Решение уравнений в регулярных выражениях — различия между версиями

Материал из Викиконспекты
Перейти к: навигация, поиск
м (rollbackEdits.php mass rollback)
 
(не показано 29 промежуточных версий 4 участников)
Строка 1: Строка 1:
 +
== Уравнения в регулярных выражениях ==
 +
Поскольку алгебра [[Регулярные языки: два определения и их эквивалентность | регулярных выражений]] является частным случаем алгебры Клини, то и соответствующие уравнения можно рассматривать как уравнения алгебры Клини. Сама эта алгебра классически используется в [[Теория формальных языков | теории формальных языков]], но также была применена к алгоритмам поиска пути в графах<ref>[http://www.researchgate.net/publication/223558454_Regular_algebra_applied_to_language_problems/links/00b7d52caa66919923000000.pdf R.C. Backhouse, B.A. Carre: ''Regular algebra applied to path-finding problems''. J. Institute of Mathematics and its applications '''15''', 161-186 (1975)]</ref>, нахождения выпуклой оболочки<ref>[http://oai.cwi.nl/oai/asset/5015/05015D.pdf K. Clenaghan: ''Calculational graph algorithmics: reconciling two approaches with dynamic algebra''. CWI Amsterdam, Report CS-R9518, 1995]</ref>. В компиляторах она может быть использована для доказательства корректности методик оптимизации циклов<ref>[http://www.cs.cornell.edu/~kozen/papers/opti.pdf M.C. Patron, D. Kozen: ''Certification of compiler optimizations using Kleene algebra with tests'', Report 99-1779, Computer Science Department, Cornell University, Dec. 1999.]</ref>.
 +
 
==Решение уравнений в регулярных выражениях==
 
==Решение уравнений в регулярных выражениях==
 +
Пусть <tex>X</tex> — некий [[Основные_определения:_алфавит,_слово,_язык,_конкатенация,_свободный_моноид_слов;_операции_над_языками | язык]], для которого выполняется равенство <tex>X = \alpha X + \beta </tex>, где <tex>\alpha,\,\beta</tex> — некие регулярные выражения над неким алфавитом  <tex>A</tex>.
 +
 
{{Утверждение
 
{{Утверждение
 
|statement=
 
|statement=
Пусть уравнение имеет вид <tex>X = \alpha X + \beta</tex>, тогда:
+
Пусть уравнение имеет вид <tex> X = \alpha X + \beta \Rightarrow \, 1)</tex>  
если <tex>\varepsilon \notin \alpha \Rightarrow \alpha^{*} \beta</tex> — единственное решение. если <tex>\varepsilon \in \alpha \Rightarrow \alpha^{*}( \beta + \alpha)</tex> — решение для <tex>\forall \alpha</tex>
+
если <tex>\varepsilon \notin \alpha </tex>, тогда <tex> \alpha^{*} \beta</tex> — единственное решение <tex>2)</tex> если <tex>\varepsilon \in \alpha </tex>, тогда <tex> \alpha^{*}( \beta + L)</tex> — решение для <tex>\forall L</tex>
 
|proof=
 
|proof=
<tex> 1) \varepsilon \notin \alpha </tex>. тогда <tex>\forall i: \alpha^{i} \beta \subset X </tex> для <tex>\forall L \Rightarrow \alpha^{*} \beta \subset X </tex>. Пусть <tex>\exists z \in X, z\notin \alpha^{*} \beta: z</tex> — самое короткое. <tex>z=z_\alpha z', </tex> где <tex>z_\alpha \in \alpha \Rightarrow z_\alpha \notin \varepsilon \Rightarrow z'</tex> — короче <tex>z \Rightarrow z' \in \alpha^{*} \beta \Rightarrow z \in \alpha^{*} \beta \Rightarrow X = \alpha^{*} \beta </tex>  
+
<tex> 1) </tex> Пусть <tex>\varepsilon \notin \alpha </tex>. Тогда <tex>\forall i \geqslant 0: </tex> выражение <tex>\alpha^{i} \beta \subset X </tex>, следовательно <tex> \alpha^{*} \beta \subset X </tex>. Докажем это индукцией по <tex>i</tex>: при <tex>i = 0</tex> из начального равенства <tex>\beta \subset X</tex>, и если <tex>\alpha^{i} \beta \subset X</tex>, то <tex>\alpha^{i+1} \beta = \alpha \alpha^{i} \beta \subset \alpha X \subset X</tex>.
  
 +
Пусть существует <tex> z \in X,\, z\notin \alpha^{*} \beta</tex> такой, что <tex> z </tex> — самое короткое; тогда <tex>z \notin \beta \subset \alpha^{*} \beta \Rightarrow z \in \alpha X, z=z_\alpha z', </tex> где <tex>z_\alpha \in \alpha, z' \in X, z' \notin \alpha^{*} \beta </tex>.
  
 +
Тогда <tex> z_\alpha \ne \varepsilon \Rightarrow z'</tex> короче <tex>z</tex>, противоречие, тогда не существует самого короткого <tex>z</tex>, значит не существует никакого.
  
<tex> 2) \varepsilon \in \alpha</tex>. предположим, что  <tex> \alpha^{*}( \beta + \alpha) </tex> — решение, тогда <tex> \alpha^{*}( \beta + \alpha) </tex> подходит в <tex>X = \alpha X + \beta</tex>. Выберем в качестве <tex>L</tex> любой язык.
 
  
  
<tex>\Rightarrow  \alpha^{*} ( \beta + L ) \alpha  \alpha^{*} ( \beta + L ) \beta \alpha^{*} \beta + \alpha^{*} \alpha = \alpha^{+} \beta + \alpha^{*} L + \beta = \alpha^{*} \beta + \alpha^{*} L = \alpha^{*}( \beta + \alpha) </tex>. что и требовалось доказать
+
<tex> 2)</tex> Пусть <tex> \varepsilon \in \alpha</tex>. Тогда можно представить этот язык в виде <tex>\alpha = \varepsilon + \alpha_{1}, \varepsilon \notin \alpha_{1}</tex>, а исходное равенство преобразуется в <tex>\varepsilon X + \alpha_{1} X + \beta = X</tex>. Теперь мы можем взять в качестве базы индукции не просто <tex>\beta</tex>, а любой язык <tex>L \supset \beta</tex>, или, что то же самое, любой <tex>\beta + L</tex>, и дальше показать <tex>\forall i \geqslant 0: {\alpha_{1}}^{i} (\beta + L) \subset X \Rightarrow {\alpha_{1}}^{*} (\beta + L) \subset X</tex>, а потом отсутствие самого короткого <tex>z \in X, z \notin {\alpha_{1}}^{*}(\beta + L)</tex>. Заметим, что <tex>\alpha^{*}={\alpha_{1}}^{*}</tex>, тогда <tex>X = {\alpha_{1}}^{*}(\beta + L) = \alpha^{*}(\beta + L)</tex>.
  
 
}}
 
}}
 +
 +
==Решение системы уравнений в регулярных выражениях==
 +
Пусть система уравнений имеет вид:
 +
 +
 +
<tex>
 +
\begin{cases}
 +
    \alpha_{11} X_1 + \alpha_{12} X_2 + \dots + \alpha_{1n} X_n + \beta_1 = X_1 \\
 +
    \alpha_{21} X_1 + \alpha_{22} X_2 + \dots + \alpha_{2n} X_n + \beta_2 = X_2\\
 +
    \dots\\
 +
    \alpha_{n1} X_1 + \alpha_{n2} X_2 + \dots + \alpha_{nn} X_n + \beta_n = X_n \\
 +
\end{cases}
 +
</tex>
 +
 +
 +
'''Метод решения'''
 +
 +
Выразим <tex>X_1</tex> из первого уравнения и подставим во второе уравнение: <tex>X_2 = ( \alpha_{21} \alpha_{11}^{*} \alpha_{12} +\alpha_{22} ) X_2 + (\alpha_{21} \alpha_{11}^{*} \alpha_{13} + \alpha_{23}) X_3 + \dots + (\alpha_{21} \alpha_{11}^{*} \alpha_{1n} + \alpha_{2n}) X_n</tex> <tex>+ \beta_2</tex>.
 +
 +
Пусть <tex> a =( \alpha_{21} \alpha_{11}^{*} \alpha_{12} +\alpha_{22} ) </tex>, <tex> b =(\alpha_{21} \alpha_{11}^{*} \alpha_{13} + \alpha_{23}) X_3 + \dots + (\alpha_{21} \alpha_{11}^{*} \alpha_{1n} + \alpha_{2n}) X_n + \beta_2 </tex>, тогда уравнение примет вид <tex>X_2=a X_2 + b</tex>. Его решением будет <tex>a^{*} b</tex>. Подставим в следующее уравнение выраженный <tex>X_2</tex>.
 +
 +
Далее выполняя схожие итерации получим уравнение <tex>X_n = a' X_n + b'</tex>, где <tex> a'=f( \alpha_{11} \dots \alpha_{1n} \alpha_{2n} \dots \alpha_{nn} ),\, b'=g( \alpha_{11} \dots \alpha_{1n} \alpha_{2n} \dots \alpha_{nn} ) </tex>, тогда <tex>X_n= f^{*}( \alpha_{11} \dots \alpha_{1n} \alpha_{2n} \dots \alpha_{nn} )g( \alpha_{11} \dots \alpha_{1n} \alpha_{2n} \dots \alpha_{nn} )</tex>.
 +
 +
Далее подставляя в полученные в ходе итераций уравнения найденный <tex> X_i </tex>, обратной прогонкой найдем <tex>X_1 \dots X_{n-1} </tex>.
 +
 +
== Пример решения системы уравнений в регулярных выражениях ==
 +
Пусть нам нужно найти регулярное выражение, соответствующее языку <tex>L_0</tex>, слова которого интерпретируются как последовательности чисел <tex>0, 1, 2</tex>, а языку удовлетворяют слова, сумма чисел в которых делится на 3. Тогда доопределив языки <tex>L_1, L_2</tex>, сумма чисел в словах из <tex>L_i</tex> равна <tex>3 - i</tex> по модулю <tex>3</tex>, получим систему уравнений в регулярных выражениях:
 +
 +
<tex>
 +
\begin{cases}
 +
L_0 = 0L_0 + 1L_1 + 2L_2 + \varepsilon \\
 +
L_1 = 2L_0 + 0L_1 + 1L_2 \\
 +
L_2 = 1L_0 + 2L_1 + 0L_2
 +
\end{cases}
 +
</tex>
 +
 +
Поскольку нам нужно найти только <tex>L_0</tex>, чтобы избежать обратной прогонки, начнём выражать языки с <tex>L_2</tex>.
 +
 +
<tex>L_2 = 0L_2 + (1L_0 + 2L_1), \varepsilon \notin 0 \Rightarrow L_2 = 0^*(1L_0+2L_1)</tex>
 +
 +
<tex>L_1 = 2L_0 + 0L_1 + 1L_2 = 2L_0 + 0L_1 + 10^*(1L_0+2L_1) = </tex>
 +
 +
<tex> = (0 + 10^*2)L_1 + (2 + 10^*1)L_0, \varepsilon \notin (0 + 10^*2) \Rightarrow L_1 = (0 + 10^*2)^*(2 + 10^*1)L_0</tex>
 +
 +
<tex>L_0 = 0L_0 + 1L_1 + 2L_2 + \varepsilon = 0L_0 + 1L_1 + 20^*(1L_0 + 2L_1) + \varepsilon = </tex>
 +
 +
<tex> = (0 + 20^*1)L_0 + (1 + 20^*2)L_1 + \varepsilon = </tex>
 +
 +
<tex>(0 + 20^*1)L_0 + (1 + 20^*2)(0 + 10^*2)^*(2 + 10^*1)L_0 + \varepsilon = </tex>
 +
 +
<tex> = (0 + 20^*1 + (1 + 20^*2)(0 + 10^*2)^*(2 + 10^*1))L_0 + \varepsilon </tex>
 +
 +
<tex>\varepsilon \notin (0 + 20^*1 + (1 + 20^*2)(0 + 10^*2)^*(2 + 10^*1)) \Rightarrow </tex>
 +
 +
<tex> \Rightarrow L_0 = (0 + 20^*1 + (1 + 20^*2)(0 + 10^*2)^*(2 + 10^*1))^* </tex>
 +
 +
== Примечания ==
 +
<references/>
 +
 +
== См. также ==
 +
* [[Альтернативное доказательство теоремы Клини (через систему уравнений в регулярных выражениях)]]
 +
 +
== Источники информации ==
 +
* [https://ru.wikipedia.org/wiki/Алгебра_Клини Википедия {{---}} Алгебра Клини]
 +
* [https://www.informatik.uni-augsburg.de/lehrstuehle/dbis/pmi/staff/moeller/talks/pdf/dagstuhl.pdf Applications of Kleene Algebra]
 +
* [http://www-sst.informatik.tu-cottbus.de/~wwwti/Studium/04PSAutomaten/Zusamenfassungen/03DuSuikang.pdf Kleene Algebra and Regular Expressions]
 +
 +
[[Категория: Теория формальных языков]]
 +
[[Категория: Автоматы и регулярные языки]]
 +
[[Категория: В разработке]]

Текущая версия на 19:18, 4 сентября 2022

Уравнения в регулярных выражениях

Поскольку алгебра регулярных выражений является частным случаем алгебры Клини, то и соответствующие уравнения можно рассматривать как уравнения алгебры Клини. Сама эта алгебра классически используется в теории формальных языков, но также была применена к алгоритмам поиска пути в графах[1], нахождения выпуклой оболочки[2]. В компиляторах она может быть использована для доказательства корректности методик оптимизации циклов[3].

Решение уравнений в регулярных выражениях

Пусть [math]X[/math] — некий язык, для которого выполняется равенство [math]X = \alpha X + \beta [/math], где [math]\alpha,\,\beta[/math] — некие регулярные выражения над неким алфавитом [math]A[/math].

Утверждение:
Пусть уравнение имеет вид [math] X = \alpha X + \beta \Rightarrow \, 1)[/math] если [math]\varepsilon \notin \alpha [/math], тогда [math] \alpha^{*} \beta[/math] — единственное решение [math]2)[/math] если [math]\varepsilon \in \alpha [/math], тогда [math] \alpha^{*}( \beta + L)[/math] — решение для [math]\forall L[/math]
[math]\triangleright[/math]

[math] 1) [/math] Пусть [math]\varepsilon \notin \alpha [/math]. Тогда [math]\forall i \geqslant 0: [/math] выражение [math]\alpha^{i} \beta \subset X [/math], следовательно [math] \alpha^{*} \beta \subset X [/math]. Докажем это индукцией по [math]i[/math]: при [math]i = 0[/math] из начального равенства [math]\beta \subset X[/math], и если [math]\alpha^{i} \beta \subset X[/math], то [math]\alpha^{i+1} \beta = \alpha \alpha^{i} \beta \subset \alpha X \subset X[/math].

Пусть существует [math] z \in X,\, z\notin \alpha^{*} \beta[/math] такой, что [math] z [/math] — самое короткое; тогда [math]z \notin \beta \subset \alpha^{*} \beta \Rightarrow z \in \alpha X, z=z_\alpha z', [/math] где [math]z_\alpha \in \alpha, z' \in X, z' \notin \alpha^{*} \beta [/math].

Тогда [math] z_\alpha \ne \varepsilon \Rightarrow z'[/math] короче [math]z[/math], противоречие, тогда не существует самого короткого [math]z[/math], значит не существует никакого.


[math] 2)[/math] Пусть [math] \varepsilon \in \alpha[/math]. Тогда можно представить этот язык в виде [math]\alpha = \varepsilon + \alpha_{1}, \varepsilon \notin \alpha_{1}[/math], а исходное равенство преобразуется в [math]\varepsilon X + \alpha_{1} X + \beta = X[/math]. Теперь мы можем взять в качестве базы индукции не просто [math]\beta[/math], а любой язык [math]L \supset \beta[/math], или, что то же самое, любой [math]\beta + L[/math], и дальше показать [math]\forall i \geqslant 0: {\alpha_{1}}^{i} (\beta + L) \subset X \Rightarrow {\alpha_{1}}^{*} (\beta + L) \subset X[/math], а потом отсутствие самого короткого [math]z \in X, z \notin {\alpha_{1}}^{*}(\beta + L)[/math]. Заметим, что [math]\alpha^{*}={\alpha_{1}}^{*}[/math], тогда [math]X = {\alpha_{1}}^{*}(\beta + L) = \alpha^{*}(\beta + L)[/math].
[math]\triangleleft[/math]

Решение системы уравнений в регулярных выражениях

Пусть система уравнений имеет вид:


[math] \begin{cases} \alpha_{11} X_1 + \alpha_{12} X_2 + \dots + \alpha_{1n} X_n + \beta_1 = X_1 \\ \alpha_{21} X_1 + \alpha_{22} X_2 + \dots + \alpha_{2n} X_n + \beta_2 = X_2\\ \dots\\ \alpha_{n1} X_1 + \alpha_{n2} X_2 + \dots + \alpha_{nn} X_n + \beta_n = X_n \\ \end{cases} [/math]


Метод решения

Выразим [math]X_1[/math] из первого уравнения и подставим во второе уравнение: [math]X_2 = ( \alpha_{21} \alpha_{11}^{*} \alpha_{12} +\alpha_{22} ) X_2 + (\alpha_{21} \alpha_{11}^{*} \alpha_{13} + \alpha_{23}) X_3 + \dots + (\alpha_{21} \alpha_{11}^{*} \alpha_{1n} + \alpha_{2n}) X_n[/math] [math]+ \beta_2[/math].

Пусть [math] a =( \alpha_{21} \alpha_{11}^{*} \alpha_{12} +\alpha_{22} ) [/math], [math] b =(\alpha_{21} \alpha_{11}^{*} \alpha_{13} + \alpha_{23}) X_3 + \dots + (\alpha_{21} \alpha_{11}^{*} \alpha_{1n} + \alpha_{2n}) X_n + \beta_2 [/math], тогда уравнение примет вид [math]X_2=a X_2 + b[/math]. Его решением будет [math]a^{*} b[/math]. Подставим в следующее уравнение выраженный [math]X_2[/math].

Далее выполняя схожие итерации получим уравнение [math]X_n = a' X_n + b'[/math], где [math] a'=f( \alpha_{11} \dots \alpha_{1n} \alpha_{2n} \dots \alpha_{nn} ),\, b'=g( \alpha_{11} \dots \alpha_{1n} \alpha_{2n} \dots \alpha_{nn} ) [/math], тогда [math]X_n= f^{*}( \alpha_{11} \dots \alpha_{1n} \alpha_{2n} \dots \alpha_{nn} )g( \alpha_{11} \dots \alpha_{1n} \alpha_{2n} \dots \alpha_{nn} )[/math].

Далее подставляя в полученные в ходе итераций уравнения найденный [math] X_i [/math], обратной прогонкой найдем [math]X_1 \dots X_{n-1} [/math].

Пример решения системы уравнений в регулярных выражениях

Пусть нам нужно найти регулярное выражение, соответствующее языку [math]L_0[/math], слова которого интерпретируются как последовательности чисел [math]0, 1, 2[/math], а языку удовлетворяют слова, сумма чисел в которых делится на 3. Тогда доопределив языки [math]L_1, L_2[/math], сумма чисел в словах из [math]L_i[/math] равна [math]3 - i[/math] по модулю [math]3[/math], получим систему уравнений в регулярных выражениях:

[math] \begin{cases} L_0 = 0L_0 + 1L_1 + 2L_2 + \varepsilon \\ L_1 = 2L_0 + 0L_1 + 1L_2 \\ L_2 = 1L_0 + 2L_1 + 0L_2 \end{cases} [/math]

Поскольку нам нужно найти только [math]L_0[/math], чтобы избежать обратной прогонки, начнём выражать языки с [math]L_2[/math].

[math]L_2 = 0L_2 + (1L_0 + 2L_1), \varepsilon \notin 0 \Rightarrow L_2 = 0^*(1L_0+2L_1)[/math]

[math]L_1 = 2L_0 + 0L_1 + 1L_2 = 2L_0 + 0L_1 + 10^*(1L_0+2L_1) = [/math]

[math] = (0 + 10^*2)L_1 + (2 + 10^*1)L_0, \varepsilon \notin (0 + 10^*2) \Rightarrow L_1 = (0 + 10^*2)^*(2 + 10^*1)L_0[/math]

[math]L_0 = 0L_0 + 1L_1 + 2L_2 + \varepsilon = 0L_0 + 1L_1 + 20^*(1L_0 + 2L_1) + \varepsilon = [/math]

[math] = (0 + 20^*1)L_0 + (1 + 20^*2)L_1 + \varepsilon = [/math]

[math](0 + 20^*1)L_0 + (1 + 20^*2)(0 + 10^*2)^*(2 + 10^*1)L_0 + \varepsilon = [/math]

[math] = (0 + 20^*1 + (1 + 20^*2)(0 + 10^*2)^*(2 + 10^*1))L_0 + \varepsilon [/math]

[math]\varepsilon \notin (0 + 20^*1 + (1 + 20^*2)(0 + 10^*2)^*(2 + 10^*1)) \Rightarrow [/math]

[math] \Rightarrow L_0 = (0 + 20^*1 + (1 + 20^*2)(0 + 10^*2)^*(2 + 10^*1))^* [/math]

Примечания

См. также

Источники информации