Теоремы о простых числах

Теорема о существовании бесконечного числа простых чисел

Теорема:

Простых чисел бесконечно много.

Доказательство:

[math]\triangleright[/math]

Представим, что количество простых чисел конечно. Перемножим их и прибавим единицу. Полученное число не делится ни на одно из конечного набора простых чисел, потому что остаток от деления на любое из них даёт единицу. Значит, число должно делиться на некоторое простое число, не включённое в этот набор.

[math]\triangleleft[/math]

Теорема о расходимости ряда [math]\sum_{}^{}1/n[/math]

Теорема:

Ряд [math]\sum_{}^{}1/n[/math] расходится.

Доказательство:

[math]\triangleright[/math]

[math]\sum_{n=1}^\infty\frac{1}{n} = \prod_{p} {(1 + \frac{1}{p} + \frac{1}{p^2} + \cdots)}[/math], где [math]p[/math] — простое. Таким образом, получаем все числа по одному разу после раскрытия скобок.

[math]\triangleleft[/math]

Заметим для некоторого [math]k[/math]: [math]\sum_{p \le k}^{}{(1 + \frac{1}{p} + \frac{1}{p^2} + \cdots)} \ge \sum_{n \le k} \frac{1}{n}[/math]. Теперь, пользуясь выражением [math] \ln(1+x) \approx x + o(x) [/math] и логарифмируя, выводим: [math] \sum_{p} {\ln(1 + \frac{1}{p} + \frac{1}{p^2} + \cdots)} \approx \sum_{p} { (\frac{1}{p} + \frac{1}{p^2} + \cdots)} \le \frac{c}{p^2} [/math] - расходится.

Теорема о расходимости ряда [math]\sum_{}^{}1/p[/math]

Теорема:

Ряд [math]\sum_{}^{}1/p[/math], где [math]p[/math] - простое, расходится.

Доказательство:

[math]\triangleright[/math]

Работая в условиях предыдущей теоремы, продолжаем: [math] \ln(1+x) \le x[/math], тогда [math] \sum_{}^{} {\ln(1 + \frac{1}{p} + \cdots)} \le \sum_{}^{} {( \frac{1}{p} + \frac{1}{p^2} + \cdots)}[/math]. Финально: [math] \sum_{}^{} \frac{1}{p} \ge \sum_{}^{} {[\ln(1 + \frac{1}{p} + \frac{1}{p^2} + \cdots) - \frac{c}{p^2}]} [/math] - расходится.

[math]\triangleleft[/math]