Отношение вершинной двусвязности — различия между версиями

Материал из Викиконспекты
Перейти к: навигация, поиск
м (→‎Точки сочленения)
м (rollbackEdits.php mass rollback)
 
(не показано 59 промежуточных версий 10 участников)
Строка 2: Строка 2:
 
{{Определение
 
{{Определение
 
|definition=
 
|definition=
−
Два ребра <math>u_1 v_1</math> и <math>u_2 v_2</math> графа называются '''вершинно двусвязными''', если
+
Два ребра [[Основные определения: граф, ребро, вершина, степень, петля, путь, цикл|графа]] называются '''вершинно двусвязными''' (англ. ''vertex biconnected''), если существуют вершинно непересекающиеся пути, соединяющие их концы.
−
<math>\exist P=u_1\rightsquigarrow u_2, Q=v_1\rightsquigarrow v_2, P\cap Q = \varnothing</math>.
+
}}
 +
Заметим, что если имеется два различных двусвязных ребра, то они лежат на некотором вершинно простом цикле.
 +
 
 +
{{Определение
 +
|definition=
 +
'''Блоками''' (англ. ''block''), или компонентами вершинной двусвязности графа, называют его подграфы, множества ребер которых — классы эквивалентности вершинной двусвязности, а множества вершин {{---}} множества всевозможных концов ребер из соответствующих классов.
 
}}
 
}}
  
Строка 10: Строка 15:
 
Отношение вершинной двусвязности является отношением эквивалентности на ребрах.
 
Отношение вершинной двусвязности является отношением эквивалентности на ребрах.
 
|proof=
 
|proof=
 +
[[Файл: Vertex_biconnected.png|370px|thumb|right|К доказательству транзитивности]]
 +
'''Рефлексивность:'''
 +
В данном случае имеем 2 пустых пути, которые, очевидно, не пересекаются.
  
−
'''Рефлексивность:''' Очевидно.
+
'''Симметричность:'''
−
'''Коммутативность:''' Очевидно.
+
Следует из симметричности определения.
−
'''Транзитивность:''' ...
 
−
}}
 
−
 
 
−
''Замечание.'' Рассмотрим следующее определение: вершины <math>u</math> и <math>v</math> называются вершинно двусвязными, если между ними существуют 2 пути, не пересекающихся по вершинам, за исключением концов. Это определение не может претендовать на корректность, так как в этом случае отношение вершинной двусвязности перестанет быть транзитивным.
 
−
 
 
  
−
==Блоки==
+
'''Транзитивность:'''
−
{{Определение
+
Пусть имеем ребра: <tex>ef</tex> вершинно двусвязно с <tex>cd</tex>, <tex>cd</tex> вершинно двусвязно с <tex>ab</tex>, при этом все они различны. Ребра <tex>ef</tex> и <tex>cd</tex> лежат на вершинно простом цикле <tex>C</tex>. Будем считать, что существуют непересекающиеся пути <tex>P : a \leadsto c</tex>, <tex>Q : b \leadsto d</tex> (ситуация, когда они идут наоборот, разбирается аналогично). Пусть <tex>x</tex> {{---}} первая вершина на <tex>P</tex>, лежащая также на <tex>C</tex>, <tex>y</tex> {{---}} первая вершина на <tex>Q</tex>, лежащая на <tex>C</tex>. Проделав пути от <tex>a</tex> до <tex>x</tex> и от <tex>b</tex> до <tex>y</tex>, далее пойдем по циклу <tex>C</tex> в нужные (различные) стороны, чтобы достичь <tex>e</tex> и <tex>f</tex>. То есть <tex>ef</tex> вершинно двусвязно с <tex>ab</tex>.
−
|definition=
 
−
Блоками, или компонентами вершинной двусвязности графа, называются его подграфы, индуцированные классами эквивалентности вершинно двусвязных ребер.
 
 
}}
 
}}
  
 +
''Замечание.'' Рассмотрим следующее определение: вершины <tex>u</tex> и <tex>v</tex> называются вершинно двусвязными, если между ними существуют 2 пути, не пересекающихся по вершинам, за исключением концов. Это определение не может претендовать на корректность, так как в этом случае отношение вершинной двусвязности перестанет быть транзитивным.
  
−
==[[Точка сочленения, эквивалентные определения|Точки сочленения]]==
+
==Точки сочленения==
 +
{{main|Точка сочленения, эквивалентные определения}}
 
{{Определение
 
{{Определение
 
|definition=
 
|definition=
−
Точка сочленения графа <math>G</math> - вершина, принадлежащая как минимум двум блокам <math>G</math>.
+
'''Точка сочленения''' (англ. ''articulation points'') графа <tex>G</tex> {{---}} вершина, принадлежащая как минимум двум блокам <tex>G</tex>.
 
}}
 
}}
 
{{Определение
 
{{Определение
 
|definition=
 
|definition=
−
Точка сочленения графа <math>G</math> - вершина, при удалении которой в <math>G</math> увеличивается число компонент связности.
+
'''Точка сочленения''' графа <tex>G</tex> {{---}} вершина, при удалении которой в <tex>G</tex> увеличивается число компонент связности.
 
}}
 
}}
 +
 +
== См. также ==
 +
* [[Отношение рёберной двусвязности]]
 +
 +
==Источники информации==
 +
*  Харари, Ф. Теория графов. — М.: Книжный дом «ЛИБРОКОМ», 2009
 +
* [[wikipedia:ru:Двусвязный_граф | Википедия {{---}} Двусвязный граф]]
 +
 +
[[Категория:Алгоритмы и структуры данных]]
 +
[[Категория:Связность в графах]]

Текущая версия на 19:33, 4 сентября 2022

Вершинная двусвязность

Определение:
Два ребра графа называются вершинно двусвязными (англ. vertex biconnected), если существуют вершинно непересекающиеся пути, соединяющие их концы.

Заметим, что если имеется два различных двусвязных ребра, то они лежат на некотором вершинно простом цикле.


Определение:
Блоками (англ. block), или компонентами вершинной двусвязности графа, называют его подграфы, множества ребер которых — классы эквивалентности вершинной двусвязности, а множества вершин — множества всевозможных концов ребер из соответствующих классов.


Теорема:
Отношение вершинной двусвязности является отношением эквивалентности на ребрах.
Доказательство:
[math]\triangleright[/math]
К доказательству транзитивности

Рефлексивность: В данном случае имеем 2 пустых пути, которые, очевидно, не пересекаются.

Симметричность: Следует из симметричности определения.

Транзитивность:

Пусть имеем ребра: [math]ef[/math] вершинно двусвязно с [math]cd[/math], [math]cd[/math] вершинно двусвязно с [math]ab[/math], при этом все они различны. Ребра [math]ef[/math] и [math]cd[/math] лежат на вершинно простом цикле [math]C[/math]. Будем считать, что существуют непересекающиеся пути [math]P : a \leadsto c[/math], [math]Q : b \leadsto d[/math] (ситуация, когда они идут наоборот, разбирается аналогично). Пусть [math]x[/math] — первая вершина на [math]P[/math], лежащая также на [math]C[/math], [math]y[/math] — первая вершина на [math]Q[/math], лежащая на [math]C[/math]. Проделав пути от [math]a[/math] до [math]x[/math] и от [math]b[/math] до [math]y[/math], далее пойдем по циклу [math]C[/math] в нужные (различные) стороны, чтобы достичь [math]e[/math] и [math]f[/math]. То есть [math]ef[/math] вершинно двусвязно с [math]ab[/math].
[math]\triangleleft[/math]

Замечание. Рассмотрим следующее определение: вершины [math]u[/math] и [math]v[/math] называются вершинно двусвязными, если между ними существуют 2 пути, не пересекающихся по вершинам, за исключением концов. Это определение не может претендовать на корректность, так как в этом случае отношение вершинной двусвязности перестанет быть транзитивным.

Точки сочленения

Основная статья: Точка сочленения, эквивалентные определения
Определение:
Точка сочленения (англ. articulation points) графа [math]G[/math] — вершина, принадлежащая как минимум двум блокам [math]G[/math].


Определение:
Точка сочленения графа [math]G[/math] — вершина, при удалении которой в [math]G[/math] увеличивается число компонент связности.


См. также

Источники информации

Источник — «http://neerc.ifmo.ru/wiki/index.php?title=Отношение_вершинной_двусвязности&oldid=85463»