Теорема Банаха об обратном операторе — различия между версиями
(все, вроде лемма очищена от бреда) |
м (rollbackEdits.php mass rollback) |
||
(не показано 30 промежуточных версий 11 участников) | |||
Строка 1: | Строка 1: | ||
{{В разработке}} | {{В разработке}} | ||
+ | __TOC__ | ||
{{Определение | {{Определение | ||
|definition= | |definition= | ||
− | Оператор <tex> A : X \to Y </tex> называется '''непрерывно обратимым''', если существует <tex> A^{-1} : Y \to X </tex> и <tex> \| A^{-1} \| < \infty </tex> | + | Оператор <tex> A : X \to Y </tex> называется '''непрерывно обратимым''', если существует <tex> A^{-1} : Y \to X </tex> и <tex> \| A^{-1} \| < \infty </tex>, причем <tex>A^{-1}</tex> должен быть определен на всем <tex>Y</tex>. |
}} | }} | ||
Строка 10: | Строка 11: | ||
|about=о непрерывной обратимости I-C | |about=о непрерывной обратимости I-C | ||
|statement= | |statement= | ||
− | Пусть <tex> X </tex> {{---}} B-пространство, оператор <tex> C : X \to X, C \in | + | Пусть <tex> X </tex> {{---}} B-пространство, оператор <tex> C : X \to X, C \in {L}(X) </tex> и <tex> \| C \| < 1 </tex>. |
Тогда оператор <tex> I - C </tex>, где <tex> I </tex> {{---}} тождественный оператор, непрерывно обратим. | Тогда оператор <tex> I - C </tex>, где <tex> I </tex> {{---}} тождественный оператор, непрерывно обратим. | ||
|proof= | |proof= | ||
− | <tex> | + | <tex> {L}(X) </tex> {{---}} B-пространство. |
Рассмотрим следующие суммы: <tex> S_n = \sum\limits_{k=0}^n C^k </tex>. | Рассмотрим следующие суммы: <tex> S_n = \sum\limits_{k=0}^n C^k </tex>. | ||
Строка 19: | Строка 20: | ||
<tex> (I - C)S_n = \sum\limits_{k=0}^n (C^k - C^{k + 1}) = I - C^{n + 1} </tex>. | <tex> (I - C)S_n = \sum\limits_{k=0}^n (C^k - C^{k + 1}) = I - C^{n + 1} </tex>. | ||
− | <tex> \sum\limits_{k=0}^{\infty} C^k </tex> | + | <tex> \sum\limits_{k=0}^{\infty} C^k </tex> — ряд в B-пространстве <tex> {L}(X) </tex> сходится, если сходится ряд из соответствующих норм. Покажем это: пусть есть операторный ряд <tex>\sum\limits_{i=1}^\infty A_i</tex>. Рассмотрим последовательность частичных сумм <tex>S_n = \sum\limits_{i=1}^n A_i</tex>, она будет сходиться если сходится в себе (по Банаховости пространства). Тогда <tex>S_n - S_m = \sum\limits_{i=m}^{n} A_i</tex>, а <tex>\|S_n - S_m\| = \| \sum\limits_{i=m}^n A_i \| \le \sum\limits_{i=m}^n \|A_i\|</tex> (так как для конечного числа членов норма суммы меньше суммы норм), но так как последовательность норм сходится, она также сходится в себе и <tex>\sum\limits_{i=m}^n \|A_i\| \xrightarrow[n, m \to \infty]{} 0</tex>, то есть частичные суммы сходятся в себе, а, значит, и сходятся. |
+ | |||
+ | Из того, что <tex> \| C^k \| \le \| C \|^k </tex>, получаем <tex> \left\| \sum\limits_{k=0}^{\infty} C^k \right\| \le | ||
\sum\limits_{k=0}^{\infty} \| C \|^k = \frac 1{1 - \| C \|} < \infty </tex>. | \sum\limits_{k=0}^{\infty} \| C \|^k = \frac 1{1 - \| C \|} < \infty </tex>. | ||
− | Так как <tex> \| C \| < 1 </tex>, то существует такой <tex> S \in | + | Так как <tex> \| C \| < 1 </tex>, то существует такой <tex> S \in {L}(X) </tex>, что <tex> S = \sum\limits_{k=0}^{\infty} C^k </tex>. |
<tex> S_n \xrightarrow[n \to \infty]{} S </tex>. Поскольку <tex> \| C \| < 1 </tex>, то <tex> \| C^k \| \to 0 </tex>, а значит, и <tex> C^k \to \mathbb{O} </tex>. | <tex> S_n \xrightarrow[n \to \infty]{} S </tex>. Поскольку <tex> \| C \| < 1 </tex>, то <tex> \| C^k \| \to 0 </tex>, а значит, и <tex> C^k \to \mathbb{O} </tex>. | ||
− | <tex> (I - C)S_n = I - C^{n + 1} </tex>. Устремляя <tex> n </tex> к бесконечности, получаем <tex> (I - C)S = I </tex>, а значит <tex> S = \sum\limits_{k=0}^{\infty} C^k = (I - C)^{-1} </tex> | + | <tex> (I - C)S_n = I - C^{n + 1} </tex>. Устремляя <tex> n </tex> к бесконечности, получаем <tex> (I - C)S = I </tex>, а значит <tex> S = \sum\limits_{k=0}^{\infty} C^k = (I - C)^{-1} </tex> — ограниченный оператор. |
}} | }} | ||
Строка 32: | Строка 35: | ||
Трактовка этой теоремы: <tex> Ix = x </tex>, <tex> I </tex> {{---}} непрерывно обратимый оператор. При каких условиях на оператор <tex> C </tex> оператор <tex> I - C </tex> сохраняет ннепрерывную обратимость? Из теоремы выше известен ответ на этот вопрос: когда <tex> \| C \| < 1 </tex>, то есть "при малых возмущениях <tex> I </tex> сохраняется его непрерывная обратимость". | Трактовка этой теоремы: <tex> Ix = x </tex>, <tex> I </tex> {{---}} непрерывно обратимый оператор. При каких условиях на оператор <tex> C </tex> оператор <tex> I - C </tex> сохраняет ннепрерывную обратимость? Из теоремы выше известен ответ на этот вопрос: когда <tex> \| C \| < 1 </tex>, то есть "при малых возмущениях <tex> I </tex> сохраняется его непрерывная обратимость". | ||
− | Далее считаем, что пространства <tex> X </tex> и <tex> Y </tex> {{---}} всегда банаховы. | + | '''Далее считаем, что пространства <tex>X</tex> и <tex>Y</tex> {{---}} всегда банаховы.''' |
{{Определение | {{Определение | ||
|definition= | |definition= | ||
Рассмотрим уравнение <tex> Ax = y </tex> при заданном <tex> y </tex>. Если для такого уравнения можно написать <tex> \| x \| \le \alpha \| y \| </tex>, где <tex> \alpha </tex> {{---}} константа, то говорят, что это уравнение '''допускает априорную оценку решений'''. | Рассмотрим уравнение <tex> Ax = y </tex> при заданном <tex> y </tex>. Если для такого уравнения можно написать <tex> \| x \| \le \alpha \| y \| </tex>, где <tex> \alpha </tex> {{---}} константа, то говорят, что это уравнение '''допускает априорную оценку решений'''. | ||
− | |||
}} | }} | ||
Строка 62: | Строка 64: | ||
{{Теорема | {{Теорема | ||
+ | |id= | ||
+ | invlb | ||
|statement= | |statement= | ||
Пусть <tex> A : X \to Y </tex> {{---}} линейный ограниченный оператор, и <tex>\exists m > 0: m \| x \| \le \| Ax \| </tex>. | Пусть <tex> A : X \to Y </tex> {{---}} линейный ограниченный оператор, и <tex>\exists m > 0: m \| x \| \le \| Ax \| </tex>. | ||
− | Тогда <tex> A </tex> непрерывно обратим. | + | Тогда <tex> A </tex> непрерывно обратим на <tex>R(A)</tex>. |
|proof= | |proof= | ||
− | + | Заметим, что в ядре только нулевой элемент, в противном случае: пусть <tex>x \ne 0</tex>, тогда <tex>0 < m \|x\| \le \|A x\| = 0</tex>. Из этого следует, что оператор инъективен: пусть <tex>A x_1 = y, A x_2 = y</tex>, тогда <tex>A (x_1 - x_2) = 0</tex>, что возможно только когда <tex>x_1 = x_2</tex>. Так как строим обратный оператор на <tex>R(A)</tex>, <tex>\forall y \in R(A) \exists x: A x = y</tex>, то есть оператор биективен на области значений, определим <tex>A^{-1}</tex> на всем <tex>R(A)</tex> и для любого <tex>y</tex> рассмотрим <tex>x = A^{-1} y</tex>. Тогда <tex> m \|x\| = m \|A^{-1} y \| \le \|A A^{-1} y\| \implies \|A^{-1} y\| \le \frac{1}{m} \|y\|</tex>, то есть оператор ограничен константой <tex>\frac{1}{m}</tex>. | |
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
}} | }} | ||
+ | == Теорема Банаха о гомеоморфизме == | ||
Перед доказательством теоремы Банаха о гомеоморфизме докажем для начала вспомогательную лемму. | Перед доказательством теоремы Банаха о гомеоморфизме докажем для начала вспомогательную лемму. | ||
Строка 83: | Строка 83: | ||
Очевидно, что <tex> X = \bigcup\limits_{n=1}^{\infty} X_n </tex>, <tex> X </tex> {{---}} B-пространство (а значит, и полное метрическое), значит, по [[Метрические пространства#thbaire|теореме Бэра о категориях]], <tex> X </tex> {{---}} 2 категории, то есть какое-то множество <tex>X_{n_0}</tex> не является ''[[Метрические пространства#defdense|нигде не плотным]]''. | Очевидно, что <tex> X = \bigcup\limits_{n=1}^{\infty} X_n </tex>, <tex> X </tex> {{---}} B-пространство (а значит, и полное метрическое), значит, по [[Метрические пространства#thbaire|теореме Бэра о категориях]], <tex> X </tex> {{---}} 2 категории, то есть какое-то множество <tex>X_{n_0}</tex> не является ''[[Метрические пространства#defdense|нигде не плотным]]''. | ||
− | Вспомним определение нигде не плотности: <tex>A</tex> нигде не плотно, если <tex>\forall V \exists U \subset V: A \cap U = \emptyset</tex>. Раз <tex>X_{n_0}</tex> '''не''' является нигде не плотным, то <tex>\exists V \forall U \subset V: X_{n_0} \cap U \ne \emptyset</tex>, то есть <tex>X_{n_0}</tex> в каком-то открытом шаре. Теперь возьмем замкнутый шар <tex>\overline V_r(a)</tex>, лежащий в этом открытом шаре, причем такой, что <tex>a \in X_{n_0}</tex>. | + | Вспомним определение нигде не плотности: <tex>A</tex> нигде не плотно, если <tex>\forall V \exists U \subset V: A \cap U = \emptyset</tex>. Раз <tex>X_{n_0}</tex> '''не''' является нигде не плотным, то <tex>\exists V \forall U \subset V: X_{n_0} \cap U \ne \emptyset</tex>, то есть <tex>X_{n_0}</tex> всюду плотно в каком-то открытом шаре. Теперь возьмем замкнутый шар <tex>\overline V_r(a)</tex>, лежащий в этом открытом шаре, причем такой, что <tex>a \in X_{n_0}</tex>. |
+ | |||
+ | Заметим, что множество <tex>X_{n_0}</tex> также всюду плотно в кольце <tex>R = \{z \mid \frac r2 \le \| z - a \| \le r \}</tex>. Сдвинем и множество <tex>X_{n_0}</tex>, и кольцо на <tex>a</tex>, то есть центр кольца окажется в точке <tex>0</tex>. Сдвинутое <tex>X_{n_0}</tex> будет также всюду плотно в сдвинутом кольце. Теперь покажем, что найдется такое множество <tex>X_m</tex>, что пересечение сдвинутого <tex>R</tex> и сдвинутого <tex>X_{n_0}</tex> лежит в <tex>X_m</tex>, то есть <tex>X_m</tex> будет всюду плотно в сдвинутом кольце. | ||
Рассмотрим кольцо: <tex> \{z \mid \frac r2 \le \| z - a \| \le r \} </tex>. Обозначим <tex> y = z - a </tex>, тогда кольцо имеет следующий вид: <tex> \{\frac r2 \le \| y \| \le r \} </tex> {{---}} кольцо с центром в <tex> 0 </tex>. | Рассмотрим кольцо: <tex> \{z \mid \frac r2 \le \| z - a \| \le r \} </tex>. Обозначим <tex> y = z - a </tex>, тогда кольцо имеет следующий вид: <tex> \{\frac r2 \le \| y \| \le r \} </tex> {{---}} кольцо с центром в <tex> 0 </tex>. | ||
− | + | Будем рассматривать <tex> z \in X_{n_0} \cap \{\frac r2 \le \| z - a \| \le r \}, y = z - a</tex>. Проверим, что <tex>y</tex> войдет в какое-нибудь <tex>X_m</tex>: | |
− | |||
− | Будем рассматривать <tex> z \in X_{n_0} \cap \{\frac r2 \le \| z - a \| \le r \}, y = z - a</tex>. Проверим, что <tex>y</tex> войдет в какое-нибудь <tex> | ||
<tex> \| Ay \| = \frac {\| A(z - a) \|}{\| y \|} \| y \| \le \frac 2r (\| Az \| + \| Aa \|) \| y \| </tex>, так как <tex> \| y \| \ge \frac r2 </tex>. | <tex> \| Ay \| = \frac {\| A(z - a) \|}{\| y \|} \| y \| \le \frac 2r (\| Az \| + \| Aa \|) \| y \| </tex>, так как <tex> \| y \| \ge \frac r2 </tex>. | ||
Строка 111: | Строка 111: | ||
{{Теорема | {{Теорема | ||
+ | |id=banachhom | ||
|about=Банаха, о гомеоморфизме | |about=Банаха, о гомеоморфизме | ||
|statement= | |statement= | ||
− | Пусть <tex> A : X \to Y </tex> {{---}} линейный ограниченный оператор, причем осуществляющий | + | Пусть <tex> A : X \to Y </tex> {{---}} линейный ограниченный оператор, причем осуществляющий биекцию, тогда <tex> A^{-1} </tex> {{---}} линейный ограниченный оператор. |
− | тогда <tex> A^{-1} </tex> {{---}} линейный ограниченный оператор. | ||
|proof= | |proof= | ||
− | Если <tex> A </tex> {{---}} биекция, то <tex> A^{-1} </tex> существует. Осталось показать, что он будет | + | Если <tex> A </tex> {{---}} биекция, то <tex> A^{-1} </tex> существует. Осталось показать, что он будет ограничен. |
− | <tex> Y_n = \{ y \in Y \mid \| A^{-1}(y) \| \le n \| y \| \} </tex>. | + | Представим <tex>Y</tex> как <tex>\bigcup\limits_{n=1}^{\infty} Y_n</tex>, <tex> Y_n = \{ y \in Y \mid \| A^{-1}(y) \| \le n \| y \| \}</tex> (заметим, что для леммы не требуется ограниченность оператора). |
− | + | По только что доказанной лемме, существет такое число <tex> n_0 </tex>, что <tex>\mathrm{Cl} Y_{n_0} = Y </tex>, обозначим этот <tex>Y_{n_0}</tex> как <tex>Y^*</tex>. | |
− | + | Рассмотрим произвольный <tex> y \in Y </tex>. Покажем, что существует такое разложение <tex> y = \sum\limits_{n=1}^{\infty} y_n </tex>, что <tex> y_n \in Y^*, \| y_n \| \le \frac 3{2^n} \| y \| </tex>. | |
− | {{ | + | По всюду плотности, для любого <tex> \varepsilon </tex> можно подобрать <tex> y_1 \in Y^* : \| y - y_1 \| < \varepsilon \| y \| </tex>. |
+ | Дальше можно подобрать <tex> y_2 \in Y^* : \| (y - y_1) - y_2 \| < \frac {\varepsilon}2 \| y \| </tex>, и так далее, получаем, что <tex> \| y - \sum\limits_{k = 1}^n y_k \| < \frac {\varepsilon}{2^{n-1}} \| y \| </tex>. | ||
− | + | Проверим, что для всех <tex>y_n</tex> их норма удовлетворяет условию разложения: <tex> \| y_n \| \le \| \sum\limits_{k = 1}^n y_k - y + y - \sum\limits_{k = 1}^{n-1} y_k \|</tex><tex> \le \| y - \sum\limits_{k = 1}^n y_k \| + \| y - \sum\limits_{k = 1}^{n - 1} y_k \| \le \frac {\varepsilon}{2^{n-1}} \| y \| + \frac {\varepsilon}{2^{n-2}} \| y \| = \frac {3\varepsilon}{2^{n-2}} \| y \| </tex> | |
− | |||
− | + | В качестве <tex> \varepsilon </tex> выберем <tex> \frac 14 </tex>, и получим необходимое разложение <tex> y </tex>. | |
− | |||
− | |||
− | |||
− | В качестве <tex> \varepsilon </tex> выберем <tex> \frac | ||
Итак, теперь <tex> y = \sum\limits_1^{\infty} y_n, y_n \in Y^*, \| y_n \| \le \frac 3{2^n} \| y \| </tex>. | Итак, теперь <tex> y = \sum\limits_1^{\infty} y_n, y_n \in Y^*, \| y_n \| \le \frac 3{2^n} \| y \| </tex>. | ||
− | Обозначим <tex> x_n = A^{-1} | + | Обозначим <tex> x_n = A^{-1}y_n </tex>. Рассмотрим ряд из <tex> x_n </tex>: <tex> \sum\limits_{n=1}^{\infty} x_n </tex>, проверим сходимость ряда из норм: <tex> \sum\limits_{n=1}^{\infty} \| x_n \| < \infty </tex>. |
− | Вспомним, что <tex> y_n \in Y_{n_0} </tex>. | + | Вспомним, что <tex> y_n \in Y^* = Y_{n_0} </tex>. |
− | <tex> \| x_n \| = \| A^{-1} | + | <tex> \| x_n \| = \| A^{-1} y_n \| \le n_0 \| y_n \| \le n_0 \frac 3{2^n} \| y \| </tex>: ряд из <tex> \| x_n \| </tex> мажорируется убывающей геометрической прогрессией, а значит, сходится. Получили, что существует <tex> x = \sum\limits_{n=1}^{\infty} x_n </tex>. |
− | Используем непрерывность <tex> A </tex>: <tex> Ax = \sum\limits_{n=1}^{\infty} Ax_n = \sum\limits_{n=1}^{\infty} y_n = y </tex>, получили, что <tex> Ax = y, A^{-1} | + | Используем непрерывность <tex> A </tex>: <tex> Ax = \sum\limits_{n=1}^{\infty} Ax_n = \sum\limits_{n=1}^{\infty} y_n = y </tex>, получили, что <tex> Ax = y, A^{-1}y = x </tex>. |
− | Рассмотрим норму <tex> A^{-1} | + | Рассмотрим норму <tex> A^{-1}y </tex>: <tex> \| A^{-1} y \| = \| x \| = \| \sum\limits_{n=1}^{\infty} x_n \| \le \sum\limits_{n=1}^{\infty} 3n_0 \| y \| \frac 1{2^n} = 3n_0 \| y \| </tex>. |
Поскольку <tex> y </tex> выбирался произвольный, получаем, что <tex> A^{-1} </tex> ограничен. | Поскольку <tex> y </tex> выбирался произвольный, получаем, что <tex> A^{-1} </tex> ограничен. | ||
Строка 152: | Строка 148: | ||
}} | }} | ||
− | + | == Теорема о замкнутом графике == | |
{{Определение | {{Определение | ||
|definition= | |definition= | ||
− | + | '''Графиком''' линейного оператора <tex> A: X \to Y </tex> называется множество <tex> G(A) = \{ (x, Ax) \mid x \in X \}, G(A) \subset X \times Y </tex>. | |
}} | }} | ||
Строка 164: | Строка 160: | ||
|about=о замкнутом графике | |about=о замкнутом графике | ||
|statement= | |statement= | ||
− | <tex> A : X \ | + | Линейный <tex>A : X \to Y </tex> ограничен <tex> \iff </tex> <tex> G(A) </tex> {{---}} замкнут. |
|proof= | |proof= | ||
Докажем в прямую сторону: пусть есть последовательность пар <tex> (x_n, y_n) \to (x, y) </tex>. Принадлежит ли <tex> (x, y)\, G(A) </tex> ? | Докажем в прямую сторону: пусть есть последовательность пар <tex> (x_n, y_n) \to (x, y) </tex>. Принадлежит ли <tex> (x, y)\, G(A) </tex> ? | ||
Строка 175: | Строка 171: | ||
Пусть <tex> G(A) = \{ (x, Ax) \mid x \in X \} </tex> замкнут. | Пусть <tex> G(A) = \{ (x, Ax) \mid x \in X \} </tex> замкнут. | ||
− | Можно показать, что <tex> X \times Y </tex> банахово с нормой <tex> \| (x, y) \| = \| x \| + \| y \| </tex>. | + | Можно показать, что <tex> X \times Y </tex> банахово с нормой <tex> \| (x, y) \| = \| x \| + \| y \| </tex>: |
+ | * То, что <tex>\| (x, y) \| = \|x\| + \|y\|</tex> — норма, показывается очевидно | ||
+ | * Покажем, что если <tex>(x_n, y_n)</tex> сходится в себе, то она сходится к элементу <tex>X \times Y</tex>. Рассмотрим последовательность <tex>\|(x_n, y_n) - (x_m, y_m) \| \xrightarrow[n, m \to \infty]{} 0</tex>, значит, <tex>\|(x_n - x_m, y_n - y_m)\| = \|x_n - x_m\| + \|y_n - y_m\| \to 0</tex>, то есть <tex>x_n</tex> и <tex>y_n</tex> сходятся в себе, а значит, по полноте пространств <tex>X</tex> и <tex>Y</tex>, существует <tex>x \in X = \lim x_n, y \in Y = \lim y_n</tex>. Значит, <tex>(x, y) \in X \times Y</tex>. Далее очевидно показывая, что <tex>\|(x_n, y_n) - (x, y)\| \xrightarrow[n \to \infty]{} 0</tex>, покажем, что <tex>x, y</tex> и есть нужный предел. | ||
− | Рассмотрим следующий оператор: <tex> T : ( | + | Рассмотрим следующий оператор: <tex> T : G(A) \to X, T(x, Ax) = x </tex>. |
<tex> T </tex> биективно отображает <tex> G(A) </tex> в <tex> X </tex>. | <tex> T </tex> биективно отображает <tex> G(A) </tex> в <tex> X </tex>. | ||
− | <tex> \| | + | <tex> \|\| T(x, Ax) \| = \| x \| \le \| (x, Ax) \| \implies T </tex> ограничен. |
По теореме Банаха о гомеоморфизме, так как <tex> T </tex> ограничен и биективен, то существует <tex> T^{-1} </tex>, который также ограничен. Рассмотрим его. | По теореме Банаха о гомеоморфизме, так как <tex> T </tex> ограничен и биективен, то существует <tex> T^{-1} </tex>, который также ограничен. Рассмотрим его. | ||
Строка 188: | Строка 186: | ||
}} | }} | ||
− | + | == Теорема об открытом отображении == | |
{{Определение | {{Определение | ||
Строка 200: | Строка 198: | ||
Пусть <tex> A : X \to Y </tex> {{---}} линейный ограниченный оператор. Тогда <tex> A </tex> {{---}} открытое отображение. | Пусть <tex> A : X \to Y </tex> {{---}} линейный ограниченный оператор. Тогда <tex> A </tex> {{---}} открытое отображение. | ||
|proof= | |proof= | ||
− | <tex> Z = \mathrm{Ker} A </tex> {{---}} линейное подпространство в <tex> X </tex>. <tex> X | + | <tex> Z = \mathrm{Ker} A </tex> {{---}} линейное подпространство в <tex> X </tex>. |
+ | |||
+ | Рассмотрим <tex> X/_Z </tex> {{---}} фактор-подпространство. <tex> i : X \to X/_Z, i(x) = [x]</tex>, где <tex> [x] </tex> {{---}} класс смежности <tex> x </tex>, <tex>i</tex> называется '''каноническим вложением''' <tex>X</tex> в фактор-пространство. Оператор <tex> i </tex> {{---}} линейный и ограниченный, переводит открытое множество в <tex> X </tex> в открытое множество в <tex> X/_Z </tex> {{TODO|t=почему это он так делает?}}, то есть открытый. | ||
− | <tex> | + | * <tex>i(x + y) = [x + y] = [x] + [y] = i(x) + i(y)</tex> - по свойствам фактор-множества |
+ | * <tex>i(\alpha x) = [\alpha x] = \alpha [x] = \alpha i </tex> - по свойствам фактор-множства показали линейность. | ||
+ | * <tex>\|i\| = \sup \limits_{\|x\| = 1} \|ix\| = \sup \limits_{\|x\| = 1} \|[x]\| = \sup \limits_{\|x\| = 1} \inf \limits_{z \in Z} \| x- z \|_{X}</tex><tex> \le \sup \limits_{\|x\| = 1} \inf \limits_{z \in Z} (\| x \|_{X} + \| z \|_{X}) \le 1 + \inf \limits_{z \in Z} \| z \|_{X} = 1 < + \infty </tex> - показали ограниченность | ||
− | {{ | + | Введем норму как <tex>\|[x]\|_{X /_Z} = \inf\limits_{z \in Z} \| x - z \|_X</tex> (заметим, что ее значение не зависит от того, какой <tex>x \in [x]</tex> выбрать. Покажем, что это действительно норма: |
− | + | * положительная определенность очевидна, покажем равенство нулю только в нулевом классе эквивалентности: пусть <tex>x \ne 0, \|[x]\| = 0, x \notin [0]</tex>, тогда <tex>f(x)\ne 0</tex> и по определению инфимума, существует последовательность <tex>z_n \in Z: \|z_n - x\| \to 0</tex>, но тогда <tex>x</tex> — предел последовательности <tex>z_n</tex> и по замкнутости ядра также лежит в ядре, получили противоречие. | |
+ | * вторая аксиома очевидна | ||
+ | * третья аксиома: <tex>\|[x] + [y]\| = \inf\limits_{z \in Z} \|x + y - z\|_X = \inf\limits_{z \in Z} \|x - \frac{z}{2} + y - \frac{z}{2}\| \le \inf\limits_{z \in Z}\|x - \frac{z}{2}\| + \inf\limits_{z \in Z} \|y - \frac{z}{2}\|</tex>. Заметим что так как <tex>Z</tex> — линейное подпространство, <tex>\frac{z}{2}</tex> пробегает те же элементы, что и <tex>z</tex>, то есть <tex>\inf\limits_{z \in Z}\|x - \frac{z}{2}\| + \inf\limits_{z \in Z} \|y - \frac{z}{2}\| = \inf\limits_{z \in Z}\|x - z\| + \inf\limits_{z \in Z} \|y - z\| = \|[x]\| + \|[y]\|</tex>. | ||
− | <tex> U_A : X | + | Рассмотрим <tex> U_A : X/_Z \to Y</tex>{{---}} оператор, ассоциированный с <tex> A </tex>. То, что <tex>U_A([x]) = y</tex>, означает, что для некоторого <tex>x \in [x], k \in \mathrm{Ker} A: A(x + k) = y</tex>, заметим, что при этом <tex> A = U_A \cdot i </tex>. Покажем ограниченность <tex>U_A</tex>: <tex>\|U_A\| = \sup\limits_{\|[x]\| = 1} \|U_a([x])\| = \sup\limits_{\|[x]\| = 1} \|A (x \in [x])\|</tex>. Покажем, что если <tex>\|[x]\| = 1</tex>, то <tex>\exists x \in [x]: \|x\| \le 1</tex>, а, значит, <tex>\|A x\| \le \|A\|</tex>. {{TODO|t=неясно, как показать}} Таким образом, получим <tex>\|x\| \le \|[x]\| = 1</tex>, и получили ограниченность. |
− | <tex> A = U_A \ | + | Покажем, что <tex>U_A</tex> разные классы переводит в разные точки <tex> Y </tex>, так как факторизация происходит по ядру <tex>A</tex>: пусть <tex>U_A([x]_1) = y</tex> и <tex>U_A([x]_2) = y</tex>, это значит, что <tex>A(x_1 + k_1) = y, A(x_2 + k_2) = y \implies A(x_1 + k_1) - A(x_2 + k_2) = 0</tex>, по линейности <tex>A(x_1 - x_2) + A(k_1 - k_2) = 0 \implies A(x_1 - x_2) = 0</tex>, так как <tex>k_1 - k_2</tex> в ядре. Но тогда получили, что <tex>x_1 - x_2</tex> также в ядре, то есть <tex>x_1</tex> отличается от <tex>x_2</tex> на элемент ядра, и находятся в одном классе эквивалентности, получили противоречие. |
− | <tex> U_A : X | + | Таким образом, оператор <tex> U_A : X/_Z \to R(A)</tex> биективен, следовательно, <tex>U_A^{-1} </tex> {{---}} непрерывен (по теореме Банаха), , так как <tex>U_A</tex> тоже непрерывен, то прообразы (по оператору <tex>U_A</tex>) всех открытых в <tex>Y</tex> открыты в <tex>X</tex>, а прообразы (по оператору <tex>U_A^{-1}</tex> всех открытых в <tex>X</tex> открыты в <tex>Y</tex>. Значит <tex> U_A </tex> переводит открытые множества в открытые и является открытым отображением. Так как <tex>i</tex> открытое и суперпозиция открытых отображение открыта, <tex> A </tex> тоже открыт. |
}} | }} | ||
+ | |||
+ | == Ссылки == | ||
+ | * [http://en.wikipedia.org/wiki/Open_mapping_theorem_(functional_analysis) Open mapping theorem] | ||
[[Категория: Функциональный анализ 3 курс]] | [[Категория: Функциональный анализ 3 курс]] |
Текущая версия на 19:27, 4 сентября 2022
Содержание
Определение: |
Оператор | называется непрерывно обратимым, если существует и , причем должен быть определен на всем .
Теорема (Банах, о непрерывной обратимости I-C): |
Пусть — B-пространство, оператор и .
Тогда оператор , где — тождественный оператор, непрерывно обратим. |
Доказательство: |
— B-пространство. Рассмотрим следующие суммы: .. — ряд в B-пространстве сходится, если сходится ряд из соответствующих норм. Покажем это: пусть есть операторный ряд . Рассмотрим последовательность частичных сумм , она будет сходиться если сходится в себе (по Банаховости пространства). Тогда , а (так как для конечного числа членов норма суммы меньше суммы норм), но так как последовательность норм сходится, она также сходится в себе и , то есть частичные суммы сходятся в себе, а, значит, и сходятся. Из того, что , получаем .Так как , то существует такой , что .. Поскольку , то , а значит, и . . Устремляя к бесконечности, получаем , а значит — ограниченный оператор. |
Трактовка этой теоремы:
, — непрерывно обратимый оператор. При каких условиях на оператор оператор сохраняет ннепрерывную обратимость? Из теоремы выше известен ответ на этот вопрос: когда , то есть "при малых возмущениях сохраняется его непрерывная обратимость".Далее считаем, что пространства
и — всегда банаховы.
Определение: |
Рассмотрим уравнение | при заданном . Если для такого уравнения можно написать , где — константа, то говорят, что это уравнение допускает априорную оценку решений.
— область значений оператора , является линейным множеством, но может быть незамкнутым. Однако, верно следующее:
Утверждение: |
Если непрерывен, и уравнение допускает априорную оценку решений, то . |
Возьмем сходящуюся последовательсть . Нужно проверить, правда ли , или, что то же самое, что уравнение имеет решение для такого .. Можно выбрать такую подпоследовательность , что для этой подпоследовательности после перенумерации будет выполняться . По линейности : и для любого существует .Поскольку уравнение допускает априорную оценку решений, имеем .Рассмотрим следующий ряд: . Сумма ряда из норм: . По банаховости получаем, что сходится, и .По непрерывности получаем, что . , поэтому . |
Теорема: |
Пусть — линейный ограниченный оператор, и .
Тогда непрерывно обратим на . |
Доказательство: |
Заметим, что в ядре только нулевой элемент, в противном случае: пусть | , тогда . Из этого следует, что оператор инъективен: пусть , тогда , что возможно только когда . Так как строим обратный оператор на , , то есть оператор биективен на области значений, определим на всем и для любого рассмотрим . Тогда , то есть оператор ограничен константой .
Теорема Банаха о гомеоморфизме
Перед доказательством теоремы Банаха о гомеоморфизме докажем для начала вспомогательную лемму.
Утверждение: |
Рассмотрим линейный оператор . Обозначим .
Тогда хотя бы одно всюду плотно в . |
Очевидно, что теореме Бэра о категориях, — 2 категории, то есть какое-то множество не является нигде не плотным. , — B-пространство (а значит, и полное метрическое), значит, поВспомним определение нигде не плотности: нигде не плотно, если . Раз не является нигде не плотным, то , то есть всюду плотно в каком-то открытом шаре. Теперь возьмем замкнутый шар , лежащий в этом открытом шаре, причем такой, что .Заметим, что множество также всюду плотно в кольце . Сдвинем и множество , и кольцо на , то есть центр кольца окажется в точке . Сдвинутое будет также всюду плотно в сдвинутом кольце. Теперь покажем, что найдется такое множество , что пересечение сдвинутого и сдвинутого лежит в , то есть будет всюду плотно в сдвинутом кольце.Рассмотрим кольцо: . Обозначим , тогда кольцо имеет следующий вид: — кольцо с центром в .Будем рассматривать . Проверим, что войдет в какое-нибудь :, так как . Поскольку , то . , так как принадлежит кольцу.Подставляем и продолжаем неравенство выше: .Обозначим (это выражение не зависит от ), получаем, что .Итак, получили, что всюду плотно в кольце с центром в . Возьмем теперь любой , его можно представить как .По всюду плотности в кольце, найдется последовательность Взяв любую точку из в такая, что . Но . . , мы можем приблизить ее элементами , а значит, , то есть всюду плотно в . |
На основе доказанной леммы можем доказать теорему:
Теорема (Банаха, о гомеоморфизме): |
Пусть — линейный ограниченный оператор, причем осуществляющий биекцию, тогда — линейный ограниченный оператор. |
Доказательство: |
Если — биекция, то существует. Осталось показать, что он будет ограничен.Представим как , (заметим, что для леммы не требуется ограниченность оператора).По только что доказанной лемме, существет такое число , что , обозначим этот как .Рассмотрим произвольный . Покажем, что существует такое разложение , что .По всюду плотности, для любого можно подобрать . Дальше можно подобрать , и так далее, получаем, что .Проверим, что для всех их норма удовлетворяет условию разложения:В качестве выберем , и получим необходимое разложение .Итак, теперь .Обозначим . Рассмотрим ряд из : , проверим сходимость ряда из норм: .Вспомним, что .: ряд из мажорируется убывающей геометрической прогрессией, а значит, сходится. Получили, что существует . Используем непрерывность : , получили, что .Рассмотрим норму Поскольку : . выбирался произвольный, получаем, что ограничен. |
Теорема о замкнутом графике
Определение: |
Графиком линейного оператора | называется множество .
В прямых произведениях множеств сходимость — покоординатная, поэтому можно говорить о замкнутости множеств.
Теорема (о замкнутом графике): |
Линейный ограничен — замкнут. |
Доказательство: |
Докажем в прямую сторону: пусть есть последовательность пар . Принадлежит ли ?(по единственности предела). Так как , то . Обратное следствие интереснее. Пусть замкнут.Можно показать, что банахово с нормой :
Рассмотрим следующий оператор: . биективно отображает в .ограничен. По теореме Банаха о гомеоморфизме, так как ограничен и биективен, то существует , который также ограничен. Рассмотрим его. (по ограниченности). Получаем, что , откуда ограничен. |
Теорема об открытом отображении
Определение: |
— произвольное отображение. Если для любого открытого открыто в , то называют открытым отображением. |
Теорема (об открытом отображении): |
Пусть — линейный ограниченный оператор. Тогда — открытое отображение. |
Доказательство: |
— линейное подпространство в . Рассмотрим TODO: почему это он так делает?, то есть открытый. — фактор-подпространство. , где — класс смежности , называется каноническим вложением в фактор-пространство. Оператор — линейный и ограниченный, переводит открытое множество в в открытое множество в
Введем норму как (заметим, что ее значение не зависит от того, какой выбрать. Покажем, что это действительно норма:
Рассмотрим TODO: неясно, как показать Таким образом, получим , и получили ограниченность. — оператор, ассоциированный с . То, что , означает, что для некоторого , заметим, что при этом . Покажем ограниченность : . Покажем, что если , то , а, значит, .Покажем, что Таким образом, оператор разные классы переводит в разные точки , так как факторизация происходит по ядру : пусть и , это значит, что , по линейности , так как в ядре. Но тогда получили, что также в ядре, то есть отличается от на элемент ядра, и находятся в одном классе эквивалентности, получили противоречие. биективен, следовательно, — непрерывен (по теореме Банаха), , так как тоже непрерывен, то прообразы (по оператору ) всех открытых в открыты в , а прообразы (по оператору всех открытых в открыты в . Значит переводит открытые множества в открытые и является открытым отображением. Так как открытое и суперпозиция открытых отображение открыта, тоже открыт. |