|
|
| (не показано 7 промежуточных версий 5 участников) |
| Строка 2: |
Строка 2: |
| | | | |
| | '''ЕСЛИ НАХОДИТЕ ОШИБКИ ИСПРАВЛЯЙТЕ''' | | '''ЕСЛИ НАХОДИТЕ ОШИБКИ ИСПРАВЛЯЙТЕ''' |
| − | = 2 семестр = | + | == Фотки определений и формулировок == |
| − | http://neerc.ifmo.ru/wiki/index.php?title=%D0%A3%D1%87%D0%B0%D1%81%D1%82%D0%BD%D0%B8%D0%BA:Yulya3102/%D0%9C%D0%B0%D1%82%D0%B0%D0%BD - здесь больше
| + | [https://dl.dropbox.com/u/21779860/%21matan.zip photos] |
| − | == Определения ==
| |
| − | ===1. Ряды Тейлора основных элементарных функций ===
| |
| | | | |
| − | http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%A0%D1%8F%D0%B4_%D0%A2%D0%B5%D0%B9%D0%BB%D0%BE%D1%80%D0%B0#.D0.A0.D1.8F.D0.B4.D1.8B_.D0.9C.D0.B0.D0.BA.D0.BB.D0.BE.D1.80.D0.B5.D0.BD.D0.B0_.D0.BD.D0.B5.D0.BA.D0.BE.D1.82.D0.BE.D1.80.D1.8B.D1.85_.D1.84.D1.83.D0.BD.D0.BA.D1.86.D0.B8.D0.B9
| + | В архиве фотки со всеми определениями в том порядке, в котором они даны выше. |
| | | | |
| − | ===2. Локальный экстремум === | + | == Определения == |
| − | | + | ===Жорданово множество=== |
| − | Пусть функция ƒ(x) определена в некоторой окрестности ε = (х0 - δ, x0 + δ), δ>0 , некоторой точки x0.
| + | ===Объем жорданова множества=== |
| − | 1.) Точка x0 называется точкой локального максимума, если в некоторой такой окрестности ε выполняется неравенство ƒ(x) ≤ ƒ(х0) , ∀x < ε
| + | ===1- и 2-формы=== |
| − | 2.) Точка x0 называется точкой локального минимума, если в некоторой такой окрестности ε выполняется неравенство ƒ(x) ≥ ƒ(х0) , ∀x < ε
| + | ===Дифференциальная 1- или 2-форма в $\mathbb R^n$=== |
| − | Понятия локальный максимум и локальный минимум объединяются термином локальный экстремум.
| + | ===Внешнее произведение форм=== |
| − | | + | ===Внутреннее произведение=== |
| − | http://94.143.53.100/SUMIK/e-SUMIK-Matematika/objects/biblioteka/Matematika/MESI-bibl-matem/Vischaya%20matematika/G5_14_1.htm
| + | ===Интеграл 1-формы по ориентированной кривой=== |
| − | | + | ===Ориентированная область в $\mathbb R^2$=== |
| − | ===3. Точка возрастания функции === | + | ===Правоориентированная область=== |
| − | | + | ===Дифференциал дифференциальной формы=== |
| − | http://94.143.53.100/SUMIK/e-SUMIK-Matematika/objects/biblioteka/Matematika/MESI-bibl-matem/Vischaya%20matematika/G5_14_1.htm
| + | ===Перенос формы при гладком отображении=== |
| − | | + | ===Интеграл от 2-формы по ориентированной области в $\mathbb R^2$=== |
| − | ===4. Критическая точка === | + | ===Полукольцо=== |
| − | Критической точкой дифференцируемой функции называется точка, в которой все её частные производные обращаются в нуль.
| + | ===Алгебра=== |
| − | | + | ===Сигма-алгебра=== |
| − | ===5. Выпуклая функция === | + | ===Объем=== |
| − | Выпуклая функция — функция, у которой надграфик является выпуклым множеством.
| |
| − | | |
| − | Вещественнозначная функция, определённая на некотором интервале (в общем случае на выпуклом подмножестве некоторого векторного пространства) выпукла, если для любых двух значений аргумента <tex> x, y </tex>, и для любого числа <tex> t \in [0,1] </tex> выполняется неравенство Йенсена:
| |
| − | <tex> f(tx + (1-t)y) \le tf(x) + (1-t)f(y) </tex>
| |
| − | | |
| − | ===6. Выпуклое множество в <tex> R^m </tex>===
| |
| − | Множество (область) <tex> G </tex> называется выпуклым, если из того, что <tex> x_1 \in G </tex> и <tex> x_2 \in G </tex> следует, что <tex> x = \lambda x_1 + (1- \lambda)x_2 \in G </tex> для <tex> \forall \lambda \in </tex> [0,1]. Другими словами, G - выпуклое множество, если оно, вместе с любыми двумя своими точками, содержит в себе отрезок, соединяющий эти точки.
| |
| − | | |
| − | ===7. Надграфик и подграфик === | |
| − | | |
| − | Пусть f(x) определена на некотором интервале. Тогда множество y≥f(x), где х принадлежит интервалу, называется надграфиком, а множество y<f(x), где x принадлежит интервалу, — подграфиком. Слова ужасные, но любого человека cпроси — ему будет ясно, что имеется в виду.
| |
| − | | |
| − | ===8. Опорная прямая === | |
| − | Опорная прямая к плоскому множеству M в его точке P – это такая прямая, проходящая через P, что множество M лежит целиком в одной (замкнутой) полуплоскости, ограниченной этой прямой. Касательная к окружности, прямая, содержащая любую сторону выпуклого многоугольника, прямая, проходящая через вершину многоугольника и не имеющая с ним других общих точек, – примеры опорных прямых к указанным фигурам. Понятие опорной прямой играет важную роль в теории выпуклых множеств.
| |
| − | | |
| − | ===9. Первообразная === | |
| − | Первообра́зной или примити́вной функцией (иногда называют также антипроизводной) данной функции f называют такую F, производная которой (на всей области определения) равна f, то есть F ′ = f. Вычисление первообразной заключается в нахождении неопределённого интеграла, а сам процесс называется интегрированием.
| |
| − | | |
| − | ===10. Таблица первообразных === | |
| − | http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%9D%D0%B5%D0%BE%D0%BF%D1%80%D0%B5%D0%B4%D0%B5%D0%BB%D1%91%D0%BD%D0%BD%D1%8B%D0%B9_%D0%B8%D0%BD%D1%82%D0%B5%D0%B3%D1%80%D0%B0%D0%BB#.D0.A2.D0.B0.D0.B1.D0.BB.D0.B8.D1.86.D0.B0_.D0.BE.D1.81.D0.BD.D0.BE.D0.B2.D0.BD.D1.8B.D1.85_.D0.BD.D0.B5.D0.BE.D0.BF.D1.80.D0.B5.D0.B4.D0.B5.D0.BB.D1.91.D0.BD.D0.BD.D1.8B.D1.85_.D0.B8.D0.BD.D1.82.D0.B5.D0.B3.D1.80.D0.B0.D0.BB.D0.BE.D0.B2
| |
| − | | |
| − | ===11. Дробление отрезка === | |
| − | http://dl.dropbox.com/u/42066744/%D0%9E%D1%87%D0%B5%D0%B2%D0%B8%D0%B4%D0%BD%D0%BE/%D0%9E.%D0%9B.%D0%92%D0%B8%D0%BD%D0%BE%D0%B3%D1%80%D0%B0%D0%B4%D0%BE%D0%B2%20%D1%82%D0%BE%D0%BC%202.pdf
| |
| − | страница 6
| |
| − | | |
| − | ===12. Дробление параллелепипеда === | |
| − | параллелепипед задаётся двумя точками a, b в R^M. Его дробление <tex> \lambda </tex> — множество дроблений <tex> \lambda_1 .. \lambda_m </tex>, где <tex> \lambda_i</tex> — дробление отрезка <tex> a_i .. b_i </tex>.
| |
| − | | |
| − | ===13. Что значит, что одно дробление мельче другого === | |
| − | Дробление a мельче дробления b, если набор точек дробления a содержится в наборе этих точек для b.
| |
| − | И это для отрезка, а для параллелепипеда дробление мельче, если для всех описанных выше дроблений из лямбды верно, что дробление из одного мельче дробления из другого.
| |
| − | | |
| − | ===14. Сумма Дарбу === | |
| − | http://dl.dropbox.com/u/42066744/%D0%9E%D1%87%D0%B5%D0%B2%D0%B8%D0%B4%D0%BD%D0%BE/%D0%9E.%D0%9B.%D0%92%D0%B8%D0%BD%D0%BE%D0%B3%D1%80%D0%B0%D0%B4%D0%BE%D0%B2%20%D1%82%D0%BE%D0%BC%202.pdf
| |
| − | страница 9
| |
| − | | |
| − | ===15. Верхний интеграл Дарбу === | |
| − | http://dl.dropbox.com/u/42066744/%D0%9E%D1%87%D0%B5%D0%B2%D0%B8%D0%B4%D0%BD%D0%BE/%D0%9E.%D0%9B.%D0%92%D0%B8%D0%BD%D0%BE%D0%B3%D1%80%D0%B0%D0%B4%D0%BE%D0%B2%20%D1%82%D0%BE%D0%BC%202.pdf
| |
| − | страница 12
| |
| − | | |
| − | ===16. Интегрируемая по Риману функция === | |
| − | http://dl.dropbox.com/u/42066744/%D0%9E%D1%87%D0%B5%D0%B2%D0%B8%D0%B4%D0%BD%D0%BE/%D0%9E.%D0%9B.%D0%92%D0%B8%D0%BD%D0%BE%D0%B3%D1%80%D0%B0%D0%B4%D0%BE%D0%B2%20%D1%82%D0%BE%D0%BC%202.pdf
| |
| − | страница 15
| |
| − | | |
| − | ===*17. Интеграл функции по параллелепипеду=== | |
| − | ???
| |
| − | | |
| − | ===18. Риманова сумма=== | |
| | {{Определение | | {{Определение |
| | |definition= | | |definition= |
| − | Пусть <tex>\overline{x_k}</tex> {{---}} произвольное <tex>x</tex> из <tex>\left [ x_k,x_{k+1} \right ]</tex>, <tex>f</tex> {{---}} функция, заданная на отрезке <tex>[a; b]</tex>, <tex>\tau</tex> {{---}} разбиение отрезка <tex>[a; b]</tex>.
| + | <tex>\mu : P \rightarrow \overline{\mathbb R}</tex> — объем, если: |
| | + | # <tex>\mu(\varnothing) = 0</tex> |
| | + | # <tex>\forall A, A_1 ... A_n \in P : A = \underset{i=1}{\overset{n}{\cup}}{A_i} \Rightarrow \mu A = \underset{i=1}{\overset{n}{\sum}}{A_i}</tex> |
| | + | # <tex>\forall A: \mu A \ge 0</tex> |
| | | | |
| − | Тогда <tex>\sigma \left ( f, \tau, \left \{ \overline{x_k} \right \} \right )</tex>
| + | Если <tex>\forall A : \mu A \neq +\infty</tex>, то объем называется конечным. |
| − | (также обозначается как <tex>\sigma \left ( f, \tau \right )</tex> или <tex>\sigma \left ( \tau \right )</tex>)
| |
| − | <tex>~= \sum\limits_{k=0}^{n-1}</tex> <tex>f \left ( \overline{x_k} \right )\cdot\Delta_{k}</tex>
| |
| − | называется '''интегральной суммой Римана''' по разбиению <tex>\tau</tex>. | |
| | }} | | }} |
| | | | |
| − | <tex>I= \lim\limits_{\operatorname{rang} \tau\to 0} \sigma \left ( f, \tau \right )</tex> <tex>\stackrel{\mathrm{def}}{\iff} </tex> <tex>\forall \varepsilon >0\ \exists \delta >0\ \forall \tau : \operatorname{rang} \tau<\delta \Rightarrow \left | \sigma \left ( f, \tau \right ) - I \right | < \varepsilon</tex>
| + | ===Мера=== |
| − | | + | ===Сигма-конечная мера=== |
| − | ===19. Колебание функции на множестве=== | + | ===Борелевская оболочка системы множеств=== |
| − | http://dl.dropbox.com/u/42066744/%D0%9E%D1%87%D0%B5%D0%B2%D0%B8%D0%B4%D0%BD%D0%BE/%D0%9E.%D0%9B.%D0%92%D0%B8%D0%BD%D0%BE%D0%B3%D1%80%D0%B0%D0%B4%D0%BE%D0%B2%20%D1%82%D0%BE%D0%BC%202.pdf
| + | ===Борелевская сигма-алгебра в $\mathbb R^m$=== |
| − | страница 14
| + | ===Мера Лебега=== |
| − | | + | ===Теорема о Лебеговском продолжении меры=== |
| − | ===20. Множество объема 0=== | + | ===Полная мера=== |
| − | | + | ===Теорема о мерах, инвариантных относительно сдвига=== |
| − | ===21. Множество меры 0=== | + | ===Мера Лебега--Стилтьеса, мера Бореля--Стилтьеса=== |
| − | Говорят, что множество <tex>E\subset\mathbb{R}</tex> имеет '''нулевую меру''', если <tex>\forall\varepsilon>0</tex> множество <tex>E</tex> можно заключить в не более чем счетное объединение интервалов, суммарная длина которых меньше <tex>\varepsilon</tex>.
| + | ===Степенчатая функция=== |
| − | | + | ===Разбиение, допустимое для ступенчатеой функции=== |
| − | ===22. Интеграл с переменным верхним пределом=== | + | ===Измеримая функция=== |
| − | http://dl.dropbox.com/u/42066744/%D0%9E%D1%87%D0%B5%D0%B2%D0%B8%D0%B4%D0%BD%D0%BE/%D0%9E.%D0%9B.%D0%92%D0%B8%D0%BD%D0%BE%D0%B3%D1%80%D0%B0%D0%B4%D0%BE%D0%B2%20%D1%82%D0%BE%D0%BC%202.pdf
| + | ===Свойство, выполняющееся почти везде=== |
| − | страница 29
| + | ===Сходимость почти везде=== |
| − | | + | ===Сходимость по мере=== |
| − | ===23. Кусочно-непрерывная функция=== | + | ===Эквивалентные функции=== |
| − | Функция <tex>f:[a,b]\to\mathbb{R}</tex> называется '''кусочно-непрерывной''' на <tex>[a,b]</tex>, если множество ее точек разрыва пусто или конечно, и все имеющиеся разрывы - первого рода.
| |
| − | | |
| − | ===24. Почти первообразная=== | |
| − | | |
| − | ===25. Несобственный интеграл=== | |
| − | Определённый интеграл называется несобственным, если выполняется, по крайней мере, одно из следующих условий:
| |
| − | #Предел a или b (или оба предела) являются бесконечными;
| |
| − | #Функция f(x) имеет одну или несколько точек разрыва внутри отрезка [a, b].
| |
| − | | |
| − | == Теоремы == | |
| | | | |
| − | === Правило Лопиталя ===
| |
| − | f,g: (a;b) -> R; a принадлежит R с чертой; f,g дифференцируемы на (a;b); g' != 0 на (a;b); lim f(x)/g(x) имеет неопределенность вида 0/0 или inf/inf; lim f'(x)/g'(x) = L, L принадлежит R с чертой. Тогда существует lim f(x)/g(x) = L; везде x -> a + 0.
| |
| | | | |
| − | == *Замечание о представимости функции рядом Тейлора == | + | == Формулировки == |
| − | ???(муть записана)
| + | ===Характеризация жордановых множеств с помощью параллелепипедов=== |
| | + | ===Аддитивность интеграла по жорданову множеству. Усиленная аддитивность=== |
| | + | ===Теорема Фубини=== |
| | + | ===Свойства переноса 1-форм (внешнее произведение, диффернциал, вычисление на векторе)=== |
| | + | ===Свойства объема: усиленная монотонность, конечная полуаддитивность, "субтрактивность"=== |
| | + | ===Теорема об эквивалентности счетной аддитивности и счетной полуаддитивности=== |
| | + | ===Теорема о непрерывности снизу=== |
| | + | ===Теорема о непрерывности сверху=== |
| | + | ===Счетная аддитивность классического объема=== |
| | + | ===Регулярность меры Лебега=== |
| | + | ===Лемма о переносе меры с помощью отображения=== |
| | + | ===Лемма о сохранении измеримости=== |
| | + | ===Теорема о сохранении измеримости при гладком отображении=== |
| | + | ===Сохранение меры Лебега при ортогональных преобразованиях=== |
| | + | ===Лемма "о структуре компактного оператора"=== |
| | + | ===Теорема о преобразовании меры Лебега при линейном отображении=== |
| | + | ===Теорема об измеримости пределов и супремумов=== |
| | + | ===Характеризация измеримых функций с помощью ступенчатых=== |
| | + | ===Измеримость монотонной функции=== |
| | + | ===Теорема Лебега о сходимости почти везде и сходимости по мере=== |
| | + | ===Теорема Рисса о сходимости по мере и сходимости почти везде=== |
