, \ldots, 0, 1 ) \end{matrix} </tex> | ||
}} | }} | ||
Строка 430: | Строка 1062: | ||
\Phi(a) = \mathbb{O}_n | \Phi(a) = \mathbb{O}_n | ||
\end{cases} </tex> | \end{cases} </tex> | ||
+ | |proof= | ||
+ | Пусть ранг реализуется на столбцах <tex> x_{m + 1}, \ldots, x_{m + n} </tex>. Переобозначим <tex> y_1 = x_{m + 1}; \ldots; y_n = x_{m + n} </tex>. | ||
+ | |||
+ | По теореме о неявном отображении: <tex> \exists \Psi: U(a_x) \rightarrow W(a_0) \\ \forall x \in U(a_x) \ \Phi(x, \Psi(x)) = 0 </tex> | ||
+ | |||
+ | <tex> x \mapsto (x, \Psi(x)) </tex> — гл. параметризация | ||
+ | |||
+ | <tex> g(x) = f(x, \Psi(x)) </tex>; Точка <tex> a_x </tex> — лок. экстремум <tex> g' </tex>. | ||
+ | |||
+ | <tex> f'_x(a) + f'_y(a) \cdot \Psi'(a_x) = 0 </tex> — необходимое усл. экстремума в матр. форме. | ||
+ | |||
+ | <tex> \Phi'_x(a) + \Phi'_y(a) \cdot \Psi'(a_x) = 0 </tex> | ||
+ | |||
+ | <tex> \forall \lambda \in \mathbb{R}^n : \ \lambda \Phi'_x(a) + \lambda \Phi'_y(a) \cdot \Psi'(a_x) = 0 </tex> | ||
+ | |||
+ | <tex> (f'_x(a) + \lambda \Phi'_x(a)) + (f'_y(a) + \lambda \Phi'_y(a)) \cdot \Psi'(a_x) = 0 </tex> | ||
+ | |||
+ | <tex> \lambda := -(f'_y(a))(\Phi'_y(a))^{-1} </tex> | ||
+ | |||
+ | При таком <tex> \lambda : </tex> | ||
+ | |||
+ | <tex> \begin{cases} f'_x(a) + \lambda \Phi'_x(a) = 0 \\ f'_y(a) + \lambda \Phi'_y(a) = 0 \\ \Phi(a) = 0 \end{cases} </tex> | ||
}} | }} | ||
Строка 436: | Строка 1090: | ||
|statement= | |statement= | ||
Пусть <tex> A \in \mathcal{L}_{m, n} </tex>. Тогда <tex> || A || = \max \{\sqrt{\lambda}, \lambda </tex> — собственное число <tex> A^T \cdot A \} </tex>. | Пусть <tex> A \in \mathcal{L}_{m, n} </tex>. Тогда <tex> || A || = \max \{\sqrt{\lambda}, \lambda </tex> — собственное число <tex> A^T \cdot A \} </tex>. | ||
+ | |proof= | ||
+ | <tex> ||A||^2 = max_{|x| = 1}|Ax|^2 = max_{|x| = 1} \langle Ax, Ax \rangle = max_{|x| = 1}\langle A^tAx, x \rangle </tex> | ||
}} | }} | ||
=== Простейшие свойства интеграла векторного поля по кусочно-гладкому пути === | === Простейшие свойства интеграла векторного поля по кусочно-гладкому пути === | ||
− | + | 1) Линейность по векторному полю: <tex> I(\alpha V_1 + \beta V_2, \gamma) = \alpha I(V_1, \gamma) + \beta I(V_2, \gamma) </tex>. | |
− | + | ||
− | + | <tex> \int_{a}^{b} \langle (\alpha V_1 + \beta V_2), \gamma{'} \rangle dt </tex> — по линейному скалярному произведению | |
− | + | ||
− | + | 2) Аддитивность при дроблении пути: | |
− | + | ||
− | + | <tex> \gamma : [a, b] \to \mathbb{R}^m; \ c \in [a, b] </tex> | |
− | + | ||
− | + | <tex> \gamma_1 : [a, c] \to \mathbb{R}^m; \ t \mapsto \gamma(t); \ \gamma_2 : [c, b] \to \mathbb{R}^m </tex> | |
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | = | + | <tex> I(V, \gamma) = I(V, \gamma_1) + I(V, \gamma_2) </tex>. |
− | |||
− | |||
− | + | <tex> \int_{a}^{b} ... = \int_a^c + \int_c^b </tex> | |
− | + | 3) Замена параметра: если <tex> \varphi: [p; q] \to [a; b] </tex> — гладкая, <tex> \varphi(p) = a, \ \varphi(q) = b </tex>, <tex> \gamma: [a; b] \to \mathbb{R}^m </tex>, <tex> \tilde{\gamma} = \gamma \circ \varphi: [p; q] \to \mathbb{R}^m </tex> <tex> s \mapsto \gamma(\varphi(s)) </tex> | |
− | + | Тогда <tex> I(V, \gamma) = I(V, \tilde{\gamma}) </tex>. | |
− | + | <tex> I(V, \gamma) = \int_a^b \langle V(\gamma(t)), \gamma{'}(t) \rangle dt =_{t = \varphi(s)} </tex><tex> \int_a^b \langle V (\gamma(\varphi (s))), \gamma{'}(\varphi (s)) \varphi'(s) \rangle ds = \int_p^q \langle V(\tilde{\gamma}(s)), \tilde{\gamma}'(s) \rangle ds </tex> | |
− | + | 4) Пусть <tex> \gamma_1: [a; b] \to \mathbb{R}^m, \ \gamma_2: [c; d] \to \mathbb{R}^m, \ \gamma_1(b) = \gamma_2(c), \ \gamma = \gamma_2 \gamma_1 </tex> — произведение путей: | |
− | + | <tex> \gamma: [a; b + d - c] \to \mathbb{R}^m = \begin{cases} | |
+ | \gamma_1(t), \ t \in [a; b] \\ | ||
+ | \gamma_2(t - b + c), \ t \in [b; b + d - c] | ||
+ | \end{cases} </tex> | ||
− | + | то <tex> I(V, \gamma_2 \gamma_1) = I(V, \gamma_1) + I(V, \gamma_2) </tex>. | |
− | + | <tex> \int_a^{b + d - c} \langle V(\gamma(t)), \gamma{'}t \rangle dt = \int_a^b + \int_b^{b + d - c} </tex> \\ заменить параметр <tex> s = t - b + c; s \in [c, d] </tex> | |
− | + | <tex> \gamma : [a, b] \to \mathbb{R}^m; \ \gamma_- </tex> — противоположный путь (в обратную сторону) | |
− | + | <tex> \gamma_-(t) = \gamma(b + a - t), t \in [a, b] </tex> | |
− | + | <tex> I(V, \gamma_-) = -I(V, \gamma) </tex> | |
− | + | <tex> \int_a^b \langle V(\gamma(b - a - t)), \gamma_-(t) \rangle dt = \int \langle V (\gamma(s)), \gamma{'}(s) \rangle ds </tex> | |
− | + | 5) Оценка интеграла: | |
− | {{ | + | {{ |
− | | | + | Теорема |
− | + | |statement= | |
+ | <tex> | \int\limits_{a}^{b} (V_1 dx_1 + ... + V_m dx_m) | \leqslant \max_{x \in t_{\gamma}} |V(x)| \cdot L(\gamma) </tex>, где <tex> L(\gamma) </tex> — длина пути. | ||
− | + | <tex> \gamma : [a, b] \to \mathbb{R}^m; L_{\gamma} = \gamma [a, b] \subset \mathbb{R}^m </tex> | |
+ | |proof= | ||
+ | <tex> | \int_a^b \sum V_i (\gamma(t)) \cdot \gamma{'}_i(t) dt | \le \int_a^b |...| dt \le \int_a^b \sqrt{\sum V_i^2(\gamma(t))} \sqrt{\sum \gamma_i^{'2}(t)} dt = \int_a^b |V(\gamma(t))| \cdot |\gamma{'}(t)| \le max_{x \in L_{\gamma}} (V(x)) \cdot \int_a^b |\gamma{'}(t) dt| </tex> | ||
}} | }} | ||
− | === | + | === Обобщенная формула Ньютона--Лебница === |
{{Теорема | {{Теорема | ||
|statement= | |statement= | ||
− | + | Пусть <tex> V: O \to \mathbb{R}^m </tex> потенциально, <tex> f </tex> — потенциал <tex> V </tex>, <tex> \gamma[a;b] \to O </tex> — кусочно гладкий. | |
+ | |||
+ | Тогда <tex> \int\limits_{\gamma} (V_1 dx_1 + ... V_m dx_m) = f(\gamma(b)) - f(\gamma(a)) </tex>. | ||
+ | |proof= | ||
+ | 1) <tex> \int\limits_{\gamma} \sum V_k d x_k = \int\limits_{a}^{b} (V_1(\gamma(t))\cdot\gamma'_1 + \ldots + V_m(\gamma(t))\cdot\gamma'_m) = f(\gamma(t))|_a^b </tex> — доказано для гладкого пути | ||
+ | |||
+ | \\ <tex> V_1(\gamma(t))\cdot\gamma'_1 + \ldots + V_m(\gamma(t))\cdot\gamma'_m = f(\gamma(t))' </tex> <tex> = f(\gamma_1(t)\ldots\gamma_m(t))' = \frac{\partial f}{\partial x_1}\cdot\gamma'_1 + \ldots + \frac{\partial f}{\partial x_m}\cdot\gamma'_m </tex> | ||
+ | |||
+ | \\ <tex> \frac{\partial f}{\partial x_1} = V_1; \ldots; \frac{\partial f}{\partial x_m} = V_m </tex> | ||
− | + | 2) <tex> a = t_0 < t_1 < \ldots < t_n = b </tex> | |
− | + | <tex> \gamma|_{[t_{k-1}, t_{k}]} </tex> — гладкий | |
− | + | <tex> \int\limits_{\gamma}\sum_k V_k d x_k = \sum_k (\int\limits_{t_k-1}^{t_k} \sum_i V_i d \gamma_i) = </tex><tex> \sum(f(\gamma(t_k)) - f(\gamma(t_{k-1}))) = f(\gamma(b)) - f(\gamma(a)) </tex> | |
}} | }} | ||
− | === | + | === Характеризация потенциальных векторных полей в терминах интегралов === |
− | + | {{ | |
+ | Теорема | ||
+ | |statement= | ||
+ | Если <tex> V : O \to \mathbb{R}^m </tex> тогда эквиваленты следующие утверждение: | ||
+ | |||
+ | 1) V потенциально в <tex> O </tex> | ||
+ | |||
+ | 2) Интеграл <tex> V </tex> не зависит от пути (в обл. <tex> O </tex>) | ||
− | == | + | 3) <tex> \forall \gamma : [a, b] \to O, \ \gamma(a) = \gamma(b); \ \int_{\gamma} \sum V_i dx_i = 0 </tex> |
− | + | |proof= | |
+ | <tex> 1 \Rightarrow 2 </tex> — формула [[Участник:Yulya3102/Матан#Формула Ньютона-Лейбница для кусочно-непрерывных функций|Ньютона-Лейбница]] | ||
− | + | <tex> 2 \Rightarrow 3 </tex> — очевидно | |
− | |||
− | + | <tex> \gamma </tex> — петля; <tex> \gamma_1(t) \equiv \gamma(a) </tex> | |
− | |||
− | |||
− | <tex> \ | ||
− | <tex> \ | + | <tex> \int_{\gamma_1} \sum V_i dx_i = 0 = \int_{\gamma} \sum V_i dx_i </tex> |
− | <tex> \ | + | <tex> 3 \Rightarrow 2 </tex> — очевидно |
+ | |||
+ | <tex> \gamma := \gamma_{2-} \cdot \gamma_1; \ 0 = \int_{\gamma} \sum V_i dx_i = \int_{\gamma_{2-}} + \int_{\gamma_1} = \int_{\gamma_1} - \int_{\gamma_2} </tex> | ||
+ | |||
+ | <tex> 2 \Rightarrow 1 </tex> | ||
+ | |||
+ | Фиксируем точку <tex> x_0 \in O; \ \forall x \in O </tex> | ||
+ | |||
+ | Возьмём как-нибудь путь <tex> \gamma_x </tex> из <tex> x_0 </tex> в <tex> x </tex> | ||
+ | |||
+ | <tex> f(x) := \int_{\gamma_x} \sum V_i dx_i; f </tex> — потенциал? | ||
+ | |||
+ | Докажем, что <tex> \frac{\partial f}{\partial x_1} = V_1 </tex> (аналогично <tex> \frac{\partial f}{\partial x_i} = V_i; \ i = 2...m </tex>) | ||
+ | |||
+ | Выберем <tex> B(x, r) \subset O </tex> | ||
+ | |||
+ | <tex> |h| < r; \ t \mapsto (x_1 + th, x_2 ... x_m); \ \gamma'_h(t) = (h, 0, ..., 0) </tex> | ||
+ | |||
+ | <tex> f(x_1 + h, x_2 ... x_m) - f(x) = \int_{\gamma_h \gamma_x} \sum V_i dx_i - \int_{\gamma_x} \sum V_i dx_i = </tex> | ||
+ | |||
+ | <tex>= \int_{\gamma_h} \sum V_i dx_i = \int_0^1 V_1(x_1 + th, x_2 ... x_m)h dt = </tex> [[Участник:Yulya3102/Матан#Теорема о среднем. Следствия|теорема о среднем]] <tex> = V_1(x_1 + \Theta h, x_2 ... x_m)h; \ \Theta \in [0, 1] </tex> | ||
+ | |||
+ | <tex> \frac{f(x_1 + h, ... x_m) - f(x)}{h} = V_1(x_1 + \Theta h, ...) \to V_1(x) </tex> | ||
}} | }} | ||
− | === | + | === Лемма о дифференцировании интеграла по параметру === |
− | {{ | + | {{Лемма |
− | | | + | |statement= |
− | Пусть <tex> | + | Пусть <tex> f: [a; b] \times [c; d] \to \mathbb{R}, \ f(x, y) </tex> — непрерывна, дифференцируема по <tex> y </tex> при любых <tex> x </tex> и <tex> f'_y </tex> непрерывна на промежутке. Пусть <tex> \Phi(y) = \int\limits_a^b f(x, y) dx, \ y \in [c, d] </tex>. Тогда <tex> \Phi(y) </tex> дифференцируема и <tex> \Phi'(y) = \int\limits_a^b f'_y(x, y) dx </tex>. |
+ | |proof= | ||
+ | <tex> \frac{\Phi(y + h) - \Phi(y)}{h} = \int_a^b \frac{f(x, y + h) - f(x, y)}{h} dx = \int_a^b f'_y (x, y + \Theta h) dx; \ \Theta \in [0, 1] </tex> зависит от <tex> x, y </tex> | ||
+ | |||
+ | <tex> f'_y </tex> — непрерывна на <tex> [a, b] \times [c, d] </tex> | ||
+ | |||
+ | <tex> \forall \epsilon > 0 \ \exists \delta > 0 \ \forall x, y : |x - y| < \delta; \ |f'_y(x) - f'_y(y)| < \epsilon </tex> — равномерная непрерывность | ||
+ | |||
+ | <tex> | \frac{\Phi(y + h) - \Phi(y)}{h} - \int_a^b f'_y(x, y)dx | = | \int_a^b f'_y(x, y + \Theta h) - f'_y(x, y)dx | \le </tex> | ||
+ | |||
+ | <tex> \le \int_a^b | f'_y(x, y + \Theta h) - f'_y(x, y) |dx \le^* \int_a^b \epsilon dx = \epsilon(b - a) </tex> | ||
+ | |||
+ | <tex> \le^* : \forall \epsilon > 0 \ \exists \delta > 0 \ \forall h : |h| < \delta </tex> | ||
+ | |||
+ | <tex> | \frac{\Phi(y + h) - \Phi(y)}{h} - \int_a^b f'_y | < \epsilon (b - a) </tex> — определение предела. | ||
}} | }} | ||
− | === | + | === Необходимое условие потенциальности гладкого поля. Лемма Пуанкаре === |
− | {{ | + | {{Теорема |
− | | | + | |statement= |
− | Пусть <tex> \ | + | Пусть <tex> V </tex> — гладкое потенциальное векторное поле в <tex> O </tex>. Тогда <tex> \forall x \in O \ \frac{\partial V_i}{\partial x_j} = \frac{\partial V_j}{\partial x_i} \ (*), \ i, j \in [1 : m] </tex> |
+ | |proof= | ||
+ | <tex> f </tex> — потенциал, обе части <tex> (*) = \frac{\partial^2 f}{\partial x_i \partial x_j} </tex> (— непр., т.к. <tex> V </tex> — гладкое) | ||
}} | }} | ||
− | + | {{Лемма | |
− | {{ | + | |statement= |
− | | | + | Пусть <tex> O \subset \mathbb{R}^m </tex> — выпуклое, <tex> V </tex> — векторное поле в <tex> O </tex>, гладкое и <tex> \forall x \forall i, j \ \frac{\partial V_i}{\partial x_j} = \frac{\partial V_j}{\partial x_i} </tex>. Тогда <tex> V </tex> — потенциальное. |
− | Пусть <tex> | + | |proof= |
+ | фиксируем <tex> A \in O; \ \gamma [0, 1] \to O; \ t \mapsto A + t * (x - A); \ \gamma' = x - A </tex> | ||
+ | |||
+ | <tex> f(x) := \int_{\gamma} \sum V_i dx_i = </tex><tex> \int_0^1 V_1(A + t(x - A))\cdot(x_1 - A_1) + ... + V_m(A + t(x - A)) \cdot (x_m - A_m)dt </tex> | ||
− | <tex>f( | + | <tex> \frac{\partial f}{\partial x_i} = \int_0^1 V_i(A + t(x - A)) + \sum_{j = 1}^{m} \overbrace{\frac{\partial V_j}{\partial x_i}}^{\frac{\partial V_i}{\partial x_j}} (A + t(x - A))t(x_j - A_j)dt = </tex> |
− | + | <tex> = \int_0^1 (t V_i (A + t(x - A)))'_t dt = t V_i (A + t(x - A))|_{t = 0}^{t = 1} = V_i (x) </tex> | |
}} | }} | ||
− | === | + | === Лемма о гусенице === |
− | {{ | + | {{Лемма |
− | | | + | |statement= |
− | + | Пусть <tex> \gamma: [a, b] \to O </tex>. Тогда существуют дробление <tex> a = t_0 < t_1 < ... < t_n = b </tex> и шары <tex> B_1, ..., B_n \subset O </tex>, что <tex> \gamma [t_{k - 1}, t_k] \subset B_k, \ k \in [1 : n] </tex>. | |
+ | |proof= | ||
+ | <tex> \forall c \in [a, b] </tex> — выберем шар <tex> B(\gamma(c), V_c) \subset O </tex> | ||
+ | |||
+ | <tex> \tilde \alpha_c := \inf \{ \alpha \in [a, b]; \ \gamma([\alpha, c]) \subset B (\gamma(c), V_c) \} </tex> | ||
+ | |||
+ | <tex> \tilde \beta_c := \sup \{ \beta \in [a, b]; \ \gamma([c, \beta]) \subset B (\gamma(c), V_c) \} </tex> | ||
+ | |||
+ | Пусть <tex> \tilde \alpha_c < \alpha_c < c < \beta_c < \tilde \beta_c </tex> | ||
+ | |||
+ | <tex> \forall c </tex> мы имеем <tex> (\alpha_c, \beta_c) </tex> — открытое покрытие <tex> [a, b] </tex> и <tex> \exists </tex> конечное подпокрытие | ||
+ | |||
+ | Можно считать <tex> \forall i \ \exists s_i </tex> — которое лежит в <tex> (\alpha_{c_i}, \beta_{c_i}) </tex>, но не лежит в <tex> (\alpha_{c_j}, \beta_{c_j}); \ i \ne j </tex> | ||
+ | |||
+ | <tex> s_1 < s_2 ... < s_n </tex> | ||
}} | }} | ||
− | === | + | === Лемма о равенстве интегралов по похожим путям === |
− | {{ | + | {{Лемма |
− | | | + | |statement= |
− | + | Пусть <tex> \gamma, \tilde{\gamma}: [a; b] \to O \subset \mathbb{R}^m </tex> — кусочно-гладкие, похожие, <tex> V </tex> — локально-потенциальное векторное поле, <tex> \gamma(a) = \tilde{\gamma} (a), \ \gamma(b) = \tilde{\gamma} (b) </tex>. Тогда <tex> \int\limits_{\gamma} \sum V_i dx_i = \int\limits_{\tilde{\gamma}} \sum V_i dx_i </tex>. | |
+ | |proof= | ||
+ | Cуществуют дробление <tex> a = t_0 < t_1 < ... < t_n = b </tex> и шары <tex> B_1, ..., B_n \subset O </tex> | ||
+ | |||
+ | <tex> \forall k </tex> в <tex> B_k </tex> существует потенциал векторного поля <tex> V </tex> | ||
+ | |||
+ | <tex> \gamma|_{[t_{k - 1}, t_k]} \subset B_k; \ \tilde \gamma|_{[t_{k - 1}, t_k]} \subset B_k </tex> | ||
+ | |||
+ | Пусть <tex> f_1 </tex> — потенциал <tex> V </tex> в <tex> B_1 </tex>, в <tex> B_2 </tex> выберем потенциал <tex> f_2. \ f_1(\gamma(t_1)) = f_2(\gamma(t_1)) </tex> | ||
+ | |||
+ | в <tex> B_3 </tex> выберем <tex> f_3. \ f_2(\gamma(t_2)) = f_3(\gamma(t_2))) </tex> и т.д. | ||
+ | |||
+ | <tex> \int_{\gamma} \sum V_i dx_i = \int_a^b \langle V(\gamma(t)), \gamma(t)dt = \sum_{i = 1}^{n} \int_{t_{i - 1}}^{t_i} = \sum_{i = 1}^{n} f_i (x(t_i)) - f_{i - 1}(\gamma(t_{i - 1})) </tex> | ||
+ | |||
+ | <tex> \int_{\tilde \gamma} \sum V_i dx_i = f_n(\tilde \gamma(t_n)) - f_1(\tilde \gamma(t_0)) </tex> | ||
}} | }} | ||
+ | * Замечание | ||
+ | |||
+ | <tex> \gamma(a) = \tilde \gamma(a), \ \gamma(b) = \tilde \gamma(b) \\ \gamma(a) = \gamma(b), \ \tilde \gamma(a) = \tilde \gamma(b) </tex> | ||
+ | |||
+ | === Лемма о похожести путей, близких к данному === | ||
+ | {{Лемма | ||
+ | |statement= | ||
+ | Пусть <tex> \gamma: [a, b] \to O </tex>. Тогда [любые два пути, мало отличающиеся от данного — похожие] <tex> \exists \delta > 0 </tex> такое, что если пути <tex> \gamma_1, \gamma_2: [a, b] \to O </tex> — «близкие» к <tex> \gamma; * </tex>, то есть <tex> \forall t \in [a, b] \ \ | \gamma(t) - \gamma_1(t) | < \delta, \ | \gamma(t) - \gamma_2(t) | < \delta </tex>, то <tex> \gamma_1, \gamma_2 </tex> похожи. | ||
+ | |proof= | ||
+ | Cуществуют дробление <tex> a = t_0 < t_1 < ... < t_n = b </tex> и шары <tex> B_1, ..., B_n \subset O </tex> для <tex> \gamma </tex> | ||
− | + | <tex> \gamma[t_{k - 1}, t_{k}] </tex> — компакт в <tex> B_k </tex> | |
− | {{ | + | |
− | + | <tex> \exists \delta_k > 0 : \delta_k = dist(\gamma[t_{k - 1}, t_k], \partial B_k); g(t) = dist(\gamma(t), \partial B_k) </tex> | |
+ | |||
+ | <tex> \delta := \min_{1 \le k \le n} \delta_k </tex> | ||
+ | |||
+ | <tex> A_k = \{ x \in \mathbb{R}^n : \exists t \in [t_{k - 1}, t_{k}] \ \ \rho(\gamma(t), x) < \delta \} \subset B_k </tex> | ||
+ | |||
+ | <tex> \forall \gamma_1, \gamma_2 </tex> — удовл. <tex> * : \gamma_1 [a, b] \subset \cup_{k = 1}^{n} A_k, \gamma_2 \subset \cup_{k = 1}^{n} A_k </tex> и <tex> (\{B_k\}, \{t_i\}) </tex> — гусеница реал. похож. путей | ||
}} | }} | ||
− | === | + | === Равенство интегралов по гомотопным путям === |
− | {{ | + | {{Теорема |
− | | | + | |statement= |
− | Пусть <tex> | + | Пусть <tex> V </tex> — локально-потенциальное векторное поле в <tex> O </tex>, <tex> \gamma_0, \gamma_1: [a; b] \to O </tex> — связанно гомотопны. Тогда <tex> \int\limits_{\gamma_0} \sum V_i dx_i = \int\limits_{\gamma_1} \sum V_i dx_i </tex>. Тоже верно для петельной гомотопии. |
+ | |proof= | ||
+ | <tex> \Gamma </tex> — гомотопия. <tex> \gamma_u(t) = \Gamma(t, u), \ u \in [0, 1] </tex> | ||
+ | |||
+ | <tex> \Phi(u) = \int_{\gamma_u} \sum V_i dx_i </tex>. Проверим, что <tex> \Phi </tex> — локальная постоянная | ||
+ | |||
+ | <tex> (\forall u_0 \ \exists W(u_0) </tex> при <tex> u \in W(u_0) : \Phi </tex> — постоянна) | ||
+ | |||
+ | <tex> \Gamma : \overbrace{[a, b] \times [0, 1]}^{copmact} \to O </tex> — равномерно непрерывна. | ||
+ | |||
+ | <tex> \forall \delta > 0 \ \exists \zeta > 0 \ \forall (t_1, u_1), (t_2, u_2) \in [a, b] \times [0, 1] \ \ </tex><tex>\ \ \begin{matrix} |t_1 - t_2| < \zeta \\ |u_1 - u_2| < \zeta \end{matrix} </tex> верно <tex> |\Gamma(t_1, u_1) - \Gamma(t_2, u_2)| < \frac{\delta}{2} </tex> | ||
}} | }} | ||
− | === | + | === Потенциальность локально потенциального поля. Следствие о лемме Пуанкаре === |
− | {{ | + | {{Теорема |
− | | | + | |statement= |
− | Пусть <tex> | + | Пусть <tex> O </tex> — односвязная область, <tex> V </tex> — локально потенциальное поле в <tex> O </tex>. Тогда <tex> V </tex> потенциально. |
+ | |proof= | ||
+ | <tex> V </tex> — потенциально <tex> \Leftrightarrow \forall \gamma : [a, b] \to \mathbb{R}, \ \gamma(a) = \gamma(b) : \ \int_{\gamma} \sum V_i dx_i = 0 </tex> | ||
+ | |||
+ | По предыдущей теореме: <tex> \int_{\gamma} \sum V_i dx_i = \int_{\gamma_1} \sum V_i dx_i </tex> — гомотопия пост. пути <tex> \gamma_1 </tex> | ||
}} | }} | ||
− | + | Следствие: если <tex> O </tex> — односвязная, <tex> V \in C^1(O), \ \forall i, j \ \forall x \in \Omega \ \frac{\partial V_i}{\partial x_j} = \frac{\partial V_j}{\partial x_i} </tex>, то <tex> V </tex> — потенциально. | |
− | |||
− | |||
− | |||
− | + | === Асимптотика интеграла $\int_0^{\pi/2}\cos^nx\,dx$, $n\no+\infty$ === | |
− | + | {{Теорема | |
+ | |statement= | ||
+ | <tex> \int\limits_0^{\pi/2} \cos^n x dx \underset{n \to + \infty}{\sim} \sqrt{\frac{2}{n}} \int\limits_0^{+\inf} e^{-t^2} dt </tex> | ||
+ | |proof= | ||
− | + | Доказательство в три шага, полностью выписывать много, поэтому здесь только идеи: | |
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | + | 1) <tex>\int\limits_0^{\pi/2} \cos^n x dx \underset{n \to + \infty}{\sim} \int\limits_0^{n^{-\frac{1}{3}}} \cos^{n}x dx</tex> | |
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | + | Доказывается заменой <tex>\cos^n{x} = e^{n\ln{\cos{x}}}</tex> и каким-то подбором нового предела интегрирования, зависящего от n (конспект, стр.143) | |
− | |||
− | |||
− | |||
− | } | ||
− | |||
− | + | 2) Доказываем, что x — точка максимума для <tex>\ln{\cos{x}}</tex>, вместе с этим заменяем по формуле Тейлора <tex>n\ln{\cos{x}}</tex> на <tex>-\frac{nx^2}{2}+o(x^2)</tex> и показываем, что это <tex>o(x^2)</tex> не мешает подставить замену в интеграл. | |
− | |||
− | <tex | + | 3) Делаем замену <tex>t=\sqrt{\frac{n}{2}}x, dx = \sqrt{\frac{2}{n}}dt</tex>, получаем интеграл из условия. |
− | + | }} | |
− | <tex | + | === Лемма о локализации (в методе Лапласа) === |
+ | {{Лемма | ||
+ | |statement= | ||
+ | Пусть <tex> f(x) </tex> непрерывна, <tex> f(x) > 0 </tex> на <tex> (a; b), \ \int\limits_a^b f(x) dx = M, \ \varphi(x) </tex> строго монотонно убывает, непрерывна. Тогда <tex> \forall c \in (a, b) \ \int\limits_a^b f(x) e^{A \varphi(x)} \underset{A \to + \infty}{\sim} \int\limits_a^c f(x) e^{A \varphi(x)} </tex>. | ||
+ | |proof= | ||
+ | <tex> \int_{c}^{b} f(x) e^{A \varphi(x)} \le \max_{x \in [c, b]} e^{A \varphi(x)} \int_c^b f(x)dx \le e^{A \varphi(c)}M </tex> | ||
− | + | <tex> \int_a^c f(x) e^{A \varphi(x)} dx \ge \int_a^{\frac{c}{2}} f(x)e^{A \varphi(x)} \ge \min e^{A \varphi(x)} \int_a^{\frac{c}{2}} f(x)dx = e^{A \varphi(\frac{c}{2})} \int_a^{\frac{c}{2}} f(x)dx </tex> // последняя экспонента с большим показателем | |
+ | }} | ||
− | + | === Метод Лапласа вычисления асимптотики интегралов === | |
− | + | {{Теорема | |
+ | |statement= | ||
+ | Пусть <tex> f > 0 </tex> на <tex> (a; b) </tex>, непрерывна, <tex> \int\limits_a^b f = M, \ f(t) \sim L(t - a)^q, \ t \to a, \ q > -1, \ L > 0, \ \varphi </tex> непрерывна, строго убывает, <tex> \varphi(a) - \varphi(t) \sim c(t - a)^p, \ p > 0 </tex>. Тогда <tex> \int\limits_a^b f(t) e^{A \varphi(t)} dt \underset{A \to + \infty}{\sim} e^{A \varphi(a)} \cdot \frac{1}{p} \cdot \frac{1}{(cA)^{\frac{q + 1}{p}}} \cdot \Gamma(\frac{q + 1}{p}) </tex>. | ||
− | + | |proof= | |
− | + | * В доказательстве используется прием: при <tex>q > 1, p > 0, A > 0, s > 0</tex> в интеграле <tex>\int\limits_0^s t^q e^{-At^p} dt</tex> | |
− | <tex | + | * вводим замену <tex>u = At^p, t = (\frac{u}{A})^{1/p}, dt = \frac{u^{1/p-1}}{pA^{1/p}}</tex>. |
− | + | * Тогда он превращается в <tex>\frac{1}{pA^{\frac{q+1}{p}}} \int\limits_0^{As^p} u^{\frac{q+1}{p} - 1}e^{-u}du</tex>, который при <tex>A\to{+\infty}</tex> стремится к <tex>\frac{1}{pA^{\frac{q+1}{p}}}\Gamma({\frac{q+1}{p}})</tex> | |
− | |||
− | |||
− | |||
− | + | '''Утверждения:''' | |
− | <tex> | + | 1) <tex>\forall{c\in(a, b)}\ \forall{\varepsilon > 0}\ \exists{A_0}\ \forall{A > A_0}\ \int\limits_a^c{fe^{A\varphi}} \le \int\limits_a^b{fe^{A\varphi}} \le (1 + \varepsilon)\int\limits_a^c{fe^{A\varphi}}</tex> (следствие из теоремы о локализации) |
− | <tex> | + | 2) <tex>\forall{\varepsilon > 0}\ \exists{A_0}\ \forall{A > A_0}</tex> |
− | <tex> | + | <tex>(1-\varepsilon)\frac{1}{pA^{\frac{q+1}{p}}}\Gamma(\frac{q+1}{p}) \le \int\limits_0^s t^q e^{-At^p} dt \le \frac{1}{pA^{\frac{q+1}{p}}}\Gamma(\frac{q+1}{p})</tex> (следствие из приема выше. Да, читается ужасно) |
− | |||
− | + | '''Доказательство''' | |
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | + | Выбираем окрестность точки <tex>a: [a; a+s]</tex> и <tex>\varepsilon</tex> такое, что | |
− | |||
− | |||
− | |||
− | <tex> f( | + | <tex>1-\varepsilon < \frac{f(t)}{L(t-a)^q} < 1+\varepsilon</tex> |
− | <tex> | + | <tex>1-\varepsilon < \frac{\varphi(a) - \varphi(t)}{c(t-a)^p} < 1+\varepsilon</tex> |
− | + | Для <tex>A > A_0</tex>, удовлетворяющих двум утверждениям выше, выполняется: | |
− | |||
− | + | <tex>\int\limits_a^b f(t)e^{A\varphi(t)} dt \le (1+\varepsilon)\int\limits_a^{a+s}L(t-a)^q \cdot e^{A\varphi(a)} \cdot e^{-A(\varphi(a)-\varphi(t)} dt \le</tex> | |
− | |||
− | |||
− | |||
− | + | <tex>\le (1+\varepsilon)Le^{A\varphi(a)}\int\limits_0^s{\tau^q}e^{-Ae^{c(1-\varepsilon)\tau^p}}d\tau</tex> | |
− | 2 | + | По утверждению 2 это меньше или равно <tex>\frac{1+\varepsilon}{(1-\varepsilon)^{\frac{q+1}{p}}}\cdot L\cdot [e^{A \varphi(a)} \frac{1}{p(cA)^{\frac{q + 1}{p}}} \Gamma(\frac{q + 1}{p})]</tex>. В квадратных скобках то, что нам нужно. |
− | + | Используя другие части неравенства, находим, что <tex>\int\limits_a^b f(t)e^{A\varphi(t)} dt \ge \frac{1-\varepsilon}{(1+\varepsilon)^{\frac{q+1}{p}}}\cdot L\cdot [e^{A \varphi(a)} \frac{1}{p(cA)^{\frac{q + 1}{p}}} \Gamma(\frac{q + 1}{p})]</tex>. | |
− | + | Вроде доказали. | |
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
}} | }} | ||
− | === | + | === Теорема Вейерштрасса о приближении функций многочленами === |
{{Теорема | {{Теорема | ||
|statement= | |statement= | ||
− | + | Пусть <tex> f </tex> непрерывна на <tex> [a; b] </tex>. Тогда существует многочлен (последовательность многочленов?) <tex> P_n(x), \ n = 1, 2 ... </tex>, что <tex> \forall x \in [a; b] \ P_n(x) \to f(x) </tex>. | |
+ | |proof= | ||
+ | <tex> [a, b] \subset [a - 1, b + 1] = [a_1, b_1] </tex> // Можно считать <tex> \begin{matrix} [a, b] = [\frac{1}{3}, \frac{2}{3}] \\ [a_1, b_1] = [0, 1] \end{matrix} </tex> | ||
− | <tex> \begin{cases} | + | <tex> \tilde f(x) = \begin{cases} f(x), x \in [a, b] \\ f(a), x \in [a_1, a] \\ f(b) x \in [b, b_1] \end{cases} </tex> |
− | + | ||
− | + | Заметим, что: <tex> \int_{a_1}^{b_1} \tilde f(t)(1 - (x - t)^2)^n dt \sim_{n \to +\infty} \sqrt{\frac{\pi}{n}} f(x); \ x \in [a, b] </tex> | |
− | + | ||
− | \ | + | <tex> \varphi (t) = ln(1 - (x - t)^2); \ max \varphi </tex> — достигается при <tex> t = x </tex> |
+ | |||
+ | <tex> \varphi(t) \sim -(x - t)^2, t \to x </tex> | ||
− | <tex | + | <tex> \varphi''(x) = -2, \ \varphi(x) = 0 </tex> |
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | + | <tex> Q_n(x) \sim \sqrt{\frac{\pi}{n}} f(x), \ n \to +\infty </tex> | |
− | |||
− | + | <tex> \sqrt{\frac{n}{\pi}} Q_n (x) \to f(x)_{x \in [a_1, b]}, \ n \to +\infty </tex> | |
− | |||
− | |||
− | <tex> | ||
}} | }} | ||
+ | * Замечание | ||
− | + | <tex> \forall f </tex> — непр. на <tex> [a, b] \ \ \exists f_n(x) </tex> — многочлен : <tex> P_n(x) \rightrightarrows f </tex> на <tex> [a, b] </tex> | |
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | === | + | === Формула Стирлинга для Гамма-функции === |
− | {{ | + | {{Теорема |
|statement= | |statement= | ||
− | + | <tex> \Gamma (x + 1) \underset{x \to + \infty}{\sim} x^x e^{-x} \sqrt{2 \pi x} </tex> | |
+ | |proof= | ||
+ | <tex> \Gamma(x + 1) = \int_0^{+\infty} t^x e^{-t} dt =_{t = ux; \ dt = xdu} \ </tex><tex>\ x^{x + 1} \int_0^{+\infty} u^x e^{-ux} du = x^{x + 1} \int_0^{+\infty} e^{-x(u - \ln u)} du \sim </tex> | ||
− | + | // <tex> \varphi(u) = -(u - \ln u) </tex> | |
− | + | // <tex> \varphi' = -(1 - \frac{1}{u}); u = 1; \varphi'(u) = 0 - (\cdot) max </tex> | |
− | + | // <tex> \varphi'' = -\frac{1}{u^2}; \ \varphi''(1) = -1 </tex> | |
− | + | <tex> \sim x^{x + 1} e^{-x} \sqrt{\frac{2\pi}{x}} \cdot \frac{1}{\sqrt{1}} \cdot 1 </tex> | |
}} | }} | ||
+ | <tex> \int_{\gamma} \sum V_i dx_i = \int_{\gamma_1} \sum V_i dx_i</tex> | ||
− | == | + | == Определения и факты == |
− | + | [[Участник:Yulya3102/Матан3сем/Определения|Перемещено, а то из-за большого размера страница не грузится на некоторых телефонах]] | |
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− |
Текущая версия на 14:50, 29 января 2015
Содержание
- 1 Основные вопросы
- 1.1 Признак Вейерштрасса
- 1.2 Теорема Стокса--Зайдля для рядов
- 1.3 Теорема об интегрировании функционального ряда
- 1.4 Теорема о дифференцировании функционального ряда
- 1.5 Теорема о почленном предельном переходе в суммах
- 1.6 Теорема о перестановке пределов
- 1.7 Признак Дирихле равномерной сходимости функционального ряда
- 1.8 Метод суммирования Абеля
- 1.9 Теорема о круге сходимости степенного ряда
- 1.10 Теорема о равномерной сходимости и непрерывности степенного ряда
- 1.11 Линейные и комплексно линейные отображения. Уравнения Коши--Римана
- 1.12 Теорема о почленном дифференцировании степенного ряда
- 1.13 Экспонента, синус, косинус. Свойства.
- 1.14 Единственность производной
- 1.15 Лемма о покоординатной дифференцируемости
- 1.16 Необходимое условие дифференцируемости.
- 1.17 Достаточное условие дифференцируемости
- 1.18 Лемма об оценке нормы линейного оператора
- 1.19 Дифференцирование композиции
- 1.20 Дифференцирование «произведений»
- 1.21 Теорема Лагранжа для векторнозначных функций
- 1.22 Экстремальное свойство градиента
- 1.23 Независимость частных производных от порядка дифференцирования
- 1.24 Полиномиальная формула
- 1.25 Лемма о дифференцировании «сдвига»
- 1.26 Многомерная формула Тейлора (с остатком в форме Лагранжа и Пеано)
- 1.27 Теорема о пространстве линейных отображений
- 1.28 Теорема Лагранжа для отображений
- 1.29 Теорема об обратимости линейного отображения, близкого к обратимому
- 1.30 Теорема о непрерывно дифференцируемых отображениях
- 1.31 Необходимое условие экстремума. Теорема Ролля
- 1.32 Лемма об оценке квадратичной формы и об эквивалентных нормах
- 1.33 Достаточное условие экстремума
- 1.34 Лемма о почти локальной инъективности
- 1.35 Теорема о сохранении области
- 1.36 Теорема о диффеоморфизме
- 1.37 Теорема о локальной обратимости
- 1.38 Теорема о неявном отображении
- 1.39 Теорема о задании гладкого многообразия системой уравнений
- 1.40 Необходимое условие относительного локального экстремума
- 1.41 Вычисление нормы линейного оператора с помощью собственных чисел
- 1.42 Простейшие свойства интеграла векторного поля по кусочно-гладкому пути
- 1.43 Обобщенная формула Ньютона--Лебница
- 1.44 Характеризация потенциальных векторных полей в терминах интегралов
- 1.45 Лемма о дифференцировании интеграла по параметру
- 1.46 Необходимое условие потенциальности гладкого поля. Лемма Пуанкаре
- 1.47 Лемма о гусенице
- 1.48 Лемма о равенстве интегралов по похожим путям
- 1.49 Лемма о похожести путей, близких к данному
- 1.50 Равенство интегралов по гомотопным путям
- 1.51 Потенциальность локально потенциального поля. Следствие о лемме Пуанкаре
- 1.52 Асимптотика интеграла $\int_0^{\pi/2}\cos^nx\,dx$, $n\no+\infty$
- 1.53 Лемма о локализации (в методе Лапласа)
- 1.54 Метод Лапласа вычисления асимптотики интегралов
- 1.55 Теорема Вейерштрасса о приближении функций многочленами
- 1.56 Формула Стирлинга для Гамма-функции
- 2 Определения и факты
Основные вопросы
Признак Вейерштрасса
Теорема: |
Рассмотрим ряд , где ( — метрическое пространство). Пусть есть ряд — сходящийся, такой, что .
Тогда равномерно сходится на . |
Доказательство: |
Теорема Стокса--Зайдля для рядов
Теорема: |
Пусть ряд , где ( — метрическое пространство), равномерно сходится на . Пусть есть точка , такая, что все непрерывны в . Тогда непрерывна в точке . |
Доказательство: |
1) — непрерывна в2) из 1) и 2) Где вы вообще такое доказательство нашли? Тут фигня какая-та. Нормальное доказательство есть в Фихтенгольце. непрерывна в |
Теорема об интегрировании функционального ряда
Теорема: |
Пусть ( — множество непрерывных функций), равномерно сходится на , .
Тогда 2) Правая часть имеет смысл — это следует из доказательства. 1) — непрерывно интеграл имеет смысл. |
Доказательство: |
Сделаем предельный переход по |
Теорема о дифференцировании функционального ряда
Теорема: |
Пусть ( — множество непрерывно дифференцируемых функций).
1) поточечно сходится на2) Тогда равномерно сходится при и . |
Доказательство: |
Следует из т. о предельном переходе под знаком производной (прошлый семестр).
|
Теорема о почленном предельном переходе в суммах
Теорема: |
Пусть , .
1) 2) равномерно сходится наТогда 1) 2) — сходится |
Доказательство: |
1) — имеет предел
Берём из р. сх-ти
При данном Выберем так близко к , чтобы— непр. равномерно в — р. сх. на Утв. 2 следует из т. 1. Стокса-Зайдля для рядов |
Теорема о перестановке пределов
(
)Теорема: |
Пусть , [или даже — предельная точка ]
1) сходится равномерно к при2) Тогда 1) 2) |
Доказательство: |
Тогда: Условие 1: р. сх. к сумме
Условие 2: (при проявить сообразительность)
по теореме о почл. пр. переходе в суммах: 1) — сх., т.е.2) |
Замечание: верна теорема
при условии 1:
— и этот предел равномерный
Признак Дирихле равномерной сходимости функционального ряда
Теорема: |
Пусть есть ряд ,
1) частичные суммы ряда равномерно ограничены, т.е.2) Тогда монотонна по и равномерно сходится к равномерно сходится на . |
Доказательство: |
Применяя преобразование Абеля
В силу равномерной ограниченности частичных сумм ряда при некотором
Тогда, используя монотонность (по ), имеем
Из этого неравенства в силу получаем, чтоПрименяя критерий Коши, получаем, что ряд сходится равномерно на . |
Метод суммирования Абеля
Теорема: |
Пусть сходится. Рассмотрим функцию . Тогда . |
Доказательство: |
по признаку Абеля равномерно сх-ся — |
Теорема о круге сходимости степенного ряда
Теорема: |
Пусть — произвольный степенной ряд — комплексная переменная или
Возможны три случая: 1) ряд сходится2) сходится только при3) присходится расходится — радиус сходимости |
Доказательство: |
Нужно доказать абсолютную сходимость
1) при всех ряд сходится абсолютно2) при , т.е. ряд сходитсяпри расходится (слагаемые )3) — конеченряд сходится абсолютно расходится (слагаемые ) |
Теорема о равномерной сходимости и непрерывности степенного ряда
Теорема: |
Пусть ряд — радиус сходимости. Тогда:
1) Для 2) В круге ряд равномерно сходится в круге сумма ряда — непрерывна. |
Доказательство: |
— сходится! т.к. — абс. сх.
(2) фиксируем В ; Возьмём ряд р. сх. и слагаемые непр. сумма непрерывна. |
Линейные и комплексно линейные отображения. Уравнения Коши--Римана
Лемма: |
Пусть — комплексно дифференцируема в точке . Тогда, если , отображение дифференцируемо в и выполнены соотношения:
(уравнения Коши-Римана) |
Доказательство: |
Википедия [1] |
Теорема о почленном дифференцировании степенного ряда
Теорема: |
Ряд
Ряд Тогда: 1) радиус сх-ти [Тогда . 2) при — дифф. при и ] |
Доказательство: |
Проверим р. сх. ;Тогда:
признаку Вейерштрасса р. сх. при — сх. по |
Экспонента, синус, косинус. Свойства.
1.1)
1.2)
1.3)
1.4)
Теорема: |
Доказательство: |
|
- Следствие: — ни при каких
2.1)
2.2)
2.3)
2.4)
2.5) Пусть
2.6)
2.7)
Единственность производной
Теорема: |
Производный оператор единственный. |
Доказательство: |
Покажем, что значение производного оператора определения. По линейности имеем: на каждом векторе определяется однозначно. По линейности оператора . Зафиксируем . Возьмём достаточно малое по модулю (достаточно взять , где ) и подставим вместо в равенство из. Перенеся в левую часть и разделив на , получим:, то есть . |
Лемма о покоординатной дифференцируемости
Лемма: |
Дифференцируемость отображения в точке равносильна одновременной дифференцируемости всех его координатных функций в точке . |
Доказательство: |
Пусть из определения производного оператора покоординатно: дифференцируемо в точке . Запишем равенство. Координатные функции Обратно, пусть линейного оператора являются линейными, а непрерывность и равенство нулю в нуле отображения равносильно такому же свойству его координатных функций . Поэтому для выполнено определение дифференцируемости. дифференцируемы в точке . Тогда для каждого существует линейная функция и функция , непрерывная и равная нулю в нуле, для которых выполняется равенство. Следовательно, для выполняется равенство из определения производного оператора, где — оператор с координатными функциями . |
Необходимое условие дифференцируемости.
Теорема: |
Пусть — дифференцируемо в точке
Тогда Замечание: Для и матрица Якоби — дифференцируемо в точке ; |
Доказательство: |
— это св-во дифф-ти в из |
Достаточное условие дифференцируемости
Теорема: |
Пусть , в шаре существуют все и все производные непрерывны в точке . Тогда дифференцируема в точке |
Доказательство: |
// — По теореме Лагранжа // // — средняя точка
где: по модулю; при |
Лемма об оценке нормы линейного оператора
Лемма: |
Пусть — линейный оператор. Тогда , где ( — элементы его матрицы) |
Доказательство: |
, т.е. если , то тривиально (КБШ)
|
Дифференцирование композиции
Теорема: |
— дифф. в — дифф. в ; Тогда: — дифф. в |
Доказательство: |
1. 2.
|
Дифференцирование «произведений»
Лемма: |
Пусть , , ; — дифференцируемые в . тогда:
1) 2) (здесь — скалярное произведение и ) |
Доказательство: |
1. Введём координатную ф-ю — -ая коорд. док. ф-лы;
— ограничена.
2. лин. дифф.Замечание: |
Теорема Лагранжа для векторнозначных функций
Теорема: |
— непр. на и дифф. на
Тогда: |
Доказательство: |
// Если ехать быстро и криво
при // — длина дуги; — длина хорды |
Экстремальное свойство градиента
Теорема: |
— направление Тогда Более того: указывает напр-е наискорейшего возр. ф-и, а самого быстрого убывания. напр. равенство достижимо для |
Доказательство: |
// // |
Независимость частных производных от порядка дифференцирования
Теорема: |
— опр. в окр. , дифф. в окр. Тогда эти две частные производные равны. и — непр. в |
Доказательство: |
— задано при фикс.
— средние точки
|
- Замечание 1:
Аналогично:
— опр. в окр. — непр. в
- Замечание 2:
Если
сущ. част. пр. -того порядка в окр. и все они непр. вДля
— индексыи
— которые получаются из набора перестановкаВерно:
Полиномиальная формула
Лемма: |
Если , — мультииндекс, - вектор, то |
Доказательство: |
Индукция по
<ещё суммы> = ; — это ограничение можно убрать, т.к. все слагаемые с имеют нулевой индекс |
- Замечание 1
- Замечание 2
Лемма о дифференцировании «сдвига»
Лемма: |
Пусть , открыто в , , так, что . Также . Пусть . Тогда верно . |
Доказательство: |
Доказательства нет, есть пример, из которого можно придумать доказательство по индукции, наверное. |
Многомерная формула Тейлора (с остатком в форме Лагранжа и Пеано)
Лагранж:
Теорема: |
Пусть , открыто в , . Тогда существует такое , что . |
Доказательство: |
Разложили по одномерной формуле Тейлора в точке 0, используя лемму о дифференцировании сдвига, — получили то, что нужно. |
Также можно обозначить точки через
и , тогда формула запишется в виде .Пеано:
Теорема: |
Пусть , открыто в , . Тогда . |
Теорема о пространстве линейных отображений
Теорема: |
|
Доказательство: |
1. очевидно // для2. очевидно, св-ва [2] . Википедия3. \\\\ |
Теорема Лагранжа для отображений
Теорема: |
Тогда: |
Доказательство: |
// |
Теорема об обратимости линейного отображения, близкого к обратимому
Теорема: |
Пусть ( — множество обратимых линейных операторов в ), . Тогда:
1) ;2) 3) ; . |
Доказательство: |
Лемма: пусть Тогда — обратим,Это правда, потому что , значит, — биекция(пусть )Неравенство получается из заменойСамо доказательство:
По условию теоремы множитель в последней части больше нуля, поэтому по лемме обратим, по этой же лемме выполнено 2).
|
Теорема о непрерывно дифференцируемых отображениях
Теорема: |
Пусть , где открыто, дифференцируемо на . Тогда эквивалентны утверждения:
— непрерывна. |
Доказательство: |
? непр. в
выберем ; при
— непрерывна. — нормированный базис
Точно также: |
Необходимое условие экстремума. Теорема Ролля
Необходимое условие экстремума:
Теорема: |
Пусть открыто — точка лок. экстремума. — дифф. на .
Тогда (т.е. ) |
Доказательство: |
Меняем | на , по теореме Ферма из первого семестра . Из этого следует, что все частные производные в точке a равны нулю, что нам и было нужно.
Теорема Ролля:
Теорема: |
Пусть компакт , дифференцируемо на , на (граница ), — непр. на .
Тогда существует . |
Доказательство: |
Если Если нет, то по постоянна на , то утверждение очевидно. теореме Вейерштрасса на компакте достигает наибольшего или наименьшего значения в какой-то точке, а по необходимому условию экстремума в этой точке градиент равен нулю. |
Лемма об оценке квадратичной формы и об эквивалентных нормах
Утверждение: |
1) Если квадратичная форма положительно определена, то существует такое , что для всех 2) Пусть — норма. Тогда . |
1) (Сфера теореме Вейерштрасса ) — компакт по
2) — по т. Вейерштрасса (т.к. — непр.)
|
Достаточное условие экстремума
Теорема: |
Пусть открыто в , дифф. на — стационарная точка (то есть ). — кв. форма.
Тогда справедливы следующие утверждения: 1) Если положительно определённая, то — точка минимума (локального).2) Если отрицательно определённая, то — точка максимума (локального).3) Если 4) Если не знакоопределённая, то — не точка экстремума. положительно/отрицально опр. вырожденное, то (?) может быть макс., мин. требуется исследование |
Доказательство: |
// Выберем так, чтобы при
Таким образом точка локального минимума— не знакоопределён.
— при эта сумма из '?' б.м по модулю при малых |
Лемма о почти локальной инъективности
Лемма: |
Пусть — диффеоморфизм, . Тогда |
Доказательство: |
1) — линейное.
2) // при |
Теорема о сохранении области
Теорема: |
Пусть , где открыто — диффеоморфизм в , . Тогда открыто.
1. Если 2. Непрерывность — лин. связное и — непр. — лин. связное — откр. [в ] |
Доказательство: |
— внутрення точка ?
при
Возьмем (S — сфера, т. е. граница шара)Утверждение: Т.е.:
— внутри В точке .На сфере : — имеет внутри шара пов точке минимума (у системы есть только тривиальное решение) |
Теорема о диффеоморфизме
Теорема: |
Пусть , — обратима и её производная невырождена, .
Тогда: 1) 2) |
Доказательство: |
1) — открытое Пусть Пусть — открытое, тогда — открытое.
Возьмём из леммы.Пусть
Можно считать, что близко к , так что
2) — любое. (без доказательства) |
Теорема о локальной обратимости
Теорема: |
Пусть , где открыто;
Тогда — диффеоморфизм ( или — сужение отображения на множество ). |
Доказательство: |
Нужно проверить лишь: — обратима[так как можно считать что на открыто и определено на открытом множестве и дифференцируемо по предыдущим теоремам]// Это какая-то хрень, к тому же она в конце не доказана. Надо проверить, что , тогда отображение будет биекцией.
|
- Замечание
— нужно для дифференцируемости.
— не дифференцируемо в нуле
Теорема о неявном отображении
Теорема: |
Пусть , где открыто, . Пусть известно, что невырождено ( ). Тогда:
1) существуют открытые , и существует единственное , чтоРаньше тут был забыт минус! 2) |
Доказательство: |
Пусть .
.
По теореме о локальной обратимости — такая, что — диффеоморфизм в данной окрестности.Тогда существует обратное отображение .Почти очевидно, что Берем производную — получаем 2): . |
Теорема о задании гладкого многообразия системой уравнений
Теорема: |
Пусть (гладкое многообразие), .
Эквивалентные утверждения: 1) — простое -мерное многообразие2) и существуют функции класса , для которых выполняются условия:2.1) 2.2) — линейно независимые |
Доказательство: |
— параметризация — матрица — реализуется на первых степенях
Очевидно: — невырожденно.
— диффеоморфизм на взаимно однозначное отображение на
— открыто в — реал. как — откр. в
|
Необходимое условие относительного локального экстремума
Теорема: |
Пусть , где открыто, . Пусть имеет в точке локальный относительный экстремум. Тогда , что
|
Доказательство: |
Пусть ранг реализуется на столбцах . Переобозначим .По теореме о неявном отображении: — гл. параметризация ; Точка — лок. экстремум . — необходимое усл. экстремума в матр. форме.
При таком |
Вычисление нормы линейного оператора с помощью собственных чисел
Теорема: |
Пусть . Тогда — собственное число . |
Доказательство: |
Простейшие свойства интеграла векторного поля по кусочно-гладкому пути
1) Линейность по векторному полю:
.— по линейному скалярному произведению
2) Аддитивность при дроблении пути:
.
3) Замена параметра: если
— гладкая, , ,Тогда
.
4) Пусть
— произведение путей:
то
.\\ заменить параметр
— противоположный путь (в обратную сторону)
5) Оценка интеграла:
Теорема: |
, где — длина пути.
|
Доказательство: |
Обобщенная формула Ньютона--Лебница
Теорема: |
Пусть потенциально, — потенциал , — кусочно гладкий.
Тогда . |
Доказательство: |
1) — доказано для гладкого пути\\ \\ 2) — гладкий |
Характеризация потенциальных векторных полей в терминах интегралов
Теорема: |
Если тогда эквиваленты следующие утверждение:
1) V потенциально в 2) Интеграл 3) не зависит от пути (в обл. ) |
Доказательство: |
— формула — очевидно — петля;
— очевидно
Фиксируем точку Возьмём как-нибудь путь из в— потенциал? Докажем, что (аналогично )Выберем
|
Лемма о дифференцировании интеграла по параметру
Лемма: |
Пусть — непрерывна, дифференцируема по при любых и непрерывна на промежутке. Пусть . Тогда дифференцируема и . |
Доказательство: |
зависит от — непрерывна на — равномерная непрерывность
— определение предела. |
Необходимое условие потенциальности гладкого поля. Лемма Пуанкаре
Теорема: |
Пусть — гладкое потенциальное векторное поле в . Тогда |
Доказательство: |
— потенциал, обе части (— непр., т.к. — гладкое) |
Лемма: |
Пусть — выпуклое, — векторное поле в , гладкое и . Тогда — потенциальное. |
Доказательство: |
фиксируем
|
Лемма о гусенице
Лемма: |
Пусть . Тогда существуют дробление и шары , что . |
Доказательство: |
— выберем шар
Пусть мы имеем — открытое покрытие и конечное подпокрытие Можно считать — которое лежит в , но не лежит в |
Лемма о равенстве интегралов по похожим путям
Лемма: |
Пусть — кусочно-гладкие, похожие, — локально-потенциальное векторное поле, . Тогда . |
Доказательство: |
Cуществуют дробление и шарыв существует потенциал векторного поля
Пусть — потенциал в , в выберем потенциалв выберем и т.д.
|
- Замечание
Лемма о похожести путей, близких к данному
Лемма: |
Пусть . Тогда [любые два пути, мало отличающиеся от данного — похожие] такое, что если пути — «близкие» к , то есть , то похожи. |
Доказательство: |
Cуществуют дробление и шары для— компакт в
— удовл. и — гусеница реал. похож. путей |
Равенство интегралов по гомотопным путям
Теорема: |
Пусть — локально-потенциальное векторное поле в , — связанно гомотопны. Тогда . Тоже верно для петельной гомотопии. |
Доказательство: |
— гомотопия. . Проверим, что — локальная постоянная при — постоянна) — равномерно непрерывна. верно |
Потенциальность локально потенциального поля. Следствие о лемме Пуанкаре
Теорема: |
Пусть — односвязная область, — локально потенциальное поле в . Тогда потенциально. |
Доказательство: |
По предыдущей теореме: — потенциально — гомотопия пост. пути |
Следствие: если
— односвязная, , то — потенциально.Асимптотика интеграла $\int_0^{\pi/2}\cos^nx\,dx$, $n\no+\infty$
Теорема: |
Доказательство: |
Доказательство в три шага, полностью выписывать много, поэтому здесь только идеи: 1) Доказывается заменой и каким-то подбором нового предела интегрирования, зависящего от n (конспект, стр.143)2) Доказываем, что x — точка максимума для 3) Делаем замену , вместе с этим заменяем по формуле Тейлора на и показываем, что это не мешает подставить замену в интеграл. , получаем интеграл из условия. |
Лемма о локализации (в методе Лапласа)
Лемма: |
Пусть непрерывна, на строго монотонно убывает, непрерывна. Тогда . |
Доказательство: |
// последняя экспонента с большим показателем |
Метод Лапласа вычисления асимптотики интегралов
Теорема: |
Пусть на , непрерывна, непрерывна, строго убывает, . Тогда . |
Доказательство: |
Утверждения: 1) (следствие из теоремы о локализации)2) (следствие из приема выше. Да, читается ужасно) Доказательство Выбираем окрестность точки и такое, что
Для , удовлетворяющих двум утверждениям выше, выполняется:
По утверждению 2 это меньше или равно . В квадратных скобках то, что нам нужно.Используя другие части неравенства, находим, что Вроде доказали. . |
Теорема Вейерштрасса о приближении функций многочленами
Теорема: |
Пусть непрерывна на . Тогда существует многочлен (последовательность многочленов?) , что . |
Доказательство: |
// Можно считать
Заметим, что: — достигается при
|
- Замечание
— непр. на — многочлен : на
Формула Стирлинга для Гамма-функции
Теорема: |
Доказательство: |
// // // |
Определения и факты
Перемещено, а то из-за большого размера страница не грузится на некоторых телефонах