Неразложимые элементы, ассоциированные элементы и разложение на множители в целостных кольцах — различия между версиями
м (rollbackEdits.php mass rollback) |
|||
(не показаны 4 промежуточные версии 3 участников) | |||
Строка 2: | Строка 2: | ||
{{Определение | {{Определение | ||
|definition= | |definition= | ||
− | Пусть <tex>R</tex> {{---}} [[Делители нуля, области целостности|область целостности]], тогда <tex>p \in R</tex> | + | Пусть <tex>R</tex> {{---}} [[Делители нуля, области целостности|область целостности]], тогда <tex>p \in R</tex> называется неразложимым, если <tex>p\neq 1</tex> и из того, что <tex>p=a\cdot b \Rightarrow a=1</tex> или <tex>b=1</tex>. |
}} | }} | ||
+ | |||
==Ассоциированный элемент== | ==Ассоциированный элемент== | ||
{{Определение | {{Определение | ||
|definition= | |definition= | ||
− | Если <tex> | + | Если <tex>a\vdots b</tex> и <tex>b\vdots a</tex>, то <tex>a</tex> и <tex>b</tex> {{---}} ассоциированные элементы. |
}} | }} | ||
{{Теорема | {{Теорема | ||
Строка 16: | Строка 17: | ||
Пусть <tex>a = b\cdot c</tex>, <tex>b = a\cdot d</tex>, тогда <tex>a=b\cdot c=a\cdot d\cdot c \Rightarrow a\cdot (1-d\cdot c)=0 \Rightarrow 1-d\cdot c=0, d\cdot c=1 \Rightarrow c\cdot d</tex> {{---}} обратимый элемент. | Пусть <tex>a = b\cdot c</tex>, <tex>b = a\cdot d</tex>, тогда <tex>a=b\cdot c=a\cdot d\cdot c \Rightarrow a\cdot (1-d\cdot c)=0 \Rightarrow 1-d\cdot c=0, d\cdot c=1 \Rightarrow c\cdot d</tex> {{---}} обратимый элемент. | ||
}} | }} | ||
+ | |||
==Разложение на множители в целостных кольцах== | ==Разложение на множители в целостных кольцах== | ||
{{Определение | {{Определение |
Текущая версия на 19:20, 4 сентября 2022
Неразложимый элемент
Определение: |
Пусть область целостности, тогда называется неразложимым, если и из того, что или . | —
Ассоциированный элемент
Определение: |
Если | и , то и — ассоциированные элементы.
Теорема: |
Если и — ассоциированные, то — обратимый элемент. |
Доказательство: |
Пусть | , , тогда — обратимый элемент.
Разложение на множители в целостных кольцах
Определение: |
— кольцо с однозначным разложением на множители, если элемент представим в виде умножения неразложимых элементов. |