|
|
| (не показаны 2 промежуточные версии этого же участника) |
| Строка 1: |
Строка 1: |
| − | В 1990ые годы Рикардо Беза-Йетс (англ. ''Ricardo Baeza-Yates'') и Гастон Гоннет (англ. ''Gaston Gonnet'') изобрели простой битовый метод, эффективно решающий задачу точного поиска малых образцов (длиной в типичное английское слово). Они назвали его методом <tex>Shift-Or</tex>, хотя, исходя из самого алгоритма, естественней назвать его <tex>Shift-And</tex>. Также алгоритм известен как <tex>bitap</tex> алгоритм и алгоритм Беза-Йетса-Гоннета.
| + | #перенаправление [[Алгоритм Shift-And]] |
| − | | |
| − | ==Алгоритм==
| |
| − | | |
| − | Пусть <tex>p</tex> {{---}} шаблон длины <tex>n</tex>, <tex>t</tex> {{---}} текст длины <tex>m</tex>.
| |
| − | | |
| − | Нам потребуется двоичный массив <tex>M</tex> размером <tex>n \cdot (m + 1)</tex>, в котором индекс <tex>i</tex> пробегает значения от <tex>1</tex> до <tex>n</tex>, а индекс <tex>j</tex> {{---}} от <tex>0</tex> до <tex>m</tex>.
| |
| − | | |
| − | <tex>M[i][j] = 1</tex>, если первые <tex>i</tex> символов <tex>p</tex> точно совпадают с <tex>i</tex> символами <tex>t</tex>, кончаясь на позиции <tex>j</tex>; иначе <tex>M[i][j] = 0</tex>.
| |
| − | | |
| − | <tex> M[i][j] =
| |
| − | \left\{
| |
| − | \begin{array}{ll}
| |
| − | 1, & \mbox {if p[1..i] = t[j - i + 1..j]} \\
| |
| − | 0, & \mbox {otherwise}
| |
| − | \end{array}
| |
| − | \right.
| |
| − | </tex>
| |
| − | | |
| − | Например, пусть <tex>t = california</tex>, <tex>p = for</tex>. Тогда <tex>M[1][5] = M[2][6] = M[3][7] = 1</tex>, остальные <tex>M[i][j] = 0</tex>.
| |
| − | | |
| − | Получаем, что элементы, равные <tex>1</tex>, в строчке <tex>i</tex> показывают все места в <tex>t</tex>, где заканчиватся копии <tex>p[1..i]</tex>, а столбец <tex>j</tex> показывает все префиксы <tex>p</tex>, которые заканчиваются в позиции <tex>j</tex> строки <tex>t</tex>.
| |
| − | <tex>M[n][j] = 1</tex> тогда, когда вхождение <tex>p</tex> заканчивается в позиции <tex>j</tex> строки <tex>t</tex>.
| |
| − | То есть вычисление последней строки <tex>M</tex> решает задачу точного совпадения.
| |
| − |
| |
| − | Построение массива <tex>M</tex>.
| |
| − | | |
| − | Создадим для каждого символа алфавита <tex>x</tex> двоичный вектор <tex>U(x)</tex> длины <tex>n</tex>. <tex>U(x)</tex> равно <tex>1</tex> в тех позициях <tex>p</tex>, где стоит символ <tex>x</tex>.
| |
| − | Например, <tex>p = abacdeab</tex>, <tex>U(a) = 10100010</tex>
| |
| − | | |
| − | Определим <tex>Bit-Shift(j)</tex> как вектор, полученный сдвигом вектора для столбца <tex>j</tex> вниз на одну позицию и записью <tex>1</tex> в первой позиции. Старое значение в позиции <tex>n</tex> теряется.
| |
| − | То есть <tex>Bit-Shift(j)</tex> состоит из <tex>1</tex>, к которой приписаны первые <tex>n - 1</tex> битов столбца <tex>j</tex>.
| |
| − | <tex>(0, 0, 0, 1, 0, 1, 1, 0, 1) \rightarrow (1, 0, 0, 1, 0, 1, 1, 0)</tex>
| |
| − | | |
| − | Из определения, нулевой столбец <tex>M</tex> состоит из нулей. Элементы любого другого столбца <tex>M[j], j > 0</tex> получаются из столбца <tex>M[j - 1]</tex> и вектора <tex>U</tex> для символа <tex>t[j]</tex>. А именно, вектор для столбца <tex>j</tex> получается операцией побитового логического умножения <tex>and</tex> вектора <tex>Bit-Shift(M[j - 1])</tex> и вектора <tex>U(t[j])</tex>.
| |
| − | <tex>M[j] = Bit-Shift(M[j - 1]) and U(t[j])</tex>
| |
| − | Например, …
| |
| − | | |
| − | ==Псевдокод==
| |
| − | | |
| − | '''string''' bitap_search('''string''' text, '''string''' pattern)
| |
| − | n = pattern.length
| |
| − | m = text.length
| |
| − | '''if''' n == 0
| |
| − | '''return''' text
| |
| − | M = new array [n] of bit // для поиска коротких слов достаточно одной переменной типа integer
| |
| − | M = 0
| |
| − | U = new array [<tex>|\Sigma|</tex>][n] of bit, initially all 0
| |
| − | '''for''' i = 1..n
| |
| − | U[pattern[i]][i] = 1
| |
| − | '''for''' j = 1..m
| |
| − | M = Bit-Shift(M) '''&''' U[t[j]]
| |
| − | '''for''' j = 1..m
| |
| − | '''if''' M[j]
| |
| − | '''return''' text[j - n + 1..j]
| |
| − | '''return''' null
| |
| − | | |
| − | ==Корректность==
| |
| − | Докажем, что метод <tex>Shift-Or</tex> правильно вычисляет элементы массива <tex>M</tex>. Заметим, что для любого <tex>i > 1</tex> элемент <tex>M[i][j] = 1</tex> тогда и только тогда, когда <tex>p[1..i - 1]</tex> совпадает с <tex>t[j - i + 1..j]</tex>, а символ <tex>p[i]</tex> совпадает с <tex>t[j]</tex>. Первое условие выполнено, когда элемент массива <tex>M[i - 1][j - 1] = 1</tex>, а второе — когда <tex>i</tex>-ый бит вектора <tex>U</tex> для символа <tex>t[j]</tex> равен <tex>1</tex>. После сдвига столбца <tex>j – 1</tex> алгоритм логически умножает элемент <tex>M[i – 1][j – 1]</tex> столбца <tex>j - 1</tex> на элемент <tex>i</tex> вектора <tex>U(t[j])</tex>. Следовательно, все элементы <tex>M</tex> вычисляются правильно и алгоритм находит все вхождения образца в текст.
| |
| − | | |
| − | ==Эффективность==
| |
| − | Сложность алгоритма составляет <tex>O(n \cdot m)</tex>, на препроцессинг {{---}} построение массива <tex>U</tex> требуется <tex>O(|\Sigma| \cdot n)</tex> операций и памяти. Если же <tex>n</tex> не превышает длину машинного слова, то сложность получается <tex>O(m)</tex> и <tex>O(n + |\Sigma|)</tex> соответсвенно.
| |
