Участник:Iloskutov/Матан 4сем — различия между версиями
(→Теорема о преобразовании меры при диффеоморфизме) |
(→Теорема о вычислении интеграла по взвешенному образу меры) |
||
(не показано 106 промежуточных версий 9 участников) | |||
Строка 1: | Строка 1: | ||
== Определения == | == Определения == | ||
+ | === Условие L_loc === | ||
+ | {{Определение | ||
+ | |definition= | ||
+ | <tex>\exists U(y_0)</tex> и <tex>\exists g(x)</tex> — суммируемая, что <tex>\forall y \in U(y_0) \quad \forall x : |f(x,y)| \le g(x)</tex><br> | ||
+ | Тогда <tex>f</tex> удовлетворяет <tex>L_{loc}</tex> в точке <tex>y_0</tex> | ||
+ | }} | ||
+ | |||
+ | === Образ меры при отображении === | ||
+ | {{Определение | ||
+ | |definition= | ||
+ | Пусть <tex>\Phi^{-1}(\mathfrak B) \subset \mathfrak A</tex><br> | ||
+ | <tex>\nu \colon \mathfrak B \to \overline{\mathbb{R}}, \quad \nu(\mathfrak B) = \mu(\Phi^{-1}(\mathfrak B))</tex> — мера<br> | ||
+ | <tex>\nu</tex> — образ меры <tex>\mu</tex> при отображении <tex>\Phi</tex> | ||
+ | }} | ||
+ | |||
+ | === Взвешенный образ меры === | ||
+ | {{Определение | ||
+ | |definition= | ||
+ | <tex>(X, \mathfrak{A}, \mu), \quad (Y, \mathfrak{B}, ?)</tex><br> | ||
+ | <tex>w \geqslant 0</tex> — измеримая на <tex>X</tex> функция<br> | ||
+ | <tex>\Phi \colon X \to Y, \quad \Phi^{-1}(\mathfrak B) \subset \mathfrak A</tex><br> | ||
+ | Тогда <tex dpi=150>\nu(B) = \displaystyle\int\limits_{\Phi^{-1}(\mathfrak B)} w \,d\mu</tex> — взвешенный образ <tex>\mu</tex> при отображении <tex>\Phi</tex>, <tex>w</tex> — вес | ||
+ | }} | ||
+ | |||
+ | === Плотность одной меры по отношению к другой === | ||
+ | {{Определение | ||
+ | |definition= | ||
+ | <tex>(X, \mathfrak{A}, \mu), \quad (Y, \mathfrak{B}, \nu) </tex><br> | ||
+ | <tex>X = Y, \quad \mathfrak{A} = \mathfrak{B}, \quad \Phi = id</tex><br> | ||
+ | <tex>w \geqslant 0</tex> — вес, измерим на <tex>X</tex>, <tex>f</tex> — изм. на <tex>X</tex><br> | ||
+ | <tex>\nu(B) = \int\limits_B w(x) d\mu</tex><br> | ||
+ | Тогда <tex>w</tex> — плотность <tex>\nu</tex> относительно <tex>\mu</tex> | ||
+ | }} | ||
+ | |||
+ | === Заряд === | ||
+ | {{Определение | ||
+ | |definition= | ||
+ | <tex>(X, \mathfrak{A}, \mu), \quad \mu\colon \mathfrak A \to \mathbb{R}</tex> не обязательно <tex>\geqslant 0</tex> и обладает свойством счётной аддитивности<br> | ||
+ | Тогда <tex>\mu</tex> — заряд | ||
+ | }} | ||
+ | |||
+ | === Множество положительности заряда === | ||
+ | {{Определение | ||
+ | |definition= | ||
+ | <tex>\forall E \in B \ (B \in \mathfrak A) \quad \mu E \geqslant 0</tex> (заряд <tex>E</tex> неотрицателен) <br> | ||
+ | <tex>B \in \mathfrak A</tex> — множество положительности | ||
+ | }} | ||
+ | |||
+ | === Мера, абсолютно непрерывная по отношению к другой мере === | ||
+ | {{Определение | ||
+ | |definition= | ||
+ | <tex>\mu, \nu \colon \mathfrak A \to \mathbb{R}, \quad \forall a \in \mathfrak A: \mu (a) = 0 \Rightarrow \nu (a) = 0</tex><br> | ||
+ | Тогда <tex>\nu</tex> — абсолютно непрерывная по отношению к мере <tex>\mu</tex> | ||
+ | }} | ||
+ | |||
+ | === Произведение мер === | ||
+ | {{Определение | ||
+ | |definition= | ||
+ | <tex>(X, \mathfrak{A}, \mu), \quad (Y, \mathfrak{B}, \nu)</tex><br> | ||
+ | <tex>X \times Y</tex> — декартово произведение, <tex>\mathfrak{A} \times \mathfrak{B} = \{a \times b \mid a \in \mathfrak{A}, b \in \mathfrak{B}\}</tex><br> | ||
+ | <tex>m \colon A \times B \to R^+, \quad m(a \times b) = \mu(a) \cdot \nu(b)</tex><br> | ||
+ | <tex>m</tex> — произведение мер <tex>\mu, \nu</tex> в <tex>(X \times Y, \mathfrak{A} \times \mathfrak{B}, m)</tex> | ||
+ | }} | ||
+ | |||
+ | === Сечение множества === | ||
+ | {{Определение | ||
+ | |definition= | ||
+ | Пусть <tex>C \subset X \times Y</tex><br> | ||
+ | <tex>C_x = \{y \in Y | (x, y) \in C\}</tex> - сечение <tex>C</tex> по <tex>X</tex><br> | ||
+ | <tex>C_y = \{x \in X | (x, y) \in C\}</tex> - сечение <tex>C</tex> по <tex>Y</tex> | ||
+ | |||
+ | }} | ||
+ | |||
+ | === Функция распределения === | ||
+ | {{Определение | ||
+ | |definition= | ||
+ | <tex>(X, \mathfrak{A}, \mu)</tex><br> | ||
+ | <tex>h: X \to \mathbb{R}, \quad X(h(x) < a)</tex> - конечно<br> | ||
+ | <tex>H(a) = \mu X (h(x) < a)</tex> - функция распределения <tex>(: \mathbb{R} \to \mathbb{R})</tex> | ||
+ | }} | ||
+ | |||
=== Интегральные неравенства Гёльдера и Минковского === | === Интегральные неравенства Гёльдера и Минковского === | ||
{{Теорема | {{Теорема | ||
Строка 18: | Строка 99: | ||
=== Интеграл комплекснозначной функции === | === Интеграл комплекснозначной функции === | ||
+ | {{Теорема | ||
+ | |statement= | ||
+ | <tex>f \colon \mathbb R \to \overline{\mathbb C}</tex><br> | ||
+ | <tex>(X, \mathfrak A, \mu)</tex>. Тогда: | ||
+ | #<tex>f</tex> — изм., если <tex>\operatorname{Re}(f), \operatorname{Im}(f)</tex> — изм. | ||
+ | #<tex>\displaystyle\int_X f\;d\mu = \int_X \operatorname{Re}(f) \;d\mu + i\int_X \operatorname{Im}(f)\;d\mu</tex><br><!-- | ||
+ | --><tex>f</tex> — сумм., <tex>\operatorname{Re}(f), \operatorname{Im}(f)</tex> — сумм. | ||
+ | |proof= | ||
+ | }} | ||
+ | |||
=== Пространство $L^p(E,\mu)$ === | === Пространство $L^p(E,\mu)$ === | ||
{{Определение | {{Определение | ||
Строка 24: | Строка 115: | ||
{{Определение | {{Определение | ||
− | |definition=<tex>L^p(E, \mu) = \Bigl\{f \in L^0(E, \mu) \ \Bigm|\ \displaystyle\ | + | |definition=<tex>L^p(E, \mu) = \Bigl\{f \in L^0(E, \mu) \ \Bigm|\ \displaystyle\int\limits_E |f|^p \;d\mu < +\infty \Bigr\}</tex>. |
}} | }} | ||
=== Пространство $L^\infty(E,\mu)$ === | === Пространство $L^\infty(E,\mu)$ === | ||
{{Определение | {{Определение | ||
− | |definition=<tex dpi=150>L^\infty(E, \mu) = \Bigl\{ f \in L^0( | + | |definition=<tex dpi=150>L^\infty(E, \mu) = \Bigl\{ f \in L^0(E, \mu) \ \bigl|\ \operatorname*{ess\,sup}\limits_E |f| < +\infty \Bigr\}</tex> |
}} | }} | ||
Строка 62: | Строка 153: | ||
=== Гильбертово пространство === | === Гильбертово пространство === | ||
{{Определение | {{Определение | ||
− | |definition=<tex>\mathcal H</tex> — полное (любая фундаментальная последовательность сходится в этом пространстве) линейное пространство со скалярным произведением | + | |definition=<tex>\mathcal H</tex> — полное (любая фундаментальная последовательность сходится в этом пространстве) линейное пространство со скалярным произведением. Под полнотой понимается полнота относительно метрики, порождённой скалярным произведением. |
}} | }} | ||
{{Определение | {{Определение | ||
Строка 89: | Строка 180: | ||
}} | }} | ||
=== Сходящийся ряд в гильбертовом пространстве === | === Сходящийся ряд в гильбертовом пространстве === | ||
+ | {{Определение | ||
+ | |definition=Ряд сходится, если существует элемент из гильбертового | ||
+ | пространства, являющийся пределом частичных сумм. | ||
+ | }} | ||
+ | |||
=== Коэффициенты Фурье, ряд Фурье === | === Коэффициенты Фурье, ряд Фурье === | ||
{{Определение | {{Определение | ||
− | |definition=<tex>t \in L^1[-\pi; \pi]</tex>, тогда <tex>a_k, b_k, c_k</tex> — коэффициенты Фурье для <tex>t (a_k(f), b_k(f), c_k(f))</tex>, а ряд <tex>\dfrac{a_0(t)}{2} + \sum a_k(t) \cos kx + b_k(t) \sin kx \ ; \sum c_k(t) e^{ | + | |definition=<tex>t \in L^1[-\pi; \pi]</tex>, тогда <tex>a_k, b_k, c_k</tex> — коэффициенты Фурье для <tex>t (a_k(f), b_k(f), c_k(f))</tex>, а ряд <tex>\dfrac{a_0(t)}{2} + \sum a_k(t) \cos kx + b_k(t) \sin kx \ ; \sum c_k(t) e^{ikt}</tex> — ряд Фурье |
}} | }} | ||
Строка 112: | Строка 208: | ||
=== Коэффициенты Фурье функции === | === Коэффициенты Фурье функции === | ||
+ | {{Определение | ||
+ | |definition= Коэффициенты Фурье функции <tex>f</tex> — <tex>a_0(f), a_k(f), b_k(f), c_k(f)</tex> из формулы тригонометрического ряда. | ||
+ | |||
+ | Можно вычислить по формулам: | ||
+ | <tex> | ||
+ | a_0 = \dfrac{1}{\pi} \cdot \displaystyle\int^\pi_{-\pi} f(x) \,dx \\ | ||
+ | a_k = \dfrac{1}{\pi} \cdot \displaystyle\int^\pi_{-\pi} f(x) \cos kx \,dx \\ | ||
+ | b_k = \dfrac{1}{\pi} \cdot \displaystyle\int^\pi_{-\pi} f(x) \sin kx \,dx \\ | ||
+ | c_k = \dfrac{1}{2\pi} \cdot \displaystyle\int^\pi_{-\pi} f(x) \exp(-ikx) \,dx </tex> | ||
+ | }} | ||
+ | |||
=== Ядро Дирихле, ядро Фейера === | === Ядро Дирихле, ядро Фейера === | ||
{{Определение | {{Определение | ||
Строка 132: | Строка 239: | ||
<tex>\forall h \in D</tex> определена функция <tex>K_h(x)</tex>, удовлетворяющая свойствам: | <tex>\forall h \in D</tex> определена функция <tex>K_h(x)</tex>, удовлетворяющая свойствам: | ||
* <tex>\forall h \in D \ K_h \in L^1[-\pi; \pi] \quad \left(\int\limits_{-\pi}^\pi K_h(t) = 1\right)</tex> | * <tex>\forall h \in D \ K_h \in L^1[-\pi; \pi] \quad \left(\int\limits_{-\pi}^\pi K_h(t) = 1\right)</tex> | ||
− | * L-нормы <tex>K_h</tex> огр. в | + | * L-нормы <tex>K_h</tex> огр. в совокупности: <tex>\exists M \, \forall h \in D \quad \int\limits_{-\pi}^{\pi} |K_h| \;dt \leqslant M</tex> |
− | * <tex>\forall \delta > 0 \int\limits_{E\delta} | | + | * <tex>\forall \delta > 0 \int\limits_{E\delta} |K_h| \xrightarrow[h \to x_0]{} 0</tex> |
Тогда семейство <tex>K_h</tex> называется аппроксимативной единицей. | Тогда семейство <tex>K_h</tex> называется аппроксимативной единицей. | ||
}} | }} | ||
Строка 145: | Строка 252: | ||
=== Метод суммирования средними арифметическими === | === Метод суммирования средними арифметическими === | ||
+ | {{Определение | ||
+ | |definition=<tex>\sum a_n = \lim\limits_{n \to \infty} \dfrac{1}{n+1} \cdot \sum\limits_{k=0}^n S_k</tex> | ||
+ | }} | ||
=== Измеримое множество на простой двумерной поверхности в R^3 === | === Измеримое множество на простой двумерной поверхности в R^3 === | ||
=== Мера Лебега на простой двумерной поверхности в R^3 === | === Мера Лебега на простой двумерной поверхности в R^3 === | ||
+ | {{Определение | ||
+ | |definition= | ||
+ | <tex>\varphi \colon \mathbb R^2 \to M \subset \mathbb R^3</tex>.<br> | ||
+ | |||
+ | Мера в <tex>M</tex> — взвешенный образ меры Лебега в <tex>\mathbb R^2</tex> с весом <tex>|\varphi'_u \times \varphi'_v|</tex> | ||
+ | }} | ||
+ | |||
=== Поверхностный интеграл первого рода === | === Поверхностный интеграл первого рода === | ||
{{Определение | {{Определение | ||
Строка 153: | Строка 270: | ||
}} | }} | ||
− | === Кусочно-гладкая поверхность в | + | === Кусочно-гладкая поверхность в ℝ<sup>3</sup> === |
{{Определение | {{Определение | ||
|definition=<tex>M \subset \mathbb R^3</tex> называется кусочно-гладкой, если <tex>M</tex> представляет собой объединение: | |definition=<tex>M \subset \mathbb R^3</tex> называется кусочно-гладкой, если <tex>M</tex> представляет собой объединение: | ||
Строка 160: | Строка 277: | ||
* конечного числа точек | * конечного числа точек | ||
}} | }} | ||
− | |||
=== Сторона поверхности === | === Сторона поверхности === | ||
Строка 180: | Строка 296: | ||
=== Интеграл II рода === | === Интеграл II рода === | ||
+ | {{Определение | ||
+ | |definition= | ||
+ | <tex> | ||
+ | \gamma \colon [a, b] \to \mathbb R^m, \quad V = (A_1, \dotsc, A_m) \\ | ||
+ | \displaystyle\int_\gamma A_1 \,dx_1 + \dotsb + A_m \,dx_m = \int_a^b \langle V, \gamma' \rangle \,dt | ||
+ | </tex> | ||
+ | }} | ||
+ | |||
=== Ориентация контура, согласованная со стороной поверхности === | === Ориентация контура, согласованная со стороной поверхности === | ||
+ | {{Определение | ||
+ | |definition=Ориентация контура называется согласованной со стороной поверхности, если векторное произведение нормали и вектора скорости направлено внутрь контура. | ||
+ | }} | ||
+ | |||
=== Ротор, дивергенция векторного поля === | === Ротор, дивергенция векторного поля === | ||
{{Определение | {{Определение | ||
Строка 197: | Строка 325: | ||
{{Теорема | {{Теорема | ||
|statement= | |statement= | ||
− | <tex>(X, \mathfrak{A}, \mu) \quad U_n - </tex> измеримые функции на <tex>X, U_n(x) \geqslant 0 </tex> при всех <tex>x</tex>. Тогда | + | <tex>(X, \mathfrak{A}, \mu) \quad U_n - </tex> измеримые функции на <tex>X, U_n(x) \geqslant 0 </tex> при почти всех <tex>x</tex>. Тогда |
− | : <tex>\displaystyle\int \Bigl(\displaystyle\sum U_n(x)\Bigr) d\mu = \displaystyle\sum \Bigl(\displaystyle\int U_n(x) d\mu\Bigr)</tex> | + | : <tex>\displaystyle\int\limits_X \Bigl(\displaystyle\sum U_n(x)\Bigr) d\mu = \displaystyle\sum \Bigl(\displaystyle\int\limits_X U_n(x) d\mu\Bigr)</tex> |
|proof= | |proof= | ||
+ | Пусть <tex>f_n(x) = U_1(x) + U_2(x) + \dotsb + U_n(x)</tex>, далее по т. Леви<br> | ||
+ | <tex>f = \lim f_n</tex><br> | ||
+ | <tex>0 \leqslant f_n \leqslant f_{n+1} \leqslant \dotsb</tex><br> | ||
+ | Тогда выражение слева от знака равенства равно <tex>\displaystyle\int\limits_X f \,d\mu</tex>, а справа — <tex> \displaystyle\lim \int\limits_X \sum_{k=1}^n U_k(x) \,d\mu = \lim_{n \to +\infty}\Bigl(\int\limits_X f_n \,d\mu\Bigr) = \int\limits_X f \,d\mu</tex> | ||
}} | }} | ||
Строка 208: | Строка 340: | ||
<tex>\forall \epsilon > 0 \quad \exists \delta > 0 : \forall E \in \mathfrak{A} \quad \mu E < \delta \Rightarrow \int\limits_E |f|d\mu < \epsilon</tex> | <tex>\forall \epsilon > 0 \quad \exists \delta > 0 : \forall E \in \mathfrak{A} \quad \mu E < \delta \Rightarrow \int\limits_E |f|d\mu < \epsilon</tex> | ||
|proof= | |proof= | ||
+ | <tex>X_n = X (|f| > n) \quad X_n \supset X_{n+1} \supset ... \quad \bigcap X_n = e</tex>, т.к. <tex>f</tex> - суммируема, <tex>\mu e = 0</tex><br> | ||
+ | <tex>\nu E = \int\limits_E |f| d\mu</tex> - мера <tex>\nu</tex><br> | ||
+ | <tex>\nu X < + \infty</tex> (т.к. <tex>f</tex> - суммируема и <tex>\int\limits_X |f| d\mu < +\infty</tex>)<br> | ||
+ | Тогда по свойству непрерывности меры сверху: <tex>\nu X_n \to 0</tex><br> | ||
+ | Запишем данное высказывание как <tex>\forall \epsilon > 0 \quad \exists n_\epsilon : \nu(X_{n_\epsilon}) < \dfrac{\epsilon}{2}</tex>, т.е. <tex>\int\limits_{X_{n_\epsilon}} |f| < \dfrac{\epsilon}{2}</tex><br> | ||
+ | Теперь пусть <tex>\delta := \dfrac{\epsilon}{2 \cdot n_\epsilon}</tex><br> | ||
+ | <tex>\int\limits_E |f| d\mu = \int\limits_{E \cap X_{n_\epsilon}} |f| d\mu + \int\limits_{E \cap X^C_{n_\epsilon}} |f| d\mu \leqslant \int\limits_{X_{n_\epsilon}} |f| d\mu + \int\limits_{E \cap X^C_{n_\epsilon}} n_\epsilon d\mu \leqslant \dfrac{\epsilon}{2} + n_\epsilon \cdot \mu E < \epsilon</tex> | ||
}} | }} | ||
Строка 217: | Строка 356: | ||
Тогда <tex>f_n, f</tex> - суммируемые и <tex>\int |f-f_n| d\mu \to 0</tex> | Тогда <tex>f_n, f</tex> - суммируемые и <tex>\int |f-f_n| d\mu \to 0</tex> | ||
|proof= | |proof= | ||
+ | <tex>f_n</tex> - суммируема, т.к. <tex>\int |f_n| \leqslant \int g < + \infty</tex><br> | ||
+ | <tex>f</tex> - суммируема, т.к. <tex>\exists f_{n_k} \to f</tex> почти везде, <tex> |f_{n_k}| \leqslant g \Rightarrow |f| \leqslant g</tex><br> | ||
+ | <tex>\int\limits_X |f_n - f| d\mu \to 0 ?</tex><br> | ||
+ | Рассмотрим два случая:<br> | ||
+ | 1) <tex>\mu X < +\infty</tex><br> | ||
+ | Берём <tex>\epsilon > 0 \quad X_n := X (|f_n - f| > \epsilon) \quad \mu X_n \to 0</tex><br> | ||
+ | <tex>\int\limits_X |f_n - f| d\mu \leqslant \int\limits_{X_n} |f_n - f| d\mu + \int\limits_{X^C_n} |f_n - f| d\mu</tex><br> | ||
+ | Для <tex>X_n</tex> выполнено <tex>|f_n - f| \leqslant |f_n| + |f| \leqslant 2 \cdot g</tex><br> | ||
+ | А для <tex>X^C_n</tex> выполнено <tex> |f_n - f| < \epsilon</tex><br> | ||
+ | Тогда <tex>\int\limits_{X_n} |f_n - f| d\mu + \int\limits_{X^C_n} |f_n - f| d\mu \leqslant \int\limits_{X_n} 2 \cdot g d\mu + \int\limits_{X^C_n} \epsilon d\mu \leqslant 2 \cdot \int\limits_{X_n} g + \epsilon \cdot \mu X \leqslant \epsilon \cdot (2 + \mu X)</tex><br> | ||
+ | Получили <tex>\forall \epsilon > 0 \quad \exists N: \forall n > N \quad \int\limits_X |f_n - f| d\mu < \epsilon \cdot (2 + \mu X)</tex><br> | ||
+ | Осталось найти номер <tex>N</tex>. Нужно взять такой, чтобы <tex>\mu X_n < \delta</tex>.<br> | ||
+ | 2) <tex>\mu X = +\infty</tex><br> | ||
+ | TBD | ||
}} | }} | ||
Строка 222: | Строка 375: | ||
{{Теорема | {{Теорема | ||
|statement= | |statement= | ||
− | <tex>(X, \mathfrak{A}, \mu), f, f_n | + | <tex>(X, \mathfrak{A}, \mu), f, f_n \colon X \rightarrow \overline{\mathbb{R}}, f_n \rightarrow f </tex> почти везде <br> |
<tex>\exists g</tex> - суммируемая и <tex>\forall n |f_n| \leqslant g</tex> для почти всех <tex>x</tex><br> | <tex>\exists g</tex> - суммируемая и <tex>\forall n |f_n| \leqslant g</tex> для почти всех <tex>x</tex><br> | ||
− | Тогда <tex>f_n, f</tex> суммируемые и <tex>\int |f-f_n|d\mu \to 0</tex> | + | Тогда <tex>f_n, f</tex> суммируемые и <tex>\displaystyle\int |f-f_n|d\mu \to 0, \int_X f_n \to \int_X f</tex> |
|proof= | |proof= | ||
+ | Легко видеть, что <tex>f, f_n</tex> — суммируемые.<br> | ||
+ | <tex> | ||
+ | h_n := \sup(|f_n - f|, |f_{n+1} - f|, \dotsc) \\ | ||
+ | h_n \geqslant h_{n+1} \geqslant \dotsb; \qquad |f_n - f| \leqslant 2g \Rightarrow h_n \leqslant 2g | ||
+ | </tex> | ||
+ | |||
+ | Кстати, <tex>\lim h_n = \varlimsup |f_n - f| = 0</tex> при п.в. <tex>x</tex>. | ||
+ | |||
+ | Рассмотрим ф-ии <tex>2g - h_n \geqslant 0</tex> — возр. | ||
+ | : <tex>\lim \displaystyle\int_X (2g - h_n) = \int_X \lim(2g - h_n) = 2 \int_X g</tex> | ||
+ | С другой стороны, | ||
+ | : <tex>\lim \displaystyle\int_X (2g - h_n) = \lim\biggl(2 \int_X g - \int_X h_n\biggr) \Rightarrow \int_X h_n \to 0 \Rightarrow \int_X |f_n - f| \leqslant \int_X h_n</tex> | ||
}} | }} | ||
Строка 231: | Строка 396: | ||
{{Теорема | {{Теорема | ||
|statement= | |statement= | ||
− | <tex>(X, \mathfrak{A}, \mu), f_n \to f</tex> почти везде на <tex>X</tex>, и <tex>\exists C: \forall n \displaystyle\ | + | <tex>(X, \mathfrak{A}, \mu), f_n \to f</tex> почти везде на <tex>X</tex>, и <tex>\exists C > 0: \forall n \displaystyle\int_X {f_n \;d\mu} \leqslant C</tex><br> |
− | Тогда <tex>\displaystyle\int f \;d\mu | + | Тогда <tex>\displaystyle\int f \;d\mu \leqslant C</tex> |
|proof= | |proof= | ||
+ | <tex dpi=150> | ||
+ | g_n = \inf(f_n, f_{n+1}, \dotsc)\\ | ||
+ | g_n(x) \leqslant g_{n+1}(x) \leqslant \dotsb \quad \lim g_n = \varliminf f_n = f\\ | ||
+ | \displaystyle\int g_n \leqslant \int f_n \leqslant C\\ | ||
+ | \int f \;d\mu = \lim_{n \to +\infty} \int g_n \leqslant C | ||
+ | </tex> | ||
}} | }} | ||
Строка 243: | Строка 414: | ||
# <tex> y \rightarrow f(x, y)</tex> - непрерывна при всех <tex>x</tex> <br> <tex>f(x, y) \rightarrow f(x, y_0)</tex> при <tex>y \to y_0</tex> при всех <tex>x</tex> <br> Тогда <tex>I(y) = \int\limits_X f(x, y) d\mu(x)</tex> непрерывна в <tex>y_0</tex> | # <tex> y \rightarrow f(x, y)</tex> - непрерывна при всех <tex>x</tex> <br> <tex>f(x, y) \rightarrow f(x, y_0)</tex> при <tex>y \to y_0</tex> при всех <tex>x</tex> <br> Тогда <tex>I(y) = \int\limits_X f(x, y) d\mu(x)</tex> непрерывна в <tex>y_0</tex> | ||
|proof= | |proof= | ||
+ | Рассмотрим <tex>f_n(x) = f(x, y_n)</tex>, где <tex>y_n \rightarrow y_0, y_n \in (Y \cap U) \setminus \{a\}</tex>. | ||
+ | Применим теорему Лебега для <tex>f_n</tex>. | ||
}} | }} | ||
Строка 252: | Строка 425: | ||
# <tex>\forall y \quad x \rightarrow f(x, y)</tex> - суммируема, <tex>I(y) = \int\limits_X f(x, y) d\mu(x)</tex> | # <tex>\forall y \quad x \rightarrow f(x, y)</tex> - суммируема, <tex>I(y) = \int\limits_X f(x, y) d\mu(x)</tex> | ||
# <tex>\forall y</tex> при всех <tex>x \quad \exists^* f'_y(x, y)</tex> | # <tex>\forall y</tex> при всех <tex>x \quad \exists^* f'_y(x, y)</tex> | ||
− | # <tex>y_0 \in Y \quad f'_y(x, y)</tex> удовлетворяет условию <tex>L_{loc}( | + | # <tex>y_0 \in Y \quad f'_y(x, y)</tex> удовлетворяет условию <tex>L_{loc}(y_0)</tex><br>Тогда <tex>I'(y_0) = \int\limits_X f'_y(x, y)d\mu(x)</tex> |
|proof= | |proof= | ||
+ | Пусть <tex>x \in X, y_0 + h \in Y, h \not = 0</tex><br> | ||
+ | <tex>F(x, h) = \frac{f(x, y_0 + h) - f(x, y_0)}{h}</tex> <br> | ||
+ | Т.к. <tex>\frac{I(y_0 + h) - I(y_0)}{h} = \int\limits_X \frac{f(x, y_0 + h) - f(x, y_0)}{h} d\mu(x) = \int\limits_X F(x, h) d\mu(x)</tex>, то при <tex>h \rightarrow 0</tex> сразу будет следовать теорема. Для доказательства законности этого перехода докажем, что <tex>F</tex> удовлетворяет <tex>L_{loc}</tex> в <tex>h = 0</tex>: | ||
+ | |||
+ | <tex>f'_y</tex> удовлетворяет условию <tex>L_{loc}</tex>, поэтому найдутся такие <tex>\delta</tex> и <tex>g</tex>, что <tex>|f'_y(x, y)| \leq g(x)</tex> при почти всех <tex>x</tex> и при <tex>y \in Y, 0 < |y - y_0| < \delta</tex>. | ||
+ | |||
+ | Теорема Лагранжа о среднем применённая к <tex>y \rightarrow f(x, y)</tex> на <tex>(y_0, y_0 + h)</tex> даст <tex>F(x, h) = f'_y(x, y_0 + \theta h)</tex>. Поэтому <tex>F(x, h) \leq g(x)</tex>. | ||
}} | }} | ||
Строка 259: | Строка 439: | ||
{{Теорема | {{Теорема | ||
|statement= | |statement= | ||
− | <tex>\displaystyle\int\limits_0^{+\infty} \dfrac{\sin \alpha x}{x} = \dfrac{\pi}{2} \cdot sgn(\alpha)</tex> | + | <tex>\displaystyle\int\limits_0^{+\infty} \dfrac{\sin \alpha x}{x} = \dfrac{\pi}{2} \cdot \operatorname{sgn}(\alpha)</tex> |
|proof= | |proof= | ||
+ | Можно, например, [[wikipedia:Dirichlet integral#Via the Dirichlet kernel|вот так]]. | ||
}} | }} | ||
Строка 269: | Строка 450: | ||
<tex> w \geqslant 0 </tex> - измеримая на <tex>X</tex> функция<br> | <tex> w \geqslant 0 </tex> - измеримая на <tex>X</tex> функция<br> | ||
<tex> \phi: X \rightarrow Y \quad \phi^{-1}(B) \in A</tex><br> | <tex> \phi: X \rightarrow Y \quad \phi^{-1}(B) \in A</tex><br> | ||
− | <tex>v(B) = \int\limits_{\phi^{-1}(B)} w(x) d\mu</tex> - взвешенный образ <tex>\mu</tex> при отображении <tex>\phi, w </tex> - вес<br> | + | <tex>v(B) = \displaystyle\int\limits_{\phi^{-1}(B)} w(x) d\mu</tex> - взвешенный образ <tex>\mu</tex> при отображении <tex>\phi, w </tex> - вес<br> |
− | Тогда: <tex>\forall Y_0 \in Y \int\limits_{Y_0} f(y) dv = \int\limits_{\phi^{-1}(Y_0)} f(\phi(x)) \ | + | Тогда: <tex>\forall Y_0 \in Y \displaystyle\int\limits_{Y_0} f(y) dv = \int\limits_{\phi^{-1}(Y_0)} f(\phi(x)) \cdot w(x) d\mu(x)</tex> |
|proof= | |proof= | ||
+ | Это очевидно верно, если <tex>f -</tex> характеристическая функция. По линейности интеграла это также верно и для простой неотрицательной <tex>f</tex>. | ||
+ | |||
+ | Для произвольной неотрицательной <tex>f</tex> рассмотрим последовательность простых неотрицательных функций <tex>f_n</tex> и по теореме Леви (предельный переход) теорем доказана для неотрицательных <tex>f</tex>. | ||
+ | |||
+ | Для отрицательных там надо что-то ещё сделать)))) | ||
}} | }} | ||
Строка 280: | Строка 466: | ||
<tex>w </tex> - плотность <tex>v</tex> относительно <tex>\mu \Leftrightarrow \forall T \in A \quad \mu(T) \times \inf(w) \leqslant v(T) \leqslant \mu(T) \times \sup(w)</tex> | <tex>w </tex> - плотность <tex>v</tex> относительно <tex>\mu \Leftrightarrow \forall T \in A \quad \mu(T) \times \inf(w) \leqslant v(T) \leqslant \mu(T) \times \sup(w)</tex> | ||
|proof= | |proof= | ||
+ | <tex>\Rightarrow)</tex> Очевидно<br> | ||
+ | <tex>\Leftarrow)</tex> Пусть <tex>w > 0</tex> (без потери общности)<br> | ||
+ | <tex>A = \bigcup\limits_{k \in \mathbb{Z}} A_k (q^k \leqslant w \leqslant q^{k-1}) \quad q \in (0, 1)</tex><br> | ||
+ | <tex>q^k \cdot \mu A_k \leqslant \nu (A_k) \leqslant q^{k-1} \cdot \mu A_k</tex><br> | ||
+ | <tex>q^k \cdot \mu A_k \leqslant \int\limits_{A_k} w d\mu \leqslant q^{k-1} \cdot \mu A_k</tex><br> | ||
+ | <tex>q \cdot \int\limits_{A_k} w d\mu \leqslant q^k \cdot \mu A_k \leqslant \nu(A_k) \leqslant \dfrac{1}{q} \cdot q^k \cdot \mu(A_k) \leqslant \dfrac{1}{q} \cdot \int\limits_{A_k} w d\mu</tex><br> | ||
+ | <tex>q \cdot \int\limits_{A_k} w d\mu \leqslant \nu(A_k) \leqslant \dfrac{1}{q} \cdot \int\limits_{A_k} w d\mu</tex><br> | ||
+ | <tex>q \to 1-0</tex><br> | ||
+ | <tex>\nu(A) = \int\limits_{A} w d\mu</tex> | ||
}} | }} | ||
Строка 285: | Строка 480: | ||
{{Теорема | {{Теорема | ||
|statement= | |statement= | ||
− | <tex>(X, \mathfrak{A}, \mu), \quad | + | <tex>(X, \mathfrak{A}, \mu), \quad A \in \mathfrak A, \quad \mu A \geqslant 0</tex><br> |
− | Тогда <tex>\exists | + | Тогда <tex>\exists B \subset A</tex> — множество положительности: <tex>\mu(B) \geqslant \mu(A)</tex> |
|proof= | |proof= | ||
+ | <div style="margin-left: 1em"> | ||
+ | {{Определение | ||
+ | |definition=<tex>C</tex> — мн-во <tex>\varepsilon</tex>-положительности,если <tex>\forall B \subset C \quad \mu B \geqslant -\varepsilon</tex> | ||
}} | }} | ||
+ | {{Утверждение | ||
+ | |statement= <tex>\forall \varepsilon > 0 \ A</tex> содержит мн-во <tex>\varepsilon</tex>-положительности. | ||
+ | |proof= | ||
+ | #<tex>A</tex> — мн-во <tex>\varepsilon</tex>-положительности — очевидно | ||
+ | #<tex>A</tex> не явл. мн-вом <tex>\varepsilon</tex>-положительности: <tex>\exists B_1 \subset A : \mu B_1 < -\varepsilon</tex><br><!-- | ||
+ | --><tex>C_1 := A \setminus B_1 \Rightarrow \mu C_1 > \mu A</tex> | ||
+ | ##<tex>C_1</tex> — мн-во <tex>\varepsilon</tex>-положительности — ОК | ||
+ | ##Иначе <tex>\exists B_2 \subset C_1 : \mu B_2 < -\varepsilon \quad C_2 := C_1 \setminus B_2 \quad \mu C_2 > \mu C_1</tex> | ||
+ | #Продолжаем в том же духе — и рано или поздно приходим к успеху, т.к. иначе <tex>\mu \left( \bigcup B_i \right) = -\infty</tex> | ||
+ | }}</div> | ||
− | === Теорема Радона | + | <tex>C_1 \subset A</tex> — мн-во 1-положительности: <tex>\mu C_1 \geqslant \mu A</tex><br> |
+ | <tex>C_2 \subset C_1</tex> — мн-во <tex>1/2</tex>-положительности: <tex>\mu C_2 \geqslant \mu C_1</tex><br> | ||
+ | <tex>\vdots</tex><br> | ||
+ | <tex>C_n \subset C_{n-1}</tex> — мн-во <tex>1/n</tex>-положительности: <tex>\mu C_n \geqslant \mu C_{n-1}</tex><br> | ||
+ | Пусть <tex>B = \bigcap C_i</tex><br> | ||
+ | <tex>\mu B = \lim\limits_{i \to +\infty} \mu C_i \geqslant \mu A</tex> | ||
+ | }} | ||
+ | |||
+ | === Теорема Радона — Никодима === | ||
{{Теорема | {{Теорема | ||
|author=Радон, Никодим | |author=Радон, Никодим | ||
Строка 297: | Строка 513: | ||
<tex>f</tex> — плотность <tex>\nu</tex> относительно <tex>\mu</tex>. | <tex>f</tex> — плотность <tex>\nu</tex> относительно <tex>\mu</tex>. | ||
|proof= | |proof= | ||
+ | ==== Единственность ==== | ||
+ | <div style="margin-left: 1em"> | ||
{{Лемма | {{Лемма | ||
− | |statement=<tex>f, g</tex> — сумм. отн. <tex>\mu</tex> | + | |statement=Если <tex>f, g</tex> — сумм. отн. <tex>\mu</tex> и <tex>\displaystyle \forall A \in \mathfrak{A} \int_A f \, d\mu = \int_A g \, d\mu</tex>, то <tex>f = g</tex> п.в. |
− | <tex>\forall A \in \mathfrak{A} \int_A f \, d\mu = \int_A g \, d\mu</tex> | + | |proof= |
+ | <tex>h := f - g</tex>. | ||
+ | |||
+ | <tex> | ||
+ | \forall A \in \mathfrak A \quad \displaystyle\int_A h \,d\mu = 0 \\ \\ | ||
+ | X = X(h \geqslant 0) \cup X(h < 0) \\ \\ | ||
+ | \int\limits_{h \geqslant 0} h \,d\mu = 0, \quad \int\limits_{h < 0} h \,d\mu = 0 | ||
+ | </tex><br> | ||
+ | Легко видеть, что <tex>\displaystyle\int_X |h| \,d\mu = 0 \ \Rightarrow h = 0</tex> п.в. | ||
}} | }} | ||
− | + | </div> | |
+ | <h4>Существование</h4> <!-- мда чёт ==== не работают нифига((99 --> | ||
+ | TBD | ||
}} | }} | ||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
=== Лемма об оценке мер образов кубов из окрестности точки дифференцируемости === | === Лемма об оценке мер образов кубов из окрестности точки дифференцируемости === | ||
{{Теорема | {{Теорема | ||
|statement= | |statement= | ||
<tex>\phi: O \in \mathbb{R}^m \to \mathbb{R}^m, \quad a \in \mathbb{R}^m, f</tex> - диффиренцируема в <tex>a</tex><br> | <tex>\phi: O \in \mathbb{R}^m \to \mathbb{R}^m, \quad a \in \mathbb{R}^m, f</tex> - диффиренцируема в <tex>a</tex><br> | ||
− | Пусть <tex>c > |det \ | + | Пусть <tex>c > |\det \varphi'(a)| > 0, \quad \mu</tex> - мера Лебега на <tex>\mathbb{R}^m</tex><br> |
− | Тогда <tex> | + | Тогда <tex>\exists U(a) \quad \forall</tex> куба <tex>Q \subset U(A), a \in Q</tex><br> |
<tex>\mu(\phi(Q))<c \cdot \mu(Q)</tex> | <tex>\mu(\phi(Q))<c \cdot \mu(Q)</tex> | ||
|proof= | |proof= | ||
Строка 322: | Строка 545: | ||
{{Теорема | {{Теорема | ||
|statement= | |statement= | ||
− | <tex>\phi | + | <tex>\phi \colon O \in \mathbb{R}^m \to \mathbb{R}^m</tex> - диффеоморфизм<br> |
− | Тогда <tex>\forall x \in \mathbb{R}^m \mu(\phi(a)) = \int\limits_a |det \phi'(x)| \cdot d\mu(x)</tex> | + | Тогда <tex>\forall x \in \mathbb{R}^m \mu(\phi(a)) = \int\limits_a |\det \phi'(x)| \cdot d\mu(x)</tex> |
|proof= | |proof= | ||
}} | }} | ||
Строка 330: | Строка 553: | ||
{{Теорема | {{Теорема | ||
|statement= | |statement= | ||
+ | <tex>\varphi\colon O \subset \mathbb{R}^m \to \mathbb{R}^m </tex> — диффеоморфизм<br> | ||
+ | Пусть <tex>O_1 := \varphi(O), \quad f \geqslant 0 </tex> — измерима на <tex>O_1</tex><br> | ||
+ | Тогда <tex>\int\limits_{O_1} f(y) d\mu = \int\limits_{O} (f * \varphi)(x) \cdot |\det \varphi'(x)| d\mu(x)</tex> | ||
|proof= | |proof= | ||
}} | }} | ||
+ | |||
=== Теорема о произведении мер === | === Теорема о произведении мер === | ||
{{Теорема | {{Теорема | ||
Строка 342: | Строка 569: | ||
{{Теорема | {{Теорема | ||
|statement= | |statement= | ||
+ | <tex>(X, \mathfrak{A}, \mu), \quad (Y, \mathfrak{B}, \nu) \quad \mu, \nu</tex> - сигма конечные, полные; <tex>m = \mu \times \nu</tex><br> | ||
+ | <tex>C</tex> измеримо в <tex>\mathfrak{A} \times \mathfrak{B}</tex><br> | ||
+ | Тогда: | ||
+ | |||
+ | # <tex>C_x - \mu</tex> — измерима при всех <tex>x</tex> | ||
+ | # <tex>x \mapsto \nu(x)</tex> измерима при всех <tex>x</tex> | ||
+ | # <tex>mc = \int\limits_X \nu(C_x)d\mu(x)</tex> | ||
+ | |||
+ | Аналогично для <tex>C_y</tex> | ||
|proof= | |proof= | ||
}} | }} | ||
+ | |||
=== Теорема Тонелли === | === Теорема Тонелли === | ||
{{Теорема | {{Теорема | ||
|statement= | |statement= | ||
+ | <tex>(X, \mathfrak{A}, \mu), \quad (Y, \mathfrak{B}, v) \quad \mu v</tex> - сигма конечные, полные; <tex>m = \mu * v</tex><br> | ||
+ | <tex>f: X \times Y \to \mathbb{R}, f \geqslant 0</tex> измеримая, <tex>f_x := y \to f(x, y)</tex><br> | ||
+ | Тогда: | ||
+ | |||
+ | # <tex>f_x - v</tex>-измерима при почти всех <tex>x</tex> | ||
+ | # <tex>f_y - \mu</tex>-измерима при почти всех <tex>y</tex> | ||
+ | # <tex>x \to \phi(x) := \int f_x dv</tex> - <tex> \mu</tex>-измеримая функция | ||
+ | # <tex>\int\limits_{X \times Y} f dm = \int \limits_X \phi(x) d\mu(x) = \int (\int f(x, y) dv(y)) d\mu(x) = \int (\int f(x, y) d\mu(x)) dv(y)</tex> | ||
|proof= | |proof= | ||
}} | }} | ||
+ | |||
=== Формула для Бета-функции === | === Формула для Бета-функции === | ||
{{Теорема | {{Теорема | ||
|statement= | |statement= | ||
− | <tex> | + | <tex>B(x, y) = \dfrac{\Gamma(x) \cdot \Gamma(y)}{\Gamma(x + y)}</tex> |
|proof= | |proof= | ||
+ | Вычислим интеграл <tex>I(u, v) = \displaystyle\iint\limits_{x, y > 0} e^{-(x^2 + y^2)} x^{2u - 1} y^{2v-1} \;dx dy</tex> | ||
+ | |||
+ | С одной стороны, <tex>I(u, v) = I(u) \cdot I(v)</tex>, где | ||
+ | : <tex dpi=150>I(u) = \displaystyle\int\limits_0^{+\infty} e^{-x^2} x^{2u-1} \;dx = \dfrac12 \int\limits_0^{+\infty} e^{-t} t^{u-1} \;dt = \dfrac12 \Gamma(u)</tex> | ||
+ | |||
+ | С другой стороны, переходя к полярным координатам, получим: | ||
+ | :<tex dpi=150>I(u, v) = \displaystyle\int\limits_0^{+\infty} e^{-r^2} r^{2u + 2v - 1} \;dr \int\limits_0^{\pi/2} \cos^{2u-1} \varphi \sin^{2v-1} \varphi \;d\varphi = {}\\ | ||
+ | {} = \dfrac12 \Gamma(u + v) \int\limits_0^{\pi/2} \cos^{2u-1} \varphi \sin^{2v-1} \varphi \;d\varphi</tex> | ||
+ | |||
+ | Сделаем замену <tex>\cos^2 \varphi = t</tex>: | ||
+ | :<tex dpi=150>\displaystyle\int\limits_0^{\pi/2} \cos^{2u-1} \varphi \sin^{2v-1} \varphi \;d\varphi = \frac{1}{2} B(u, v)</tex> | ||
+ | |||
+ | Составляя два выражения для <tex>I(u, v)</tex>, получим <tex>B(x, y) = \dfrac{\Gamma(x) \cdot \Gamma(y)}{\Gamma(x + y)}</tex> | ||
}} | }} | ||
Строка 359: | Строка 618: | ||
{{Теорема | {{Теорема | ||
|statement= | |statement= | ||
+ | <tex>(X, \mathfrak{A}, \mu), \quad (Y, \mathfrak{B}, \nu) \quad \mu, \nu</tex> — сигма-конечные, полные; <tex>m = \mu \times \nu</tex><br> | ||
+ | <tex>f \colon X \times Y \to \overline{\mathbb{R}}</tex> — <tex>m</tex>-сумм. Тогда: | ||
+ | # <tex>C_x</tex> — суммируема при всех <tex>x</tex> | ||
+ | # <tex> x \mapsto q(x) = \int f_x \,d\nu</tex> сумм при всех <tex>x</tex> | ||
+ | # <tex>\int f \,d\nu = \int q \,d\mu</tex> | ||
+ | |||
+ | Аналогично для <tex>C_y</tex> | ||
|proof= | |proof= | ||
+ | <tex>f = f_+ - f_- \quad \int\limits_{X \times Y} f_\pm \,dm</tex> — кон.<br> | ||
+ | <tex>\displaystyle\int_{X \times Y} f \,dm = \int_{X \times Y} f_+ \,dm - \int_{X \times Y} f_- \,dm</tex><br> | ||
+ | <tex>\displaystyle\int(f_x)_+ , \int(f_x)_-</tex> — кон. при п.в. <tex>x</tex><br> | ||
+ | Т.к. <tex>f_+ \geqslant 0 \Rightarrow \displaystyle\int_X \left( \int_Y (f_x)_+ \,d\nu \right) d\mu</tex> — кон. <tex> \Rightarrow \displaystyle\int_Y (f_x)_+\,d\nu</tex> — кон. при п.в. <tex>x</tex> | ||
+ | |||
+ | <tex> | ||
+ | \varphi(x)_+ = \displaystyle\int_Y (f_x)_+ \,d\nu \\ | ||
+ | \varphi(x) = \displaystyle\int_Y (f_x)_+ \,d\nu - \displaystyle\int_Y (f_x)_- \,d\nu \\ | ||
+ | \int_X |\varphi(x)| \,d\mu = {} \\ | ||
+ | {} = \int_X \left| \int_Y (f_x)_+ - \int_Y (f_x)_- \right| \,d\mu \leqslant \int_X \left( \left| \int_Y (f_x)_+ \right| - \left|\int_Y (f_x)_-\right| \right) \,d\mu \\ | ||
+ | \int\limits_{X \times Y} f \,dm = \left(\int\limits_{X \times Y} f_+ \right) - \left(\int\limits_{X \times Y} f_- \right) = \int\limits_X \int\limits_Y f_+ - \int\limits_X \int\limits_Y f_- = {} \\ | ||
+ | {} = \int\limits_X \left(\int\limits_Y f_+ - \int\limits_Y f_- \right) = \int\limits_X \int\limits_Y f | ||
+ | </tex> | ||
}} | }} | ||
+ | |||
=== Объем шара в R^m === | === Объем шара в R^m === | ||
{{Теорема | {{Теорема | ||
|statement= | |statement= | ||
<tex>V(B(0, r)) = \alpha \cdot r^n</tex><br> | <tex>V(B(0, r)) = \alpha \cdot r^n</tex><br> | ||
− | <tex>\alpha = \dfrac{(\sqrt{\pi})^n}{\Gamma(\dfrac{n}{2} + 1)}</tex> | + | <tex>\alpha = \dfrac{(\sqrt{\pi})^n}{\Gamma\left(\dfrac{n}{2} + 1\right)}</tex> |
+ | |proof= | ||
+ | }} | ||
+ | |||
+ | === Теорема о вычислении интеграла по мере Бореля — Стилтьеса (с леммой) === | ||
+ | {{Лемма | ||
+ | |statement= | ||
+ | <tex>(X, \mathfrak{A}, \mu), \quad h</tex> — измерима, почти везде конечна<br> | ||
+ | <tex>H</tex> — функция распределения: <tex>H(t) = \mu X (h < t)</tex><br> | ||
+ | <tex>\nu = h(\mu)</tex>, т.е. <tex>\nu(A) = \mu(h^{-1}(A))</tex><br> | ||
+ | <tex>\mu_H</tex> — мера Бореля-Стилтьеса от <tex>H</tex><br> | ||
+ | Тогда <tex>\mu_H \equiv \nu</tex> на <tex>B</tex> (Борелевской сигма-алгебре) | ||
|proof= | |proof= | ||
+ | <tex>[a, b) \quad \mu_H [a;\, b) = H(b-0) - H(a-0) = (*)</tex><br> | ||
+ | <tex>H\left(b - \dfrac1n\right) = \mu X\left(h < b - \dfrac1n\right)</tex><br> | ||
+ | <tex>H(b-0) = \lim\limits_{n \to +\infty} \mu X \left(h < b - \dfrac1n\right) = \mu X(h<b)</tex> <tex>\left(\displaystyle \bigcup X \left(h < b - \dfrac1n\right) = X(h<b)\right)</tex><br> | ||
+ | <tex>(*) = H(b) - H(a) = \mu X(h < b) -\mu X(h < a) = \mu X(a \leqslant h < b) = \mu h^{-1} [a, b)</tex> <tex>{ } = \nu [a, b)</tex> | ||
}} | }} | ||
− | + | ||
{{Теорема | {{Теорема | ||
|statement= | |statement= | ||
− | |proof= | + | <tex>f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}, \quad f \geqslant 0</tex> измерима относительно <tex>B</tex><br> |
+ | Остальное из прошлой леммы<br> | ||
+ | Тогда: <tex>\int\limits_X f(h(x)) d\mu(x) = \int\limits_R f(t) d\mu_h(t)</tex> | ||
+ | |proof=Ну тут тип просто замена в интеграле))) | ||
}} | }} | ||
+ | |||
=== Теорема о вложении пространств L^p === | === Теорема о вложении пространств L^p === | ||
{{Теорема | {{Теорема | ||
Строка 381: | Строка 680: | ||
# <tex dpi=150>1 \leqslant s < r < +\infty</tex>, тогда <tex dpi=150>L^r \subset L^s</tex> | # <tex dpi=150>1 \leqslant s < r < +\infty</tex>, тогда <tex dpi=150>L^r \subset L^s</tex> | ||
− | # <tex dpi=150>\| f \|_s \leqslant (\mu(X))^{\frac{1}{s} - \frac{1}{r}} \ | + | # <tex dpi=150>\| f \|_s \leqslant (\mu(X))^{\frac{1}{s} - \frac{1}{r}} \cdot \| f \|_r</tex> |
|proof= | |proof= | ||
− | + | # Напрямую следует из 2 | |
+ | # Пусть<br><!-- | ||
+ | --><tex dpi=150> \dfrac{r}{s} = p > 1</tex><br><!-- | ||
+ | --><tex dpi=150> q = \dfrac{r}{r - s}</tex><p><!-- | ||
+ | -->Тогда: <tex dpi=150>\| f \|^s_s = \int\limits_X |f|^s = \int\limits_X |f|^s \cdot 1 \leqslant \left(\int\limits_X |f|^{s \cdot \frac{r}{s}}\right)^\frac{s}{r} \cdot \left(\int\limits_X 1^{\frac{r}{r-s}}\right)^\frac{r-s}{r} = \| f \|_r^s \cdot (\mu(X))^{1-\frac{s}{r}}</tex> (по Гёльдеру)</p> | ||
+ | }} | ||
− | 2 | + | === Полнота L^p === |
+ | {{Теорема | ||
+ | |statement=<tex>(X, \mathfrak{A}, \mu), L^p(X)</tex> — полное <tex>(1 \leqslant p < +\infty)</tex> | ||
+ | |proof= | ||
+ | <tex>f_n</tex> — фундамтельная в <tex>L^p</tex><br> | ||
+ | Строим кандидата на роль предела:<br> | ||
+ | <tex dpi=150>\varepsilon := \dfrac{1}{2} \quad \exists N_1 \quad \forall m, n \geqslant N_1 \quad \|f_m - f_n\|_p < \dfrac{1}{2}\\ \\ | ||
+ | \varepsilon := \dfrac{1}{4} \quad \exists N_2 > N_1 \quad \forall m, n \geqslant N_2 \quad \|f_m - f_n\|_p < \dfrac{1}{4}\\ \\ | ||
+ | \varepsilon := \dfrac{1}{8} \quad \dots</tex><br> | ||
− | <tex | + | Очевидно, что <tex>\sum\limits_{k=1}^{+\infty} \|f_{N_{k+1}} - f_{N_k}\| < 1</tex><br> |
− | <tex | + | Рассмотрим <tex>S(x) = \sum\limits_{k=1}^{+\infty} |f_{N_{k+1}}(x) - f_{N_k}(x)| \in [0; +\infty]</tex><br> |
− | + | <tex>\|S_N\|_p = \|\sum ... \|_p \leqslant \sum\limits_{k=1}^{N} \|f_{N_{k+1}} - f_{N_k}\|_p < 1</tex><br> | |
− | |||
− | + | Т.е. <tex>\displaystyle\int\limits_X |S_N(x)|^p d\mu(x) < 1</tex><br> | |
− | {{ | + | При всех <tex>x \quad S_N(x) \to S(x)</tex><br> |
− | + | <br> | |
− | | | + | По теореме Фату <tex>\displaystyle\int\limits_X |S(x)|^p < 1</tex>, т.е. <tex>|S(x)|^p</tex> - суммируема<br> |
+ | Значит <tex>|S(x)|</tex> почти везде конечна. <tex> \Rightarrow </tex> Ряд <tex> \sum f_{N_{k+1}}(x) - f_{N_k}(x)</tex> абсолютно сходится при почти всех <tex>x</tex>.<br> | ||
+ | <br> | ||
+ | <tex>f(x) = f_{N_1}(x) + \sum f_{N_{k+1}}(x) - f_{N_k}(x)</tex><br> | ||
+ | При всех <tex>x \quad f(x) = \lim\limits_{k \to +\infty} f_{N_1} + \sum\limits_{i=1}^{k}(...) = \lim\limits_{k \to +\infty} f_{N_{k+1}}(x)</tex><br> | ||
+ | <tex>\|f\|_p \leqslant \|f_{N_1}\|_p + \sum \|f_{N_{k+1}} - f_{N_k}\|_p</tex> — конечна<br> | ||
+ | <tex>\|f(x)-f_n(x)\|_p \to 0 ?</tex><br> | ||
+ | <br> | ||
+ | <tex>\forall \varepsilon > 0 \quad \exists N \quad \forall m, n > N \quad \|f_n-f_m\|_p^p < \varepsilon^p</tex><br> | ||
+ | Возьмём <tex>m:=N_k > N</tex><br> | ||
+ | <tex>\|f_n-f_{N_k}\|_p^p < \epsilon^p</tex><br> | ||
+ | <tex>\displaystyle\int\limits_X |f_n(x) - f_{N_k}(x)|^p d\mu(x) < \varepsilon^p</tex><br> | ||
+ | <br> | ||
+ | По теореме Фату:<br> | ||
+ | <tex>\displaystyle\int\limits_X |f_n(x) - f(x)|^p d\mu < \varepsilon^p \Rightarrow f_n \rightrightarrows f</tex> | ||
}} | }} | ||
Строка 403: | Строка 728: | ||
{{Теорема | {{Теорема | ||
|statement= | |statement= | ||
− | <tex>(X, \mathfrak{A}, \mu), f - </tex> ступенчатая <tex> = \ | + | <tex>(X, \mathfrak{A}, \mu), f - </tex> ступенчатая <tex dpi=160>{} = \sum\limits_{k=1}^{n} C_k \times \chi_{E_k}</tex> |
<tex>X = \bigsqcup X_k</tex> | <tex>X = \bigsqcup X_k</tex> | ||
Строка 411: | Строка 736: | ||
в <tex>L^p(X, \mu) (1 \leqslant p \leqslant +\infty)</tex> множество ступенчатых функций плотно | в <tex>L^p(X, \mu) (1 \leqslant p \leqslant +\infty)</tex> множество ступенчатых функций плотно | ||
|proof= | |proof= | ||
+ | # <tex>p = \infty \quad f \in L^\infty \quad \|f\|_\infty = \operatorname{ess\,sup} |f| < +\infty</tex><br><!-- | ||
+ | -->Поправив <tex>f</tex> на множестве нулевой меры, получим <tex>\forall x \in X \ |f(x)| \leqslant \|f\|_\infty</tex><br><!-- | ||
+ | --><tex>f</tex> — изм. огр., <tex>\exists h_n : \sup |f - h_n| \to 0 \Rightarrow \|f - h_n\|_\infty = \operatorname{ess\,sup} |f - h_n| \leqslant \sup |f - h_n|</tex> | ||
+ | # <tex>p < +\infty \quad f \in L^p \quad B(f, \varepsilon)</tex> — есть ли здесь ступ. ф-ия?<br><!-- | ||
+ | --><tex>f \geqslant 0 \quad \exists</tex> ступ. <tex>h_n : h_n \leqslant h_{n+1} \leqslant \dots \quad h_n \to f, h_n \leqslant f</tex><br><!-- | ||
+ | --><tex>\displaystyle\int\limits_X |f - h_n| \to 0</tex><br><!-- | ||
+ | --><tex>\|f - h_n\|^p_p = \displaystyle\int\limits_X |f - h_n|^p d\mu(x) \xrightarrow[n \to +\infty]{} 0</tex> (по т. Лебега). | ||
}} | }} | ||
Строка 416: | Строка 748: | ||
{{Теорема | {{Теорема | ||
|statement= | |statement= | ||
− | <tex>F_1 | + | <tex>F_0, F_1 - </tex> два непересекающихся замкнутых множества из <tex>\mathbb{R}^m</tex><br> |
− | Тогда <tex>\exists f: \mathbb{R}^m \to \mathbb{R}</tex> (непрырывная)<tex>: f|_{ | + | Тогда <tex>\exists f: \mathbb{R}^m \to \mathbb{R}</tex> (непрырывная)<tex>: f|_{F_0}=0, f|_{F_1}=1</tex> |
|proof= | |proof= | ||
+ | <tex>\forall</tex> замкн. <tex>F</tex> и <tex>\forall</tex> откр. <tex>G \supset F</tex> <tex>\exists</tex> откр. <tex>H : F \subset H \subset \overline H \subset G</tex>.<br> | ||
+ | <tex>\exists U(F_0), U(F_1)</tex> — откр.: <tex>U(F_0) \cap U(F_1) = \varnothing</tex><br> | ||
+ | <tex>F_0 \subset G_0 \subset \overline{G_0} \subset F_1^c = G_1</tex><br> | ||
+ | <tex>\overline{G_0} \subset G_1 \quad \exists G_{1/2} \quad \overline{G_0} \subset G_{1/2} \subset \overline{G_{1/2}} \subset G_1</tex><br> | ||
+ | Аналогично можно ввести <tex>G_{1/4}, G_{3/4}</tex> и так далее <tex>G_{\alpha}</tex> для любого двоично-рационального <tex>\alpha \in [0; 1]</tex>. | ||
+ | |||
+ | <tex>f(x) := \sup \{x \in G_\alpha \mid \alpha</tex> — дв. рац. <tex> \}</tex> — непр. | ||
+ | <tex>(a, b) \subset [0, 1], a</tex> — дв. рац. <tex>{}\quad f^{-1}(a, b) = \!\!\!\!\!\!\displaystyle\bigcup_{\substack{\alpha \in (a, b) \\ \alpha \text{ is dyadic rat.}}}\!\!\!\!\!\! G_\alpha \setminus \overline{G_a}</tex> | ||
}} | }} | ||
Строка 435: | Строка 775: | ||
# <tex>1 \leqslant p < +\infty \quad f \in L^p (\mathbb{R}^m) \Rightarrow \displaystyle\lim_{h \to 0} \| f_n - f \|_p = 0</tex> | # <tex>1 \leqslant p < +\infty \quad f \in L^p (\mathbb{R}^m) \Rightarrow \displaystyle\lim_{h \to 0} \| f_n - f \|_p = 0</tex> | ||
# <tex>f \in \widetilde{C}[0, T] \Rightarrow \displaystyle\lim_{h \to 0} \| f_n - f \|_\infty = 0</tex> | # <tex>f \in \widetilde{C}[0, T] \Rightarrow \displaystyle\lim_{h \to 0} \| f_n - f \|_\infty = 0</tex> | ||
− | # <tex>1 \leqslant p < +\infty \quad f \in L^p[0, T] \Rightarrow \ | + | # <tex>1 \leqslant p < +\infty \quad f \in L^p[0, T] \Rightarrow \lim\limits_{h \to 0} \| f_n - f \|_p = 0</tex> |
|proof= | |proof= | ||
}} | }} | ||
Строка 480: | Строка 820: | ||
Следствие: | Следствие: | ||
− | <tex>\displaystyle\sum |C_k(x)|^2 \times \| e_k \|^2 \leqslant \|x\|^2</tex> | + | <tex>\displaystyle\sum |C_k(x)|^2 \times \| e_k \|^2 \leqslant \|x\|^2</tex> (Неравенство Бесселя) |
|proof= | |proof= | ||
}} | }} | ||
− | === Теорема Рисса | + | === Теорема Рисса — Фишера о сумме ряда Фурье. Равенство Парсеваля === |
{{Теорема | {{Теорема | ||
|statement= | |statement= | ||
Строка 512: | Строка 852: | ||
<tex>T(x) - </tex> тригонометрический ряд, <tex>\quad S_n(x) - </tex> частичные суммы | <tex>T(x) - </tex> тригонометрический ряд, <tex>\quad S_n(x) - </tex> частичные суммы | ||
− | Пусть <tex> | + | Пусть <tex>f \in L^1[-\pi,\pi] \quad S_n \to f </tex> в пространстве <tex>L^1</tex> |
Тогда: | Тогда: | ||
− | # <tex>a_k = \dfrac{1}{\pi} \cdot \displaystyle\ | + | # <tex>a_k = \dfrac{1}{\pi} \cdot \displaystyle\int\limits_{-\pi}^{\pi} {f(x) \cdot \cos {kx} \;dx}</tex> |
− | # <tex>b_k = \dfrac{1}{\pi} \cdot \displaystyle\ | + | # <tex>b_k = \dfrac{1}{\pi} \cdot \displaystyle\int\limits_{-\pi}^{\pi} {f(x) \cdot \sin {kx} \;dx}</tex> |
− | # <tex>c_k = \dfrac{1}{2 \pi} \cdot \displaystyle\ | + | # <tex>c_k = \dfrac{1}{2 \pi} \cdot \displaystyle\int\limits_{-\pi}^{\pi} {f(x) \cdot e^{-ikx} \;dx}</tex> |
|proof= | |proof= | ||
}} | }} | ||
− | === Теорема Римана | + | === Теорема Римана — Лебега === |
{{Теорема | {{Теорема | ||
|statement= | |statement= | ||
− | <tex>E \ | + | <tex>E \subset \mathbb{R}</tex> — измеримо, <tex>f \in L^1(E)</tex><br> |
− | Тогда <tex>\displaystyle\ | + | Тогда <tex>\displaystyle\int\limits_E {f(x) \cdot e^{ikx} \; dx} \xrightarrow[k \to \infty]{} 0</tex> (То же самое можно и с <tex>\cos {x}</tex> и <tex>\sin {x}</tex> вместо <tex>e^{ikx}</tex>) |
|proof= | |proof= | ||
}} | }} | ||
Строка 569: | Строка 909: | ||
{{Теорема | {{Теорема | ||
|statement= | |statement= | ||
− | <tex>K_n | + | <tex>K_n</tex> — аппроксимативная единица. |
Тогда <tex>(h \to h_0)</tex>: | Тогда <tex>(h \to h_0)</tex>: | ||
− | # <tex>f \in \ | + | # <tex>f \in \widetilde{C}[-\pi, \pi] \quad f * K_n \operatorname*{\rightrightarrows}\limits_{h \to h_0} f</tex> |
# <tex>f \in L^p[-\pi, \pi] \quad \|f * K_n - f \|_p \to 0, h \to 0</tex> | # <tex>f \in L^p[-\pi, \pi] \quad \|f * K_n - f \|_p \to 0, h \to 0</tex> | ||
− | # <tex>f \in L^1, f | + | # <tex>f \in L^1, f</tex> — непр. <tex>x_0 \quad K_n - </tex> ??? а.е.<br> |
− | <tex>f * K_n | + | <tex>f * K_n</tex> — непрерывна в окрестности <tex>x_0</tex> <br> |
<tex>(f * K_n)(x_0) \xrightarrow[h \to h_0]{} f(x_0)</tex> | <tex>(f * K_n)(x_0) \xrightarrow[h \to h_0]{} f(x_0)</tex> | ||
|proof= | |proof= | ||
Строка 584: | Строка 924: | ||
{{Теорема | {{Теорема | ||
|statement= | |statement= | ||
+ | <tex>\sum a_n = S \Rightarrow \sum a_n </tex> (по методу средних арифметических) <tex> = S</tex> | ||
|proof= | |proof= | ||
+ | <tex dpi=150>\sum a_n </tex> (по методу средних арифметических) <tex> = \lim\limits_{n \rightarrow \infty} \frac 1{n + 1} \sum\limits_{k = 0}^n S_k</tex> | ||
+ | <tex dpi=150> | ||
+ | \left|\dfrac{\sum_{k=0}^n S_k}{n+1} - S\right| = \left|\sum\limits_{k=0}^n \dfrac{S_k-S}{n+1}\right| \leqslant \sum\limits_{k=0}^{n} \dfrac{|S_k-S|}{n+1}\\ | ||
+ | \forall \varepsilon > 0 \quad \exists N_1 \quad \forall n > N_1 \quad |S_n - S| < \dfrac{\varepsilon}{2} \\ | ||
+ | \sum\limits_{k=0}^{N_1} \dfrac{|S_k-S|}{n+1} + \sum\limits_{k=N_1 + 1}^{n} \dfrac{|S_k-S|}{n+1} < \varepsilon</tex> | ||
}} | }} | ||
+ | |||
=== Теорема Фейера === | === Теорема Фейера === | ||
{{Теорема | {{Теорема | ||
Строка 608: | Строка 955: | ||
<tex>(P, Q)</tex> — гладкое векторное поле.<br> | <tex>(P, Q)</tex> — гладкое векторное поле.<br> | ||
Пусть граница <tex>D (\partial D)</tex> ориентирована согласованно с ориентацией плоскости. | Пусть граница <tex>D (\partial D)</tex> ориентирована согласованно с ориентацией плоскости. | ||
− | Тогда <tex>\displaystyle\int_{\partial D} P dx + Q dy = \displaystyle\iint_D \left(\dfrac{\partial Q}{\partial x} - \dfrac{\partial P}{\partial y}\right) dx dy</tex> | + | Тогда <tex>\displaystyle\int_{\partial D} P \,dx + Q \,dy = \displaystyle\iint_D \left(\dfrac{\partial Q}{\partial x} - \dfrac{\partial P}{\partial y}\right) dx\, dy</tex> |
|proof= | |proof= | ||
}} | }} | ||
Строка 618: | Строка 965: | ||
<tex>n_0</tex> — сторона поверхности; ориентированы согласованно с <tex>\partial D</tex><br> | <tex>n_0</tex> — сторона поверхности; ориентированы согласованно с <tex>\partial D</tex><br> | ||
<tex>(P,Q,R)</tex> — гладкое векторное поле на <tex>D</tex>. Тогда: | <tex>(P,Q,R)</tex> — гладкое векторное поле на <tex>D</tex>. Тогда: | ||
− | :<tex>\displaystyle\int_{\partial D} P dx + Q dy + R dz = \displaystyle\iint_D (R'_y - Q'_z) \;dy dz + (P'_z - R'_x) \;dz dx + (Q'_x - P'_y) \;dx dy</tex> | + | :<tex dpi=150>\displaystyle\int_{\partial D} P dx + Q dy + R dz = \displaystyle\iint_D (R'_y - Q'_z) \;dy dz + (P'_z - R'_x) \;dz dx + (Q'_x - P'_y) \;dx dy</tex> |
|proof= | |proof= | ||
}} | }} | ||
− | === Формула Гаусса | + | === Формула Гаусса — Остроградского === |
{{Теорема | {{Теорема | ||
|statement= | |statement= | ||
+ | <tex>D \subset \mathbb R^3 \quad \partial D</tex> — ориент. полем внешних нормалей,<br> | ||
+ | <tex>(P, Q, R)</tex> — гл. век. поле в <tex>D</tex>. Тогда | ||
+ | : <tex>\displaystyle\iint\limits_{\partial D} P \,dy\,dz + Q \,dz\,dx + R \,dx\,dy = \iiint\limits_D (P'_x + Q'_y + R'_z)\,dx\,dy\,dz</tex> | ||
|proof= | |proof= | ||
}} | }} | ||
+ | |||
=== Бескоординатное определение ротора === | === Бескоординатное определение ротора === | ||
{{Теорема | {{Теорема |
Текущая версия на 19:14, 12 апреля 2016
Содержание
- 1 Определения
- 1.1 Условие L_loc
- 1.2 Образ меры при отображении
- 1.3 Взвешенный образ меры
- 1.4 Плотность одной меры по отношению к другой
- 1.5 Заряд
- 1.6 Множество положительности заряда
- 1.7 Мера, абсолютно непрерывная по отношению к другой мере
- 1.8 Произведение мер
- 1.9 Сечение множества
- 1.10 Функция распределения
- 1.11 Интегральные неравенства Гёльдера и Минковского
- 1.12 Интеграл комплекснозначной функции
- 1.13 Пространство $L^p(E,\mu)$
- 1.14 Пространство $L^\infty(E,\mu)$
- 1.15 Существенный супремум
- 1.16 Фундаментальная последовательность, полное пространство
- 1.17 Плотное множество
- 1.18 Финитная функция
- 1.19 Гильбертово пространство
- 1.20 Ортогональная система, ортонормированная система векторов, примеры
- 1.21 Сходящийся ряд в гильбертовом пространстве
- 1.22 Коэффициенты Фурье, ряд Фурье
- 1.23 Базис, полная, замкнутая ОС
- 1.24 Тригонометрический ряд
- 1.25 Коэффициенты Фурье функции
- 1.26 Ядро Дирихле, ядро Фейера
- 1.27 Свёртка
- 1.28 Аппроксимативная единица
- 1.29 Усиленная аппроксимативная единица
- 1.30 Метод суммирования средними арифметическими
- 1.31 Измеримое множество на простой двумерной поверхности в R^3
- 1.32 Мера Лебега на простой двумерной поверхности в R^3
- 1.33 Поверхностный интеграл первого рода
- 1.34 Кусочно-гладкая поверхность в ℝ3
- 1.35 Сторона поверхности
- 1.36 Задание стороны поверхности с помощью касательных реперов
- 1.37 Интеграл II рода
- 1.38 Ориентация контура, согласованная со стороной поверхности
- 1.39 Ротор, дивергенция векторного поля
- 1.40 Соленоидальное векторное поле
- 2 Теоремы
- 2.1 Теорема об интегрировании положительных рядов
- 2.2 Абсолютная непрерывность интеграла
- 2.3 Теорема Лебега о мажорированной сходимости для случая сходимости по мере
- 2.4 Теорема Лебега о мажорированной сходимости для случая сходимости почти везде
- 2.5 Теорема Фату
- 2.6 Теорема Лебега о непрерывности интеграла по параметру
- 2.7 Правило Лейбница дифференцирования интеграла по параметру
- 2.8 Вычисление интеграла Дирихле
- 2.9 Теорема о вычислении интеграла по взвешенному образу меры
- 2.10 Критерий плотности
- 2.11 Лемма о множествах вполне положительности заряда
- 2.12 Теорема Радона — Никодима
- 2.13 Лемма об оценке мер образов кубов из окрестности точки дифференцируемости
- 2.14 Теорема о преобразовании меры при диффеоморфизме
- 2.15 Теорема о гладкой замене переменной в интеграле Лебега
- 2.16 Теорема о произведении мер
- 2.17 Принцип Кавальери
- 2.18 Теорема Тонелли
- 2.19 Формула для Бета-функции
- 2.20 Теорема Фубини
- 2.21 Объем шара в R^m
- 2.22 Теорема о вычислении интеграла по мере Бореля — Стилтьеса (с леммой)
- 2.23 Теорема о вложении пространств L^p
- 2.24 Полнота L^p
- 2.25 Плотность в L^p множества ступенчатых функций
- 2.26 Лемма Урысона
- 2.27 Плотность в L^p непрерывных финитных функций
- 2.28 Теорема о непрерывности сдвига
- 2.29 Теорема о свойствах сходимости в гильбертовом пространстве
- 2.30 Теорема о коэффициентах разложения по ортогональной системе
- 2.31 Теорема о свойствах частичных сумм ряда Фурье. Неравенство Бесселя
- 2.32 Теорема Рисса — Фишера о сумме ряда Фурье. Равенство Парсеваля
- 2.33 Теорема о характеристике базиса
- 2.34 Лемма о вычислении коэффициентов тригонометрического ряда
- 2.35 Теорема Римана — Лебега
- 2.36 Принцип локализации Римана
- 2.37 Признак Дини. Следствия
- 2.38 Корректность определения свертки
- 2.39 Свойства свертки функции из L^p с функцией из L^q
- 2.40 Теорема о свойствах аппроксимативной единицы
- 2.41 Теорема Коши о перманентности метода средних арифметических
- 2.42 Теорема Фейера
- 2.43 Полнота тригонометрической системы
- 2.44 Формула Грина
- 2.45 Формула Стокса
- 2.46 Формула Гаусса — Остроградского
- 2.47 Бескоординатное определение ротора
- 2.48 Бескоординатное определение дивергенции
- 2.49 Описание соленоидальных полей в терминах дивергенции
Определения
Условие L_loc
Определение: |
Тогда удовлетворяет в точке | и — суммируемая, что
Образ меры при отображении
Определение: |
Пусть
|
Взвешенный образ меры
Определение: |
|
Плотность одной меры по отношению к другой
Определение: |
|
Заряд
Определение: |
Тогда — заряд | не обязательно и обладает свойством счётной аддитивности
Множество положительности заряда
Определение: |
— множество положительности | (заряд неотрицателен)
Мера, абсолютно непрерывная по отношению к другой мере
Определение: |
Тогда — абсолютно непрерывная по отношению к мере |
Произведение мер
Определение: |
|
Сечение множества
Определение: |
Пусть
|
Функция распределения
Определение: |
|
Интегральные неравенства Гёльдера и Минковского
Теорема (Гёльдер): |
— пространство с мерой; . Тогда |
Теорема (Минковский): |
Пусть — пространство с мерой, и функции . Тогда , и более того:
|
Интеграл комплекснозначной функции
Теорема: |
. Тогда:
|
Пространство $L^p(E,\mu)$
Определение: |
— множество измеримых функций, почти везде конечных на . |
Определение: |
. |
Пространство $L^\infty(E,\mu)$
Определение: |
Существенный супремум
Определение: |
при почти всех |
Фундаментальная последовательность, полное пространство
Определение: |
Последовательность
| называется фундаментальной в , если при , т.е.
Плотное множество
Определение: |
Или, эквивалентно, любой шар — (всюду) плотно в , если для любого открытого мн-ва . содержит точки из . | — метрическое пространство.
Финитная функция
Определение: |
— финитная в , если она равна нулю вне некоторого шара. |
Гильбертово пространство
Определение: |
— полное (любая фундаментальная последовательность сходится в этом пространстве) линейное пространство со скалярным произведением. Под полнотой понимается полнота относительно метрики, порождённой скалярным произведением. |
Определение: |
| — гильбертово пространство:
Ортогональная система, ортонормированная система векторов, примеры
Определение: |
Система векторов | называется ортогональной, если
Определение: |
Если к тому же | — тогда ортонормированная система
Пример: |
Стандартный базис евклидового пространства — ортонормированная система |
Пример: |
— ортогональная система. — ортонормированная система в |
Пример: |
— ортонормированная система в над |
Сходящийся ряд в гильбертовом пространстве
Определение: |
Ряд сходится, если существует элемент из гильбертового пространства, являющийся пределом частичных сумм. |
Коэффициенты Фурье, ряд Фурье
Определение: |
, тогда — коэффициенты Фурье для , а ряд — ряд Фурье |
Базис, полная, замкнутая ОС
Определение: |
|
Тригонометрический ряд
Определение: |
— тригонометрический полином степени . |
Определение: |
— тригонометрический ряд. |
Коэффициенты Фурье функции
Определение: |
Коэффициенты Фурье функции Можно вычислить по формулам: | — из формулы тригонометрического ряда.
Ядро Дирихле, ядро Фейера
Определение: |
— ядро Фейера | — ядро Дирихле,
Свёртка
Определение: |
— свёртка. |
Аппроксимативная единица
Определение: |
определена функция , удовлетворяющая свойствам:
| — пред. точка .
Усиленная аппроксимативная единица
Определение: |
Заменим последнюю аксиому в предыдущем определении на следующую:
|
Метод суммирования средними арифметическими
Определение: |
Измеримое множество на простой двумерной поверхности в R^3
Мера Лебега на простой двумерной поверхности в R^3
Определение: |
Мера в — взвешенный образ меры Лебега в с весом | .
Поверхностный интеграл первого рода
Определение: |
Кусочно-гладкая поверхность в ℝ3
Определение: |
| называется кусочно-гладкой, если представляет собой объединение:
Сторона поверхности
Определение: |
Сторона поверхности — это непрерывное поле единичных нормалей на поверхности |
Задание стороны поверхности с помощью касательных реперов
Определение: |
Репер — упорядоченный набор из двух (неколлинеарных) касательных векторов к поверхности |
Определение: |
Поле реперов | , если — касательный репер
Определение: |
Сторона поверхности задаётся с помощью касательных реперов: |
Интеграл II рода
Определение: |
Ориентация контура, согласованная со стороной поверхности
Определение: |
Ориентация контура называется согласованной со стороной поверхности, если векторное произведение нормали и вектора скорости направлено внутрь контура. |
Ротор, дивергенция векторного поля
Определение: |
Пусть | — гладкое векторное поле в некоторой области . Тогда
Соленоидальное векторное поле
Определение: |
— соленоидальное, если существует векторный потенциал , т.е. . |
Теоремы
Теорема об интегрировании положительных рядов
Теорема: |
Доказательство: |
Пусть |
Абсолютная непрерывность интеграла
Теорема: |
Доказательство: |
|
Теорема Лебега о мажорированной сходимости для случая сходимости по мере
Теорема: |
|
Доказательство: |
|
Теорема Лебега о мажорированной сходимости для случая сходимости почти везде
Теорема: |
|
Доказательство: |
Легко видеть, что Кстати, при п.в. .Рассмотрим ф-ии — возр.С другой стороны, |
Теорема Фату
Теорема: |
Тогда |
Доказательство: |
Теорема Лебега о непрерывности интеграла по параметру
Теорема: |
|
Доказательство: |
Рассмотрим Применим теорему Лебега для , где . . |
Правило Лейбница дифференцирования интеграла по параметру
Теорема: |
|
Доказательство: |
Пусть Теорема Лагранжа о среднем применённая к удовлетворяет условию , поэтому найдутся такие и , что при почти всех и при . на даст . Поэтому . |
Вычисление интеграла Дирихле
Теорема: |
Доказательство: |
Можно, например, вот так. |
Теорема о вычислении интеграла по взвешенному образу меры
Теорема: |
|
Доказательство: |
Это очевидно верно, если характеристическая функция. По линейности интеграла это также верно и для простой неотрицательной .Для произвольной неотрицательной Для отрицательных там надо что-то ещё сделать)))) рассмотрим последовательность простых неотрицательных функций и по теореме Леви (предельный переход) теорем доказана для неотрицательных . |
Критерий плотности
Теорема: |
- плотность относительно |
Доказательство: |
|
Лемма о множествах вполне положительности заряда
Теорема: | |||||||
Тогда — множество положительности: | |||||||
Доказательство: | |||||||
| |||||||
Теорема Радона — Никодима
Теорема (Радон, Никодим): | ||||||
Тогда — сумм. отн. — плотность относительно . | ||||||
Доказательство: | ||||||
Единственность
СуществованиеTBD | ||||||
Лемма об оценке мер образов кубов из окрестности точки дифференцируемости
Теорема: |
Пусть |
Теорема о преобразовании меры при диффеоморфизме
Теорема: |
Тогда |
Теорема о гладкой замене переменной в интеграле Лебега
Теорема: |
Пусть |
Теорема о произведении мер
Теорема: |
Принцип Кавальери
Теорема: |
|
Теорема Тонелли
Теорема: |
|
Формула для Бета-функции
Теорема: |
Доказательство: |
Вычислим интеграл С одной стороны, , гдеС другой стороны, переходя к полярным координатам, получим: Сделаем замену : |
Теорема Фубини
Теорема: |
— -сумм. Тогда:
|
Доказательство: |
|
Объем шара в R^m
Теорема: |
Теорема о вычислении интеграла по мере Бореля — Стилтьеса (с леммой)
Лемма: |
|
Доказательство: |
|
Теорема: |
Остальное из прошлой леммы |
Доказательство: |
Ну тут тип просто замена в интеграле))) |
Теорема о вложении пространств L^p
Теорема: |
|
Доказательство: |
|
Полнота L^p
Теорема: |
— полное |
Доказательство: |
Очевидно, что Рассмотрим
Т.е. |
Плотность в L^p множества ступенчатых функций
Теорема: |
в конечно множество ступенчатых функций плотно |
Доказательство: |
|
Лемма Урысона
Теорема: |
Тогда (непрырывная) |
Доказательство: |
— дв. рац. — непр. — дв. рац. |
Плотность в L^p непрерывных финитных функций
Теорема: |
всюду плотно в |
Теорема о непрерывности сдвига
Теорема: |
|
Теорема о свойствах сходимости в гильбертовом пространстве
Теорема: |
Пусть есть ГП
|
Теорема о коэффициентах разложения по ортогональной системе
Теорема: |
Ортогональная система. Тогда:
|
Теорема о свойствах частичных сумм ряда Фурье. Неравенство Бесселя
Теорема: |
частичные суммы ряда Фурье
Тогда:
Следствие: (Неравенство Бесселя) |
Теорема Рисса — Фишера о сумме ряда Фурье. Равенство Парсеваля
Теорема: |
|
Теорема о характеристике базиса
Теорема: |
|
Лемма о вычислении коэффициентов тригонометрического ряда
Теорема: |
Пусть в пространствеТогда: |
Теорема Римана — Лебега
Теорема: |
Тогда (То же самое можно и с и вместо ) |
Принцип локализации Римана
Теорема: |
|
Признак Дини. Следствия
Теорема: |
Пусть |
Корректность определения свертки
Теорема: |
Свойства свертки функции из L^p с функцией из L^q
Теорема: |
Тогда |
Теорема о свойствах аппроксимативной единицы
Теорема: |
Тогда :
|
Теорема Коши о перманентности метода средних арифметических
Теорема: |
(по методу средних арифметических) |
Доказательство: |
(по методу средних арифметических) |
Теорема Фейера
Теорема: |
3 пункта:
|
Полнота тригонометрической системы
Теорема: |
Тригонометрическая система полна в (Следствие теоремы Фейера) |
Формула Грина
Теорема: |
|
Формула Стокса
Теорема: |
|
Формула Гаусса — Остроградского
Теорема: |
— гл. век. поле в . Тогда |
Бескоординатное определение ротора
Теорема: |
Бескоординатное определение дивергенции
Теорема: |
Описание соленоидальных полей в терминах дивергенции
Теорема: |