Замена базиса

Матрица перехода к новому базису

[math]\{e_i\}_{i=0}^n \xrightarrow{\ T\ } \{\tilde{e}_k\}_{k=0}^n,[/math] где [math]\tilde{e}_k = \sum\limits_{j=1}^n \tau^i_k e_i[/math]

[math]T = ||\tau^i_k||[/math]

Определение:

Заданная матрица [math]T[/math] называется матрицей перехода от базиса [math]e_i[/math] к базису [math]\tilde{e}_k[/math]

Теорема:

[math]T[/math] — невырожденная матрица [math](det T \ne 0)[/math]

Доказательство:

[math]\triangleright[/math]

Столбцы матрицы линейно независимы [math]\Rightarrow Rg T = n \Rightarrow det T \ne 0[/math]

[math]\triangleleft[/math]

Тогда [math]\exists S = T^{-1} ([/math] далее [math]S = ||\sigma^i_k||)[/math]

Итого: [math]\{e_i\}_{i=0}^n \overset{T}{\underset{T^{-1}}{\longleftrightarrow}} \{\tilde{e}_k\}_{k=0}^n[/math]

Преобразование сопряженного базиса

[math] \{e_i\}_{i=0}^{n} [/math] — базис [math]X ; \quad \{f^j\}_{j=0}^{n} [/math] — базис [math]X^*[/math]

[math] (f^j; e_i) = \delta^j_i[/math]

Теорема:

[math] \{f^j\}_{j=0}^n \overset{T^{-1}}{\underset{T}{\longleftrightarrow}} \{\tilde{f}^k\}_{k=0}^n[/math]

Доказательство:

[math]\triangleright[/math]

[math] \tilde{f}^k \overset{!}{=} \sum\limits_{j = 1}^{n} \beta^k_j f^i[/math] Пусть [math]B[/math] — матрица перехода от [math]f^j[/math] к [math]\tilde{f}^k[/math] Рассмотрим [math]\delta^k_i = (\tilde{f}^k; \tilde{e}_i) = (\sum\limits_{j=1}^n \beta^k_j f^j; \sum\limits_{s=1}^n \tau^s_i e_s) = \sum\limits_{j, s} \beta^k_j \tau^s_i (f^j; e_s) = \sum\limits_{j=1}^n \beta^k_j \tau^j_i \delta^k_i[/math] Получается, что [math]B \cdot T = E \Rightarrow B = T^{-1} = S[/math]

[math]\triangleleft[/math]