Алгоритм Хаффмана для n ичной системы счисления — различия между версиями

Материал из Викиконспекты
Перейти к: навигация, поиск
(Построение кода Хаффмана)
м (rollbackEdits.php mass rollback)
 
(не показано 7 промежуточных версий 2 участников)
Строка 67: Строка 67:
  
 
==Построение кода Хаффмана==
 
==Построение кода Хаффмана==
€В приведенном ниже псевдокоде предполагается,что <tex>C</tex> - множество,состоящее из <tex>n</tex> символов,и что каждый из символов <tex>c \in C</tex> - объект с определенной частотой <tex>f(c)</tex>.В алгоритме строится оптимальное дерево <tex>T</tex>,соответствующее оптимальному коду,причем построение идет в восходящем направлении.Процесс построения начинается с множества,состоящего из <tex>|C|</tex> листьев,после чего последовательно выполняется <tex>|C|-1</tex> операций "слияния",в результате,которых образуется конечное дерево.Для идентификации двух наименее часто встречающихся объектов,подлежащих слиянию,используется очередь с приоритетами <tex>Q</tex>,ключами в которой являются частоты <tex>f</tex>.В результате слияния двух объектов образуется новый объект,частота появления которого является суммой частот объединенных объектов:
+
€В приведенном ниже псевдокоде предполагается,что <tex>C</tex> - множество,состоящее из <tex>n</tex> символов,и что каждый из символов <tex>c \in C</tex> - объект с определенной частотой <tex>f(c)</tex>.В алгоритме строится оптимальное дерево <tex>T</tex>,соответствующее оптимальному коду,причем построение идет в восходящем направлении.Процесс построения начинается с множества,состоящего из <tex>|C|</tex> листьев,после чего последовательно выполняется <tex>|C|-1</tex> операций "слияния",в результате,которых образуется конечное дерево.
  HUFFMAN(<tex>C</tex>)
+
  HUFFMAN(<tex>C</tex>)
1  queue <char> <math>\mathrm{Q}</math>
+
  struct Node //Звено дерева
<math>\mathrm{n}</math> = <math>\mathrm{|C|}</math>
+
        int <math>\mathrm{key}</math>, char <math>\mathrm{value}</math>   //пара ключ и значение 
<math>\mathrm{Q}</math> =(<math>\mathrm{f}</math>[<math>\mathrm{C}</math>],<math>\mathrm{C}</math>//пары в очереди,где f-частота соответствующего символа(ключ),C-множество символов(то есть значение)
+
        Node *left,*right
'''for''' <math>\mathrm{i}</math> = 1 '''to''' <math>\mathrm{n}</math> - 1 
+
  <math>\mathrm{n}</math> = <math>\mathrm{|C|}</math>
0          выделить память для узла Z //чтобы не было претензий по его определению 
+
  queue <char> <math>\mathrm{Q}</math>
5            <math>\mathrm{x}</math> = <math>\mathrm{Q}</math>.extract_min()  
+
  char <math>\mathrm{c}</math>[<math>\mathrm{n}</math>] , int <math>\mathrm{f}</math>[<math>\mathrm{n}</math>]    //массив c содержит алфавит из n различных символов,массив f - соответствующий ему набор положительных целых весов.
6            <math>\mathrm{z}</math>.left = <math>\mathrm{x}</math>                     //z.left-ребенок дерева же
+
  '''for''' <math>\mathrm{i}</math> = 1 '''to''' <math>\mathrm{n}</math>
7            <math>\mathrm{y}</math> = <math>\mathrm{Q}</math>.extract_min()
+
            <math>\mathrm{Q}</math>.insert(<math>\mathrm{f}</math>[<math>\mathrm{i}</math>],<math>\mathrm{c}</math>[<math>\mathrm{i}</math>])
8            <math>\mathrm{z}</math>.right = <math>\mathrm{y}</math>
+
  '''for''' <math>\mathrm{i}</math> = 1 '''to''' <math>\mathrm{n}</math> -
9          (<math>\mathrm{f}</math>[<math>\mathrm{z}</math>],<math>\mathrm{z}</math>) = (<math>\mathrm{f}</math>[<math>\mathrm{x}</math>] + <math>\mathrm{f}</math>[<math>\mathrm{y}</math>],<math>\mathrm{x}</math> + <math>\mathrm{y}</math>)
+
            (<math>\mathrm{min1}</math>,<math>\mathrm{x}</math>) = <math>\mathrm{Q}</math>.extract_min()
10          <math>\mathrm{Q}</math>.insert(<math>\mathrm{f}</math>,<math>\mathrm{z}</math>)
+
            <math>\mathrm{z}</math>.left = <math>\mathrm{x}</math>                    
11 '''return''' <math>\mathrm{z}</math> //теперь переменная определена             
+
            (<math>\mathrm{min2}</math>,<math>\mathrm{y}</math>) = <math>\mathrm{Q}</math>.extract_min()
 +
            <math>\mathrm{z}</math>.right = <math>\mathrm{y}</math>
 +
            <math>\mathrm{sum}</math> = <math>\mathrm{min1}</math> + <math>\mathrm{min2}</math>
 +
            <math>\mathrm{Q}</math>.insert(<math>\mathrm{sum}</math>,<math>\mathrm{z}</math>)
 +
  '''return''' <math>\mathrm{z}</math>          
  
Цикл '''for''' в строках '''4 - 10''' поочередно извлекает по два узла,<tex>x</tex> и <tex>y</tex>,которые характеризуются в очереди с наименьшими частотами,и заменяет их в очереди с новым узлом <tex>z</tex>,представляющим объединение упомянутых выше элементов.Частота появления <tex>z</tex> вычисляется в строке '''9''' как сумма частот <tex>x</tex> и <tex>y</tex>.Узел <tex>x</tex> является левым дочерним узлом <tex>z</tex>, а  <tex>y</tex> - его правым дочерним узлом.(Этот порядок является произвольным;перестановка левого и правого дочерних узлов приводит к созданию другого кода с той же стоимостью.) После <tex>n-1</tex> объединений в очереди остается один узел - корень дерева кодов,который возвращается в строке '''11'''.
 
  
 
Алгоритм работает за <tex> {O(n\log{n}}) </tex> для алфавита из <math>\mathrm{n}</math> символов.
 
Алгоритм работает за <tex> {O(n\log{n}}) </tex> для алфавита из <math>\mathrm{n}</math> символов.

Текущая версия на 19:27, 4 сентября 2022

Алгоритм

Для построения [math]n[/math]-ичного кода Хаффмана надо использовать операцию сжатия алфавита, при которой каждый раз сливаются не две, а [math]n[/math] букв исходного алфавита, имеющих наименьшие вероятности.Сжатие алфавита, при котором [math]n[/math] букв заменяются на одну, приводит к уменьшению числа букв на [math]n-1[/math]; так как для построения [math]n[/math]-ичного кода, очевидно, требуется, чтобы последовательность сжатий в конце концов привела нас к алфавиту из [math]n[/math] букв (сопоставляемых [math]n[/math] сигналам кода), то необходимо, чтобы число [math]m[/math] букв первоначального алфавита было представимо в виде [math]m = n + k(n - 1)[/math] ,[math]k \in \mathbb{Z}[/math]. Этого, однако, всегда можно добиться, добавив, если нужно, к первоначальному алфавиту еще несколько фиктивных букв, вероятности которых считаются равными нулю. После этого построение [math]n[/math]-ичного кода Хаффмана проводится уже точно так же, как и в случае двоичного кода.

Пример

Для примера возьмём слово "кириллица".Возьмем [math]n=3[/math] (троичная система счисления).Алфавит будет [math]A= \{[/math] к, и, р, л, ц, а [math]\} [/math], а набор весов [math]W=\{1, 3, 1, 2, 1, 1\}[/math]. Будем действовать согласно алгоритму выше;у нас число букв первоначального алфавита [math]m[/math] равно 6.Если подставить значения [math]n[/math] и [math]m[/math] в формулу для оптимального кодирования [math]m = n + k(n - 1)[/math] ,то получится что [math]k[/math] не является целым.Но если увеличить число [math]m[/math] на 1 (добавлением фиктивной буквы "я" с весом 0) , то можно подобрать целое [math]k[/math] равное 2. Таким образом можно записать:

Узел к и р л ц а я
Вес 1 3 1 2 1 1 0

По алгоритму возьмем три символа с наименьшей частотой — это я,к,р. Сформируем из них новый узел якр весом 2 и добавим его к списку узлов:

Узел якр и л ц а
Вес 2 3 2 1 1

Затем объединим в один узел узлы л,ц,а:

Узел якр и лца
Вес 2 3 4

И, наконец, объединяем три узла якр,и,лца. Итак, мы получили дерево Хаффмана и соответствующую ему таблицу кодов:

Символ к и р л ц а я
Код +- - +0 00 0+ 0- ++

Таким образом, закодированное слово "кириллица" будет выглядеть как "+--+0-0000-0+0-". Длина закодированного слова — 15 бит. Стоит заметить, что если бы мы использовали для кодирования каждого символа из шести по 2 бита, длина закодированного слова составила бы 18 бит.

Корректность алгоритма Хаффмана для [math]n[/math]-ичной системы счисления

Доказательство аналогично тому,что представлено в теме алгоритм Хаффмана.Только вместо двух символом с минимальными частотами надо брать [math]n[/math] символов с минимальными частотами (по алгоритму вес символа также может равняться 0).

Задача о подсчете числа бит

Имеются частоты символов,встречающихся в исходном тексте.Необходимо подсчитать суммарное число бит,необходимое для кодирования этого текста.

Возьмем [math]\mathrm{sum = 0}[/math]. На каждом шаге выбираем две наименьшие частоты,объединяем их сумму в одну частоту и добавляем в список вместо двух исходных.Новую частоту прибавляем к [math]\mathrm{sum}[/math] с присваиванием.Шаги заканчиваются тогда,когда в списке останется только одна частота.

В-итоге, [math]\mathrm{sum}[/math] - число бит необходимое для кодирования этого текста

Сложность алгоритма [math]O(n^2)[/math].

Псевдокод алгоритма:

     int [math]\mathrm{a[1..n]}[/math]      //исходный массив частот всех n символов,встречающихся в тексте"
     [math]\mathrm{sum}[/math] = 0
     do
       for [math]\mathrm{i}[/math] = 1..[math]\mathrm{n}[/math]
          find([math]\mathrm{min1}[/math],[math]\mathrm{min2}[/math])          //отыскиваем индексы двух минимальных элементов массива
       swap([math]\mathrm{a}[/math][1],[math]\mathrm{a}[/math][min1])         
       swap([math]\mathrm{a}[/math][2],[math]\mathrm{a}[/math][min2])         //теперь первые два элемента массива минимальные
       [math]\mathrm{a}[/math][2] = [math]\mathrm{a}[/math][1] + [math]\mathrm{a}[/math][2]
       [math]\mathrm{sum}[/math] += [math]\mathrm{a}[/math][2]
       [math]\mathrm{n}[/math]--
       delete([math]\mathrm{a}[/math][1])          //убираем из массива ненужный элемент и больше его не рассматриваем 
     while [math]\mathrm{n}[/math] != 1               //пока не останется одна частота в массиве
     return [math]\mathrm{sum}[/math]

Построение кода Хаффмана

€В приведенном ниже псевдокоде предполагается,что [math]C[/math] - множество,состоящее из [math]n[/math] символов,и что каждый из символов [math]c \in C[/math] - объект с определенной частотой [math]f(c)[/math].В алгоритме строится оптимальное дерево [math]T[/math],соответствующее оптимальному коду,причем построение идет в восходящем направлении.Процесс построения начинается с множества,состоящего из [math]|C|[/math] листьев,после чего последовательно выполняется [math]|C|-1[/math] операций "слияния",в результате,которых образуется конечное дерево.

  HUFFMAN([math]C[/math])
  struct Node //Звено дерева
       int  [math]\mathrm{key}[/math], char [math]\mathrm{value}[/math]   //пара ключ и значение   
       Node *left,*right
  [math]\mathrm{n}[/math] = [math]\mathrm{|C|}[/math]
  queue <char> [math]\mathrm{Q}[/math]
  char [math]\mathrm{c}[/math][[math]\mathrm{n}[/math]] , int [math]\mathrm{f}[/math][[math]\mathrm{n}[/math]]     //массив c содержит алфавит из n различных символов,массив f - соответствующий ему набор положительных целых весов.
  for [math]\mathrm{i}[/math] = 1 to [math]\mathrm{n}[/math]
           [math]\mathrm{Q}[/math].insert([math]\mathrm{f}[/math][[math]\mathrm{i}[/math]],[math]\mathrm{c}[/math][[math]\mathrm{i}[/math]])
  for [math]\mathrm{i}[/math] = 1 to [math]\mathrm{n}[/math] - 1   
           ([math]\mathrm{min1}[/math],[math]\mathrm{x}[/math]) = [math]\mathrm{Q}[/math].extract_min() 
            [math]\mathrm{z}[/math].left = [math]\mathrm{x}[/math]                     
           ([math]\mathrm{min2}[/math],[math]\mathrm{y}[/math]) = [math]\mathrm{Q}[/math].extract_min()
            [math]\mathrm{z}[/math].right = [math]\mathrm{y}[/math]
            [math]\mathrm{sum}[/math] = [math]\mathrm{min1}[/math] + [math]\mathrm{min2}[/math]
           [math]\mathrm{Q}[/math].insert([math]\mathrm{sum}[/math],[math]\mathrm{z}[/math])
  return [math]\mathrm{z}[/math]            


Алгоритм работает за [math] {O(n\log{n}}) [/math] для алфавита из [math]\mathrm{n}[/math] символов.