L 2-теория рядов Фурье — различия между версиями
Shersh (обсуждение | вклад) м (→Теорема Рисса-Фишера) |
м (rollbackEdits.php mass rollback) |
||
(не показаны 3 промежуточные версии 2 участников) | |||
Строка 92: | Строка 92: | ||
|statement= | |statement= | ||
Пусть <tex>e_1, e_2, \ldots, e_n</tex> {{---}} ОНС, <tex>\sum\limits_{j=1}^\infty c_j^2 < +\infty</tex>. | Пусть <tex>e_1, e_2, \ldots, e_n</tex> {{---}} ОНС, <tex>\sum\limits_{j=1}^\infty c_j^2 < +\infty</tex>. | ||
− | Тогда существует <tex>x \in \mathcal{H}: \sum\limits_{j=1}^\infty | + | Тогда существует <tex>x \in \mathcal{H}: \sum\limits_{j=1}^\infty c_ne_n = x</tex> , то есть, точка разложится в ряд Фурье. |
|proof= | |proof= | ||
Выше мы проверяли, что, раз ряд ортогональный, то его сходимость равносильна сходимости <tex>\sum\limits_{j=1}^\infty c_j^2 < +\infty</tex> | Выше мы проверяли, что, раз ряд ортогональный, то его сходимость равносильна сходимости <tex>\sum\limits_{j=1}^\infty c_j^2 < +\infty</tex> | ||
Строка 132: | Строка 132: | ||
Для того, чтобы сгладить последствия этого, используют только ОНС со следующими дополнительными свойствами: | Для того, чтобы сгладить последствия этого, используют только ОНС со следующими дополнительными свойствами: | ||
− | # ОНС {{---}} | + | # ОНС {{---}} полная: (<tex>\forall j : \langle x, e_j\rangle = 0) \Rightarrow x = 0</tex>. |
− | # ОНС {{---}} | + | # ОНС {{---}} замкнутая: <tex>\operatorname{Cl} \mathcal{L}(e_1, \ldots, e_n, \ldots) = \mathcal{H}</tex> (замыкание линейной оболочки совпадает с самим пространством). |
{{Теорема | {{Теорема |
Текущая версия на 19:33, 4 сентября 2022
В теории интеграла Лебега мы доказали, что любое пространство
— полное. С другой стороны, в пространстве можно определить скалярное произведение:
Этот интеграл конечен в силу неравенства Гёльдера, так как
Эта операция обладает свойствами скалярного произведения:
- и почти всюду
- Линейность.
- Симметричность.
Введём норму
В силу того, что пространство полное и норма порождает скалярное произведение, это пространство Гильберта.
-теория рядов Фурье — теория, исследуются свойства рядов Фурье как элементов данного Гильбертова пространства.
Центральную роль в
-теории играет ортонормированная система точек(ОНС).
Определение: |
— ОНС |
Если в качестве модели взять и рассмотреть стандартную тригонометрическую систему функций , то окажется, что она — ортогональная.
Попарная ортогональность:
, , .Тогда ОНС будет:
По ортонормированной системе можно составлять формальные ряды в
.в ортогональна: = 0
Определение: |
Ряд | является ортогональным, если .
Теорема: |
Пусть — ортогональный ряд. Он сходится тогда и только тогда, когда сходится. Если , то . |
Доказательство: |
Возьмём . По определению, сходимость ряда равносильна существованию предела . Так как пространство — Гильбертово, то есть полное, значит сходимость равносильна сходимости в себе. Значит, , что равносильно .Пусть . .
По критерию Коши сходимости числовых рядов Итак, мы установили, что сходимость ортогонального ряда равносильна сходимости . |
Возвращаясь к ряду по ортогональной системе
, получаем, что он сходится сходится .На базе рядов по ортогональной системе вводится понятие абстрактного ряда Фурье.
Пусть
, тогда, по непрерывности скалярного произведения, можно записать:То есть, если
разлагается по ортогональной системе, то необходимо — коэффициент Фурье.Центральную роль играет изучение ортогональных рядов вида
, . Такие ряды называются абстрактными рядами Фурье.В применении к
: ,Аналогично, для синусов:
Тогда, получается:
(из того, что ) , то есть, абстрактный ряд Фурье совпадает с классическим.Применим то, что было сказано выше:
будет сходиться в сходится ряд (забиваем на множитель и одно слагаемое).Теорема Рисса-Фишера
Теорема (Рисс, Фишер): |
Пусть — ОНС, .
Тогда существует , то есть, точка разложится в ряд Фурье. |
Доказательство: |
Выше мы проверяли, что, раз ряд ортогональный, то его сходимость равносильна сходимости Поэтому просто положим равным . |
Легко установить экстремальное свойство частичных сумм.
Утверждение: |
Пусть , (причем он может быть расходящимся),
тогда: , |
Можно сказать, что раскладывается на сумму двух ортогональных друг другу компонент, причем одна из них равна , а вторая — все остальное. Тогда при взятии из первого слагаемого будут целиком выкинуты первые его составляющих, и понятно, что это будет указанным . |
Из него получается неравенство Бесселя: , которое можно доказать аналогичным рассуждением.
Раз ряд состоит из квадратов коэффициентов Фурье, то он всегда сходится. В любом случае, ряд Фурье будет сходиться в
.Возникает вопрос: к чему же?
Утверждение: |
Если , из этого не следует . |
Рассмотрим в ОНС .,
Сумма ряда Фурье , что |
Таким образом, ряд Фурье всегда сходится, но не всегда к тому, к чему хотелось бы.
Для того, чтобы сгладить последствия этого, используют только ОНС со следующими дополнительными свойствами:
- ОНС — полная: ( .
- ОНС — замкнутая: (замыкание линейной оболочки совпадает с самим пространством).
Теорема: |
ОНС — полная ОНС — замкнутая |
Доказательство: |
Пусть ОНС — полная , . В силу полноты системы, Но частичная сумма ряда Фурье обладает экстремальным свойством: . разложилось в ряд Фурье. А раз у все коэффициенты нулевые, то сумма ряда — 0.Значит, из полноты вытекает замкнутость. Пусть система замкнута. (по сказанному ранее). По теореме Рисса-Фишера, . По свойствам ортогональных рядов, .Но система замкнута Значит, , то есть, . разложилось в ряд Фурье , что и означает полноту системы. |
Собирая всё это вместе, приходим к финальному результату
Теорема: |
Пусть — ОНС, замкнутая(или полная). Тогда ряд Фурье любой точки совпадает с . |
Теорема: |
функция разлагается в ряд Фурье по метрике . |
Доказательство: |
Возьмем ОНС | . Заметим, что если мы докажем полноту этой системы, это приведет нас к доказательству теоремы. Вместо доказательства полноты докажем замкнутость. Пусть есть , для которого . В этом случае все коэффициенты ряда Фурье равны . Значит, суммы Фейера также сходятся к , а тогда, по теореме Фейера, сама функция тоже равна .
— уравнение замкнутости.
Оно так называется потому, что если оно выполняется для любого
, то соответствующая ОНС — замкнутая.Возьмём вторую точку
Утверждение (Парсеваль): |
. |
Прикладывая всё это к
и вспоминая связь коэффициентов Фурье с коэффициентами в -теории, приходим к равенству Персеваля:
В частности,
Далее, в замкнутых системах,
С другой стороны, экстремальное свойство частичных сумм показывает, что:
Итого:
В
: .Финально: последнее равенство показывает исключительный характер
: в нём наилучшее приближение вычисляется точно с указанием экстремального полинома .