Квадратичные формы

Основные определения

$\mathbb{R}$. Пусть $\Phi(x,y)$ - симметричная билинейная форма, т.е. $\Phi(x,y) = \sum\limits_{i,k=1}^n \varphi_{ik} \cdot \xi^k \cdot \eta^k$ (1), причем: $\Phi=||\varphi||:\varphi_{ik}=\varphi_{ki}$ (т.е. $\Phi=\Phi^T$, т.е. симметрична)

$\mathbb{C}$. Пусть $\Phi(x,y)$ - эрмитова форма, т.е. $\Phi(x,y) = \displaystyle \sum_{i,k=1}^n \varphi_{ik} \cdot \xi^i \cdot \overline\eta^k$ (2), где $\Phi=||\varphi_{ik}||:\varphi_{ik}=\overline{\varphi_{ki}}$ (т.е. $\Phi=\overline{\Phi^T}=\Phi^*$, т.е. эрмитова)

Определение:

Квадратичной формой называется $\Phi(x,x)$, полученная взятием $y=x$

Пример.

$\mathbb{E}=\mathbb{R}^3$

$\Phi(x,x) = 2(\xi^1)^2+4\xi^1\xi^2-(\xi^3)^2$

$\Phi=||\{2,2,0\},\{2,0,0\},\{0,0,1\}||$ - матрица по строкам

Преобразование матрицы квадратичной формы при замене базиса.

С. $\{e_i\}^n \rightarrow \{e_k\}_{k=1}^n$

$\varphi_{ik}=\Phi(e_i,e_k)$

$\widehat{\varphi_{ik}}=\Phi(\widehat{e_i},\widehat{e_k}) = \Phi(\tau_i^se_s,\tau_k^te_k) = \tau_i^s\overline{\tau_k^t}\Phi(e_s,e_k)=\tau_s^i\varphi_{sk}\overline{\tau_k^t}$

$\widehat{\Phi} = T^T \cdot \Phi \cdot \overline{T}$ (для $\mathbb{C}$) (*)

$\Phi = T^T \cdot \Phi \cdot T$ (для $\mathbb{R}$) (**)

Приведение к каноническому виду методом Лагранжа

Определение:

$\mathbb{R}$: $\Phi(x,x)=\displaystyle \sum_{i=1}^n \lambda_i(\xi^i)^2$ (3) $\mathbb{C}$: $\Phi(x,x)=\displaystyle \sum_{i=1}^n \lambda_i|\xi^i|^2$ (4)

Пример.

$\Phi(x,x)=4x_1^2+4x_1x_2+5x_2^2 = (2x_1+x_2)^2+4x_2^2$

$\widehat{x_1} = 2x_1+x_2$

$\widehat{x_2}=x_2$

$\widehat{\Phi}(x,x)=\widehat{x_1^2}+4\widehat{x_2^2}$

Приведение к каноническому виду унитарным преобразованием

Рассмотрим (*) $\Phi = T^T\cdot \Phi \cdot \overline{T}$ (для С)

Рассмотрим $\Phi = \Phi^* = \overline{\Phi^T} в \{e_1, e_2, ..., e_n\}$

1) $\sigma_{\Phi} \in \mathcal{R}$

2) из собственных вектором $\Phi$ можно сделать ортонормированный базис $\mathcal{E}$

Пусть $T$ - унитарная $T^{-1} = \overline{T^T} \Rightarrow T^T = \overline{T^{-1}} = (\overline{T})^{-1}$

$\widehat{\Phi} = (\overline{T})^{-1} \cdot \Phi \cdot T$

Спектральный анализ $\Phi$

1) $\sigma_{\Phi} = \{\lambda_1, ..., \lambda_n\} \subset \mathcal{R}$

2) Ортонормированный базис из собственных векторов $\{e_1,...,e_n\}$

$U = (e_1,...,e_n)$

$\overline{T} = U$

$\widehat{\Phi} = U^{-1} \cdot \Phi$

Закон инерции квадратичной формы

Теорема:

Каким бы способом квадратичная форма не была бы приведена, количество положительных, отрицательных и нулевых $\lambda$ постоянно. индексы инерции: $n_{+}$ $n_{-}$ $n_{0}$ $(n_{+}, n_{-}, n_{0})$ - сигнатура квадратичной формы.

Доказательство:

$\triangleright$

Пусть $\Phi(x,x) = \lambda_1|\xi^1|^2+...+\lambda_p|\xi^p|^2+ \lambda_{p+1}|\xi^{p+1}|^2 +...+\lambda_{p+q}|\xi^{p+q}|^2$ $\Phi(x,x) = \widehat{\lambda}_{1}|\xi^{1}|^2 +...+\widehat{\lambda}_{\widehat{p}}|\xi^{\widehat{p}}|^2+\widehat{\lambda}_{\widehat{p}+1}|\xi^{\widehat{p}+1}|^2+...+\widehat{\lambda}_{\widehat{p}+\widehat{q}}|\xi^{\widehat{p}+\widehat{q}}|^2$ $p+q\leqslant dim E=n$ $\lambda_i \gt 0$ для $i=1,...,p$ $\lambda_j \lt 0$ для $j=p+1,p+q$ $\widehat{p}+\widehat{q} \leqslant n$ $\widehat{\lambda_i} \gt 0$ для $i=1,...,\widehat{p}$ $\widehat{\lambda_j} \lt 0$ для $j=\widehat{p}+1, \widehat{p}+\widehat{q}$ Надо: $p=\widehat{p}$ (?), $q=\widehat{q}$ (?) $\lt - U$: 1) Пусть $p \gt \widehat{p}$; п.п. $L =$л.о. $\{e_1,...,e_p\}$, $dim L=p$ $\widehat{L} =$ л.о. $\{\widehat{e}_{\widehat{p}+1},...,\widehat{e}_{\widehat{p}+\widehat{q}},...,\widehat{e}_n\}$ $\dim \widehat{L}=n-\widehat{p}$ $\dim L + \dim \widehat{L} = (p-\widehat{p})+n \gt n$ $\dim L + dim \widehat{L} = dim (L+\widehat{L}) + dim (L \cap \widehat{L})$ $\dim L + dim \widehat{L} \gt n$ $dim (L+\widehat{L}) \geqslant n$ $dim (L \cap \widehat{L}) \geqslant 1$ $L per \widehat{L} \ne \{Ox\} \Rightarrow \exists z \in L, z \in \widehat{L} (z \ne 0)$ $\Phi(z,z) \gt 0, \Phi(z,z) \leqslant 0 \Rightarrow p\gt \widehat{p} и p \lt \widehat{p}$ - неверно $\Rightarrow$ $p\leqslant\widehat{p}$ и $p\geqslant\widehat{p} \Rightarrow p = \widehat{p}$, ч.т.д.

$\triangleleft$

Теорема:

Для того, чтобы квадратичная форма была бы положительно определенной необходимо и достаточно, чтобы её $n_+=n$ (размерность пространства)

Одновременное приведение пары квадратичных форм к сумме квадратов

Теорема:

Пусть $\Phi(x,x)$,$\Psi(x,x)$ - квадратичные формы в $\mathbb{C}$ Пусть $\Psi(x,x)$ - положительно определена. Тогда $\exists$ ортонормированный базис пространства $E$, в котором обе формы имеют канонический вид.

Доказательство:

$\triangleright$

1) Рассмотрим в $\Psi(x,x) \lt -\gt$ эрмитовы $\Psi(x,y)$ - это м.б. $\lt ; \gt _{Y}$ в $E$ Стало $\lt x,y\gt _{\Psi} = \Psi(x,y)$ Пусть ${e_i}_{i=1}^n$ - ортонормированный базис $\Phi, \Psi$ $\lt \mathcal{U}x,\mathcal{U}y\gt =\lt x,y\gt$ $\lt e_i^{'},e_j^{'}\gt =\lt \widehat{e}_i,\widehat{e}_j\gt =\delta_{ij}$ $\widehat{\Psi}(x,x)=\displaystyle \sum_{i=1}^n 1 \cdot |\widehat{\xi_i}|^2$ $\widehat{\Phi}(x,x)=\displaystyle \sum_{i=1}^n \lambda_i \cdot |\widehat{\xi_i}|^2$ Рассмотрим $\det (\Phi-\lambda \cdot \Psi) = 0 -\gt ... -\gt \{\lambda_1,...,\lambda_n\}$ $\det (\Phi^{'}-\lambda \cdot E) = 0$ $\det (\Phi - \lambda \cdot \Psi) = det (T \cdot (\Phi^{'}-\lambda \cdot E) \cdot \overline{T^T})=0$ $\det T \ne 0$, $\det \overline{T^T} \ne 0$

$\triangleleft$