Теорема Брукса

Вспомогательная лемма

Лемма:

Пусть [math]G(V,E)[/math] — произвольный связный неориентированный граф и [math]\Delta(G)[/math] — максимальная степень вершин [math]G[/math]. Если в таком графе существует вершина [math]w[/math] степени [math] \deg w \lt \Delta(G)[/math], то [math]\chi(G) \leqslant \Delta(G)[/math].

Доказательство:

[math]\triangleright[/math]

Алгоритм раскраски на пятом шаге Запустим алгоритм обхода в ширину из вершины [math]w[/math]. Пронумеруем вершины [math]v_1,...,v_n,[/math] где [math]v_i[/math] вершина рассмотренная на [math]i[/math]-ом шаге алгоритма bfs. Далее начнем красить вершины в обратном порядке в один из [math]\Delta[/math] цветов так, чтобы никакое ребро графа не соединяло вершины одного цвета. На [math] i[/math]-ом шаге покраски, для вершины [math] v_{n - i+1}[/math] есть не более [math]\Delta(G) - 1[/math] уже покрашенных соседей (т.к [math] \deg(v_{n - i+1}) \leqslant \Delta(G)[/math] и предок данной вершины в дереве bfs еще не покрашен, а если предка нет, то это вершина и есть [math]w[/math]), следовательно вершину [math] v_{n-i+1}[/math] можно покрасить по крайней мере в один из свободных цветов. Поскольку на каждом шаге алгоритм отработает корректно, следовательно граф можно правильно раскрасить в не более чем [math] \Delta[/math] цветов, то есть [math] \chi(G) \leqslant \Delta(G)[/math].

[math]\triangleleft[/math]

Теорема

Теорема (Брукса):

Пусть [math]G(V,E)[/math] — связный неориентированный граф и [math]G[/math] не является [math]K_m[/math] или [math]C_{2m+1}[/math], ни для какого [math] m[/math], тогда [math]\chi(G) \leqslant \Delta(G)[/math], где [math]\Delta(G)[/math] — максимальная степень вершин [math]G[/math]

Доказательство:

[math]\triangleright[/math]

Для доказательства теоремы рассмотрим несколько случаев: [math]\Delta(G) \leqslant 2[/math], тогда: Если [math] \Delta = 0[/math], [math] G = K_1[/math] Если [math] \Delta = 1[/math], [math] G = K_2[/math] Если [math] \Delta = 2[/math], то: [math] G [/math] — либо дерево либо четный цикл и тогда [math] \chi(G) = 2[/math] [math] G[/math] нечетный цикл [math]\Delta(G) \geqslant 3[/math], тогда: Если [math]G[/math] не является вершинно двусвязным графом, тогда в графе [math] G[/math] [math] \exists[/math] [math] v \in V[/math] — точка сочленения. Пусть [math]G_1,G_2[/math] — две компоненты связности, полученные при удалении вершины [math]v[/math]. Тогда, по выше доказанной лемме эти компоненты можно правильно раскрасить в не более чем [math]\Delta[/math] цветов. Поскольку количество соседей вершины [math] v [/math] в каждой из компонент не более [math] \Delta - 1[/math], то [math]G[/math] можно правильно раскрасить в не более чем [math]\Delta[/math] цветов. Если [math]G[/math] является вершинно двусвязным графом. Тогда, [math] \exists[/math] [math] v,u \in V :(u,v) \notin E[/math] и при удалении вершин [math]v,u[/math] граф теряет связность. Пусть [math]G_1,G_2[/math] — два подграфа [math] G:(G_1 \cap G_2 = \{v,u\}) \land (G_1 \cup G_2 = G)[/math]. Рассмотрим два случая. Если сумма степеней вершин [math]u,v[/math] в каждом из подграфов [math]G_1,G_2[/math] меньше [math]2(\Delta-1)[/math]. Тогда, в одном из данных подграфах [math] \deg u \leqslant \Delta - 2 [/math] или [math] \deg v \leqslant \Delta - 2 [/math]. То есть, эти подграфы можно правильно раскрасить в не более чем [math]\Delta[/math] цветов так, чтобы вершины [math] u,v [/math] были бы разных цветов. А из этого следует, что граф [math]G[/math] тоже можно правильно раскрасить в не более чем [math]\Delta[/math] цветов. Если сумма степеней вершин [math]u,v[/math] в одном из подграфов [math]G_1,G_2[/math] равна [math]2(\Delta-1)[/math]. Тогда, степени обеих вершин в одном из подграфов равны [math] \Delta - 1[/math], рассмотрим например, что в подграфе [math]G_1[/math]: Если вершины [math]u,v[/math] смежны с вершиной [math]p \in G_2[/math], тогда мы можем правильно раскрасить [math]G_2[/math], где степени вершин [math]u,v[/math] равны [math]1[/math], в не более чем [math] \Delta [/math] цветов так, чтобы вершины [math]u,v[/math] были одного цвета. Следовательно, можно покрасить граф [math]G[/math] в не более чем [math]\Delta[/math] цветов. Алгоритм раскраски. Третий случай, пятый шаг Если вершины [math]u,v[/math] смежны с вершинами [math]u_1,v_1 \in G_2[/math] соответственно, тогда вместо вершин [math]\{u,v\}[/math] рассмотрим вершины [math]\{u,v_1\}[/math]. Заметим, что при удалении этих вершин граф потеряет связность и между ними нет ребра. При этом, сумма степеней новой пары вершин в каждой из компонент, полученных после их удаления, меньше [math]2(\Delta-1)[/math]. Поэтому, если для этой пары вершин провести рассуждения аналогичные тем, которые проводились для вершин [math] v,u[/math], получится, что граф [math] G[/math] можно правильно раскрасить в не более чем [math]\Delta [/math] цветов. Если [math]G[/math] является [math]k[/math]-связным графом, где [math]k \gt 2[/math]. Тогда, рассмотрим [math]w \in V : \deg w = \Delta[/math]. У вершины [math]w[/math] должны существовать две соседние вершины [math]u,v : uv \notin E [/math], в противном случае [math]G = K_n[/math]. Пусть [math]G_- = G - u - v [/math]. Заметим, что [math]G_-[/math] связный граф, запустим для [math]G_-[/math] алгоритм обхода в ширину из вершины [math]w[/math]. Пронумеруем вершины [math]v_1,...,v_{n-2}[/math], где [math]v_i[/math] вершина рассмотренная на [math]i[/math]-ом шаге алгоритма bfs. Теперь пусть [math] v_{n-1} = v[/math], и [math]v_n = u[/math]. Покрасим [math]v_n,v_{n-1}[/math] в один цвет, далее начнем красить вершины в обратном порядке, начиная с [math]v_{n-2}[/math] в один из [math]\Delta[/math] цветов так, чтобы никакое ребро графа не соединяло вершины одного цвета. Заметим, что так всегда можно сделать, поскольку на [math]i[/math]-ом шаге покраски, где [math]i \neq n[/math], для вершины [math] v_{n - i+1}[/math] есть не более [math]\Delta(G) - 1[/math] уже покрашенных соседей. Следовательно, вершину [math] v_{n-i+1}[/math] можно покрасить по крайней мере в один из свободных цветов. Вершину [math]w[/math] мы тоже сможем правильно раскрасить в один из [math]\Delta[/math] цветов потому, что ее [math]\Delta[/math] соседей покрашено в не более чем [math]\Delta - 1[/math] цветов. Таким образом граф [math] G[/math] можно правильно раскрасить в не более чем [math]\Delta[/math] цветов.

[math]\triangleleft[/math]

См. также

• Раскраска графа

Источники информации

• Brooks’ Theorem
• Wikipedia: Brooks' theorem
• Википедия: Теорема Брукса