|
|
| (не показано 25 промежуточных версий 9 участников) |
| Строка 1: |
Строка 1: |
| − | [[Дифференциальные уравнения]]
| |
| | | | |
| − | ==Определения== | + | ==Список лекций== |
| − | {{Определение
| + | #[[Основные понятия и теорема Пикара | Основные понятия и теорема Пикара]] - 04.09.2015 |
| − | |definition=Соотношение вида <tex>F(x, y(x), {y}'(x), ... , y^{(n)}(x)) = 0\:(1)</tex> называется обыкновенным дифференциальным уравнением (ОДУ).}} | + | #[[типы дифференциальных уравнений | Типы дифференциальных уравнений]] - 11.09.2015 |
| − | {{Определение
| + | #[[Дифференциальные уравнения высших порядков | Дифференциальные уравнения высших порядков ]] - 18.09.2015 |
| − | |definition=Порядок наивысшей производной входящей в уравнение называется порядком уравнения.}} | + | #[[Линейные уравнения высших порядков|Линейные уравнения высших порядков]] |
| − | {{Определение
| + | #[[Линейные системы|Линейные системы]] |
| − | |definition=<tex>F(x, y(x), {y}'(x)) = 0\:(2)\: - </tex> дифференциальное уравнение 1-го порядка}}
| |
| − | {{Определение
| |
| − | |definition=Решением дифференциального уравнения <tex>(2)</tex> называется функция <tex>y(x) \in C(a,b):</tex><br><tex>F(x, y(x), {y}'(x)) \equiv 0</tex>}} | |
| − | {{Определение
| |
| − | |definition=<tex>\frac{dy}{dx}=f(x,y)\:(3) - </tex> уравнение в нормальной форме. | |
| − | }}
| |
| | | | |
| − | {{Определение
| + | ==Литература== |
| − | |definition=Изоклиной ДУ<tex>(3)</tex> называется кривая определяемая равенством <tex>f(x,y)=k</tex>, где <tex>k - const , tg\alpha = k</tex>.}}
| + | * В.И. Арнольд "Обыкновенные дифференциальные уравнения" [http://vm.tstu.tver.ru/topics/pdf_tests/arnold_ODE.pdf] |
| − | | + | * Е.А.Барбашин "Введение в теорию устойчивости" [http://mathscinet.ru/files/BarbashinEA.pdf] |
| − | ==Задача Коши== | + | * А.Ф.Филиппов "Сборник задач по дифференциальным уравнениям" |
| − | {{Определение|definition=Задача нахождения решения дифференциального уравнения <tex>\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} x} = f(x, y)</tex>, которое удовлетворяет следующим условиям:<br><tex>\left\{\begin{matrix}
| |
| − | \frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} x} = f(x, y) \\ y = y_{0}, \:\: \mathrm{if} \:\: x = x_{0}
| |
| − | | |
| − | \end{matrix}\right.</tex><br> называется задачей Коши (начальной задачей)}}
| |
| − | в некоторых случаях удается упростить решение задачи Коши наложив ограничения на <tex>f(x,y):</tex><br>
| |
| − | <tex>f(x,y) \in C(D), \:\: D = \left\{\begin{matrix}
| |
| − | \left | x-x_{0} \right | \leqslant a \\ \left | y-y_{0} \right | \leqslant b
| |
| − | | |
| − | \end{matrix}\right.</tex><br><tex>\Rightarrow \:\: \left | f(x, y) \right | \leqslant M, \:\: M > 0</tex>
| |
| − | {{Определение
| |
| − | |definition=условие Липшица: <br><tex>\left | f(x,\bar{y}) - f(x, \bar{\bar{y}}) \right | \leq l \left | \bar{\bar{y}} - \bar{y} \right |, \:\: \forall (x,\bar{y}), (x,\bar{\bar{y}}) \in D</tex> для некоторой константы <tex>l > 0</tex>}}
| |
| − | Очевидно, условие Липшица выполняется при условии <tex>\left | \frac{\partial f}{\partial y} \right | \in C(D)</tex>.
| |
| − | | |
| − | {{Теорема|author=Пикар
| |
| − | |statement=Пусть <tex>f(x,y)</tex> удовлетворяет условию Липшица и <tex>f(x,y) \in C(D)</tex>, тогда существует единственное решение задачи Коши
| |
| − | <tex>y=y(x), \:\: y \in C(\left | x-x_{0} \right | \leqslant h)</tex>, где <tex>h = min(a, \frac{b}{M})</tex>.
| |
| − | |proof=Мамой клянусь.
| |
| − | Переформулируем задачу Коши следующим образом: <tex>y(x) = y_{0} + \int_{x_{0}}^{x}f(x,y)dx</tex><br>
| |
| − | Будем строить решение задачи Коши итеративным методом: <tex>y_{n}(x) = y_{0} + \int_{x_{0}}^{x}f(x,y_{n-1}(x))dx</tex>. Далее возможны два случая: 1) <tex>y_{n}(x) \equiv y_{0} \:\: \Rightarrow \:\: f(x, y_{0}) = 0 \:\: \Rightarrow \:\: y_{0} -</tex> решение.<br>
| |
| − | 2) <tex>f(x, y_{0}) \neq 0:</tex> предварительно докажем, что:<br>
| |
| − | <tex>a) \:\:\: y_{n}(x) \in C(\left | x - x_{0} \right | \leqslant h)</tex><br>
| |
| − | <tex>b) \:\:\: \left | y_{n}(x) - y_{0} \right | \leqslant b, \:\: \mathrm{if} \:\: \left | x - x_{0} \right | \leqslant h</tex><br>
| |
| − | <tex>c) \:\:\: y_{n}(x) \Rightarrow y(x) \:\:</tex> (это типо равномерно сходится)<br>
| |
| − | <tex>d) \:\:\: y(x) \in C(\left | x - x_{0} \right | \leqslant h)</tex><br>
| |
| − | <tex>e) \:\:\: \left | y(x) - y_{0} \right | \leqslant b, \:\: \mathrm{if} \:\: \left | x - x_{0} \right | \leqslant h</tex><br>
| |
| − | }}
| |
